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Statistica e distribuzioni di probabilità

Questo appunto raccoglie il nucleo del pensiero statistico del triennio: dalla descrizione di un insieme di dati mediante indici di posizione e di variabilità, alle distribuzioni di probabilità che modellizzano i fenomeni aleatori, fino alla curva normale e alle relazioni tra due variabili. L'obiettivo è imparare a leggere i dati, a riconoscere il modello probabilistico adeguato e a quantificare l'incertezza in modo rigoroso. È un tema pienamente valutabile all'Esame di Stato, sia nella seconda prova sia nel colloquio.

4sezionica. 15min di lettura3competenzeLivelloBase 1 · Standard 2 · Approfondimento 1Verificato · 06/2026

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Profilo d’esame

Analizzare e interpretare insiemi di dati mediante strumenti statistici (indici di posizione e di variabilità)Utilizzare le distribuzioni di probabilità (binomiale, di Poisson, normale) per modellizzare fenomeni aleatoriValutare le relazioni tra variabili statistiche mediante correlazione e regressione

Operatori:calcoladeterminaanalizzainterpretarappresentaconfrontagiustificaclassifica

livello base

In tutti i licei si padroneggiano gli indici di sintesi di una distribuzione, la binomiale e una prima lettura della curva normale e dei legami tra due variabili.

livello avanzato

Nei licei scientifici (anche opzione Scienze Applicate) si approfondiscono la distribuzione di Poisson, la standardizzazione con uso delle tavole della normale e il metodo dei minimi quadrati per la regressione lineare.

Profondità

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Inhalt · 4 sezioni

Statistica e distribuzioni di probabilità

Statistica descrittiva e indici di sintesi#

BasisOSA-matematica-dati-e-previsioniMedia, mediana, moda, varianza e deviazione standard

Schema degli indici statistici

La statistica descrittiva ha il compito di organizzare e sintetizzare un insieme di dati grezzi, trasformando un elenco di osservazioni in poche grandezze leggibili e confrontabili. Il punto di partenza è la distribuzione di frequenza: per ciascun valore (o classe di valori) del carattere si registrano la frequenza assoluta, cioè il numero di volte in cui compare, e la frequenza relativa, ottenuta dividendo per il numero totale di dati; quest'ultima, moltiplicata per cento, fornisce la frequenza percentuale.

Gli indici di posizione (o di tendenza centrale) indicano attorno a quale valore si addensano i dati. La media aritmetica è la somma di tutti i valori divisa per il loro numero ed è l'indice più usato, ma è sensibile ai valori anomali. La mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la semisomma dei due centrali se i dati sono in numero pari) ed è robusta rispetto agli estremi. La moda è il valore (o i valori) di frequenza massima ed è l'unico indice utilizzabile anche per caratteri qualitativi.

Gli indici di posizione, da soli, non bastano: due insiemi possono avere la stessa media ma essere distribuiti in modo molto diverso. Servono perciò gli indici di variabilità (o di dispersione), che misurano quanto i dati si discostano dal centro. Il più grezzo è il campo di variazione (range), differenza fra massimo e minimo; i più informativi sono la varianza, cioè la media degli scarti dalla media elevati al quadrato, e la deviazione standard (scarto quadratico medio), sua radice quadrata, che ha il pregio di essere espressa nella stessa unità di misura dei dati.

Per leggere a colpo d'occhio una distribuzione si usano strumenti grafici complementari. L'istogramma rappresenta le frequenze mediante rettangoli adiacenti e ne mostra la forma (simmetrica, asimmetrica, con uno o più picchi) (Fig. 2). Un altro strumento utile è il diagramma a scatola e baffi (box-plot), che sintetizza la distribuzione attraverso i cinque numeri di sintesi: minimo, primo quartile, mediana, terzo quartile e massimo, mettendo in evidenza la dispersione centrale e gli eventuali valori anomali.

Distribuzione dei voti (frequenze assolute)

\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i

Media aritmetica

Somma di tutti i valori divisa per il numero n di osservazioni.

\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^2

Varianza

Media degli scarti dalla media elevati al quadrato; misura la dispersione dei dati.

\sigma = \sqrt{\sigma^2}

Deviazione standard

Radice quadrata della varianza; espressa nella stessa unita di misura dei dati.

Esempio svolto

Indici di sintesi di una distribuzione di voti

I voti riportati da dieci studenti sono: 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9. Calcola media, mediana e moda; determina varianza e deviazione standard.

