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Probabilità

Il calcolo delle probabilità fornisce il linguaggio matematico dell'incertezza: a partire dalle diverse concezioni (classica, frequentista, soggettiva) e dagli assiomi di Kolmogorov si costruiscono la probabilità di eventi composti, la probabilità condizionata, l'indipendenza e il teorema di Bayes. La parte conclusiva introduce le variabili aleatorie discrete con i loro parametri di sintesi, il valore atteso e la varianza. È un nucleo pienamente valutabile all'Esame di Stato, sia nella seconda prova sia nel colloquio.

4sezionica. 15min di lettura3competenzeLivelloBase 1 · Standard 1 · Approfondimento 2Verificato · 06/2026

T·151515 / 16

Profilo d’esame

Modellizzare e analizzare situazioni di incertezza mediante il calcolo delle probabilitàUtilizzare la probabilità condizionata e il teorema di Bayes nella valutazione di informazioniInterpretare e calcolare i parametri (valore atteso e varianza) di una variabile aleatoria discreta

Operatori:calcoladeterminadimostraanalizzainterpretagiustificaclassificaspiega

livello base

In tutti gli indirizzi liceali si richiede la padronanza delle definizioni e degli assiomi, del calcolo della probabilità di eventi composti e della probabilità condizionata, con applicazioni concrete a estrazioni, lanci e test diagnostici.

livello avanzato

Negli indirizzi a maggiore monte ore (in particolare il Liceo Scientifico e l'opzione Scienze Applicate) si approfondiscono il teorema di Bayes in contesti realistici e lo studio completo delle variabili aleatorie discrete con valore atteso, varianza e giochi equi.

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Inhalt · 4 sezioni

Probabilità

Definizioni e assiomi della probabilità#

BasisOSA-matematica-dati-e-previsioniConcezioni di probabilità (classica, frequentista, soggettiva) e assiomiAssiomi di Kolmogorov

Spazio campionario, evento ed evento contrario

La probabilità nasce dall'esigenza di misurare l'incertezza di un esperimento aleatorio, cioè di un fenomeno il cui esito non è prevedibile con certezza ma di cui conosciamo l'insieme di tutti gli esiti possibili, detto spazio campionario e indicato con la lettera greca «Ω». Un evento è un qualunque sottoinsieme di «Ω»: l'evento certo coincide con «Ω», l'evento impossibile con l'insieme vuoto «∅», mentre gli esiti singoli sono gli eventi elementari.

La concezione classica, dovuta a Laplace, definisce la probabilità di un evento come il rapporto fra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano tutti egualmente possibili. È la definizione operativa per lanci di dadi, estrazioni di carte e urne; il suo limite è proprio l'ipotesi di equiprobabilità, che non sempre è giustificata.

La concezione frequentista definisce la probabilità come il limite a cui tende la frequenza relativa di un evento al crescere indefinito del numero di prove ripetute nelle stesse condizioni. Questa visione, formalizzata dalla legge empirica del caso, è adatta a fenomeni ripetibili (controllo di qualità, fenomeni biologici) ma non a eventi non ripetibili. In questi ultimi casi interviene la concezione soggettiva, che misura il grado di fiducia che un individuo coerente ripone nel verificarsi dell'evento, espresso come prezzo equo di una scommessa.

Per unificare queste concezioni, Kolmogorov ha posto la teoria su base assiomatica: la probabilità è una funzione «P» che a ogni evento associa un numero reale e che soddisfa tre assiomi — la non negatività («P(E) ≥ 0»), la normalizzazione («P(Ω) = 1») e l'additività per eventi incompatibili («P(A ∪ B) = P(A) + P(B)» quando «A ∩ B = ∅»). Da questi tre soli postulati discendono per via deduttiva tutte le proprietà del calcolo: la probabilità dell'evento contrario «P(Ē) = 1 − P(E)», il fatto che ogni probabilità sia compresa fra 0 e 1, e la probabilità dell'evento impossibile pari a zero.

P(E) = \dfrac{\#\,\text{casi favorevoli}}{\#\,\text{casi possibili}}

Definizione classica

Vale solo quando tutti i casi possibili sono egualmente possibili.

P(E) \ge 0, \qquad P(\Omega) = 1, \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) \;\text{ se }\; A \cap B = \varnothing

Assiomi di Kolmogorov

Non negatività, normalizzazione e additività per eventi incompatibili.

P(\bar{E}) = 1 - P(E)

Evento contrario

Conseguenza diretta degli assiomi: spesso semplifica il calcolo di un «almeno uno».

