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Calcolo combinatorio

Il calcolo combinatorio è l'arte di contare in modo sistematico, senza enumerare uno per uno, quanti raggruppamenti si possono formare a partire da un insieme di oggetti. Partendo dal principio fondamentale del conteggio, si introducono disposizioni, permutazioni e combinazioni (semplici e con ripetizione), il fattoriale e i coefficienti binomiali, fino al binomio di Newton e al triangolo di Tartaglia. È lo strumento di base del calcolo delle probabilità e rientra a pieno titolo nei « dati e previsioni » dell'Esame di Stato.

4sezionica. 16min di lettura3competenzeLivelloBase 1 · Standard 2 · Approfondimento 1Verificato · 06/2026

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Profilo d’esame

Contare in modo sistematico configurazioni e raggruppamenti, distinguendo se conta l'ordine e se sono ammesse le ripetizioniUtilizzare il calcolo combinatorio come strumento per il calcolo delle probabilità in spazi finiti equiprobabiliApplicare il binomio di Newton e le proprietà dei coefficienti binomiali e del triangolo di Tartaglia

Operatori:calcoladeterminadimostraspiegaclassificaconfrontagiustificainterpreta

livello base

In tutti i licei si richiede di riconoscere la situazione di conteggio corretta (ordine sì/no, ripetizione sì/no), di applicare le formule di disposizioni, permutazioni e combinazioni e di sviluppare semplici potenze con il binomio di Newton.

livello avanzato

Nel Liceo Scientifico e nell'opzione Scienze Applicate si curano la giustificazione delle formule a partire dal principio fondamentale, le permutazioni e le combinazioni con ripetizione, le proprietà dimostrate dei coefficienti binomiali e l'uso del calcolo combinatorio nei problemi di probabilità.

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Inhalt · 4 sezioni

Calcolo combinatorio

Il principio fondamentale del conteggio#

BasisOSA-matematica-dati-e-previsioniPrincipio fondamentale del calcolo combinatorio

Ogni problema di conteggio nasce dalla domanda « in quanti modi diversi posso ...? », e la chiave per risolverlo è spesso scomporre la scelta complessiva in una successione di scelte più semplici, ciascuna con un numero noto di possibilità. Il principio fondamentale del conteggio (o principio di moltiplicazione) afferma che se una procedura si compone di k scelte successive e indipendenti, la prima eseguibile in n₁ modi, la seconda in n₂ modi e così via, allora il numero totale di esiti distinti è il prodotto n₁ · n₂ · … · nₖ.

L'intuizione è limpida: per ciascuno dei modi di compiere la prima scelta si aprono tutti i modi della seconda, e per ciascuna coppia tutti i modi della terza. Il diagramma ad albero (Fig. 1) rende visibile questo « ramificarsi »: contare le foglie equivale a moltiplicare i rami di ogni livello. Per questo l'albero è lo strumento didattico privilegiato per giustificare la formula prima ancora di applicarla.

Diagramma ad albero del lancio di due monete

Accanto al principio di moltiplicazione opera il principio di addizione: se un esito può realizzarsi in alternativa in due modi mutuamente esclusivi (che non possono verificarsi insieme), il numero totale è la somma e non il prodotto. La parola-chiave da riconoscere è « e » per la moltiplicazione (prima questo e poi quello) e « oppure » per l'addizione (questo oppure quello). Saper distinguere « e » da « oppure » è il primo bivio di ogni esercizio.

Quando le scelte successive sono tutte dello stesso tipo e con la stessa quantità di possibilità m, ripetuta k volte, il prodotto diventa una potenza: m·m·…·m = mᵏ. Questo è già il caso delle disposizioni con ripetizione, che incontreremo formalmente più avanti: pensiamo a un codice di k caratteri scelti tra m simboli disponibili, dove ogni posizione è una scelta indipendente con m esiti.

N = n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k

principio di moltiplicazione

Numero totale di esiti di k scelte successive e indipendenti, dove la scelta i-esima ha nᵢ possibilità.

N = \underbrace{m \cdot m \cdot \ldots \cdot m}_{k \text{ volte}} = m^k

scelte uguali ripetute

Se ogni scelta ha sempre m possibilità e si ripete k volte, il prodotto diventa la potenza mᵏ.

Esempio svolto

Composizione di un menù

In una pizzeria si compone un menù scegliendo una pizza tra 8 tipi, una bibita tra 5 e un dolce tra 3. In quanti modi diversi si può comporre il menù completo? E se il cliente può rinunciare al dolce?