Media
Si sommano i dieci valori (totale 63) e si divide per n = 10.
Mediana
I dati sono gia ordinati e n e pari: la mediana e la semisomma del 5o e 6o valore (6 e 6).
Moda
Il valore con frequenza massima e 6, che compare tre volte.
Varianza
Si sommano gli scarti dalla media al quadrato (totale 20.1) e si divide per n.
Deviazione standard
Si estrae la radice quadrata della varianza.

Risultato: Media 6.3, mediana 6, moda 6; varianza 2.01 e deviazione standard circa 1.42: i voti sono moderatamente concentrati attorno al 6.

Errori frequenti

Confondere la frequenza assoluta con la frequenza relativa, oppure dimenticare di ordinare i dati prima di individuare la mediana.
Dimenticare di estrarre la radice quadrata e riportare la varianza al posto della deviazione standard (o viceversa).

Ripasso attivo

I voti riportati da dieci studenti in una verifica sono: 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9. Costruisci la distribuzione di frequenza, calcola media, mediana e moda e determina varianza e deviazione standard, commentando il grado di dispersione.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: DPR 15 marzo 2010 n. 89 — Regolamento di riordino dei licei (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Distribuzioni di probabilità discrete: binomiale e Poisson#

StandardOSA-matematica-dati-e-previsioniDistribuzione binomiale, di Poisson e normale

Una variabile aleatoria discreta associa a ciascun esito di un esperimento un numero, e la sua distribuzione di probabilità assegna a ogni valore possibile la rispettiva probabilità: tali probabilità sono non negative e hanno somma uguale a uno. A partire da questa tabella si definiscono il valore atteso (media), che pesa ciascun valore con la sua probabilità, e la varianza, che ne misura la dispersione.

La distribuzione binomiale descrive il numero di successi in n prove indipendenti, ciascuna con la stessa probabilità di successo p (schema di Bernoulli): si pensi al numero di teste in n lanci di una moneta o al numero di pezzi difettosi in un lotto. La probabilità di ottenere esattamente k successi combina il coefficiente binomiale, che conta i modi in cui i successi possono disporsi, con la probabilità di una singola sequenza favorevole. Per essa il valore atteso è np e la varianza è np(1-p).

La distribuzione di Poisson modellizza il numero di eventi rari che si verificano in un intervallo fissato di tempo o di spazio, quando gli eventi sono indipendenti e avvengono con intensità media costante: telefonate a un centralino in un'ora, decadimenti radioattivi al minuto, refusi per pagina. Dipende da un solo parametro, la media λ, che è contemporaneamente valore atteso e varianza. La Poisson si ottiene come limite della binomiale quando n è grande, p piccolo e il prodotto np ≈ λ resta costante.

Riconoscere il modello giusto è la competenza chiave: la binomiale richiede un numero fissato di prove e una probabilità costante di successo per prova; la Poisson si usa quando si conta quante volte accade un evento raro in un continuo (tempo, lunghezza, superficie) senza un numero naturale di prove. Il grafico a barre (Fig. 1) della B(5, 0.2) mostra una distribuzione ancora asimmetrica; all'aumentare di n la binomiale tende a una forma sempre più regolare e quasi simmetrica.

E(X) = \sum_{i} x_i\, p_i

Valore atteso

Media di una variabile aleatoria discreta: ogni valore pesato con la sua probabilita.

P(X=k) = \binom{n}{k}\, p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}

Distribuzione binomiale

Probabilita di k successi in n prove indipendenti con probabilita p; E(X)=np, Var(X)=np(1-p).

P(X=k) = \frac{\lambda^{k}\, e^{-\lambda}}{k!}

Distribuzione di Poisson

Probabilita di k eventi rari quando la media e lambda; per la Poisson E(X)=Var(X)=lambda.

Distribuzione binomiale B(5, 0.2): probabilità di k successi

Esempio svolto

Probabilità binomiale di pezzi difettosi

Il 20% dei pezzi di una linea presenta un difetto. Si estraggono 5 pezzi in modo indipendente. Qual è la probabilità che esattamente 2 siano difettosi? Quanti pezzi difettosi sono attesi in media?

Modello
Numero fissato di prove (n = 5), probabilita costante p = 0.2: variabile binomiale.
Coefficiente binomiale
I modi di scegliere 2 pezzi difettosi su 5.
Probabilita
Si applica la formula binomiale con k = 2.
Risultato numerico
Si esegue il prodotto.
Valore atteso
Per la binomiale il numero medio di successi e np.

Risultato: La probabilità di esattamente 2 pezzi difettosi è 0.2048 (circa 20.5%); in media ci si attende 1 pezzo difettoso su 5.