Esempio svolto

Probabilità dell'evento contrario

Da un'urna contenente 4 palline rosse, 5 verdi e 3 gialle si estrae una pallina a caso. Calcola la probabilità di estrarre una pallina non rossa.

Conteggio dei casi possibili
Le palline sono in tutto 4 + 5 + 3 = 12, tutte egualmente estraibili, quindi possiamo usare la definizione classica.
Probabilità dell'evento «rossa»
I casi favorevoli all'estrazione di una rossa sono 4.
Regola dell'evento contrario
L'evento «non rossa» è il contrario di «rossa».

Risultato: La probabilità di estrarre una pallina non rossa è 2/3, cioè circa 0.667 (66.7%).

Errori frequenti

Applicare la definizione classica senza verificare che i casi siano realmente equiprobabili: contare gli esiti «vincita/sconfitta» di una partita come se avessero probabilità 1/2 ciascuno è un errore frequente.
Confondere la frequenza relativa osservata in un campione finito con la probabilità teorica dell'evento: la prima approssima la seconda solo al crescere del numero di prove, non per un singolo campione.

Ripasso attivo

Da un'urna contenente 4 palline rosse, 5 verdi e 3 gialle si estrae una pallina a caso. Calcola la probabilità di estrarre una pallina non rossa, giustificando l'uso della definizione classica e della regola dell'evento contrario.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Probabilità di eventi composti#

StandardOSA-matematica-dati-e-previsioniEventi, operazioni tra eventi, probabilità dell'unione e dell'intersezione

Operazioni tra eventi: unione e intersezione

Gli eventi possono essere combinati con le operazioni insiemistiche, e a ciascuna corrisponde una lettura logica: l'unione «A ∪ B» si verifica quando si verifica almeno uno dei due eventi (congiunzione «o»), l'intersezione «A ∩ B» quando si verificano entrambi (congiunzione «e»), il complementare «Ā» quando l'evento non si verifica. Visualizzare queste operazioni con i diagrammi di Venn aiuta a impostare correttamente i calcoli (Fig. 1).

Per la probabilità dell'unione vale il teorema della somma nella sua forma generale: «P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)». Il termine sottratto evita di contare due volte gli esiti comuni ai due eventi. Quando gli eventi sono incompatibili (cioè «A ∩ B = ∅») il termine di intersezione si annulla e si ritrova l'additività assiomatica «P(A ∪ B) = P(A) + P(B)».

Per la probabilità dell'intersezione vale il teorema del prodotto: «P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)», dove «P(B | A)» è la probabilità di B subordinata al verificarsi di A. Se i due eventi sono indipendenti, ossia il verificarsi dell'uno non modifica la probabilità dell'altro, la formula si semplifica nel prodotto «P(A ∩ B) = P(A) · P(B)».

È fondamentale distinguere eventi incompatibili ed eventi indipendenti: l'incompatibilità riguarda l'unione e significa che i due eventi non possono verificarsi insieme; l'indipendenza riguarda l'intersezione e significa che la conoscenza dell'uno non altera la probabilità dell'altro. Due eventi con probabilità positiva non possono essere contemporaneamente incompatibili e indipendenti, perché se sono incompatibili il verificarsi dell'uno esclude l'altro, e quindi lo condiziona.

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Teorema della somma

Forma generale; il termine sottratto evita il doppio conteggio degli esiti comuni.

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)

Teorema del prodotto

Si riduce a P(A)·P(B) quando A e B sono indipendenti.

P(\text{almeno uno}) = 1 - P(\text{nessuno})

Strategia «almeno uno»

Conviene passare all'evento contrario quando gli eventi favorevoli sono molti.

Esempio svolto

Probabilità dell'unione di due eventi

Si lancia un dado a sei facce non truccato. Siano A = «esce un numero pari» e B = «esce un multiplo di 3». Calcola P(A ∪ B).

Descrizione degli eventi
A = {2, 4, 6} e B = {3, 6}; l'esito comune è 6, quindi A e B NON sono incompatibili.
Probabilità singole
Su 6 esiti equiprobabili: A ha 3 casi favorevoli, B ne ha 2.
Teorema della somma
Si applica la forma generale sottraendo l'intersezione, con P(A ∩ B) = 1/6.

Risultato: P(A ∪ B) = 4/6 = 2/3, cioè circa 0.667 (66.7%).