Individuare le scelte successive
Il menù è una successione di tre scelte indipendenti: la pizza (8 possibilità), la bibita (5 possibilità) e il dolce (3 possibilità). Sono legate dalla congiunzione « e », quindi si applica il principio di moltiplicazione.
Applicare il principio di moltiplicazione
Si moltiplicano i numeri delle singole scelte.
Considerare la rinuncia al dolce
Se il dolce è facoltativo, le possibilità per quella scelta diventano 4 (i 3 dolci oppure « nessun dolce »).

Risultato: Con dolce obbligatorio i menù possibili sono 120; rendendo il dolce facoltativo diventano 160.

Errori frequenti

Sommare i numeri delle scelte successive invece di moltiplicarli (o viceversa moltiplicare alternative esclusive): confondere « e » con « oppure ».
Trattare come indipendenti scelte che in realtà si vincolano a vicenda (ad esempio non potere riusare un oggetto già scelto), applicando una potenza dove servirebbero le disposizioni semplici.

Ripasso attivo

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Disposizioni e permutazioni#

StandardOSA-matematica-dati-e-previsioniDisposizioni, permutazioni e combinazioni (semplici e con ripetizione)

Schema decisionale: ordine e ripetizione

Quando in un raggruppamento l'ordine degli elementi è significativo — cioè scambiare due elementi produce un raggruppamento diverso — si parla di disposizioni. Le disposizioni semplici di n elementi presi k alla volta (con k ≤ n) sono i raggruppamenti ordinati di k oggetti distinti scelti tra n disponibili, senza ripetizioni. Si ricavano dal principio di moltiplicazione: la prima posizione si riempie in n modi, la seconda in n−1, la terza in n−2, fino alla k-esima in n−k+1 modi.

Il prodotto di questi k fattori decrescenti si scrive in modo compatto con il fattoriale. Ricordiamo (ripasso) che il fattoriale di un numero naturale n è n! = n·(n−1)·…·2·1, con la convenzione 0! = 1. Allora le disposizioni semplici valgono D(n,k) = n!/(n−k)!, perché dividere per (n−k)! cancella i fattori da n−k in giù lasciando esattamente i k fattori decrescenti voluti.

Le permutazioni semplici sono il caso particolare delle disposizioni in cui si ordinano tutti gli n elementi disponibili (k = n): sono gli « anagrammi » di n oggetti distinti. Poiché P(n) = D(n,n) = n!/0! = n!, le permutazioni di n elementi distinti sono n!. Così le permutazioni delle quattro lettere distinte della parola ROMA sono 4! = 24.

Se invece tra gli oggetti ve ne sono di uguali, lo scambio di due oggetti identici non genera un nuovo ordinamento e bisogna dividere per le permutazioni interne dei gruppi uguali: sono le permutazioni con ripetizione, Pₙ^(n₁,…,nᵣ) = n!/(n₁!·…·nᵣ!). Analogamente, quando in una disposizione l'ordine conta ma gli elementi possono ripetersi, ogni posizione torna a essere una scelta libera tra tutti gli n elementi: sono le disposizioni con ripetizione D'(n,k) = nᵏ, già viste come potenza nella sezione precedente.

D_{n,k} = n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!}

disposizioni semplici

Raggruppamenti ordinati di k oggetti distinti scelti tra n (k ≤ n), senza ripetizioni.

P_n = n!

permutazioni semplici

Ordinamenti di tutti gli n elementi distinti; caso k = n delle disposizioni, con 0! = 1.

P_n^{\,n_1, n_2, \ldots, n_r} = \dfrac{n!}{n_1!\, n_2! \cdots n_r!}

permutazioni con ripetizione

Ordinamenti di n oggetti di cui n₁ uguali tra loro, n₂ uguali tra loro, ecc.; si divide per le permutazioni interne dei gruppi uguali.

D'_{n,k} = n^k

disposizioni con ripetizione

Raggruppamenti ordinati di k oggetti scelti tra n con ripetizioni ammesse: ogni posizione è una scelta libera tra n.

Esempio svolto

Podio di una gara e anagrammi di MAMMA

A una gara partecipano 8 atleti. In quanti modi diversi possono essere assegnate le medaglie d'oro, d'argento e di bronzo? Quanti sono invece tutti gli anagrammi (anche privi di senso) della parola MAMMA?

Riconoscere il tipo di raggruppamento per il podio
Si scelgono 3 atleti tra 8 e l'ordine conta (oro, argento, bronzo sono ruoli diversi); nessun atleta può occupare due posti, quindi non ci sono ripetizioni: sono disposizioni semplici di 8 elementi presi 3 alla volta.
Calcolare le disposizioni semplici
Si applica la formula con n = 8 e k = 3, cioè il prodotto dei 3 fattori decrescenti a partire da 8.
Impostare gli anagrammi di MAMMA
La parola ha 5 lettere, ma con ripetizioni: la M compare 3 volte e la A compare 2 volte. Si usano quindi le permutazioni con ripetizione, dividendo 5! per 3! e per 2!.
Calcolare le permutazioni con ripetizione
Si esegue il rapporto tra i fattoriali.