Errori frequenti

Dimenticare il coefficiente binomiale e calcolare solo p^k·(1-p)^(n-k), trascurando il numero di disposizioni possibili dei successi.
Applicare la binomiale a situazioni senza un numero fissato di prove, dove invece il modello corretto è quello di Poisson.

Ripasso attivo

In una linea di produzione il 20% dei pezzi presenta un piccolo difetto. Si estraggono a caso 5 pezzi, in modo indipendente. Determina la probabilità che esattamente 2 di essi siano difettosi e calcola il numero medio di pezzi difettosi atteso.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: DPR 15 marzo 2010 n. 89 — Regolamento di riordino dei licei (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

La distribuzione normale (gaussiana)#

VertiefungOSA-matematica-dati-e-previsioniDistribuzione binomiale, di Poisson e normale

Curva normale standard con media e deviazione standard

La distribuzione normale, o gaussiana, è il modello continuo più importante della statistica: descrive grandezze influenzate da molti piccoli effetti indipendenti (errori di misura, statura, peso, punteggi). Il suo grafico è la celebre curva a campana, simmetrica rispetto alla media μ, con la massima ordinata in corrispondenza della media e due punti di flesso a distanza σ dal centro; l'area totale sottesa alla curva vale 1, perché rappresenta la probabilità totale (Fig. 1).

Due parametri determinano completamente la curva: la media μ ne fissa la posizione (l'asse di simmetria) e la deviazione standard σ ne governa la larghezza, cioè quanto la campana è stretta e alta oppure bassa e larga. Per una variabile continua la probabilità non si concentra in un singolo valore (che ha probabilità nulla), ma si calcola come area sotto la curva su un intervallo: P(a ≤ X ≤ b) è l'area compresa fra le rette x = a e x = b.

Per evitare di calcolare aree diverse per ogni coppia (μ, σ) si introduce la standardizzazione: si trasforma X nella variabile standardizzata Z, che misura quanti σ un valore dista dalla media. Z ha media 0 e deviazione standard 1 e la sua distribuzione, detta normale standard, è tabulata: dalle tavole (o dalla calcolatrice) si leggono le aree, cioè le probabilità, per qualunque intervallo.

Un risultato da memorizzare è la regola empirica (o regola 68-95-99.7): in una distribuzione normale circa il 68% dei dati cade entro un σ dalla media, circa il 95% entro due σ e circa il 99.7% entro tre σ. Essa fornisce una lettura immediata della dispersione e spiega perché valori che distano più di tre deviazioni standard dalla media siano considerati eccezionali.

z = \frac{x-\mu}{\sigma}

Standardizzazione

Trasforma un valore x nel suo punteggio z: quanti sigma esso dista dalla media.

P(\mu-\sigma \le X \le \mu+\sigma) \approx 0.6827

Regola empirica (1 sigma)

Circa il 68% dei dati cade entro una deviazione standard dalla media.

P(\mu-2\sigma \le X \le \mu+2\sigma) \approx 0.9545

Regola empirica (2 sigma)

Circa il 95% dei dati cade entro due deviazioni standard dalla media.

Esempio svolto

Punteggi normali e regola empirica

I punteggi di un test sono distribuiti normalmente con μ = 100 e σ = 15. Stima la percentuale di studenti con punteggio fra 85 e 115 e fra 70 e 130.

Primo intervallo in unita sigma
Si osserva che 85 e 115 distano un sigma dalla media.
Applicazione della regola (1 sigma)
Entro un sigma cade circa il 68% dei dati.
Secondo intervallo in unita sigma
70 e 130 distano due sigma dalla media.
Applicazione della regola (2 sigma)
Entro due sigma cade circa il 95% dei dati.

Risultato: Circa il 68% degli studenti ottiene un punteggio fra 85 e 115; circa il 95% fra 70 e 130.

Errori frequenti

Cercare la probabilità di un singolo valore in una distribuzione continua: per la normale P(X = a) = 0, ha senso solo la probabilità di un intervallo.
Sbagliare il segno o la formula della standardizzazione, oppure dimenticare che l'area a sinistra e a destra della media valgono entrambe 0.5.