Errori frequenti

Sommare le probabilità di due eventi non incompatibili dimenticando di sottrarre «P(A ∩ B)», ottenendo così un valore maggiore di quello reale (talvolta superiore a 1).
Scambiare incompatibilità e indipendenza, applicando «P(A) + P(B)» a eventi che possono coesistere oppure «P(A) · P(B)» a eventi che si influenzano a vicenda.

Ripasso attivo

Si lancia un dado a sei facce non truccato. Considera gli eventi A = «esce un numero pari» e B = «esce un multiplo di 3». Calcola P(A ∪ B), stabilendo prima se A e B sono incompatibili.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Probabilità condizionata e teorema di Bayes#

VertiefungOSA-matematica-dati-e-previsioniProbabilità condizionata, eventi indipendenti e teorema di BayesTeorema della probabilità totale e teorema di Bayes

Diagramma ad albero del test diagnostico

La probabilità condizionata «P(B | A)» misura la probabilità dell'evento B sapendo che l'evento A si è verificato. Si definisce come «P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A)» con «P(A) > 0»: conoscere che A si è realizzato restringe lo spazio campionario al solo A, e la probabilità di B viene «ricalibrata» dentro questo nuovo universo. Da questa definizione segue immediatamente il teorema del prodotto della sezione precedente.

Due eventi sono indipendenti quando «P(B | A) = P(B)», cioè quando l'informazione su A non modifica la probabilità di B; equivalentemente quando «P(A ∩ B) = P(A) · P(B)». L'indipendenza è dunque una proprietà simmetrica e ben distinta dall'incompatibilità.

Il teorema della probabilità totale permette di calcolare la probabilità di un evento B «scomponendolo» lungo una partizione di cause «A₁, A₂, …, Aₙ» (eventi a due a due incompatibili la cui unione è «Ω»): «P(B) = Σ P(Aᵢ) · P(B | Aᵢ)». È lo strumento naturale per i problemi a più stadi, ben rappresentati dai diagrammi ad albero (Fig. 1).

Il teorema di Bayes inverte il condizionamento: noto l'effetto B, calcola la probabilità della causa Aᵢ tramite «P(Aᵢ | B) = P(Aᵢ) · P(B | Aᵢ) / P(B)», dove il denominatore è la probabilità totale. Distingue le probabilità a priori «P(Aᵢ)» dalle probabilità a posteriori «P(Aᵢ | B)», aggiornate alla luce dell'osservazione. È alla base della valutazione dei test diagnostici, dove un risultato positivo non garantisce affatto la presenza della malattia quando questa è rara.

P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}, \qquad P(A) > 0

Probabilità condizionata

Lo spazio campionario si restringe all'evento condizionante A.

P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)\, P(B \mid A_i)

Probabilità totale

Le cause A_i formano una partizione dello spazio campionario.

P(A_i \mid B) = \dfrac{P(A_i)\, P(B \mid A_i)}{\sum_{k=1}^{n} P(A_k)\, P(B \mid A_k)}

Teorema di Bayes

Aggiorna la probabilità della causa A_i alla luce dell'effetto osservato B.

Esempio svolto

Test diagnostico e teorema di Bayes

Una malattia colpisce l'1% della popolazione. Il test è positivo nel 99% dei malati e dà un falso positivo nel 5% dei sani. Calcola la probabilità che chi è risultato positivo sia effettivamente malato.

Dati a priori
M = malato, S = sano, T = test positivo. P(M) = 0.01, P(S) = 0.99, P(T | M) = 0.99, P(T | S) = 0.05.
Probabilità totale di un positivo
Si sommano i positivi veri e i positivi falsi.
Teorema di Bayes
Si rapporta il contributo dei veri positivi al totale dei positivi.

Risultato: P(M | T) ≈ 0.1667, cioè circa il 16.7%: nonostante il test sia molto sensibile, la rarità della malattia rende più probabile che un positivo sia un falso positivo.

Errori frequenti

Confondere «P(B | A)» con «P(A | B)»: la probabilità di un test positivo dato il malato è cosa diversa dalla probabilità di essere malato dato il test positivo (errore del «condizionale invertito»).
Dimenticare l'incidenza (probabilità a priori) della causa: con malattie rare, anche un test molto affidabile produce molti più falsi positivi che veri positivi, e la probabilità a posteriori risulta sorprendentemente bassa.