Ripasso attivo

I punteggi di un test sono distribuiti normalmente con media μ = 100 e deviazione standard σ = 15. Stima, usando la regola empirica, la percentuale di studenti con punteggio compreso fra 85 e 115 e fra 70 e 130.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: DPR 15 marzo 2010 n. 89 — Regolamento di riordino dei licei (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Correlazione, regressione e interpolazione#

StandardOSA-matematica-dati-e-previsioniMetodo dei minimi quadrati (cenni) e coefficiente di correlazione

Nuvola di punti con retta di regressione

Quando su ogni unità statistica si rilevano due caratteri quantitativi (per esempio ore di studio e voto, oppure altezza e peso) si parla di distribuzione doppia, e ci si chiede se le due variabili siano legate. Il primo strumento è il diagramma a dispersione (nuvola di punti), in cui ciascuna coppia (x, y) diventa un punto del piano: la forma della nuvola suggerisce la presenza, il verso e l'intensità di un'eventuale relazione (Fig. 1).

Il coefficiente di correlazione lineare r quantifica il legame lineare fra le due variabili: è un numero compreso fra -1 e +1. Valori vicini a +1 indicano una forte relazione lineare crescente, valori vicini a -1 una forte relazione decrescente, valori prossimi a 0 l'assenza di legame lineare. È fondamentale ricordare che la correlazione misura solo l'associazione: una forte correlazione non implica un nesso di causa-effetto.

Quando i punti si dispongono attorno a una retta, l'interpolazione lineare cerca la retta che meglio li approssima. Il criterio adottato è il metodo dei minimi quadrati: si sceglie la retta che rende minima la somma dei quadrati degli scarti verticali fra i punti osservati e la retta. Questa retta di regressione passa sempre per il punto medio (x̄, ȳ) ed è descritta dal coefficiente angolare b e dall'intercetta a.

La retta di regressione serve a sintetizzare l'andamento dei dati e a fare previsioni: noto un valore di x, si stima il corrispondente valore di y. La previsione è attendibile solo all'interno dell'intervallo dei dati osservati (interpolazione); estrapolare molto al di fuori di esso è rischioso, perché il modello lineare potrebbe non descrivere più il fenomeno. Il coefficiente angolare indica di quanto varia in media y al crescere di una unità di x.

b = \frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2}

Coefficiente angolare

Pendenza della retta di regressione con il metodo dei minimi quadrati.

a = \bar{y} - b\,\bar{x}

Intercetta

Garantisce che la retta passi per il punto medio della distribuzione.

-1 \le r \le 1

Coefficiente di correlazione

Misura intensita e verso del legame lineare; r vicino a piu o meno 1 indica forte relazione lineare.

Esempio svolto

Retta di regressione con i minimi quadrati

Dati i punti (1,2), (2,3), (3,5), (4,4), (5,6), determina la retta di regressione di y su x e stima il voto per x = 6.

Medie
Si calcolano le medie delle ascisse e delle ordinate.
Covarianza (numeratore)
Somma dei prodotti degli scarti: 4 + 1 + 0 + 0 + 4.
Devianza di x (denominatore)
Somma dei quadrati degli scarti delle x: 4 + 1 + 0 + 1 + 4.
Coefficiente angolare
Rapporto fra numeratore e denominatore.
Intercetta
Si impone il passaggio per il punto medio.
Previsione per x = 6
Si sostituisce x = 6 nella retta trovata.

Risultato: La retta di regressione è y = 0.9x + 1.3; per 6 ore di studio si stima un voto di circa 6.7 (estrapolazione appena oltre i dati, da prendere con cautela).

Errori frequenti

Confondere correlazione e causalità: dedurre un rapporto di causa-effetto dalla sola presenza di una forte correlazione.
Usare la retta di regressione per previsioni molto lontane dall'intervallo dei dati (estrapolazione spinta), dove il modello non è più affidabile.

Ripasso attivo

Per cinque studenti si rilevano le ore settimanali di studio x e il voto y: (1,2), (2,3), (3,5), (4,4), (5,6). Determina la retta di regressione di y su x con il metodo dei minimi quadrati e stima il voto previsto per x = 6 ore.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Esame di Stato del secondo ciclo — quadri di riferimento e griglie di valutazione (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Riferimenti e fonti

Fonti

Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)

Statistica e distribuzioni di probabilità

Punti chiave

Indici di sintesi di una distribuzione di voti

Punti chiave

Probabilità binomiale di pezzi difettosi

Punti chiave

Punteggi normali e regola empirica

Punti chiave

Retta di regressione con i minimi quadrati

Fonti

Statistica e distribuzioni di probabilità

Punti chiave

Indici di sintesi di una distribuzione di voti

Punti chiave

Probabilità binomiale di pezzi difettosi

Punti chiave

Punteggi normali e regola empirica

Punti chiave

Retta di regressione con i minimi quadrati

Fonti