Ripasso attivo

Una malattia colpisce l'1% della popolazione. Un test dà esito positivo nel 99% dei malati (sensibilità) e dà un falso positivo nel 5% dei sani. Calcola la probabilità che una persona risultata positiva sia effettivamente malata.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Variabili aleatorie discrete: valore atteso e varianza#

VertiefungOSA-matematica-dati-e-previsioniVariabili aleatorie discrete: valore atteso e varianzaValore atteso e varianza di una variabile aleatoria

Distribuzione di probabilità della vincita X

Una variabile aleatoria discreta «X» è una funzione che associa a ogni esito di un esperimento aleatorio un numero reale, assumendo un numero finito o numerabile di valori «x₁, x₂, …». La sua legge è descritta dalla distribuzione di probabilità, che a ciascun valore «xᵢ» associa la probabilità «pᵢ = P(X = xᵢ)»; queste probabilità sono non negative e la loro somma vale 1. La distribuzione si rappresenta efficacemente con un diagramma a bastoncini (Fig. 1).

Il valore atteso (o speranza matematica) «E(X) = Σ xᵢ · pᵢ» è la media dei valori della variabile ponderata con le rispettive probabilità: rappresenta il valore «al centro» della distribuzione, il risultato medio che ci si attende su un gran numero di prove. Non è necessariamente uno dei valori possibili della variabile.

La varianza «Var(X) = E[(X − E(X))²] = Σ (xᵢ − E(X))² · pᵢ» misura la dispersione dei valori attorno al valore atteso; nella pratica conviene la formula operativa «Var(X) = E(X²) − [E(X)]²». La deviazione standard «σ = √Var(X)» riporta la dispersione nell'unità di misura della variabile ed è quindi più immediata da interpretare.

Questi parametri permettono di valutare i giochi e le scommesse: un gioco si dice equo quando la vincita attesa del giocatore è nulla, cioè quando il valore atteso del guadagno è zero. Se il valore atteso è negativo il gioco è svantaggioso per il giocatore (e favorevole al banco), se positivo è vantaggioso. Il confronto fra due scelte con uguale valore atteso si fa allora osservando la varianza, cioè il rischio.

\sum_{i} p_i = 1, \qquad p_i = P(X = x_i) \ge 0

Distribuzione di probabilità

Le probabilità dei valori della variabile sono non negative e sommano a 1.

E(X) = \sum_{i} x_i\, p_i

Valore atteso

Media dei valori ponderata con le probabilità.

\mathrm{Var}(X) = \sum_{i} \big(x_i - E(X)\big)^2 p_i = E(X^2) - \big[E(X)\big]^2, \qquad \sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}

Varianza e deviazione standard

Misurano la dispersione attorno al valore atteso.

Esempio svolto

Valore atteso di un gioco con il dado

Si lancia un dado equo: si vincono 6 euro se esce il 6, si perde 1 euro in ogni altro caso. Detta X la vincita netta, costruisci la distribuzione di X, calcola E(X) e stabilisci se il gioco è equo.

Distribuzione di X
X = +6 solo se esce il 6 (probabilità 1/6); X = −1 negli altri cinque casi (probabilità 5/6).
Calcolo del valore atteso
Si pesano i valori con le probabilità.
Interpretazione
Il risultato è il guadagno medio per partita; se positivo il gioco favorisce il giocatore, se nullo è equo, se negativo è svantaggioso.

Risultato: E(X) = 1/6 ≈ 0.17 euro: il valore atteso è positivo, quindi il gioco NON è equo ed è (lievemente) vantaggioso per il giocatore.

Errori frequenti

Calcolare il valore atteso come media aritmetica semplice dei valori «xᵢ», dimenticando di pesarli con le probabilità «pᵢ».
Scordare di elevare al quadrato gli scarti nel calcolo della varianza, oppure non estrarre la radice per ottenere la deviazione standard, confondendo così varianza e deviazione standard.

Ripasso attivo

In un gioco si lancia un dado equo: si vincono 6 euro se esce il 6, mentre si perde 1 euro in ogni altro caso. Detta X la vincita netta, costruisci la distribuzione di X, calcola E(X) e stabilisci se il gioco è equo.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Riferimenti e fonti

Fonti

Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)

Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento

Probabilità

Punti chiave

Probabilità dell'evento contrario

Punti chiave

Probabilità dell'unione di due eventi

Punti chiave

Test diagnostico e teorema di Bayes

Punti chiave

Valore atteso di un gioco con il dado

Fonti

Probabilità

Punti chiave

Probabilità dell'evento contrario

Punti chiave

Probabilità dell'unione di due eventi

Punti chiave

Test diagnostico e teorema di Bayes

Punti chiave

Valore atteso di un gioco con il dado

Fonti