Risultato: Le assegnazioni possibili del podio sono 336; gli anagrammi distinti di MAMMA sono 10.

Errori frequenti

Usare le disposizioni (ordine rilevante) dove invece l'ordine è irrilevante e servono le combinazioni: ad esempio contare le « cinquine » del lotto come ordinate.
Dimenticare di dividere per i fattoriali dei gruppi di lettere uguali nelle permutazioni con ripetizione (ad esempio negli anagrammi di MAMMA), ottenendo un risultato troppo grande.

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Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Combinazioni e coefficienti binomiali#

StandardOSA-matematica-dati-e-previsioniCoefficienti binomiali e binomio di NewtonFattoriale e coefficiente binomiale

Confronto tra disposizioni, permutazioni e combinazioni

Quando in un raggruppamento l'ordine NON conta — cioè si forma un sottoinsieme e non un elenco ordinato — si parla di combinazioni. Le combinazioni semplici di n elementi presi k alla volta sono i sottoinsiemi di k oggetti distinti scelti tra n disponibili: lo stesso gruppo di persone scelte per una commissione è uno solo, indipendentemente dall'ordine in cui le nominiamo.

La formula si ottiene « togliendo l'ordine » alle disposizioni: ogni sottoinsieme di k elementi può essere ordinato in k! modi diversi, perciò il numero delle disposizioni semplici è k! volte quello delle combinazioni. Dividendo si ha C(n,k) = D(n,k)/k! = n!/(k!·(n−k)!). Questo numero si chiama coefficiente binomiale e si indica col simbolo « n su k ».

I coefficienti binomiali godono di proprietà eleganti. La proprietà di simmetria afferma che scegliere k oggetti da tenere equivale a scegliere gli n−k da scartare, dunque C(n,k) = C(n,n−k). I casi limite sono C(n,0) = C(n,n) = 1 (un solo modo di scegliere il sottoinsieme vuoto o tutto l'insieme). La formula di Stifel, C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k), è il cuore ricorsivo del triangolo di Tartaglia ed è anche il modo più semplice per dimostrare le proprietà per induzione.

Esiste anche la versione con ripetizione: le combinazioni con ripetizione di n elementi presi k alla volta (sottoinsiemi non ordinati in cui un elemento può comparire più volte) sono C(n+k−1, k). È un approfondimento tipico del Liceo Scientifico; nei licei in cui non è richiesto basta padroneggiare le combinazioni semplici, che sono lo strumento standard per il calcolo delle probabilità in spazi equiprobabili (« casi favorevoli su casi possibili »).

C_{n,k} = \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!} = \dfrac{D_{n,k}}{k!}

combinazioni semplici

Numero di sottoinsiemi (non ordinati) di k elementi distinti scelti tra n; è il coefficiente binomiale « n su k ».

\binom{n}{k} = \binom{n}{\,n-k\,}

proprietà di simmetria

Scegliere k elementi da tenere equivale a scegliere gli n−k da scartare.

\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}

formula di Stifel

Relazione ricorsiva alla base del triangolo di Tartaglia: ogni numero è la somma dei due che gli stanno sopra.

Esempio svolto

Formazione di una commissione

Da un gruppo di 10 studenti si deve formare una commissione di 3 persone con ruoli equivalenti. Quante commissioni diverse si possono formare? Verifica inoltre, usando la simmetria, che C(10,3) = C(10,7).

Riconoscere il tipo di raggruppamento
I 3 membri hanno ruoli equivalenti, quindi l'ordine in cui si scelgono è irrilevante e non ci sono ripetizioni: sono combinazioni semplici di 10 elementi presi 3 alla volta.
Applicare la formula del coefficiente binomiale
Si scrive C(10,3) e si semplifica cancellando 7! tra numeratore e denominatore.
Verificare la simmetria
Per la proprietà di simmetria scegliere 3 da tenere equivale a scegliere 7 da escludere; il calcolo conferma lo stesso valore.

Risultato: Si possono formare 120 commissioni diverse, e la simmetria conferma C(10,3) = C(10,7) = 120.

Errori frequenti

Contare con le disposizioni (ordine rilevante) un raggruppamento in cui l'ordine è irrilevante, ottenendo un risultato k! volte troppo grande.
Sbagliare la semplificazione del fattoriale nel coefficiente binomiale, ad esempio non cancellando (n−k)! con i fattori più alti di n! e svolgendo inutilmente fattoriali enormi.

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Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Binomio di Newton e triangolo di Tartaglia#

VertiefungOSA-matematica-dati-e-previsioniBinomio di NewtonTriangolo di Tartaglia

I coefficienti binomiali non servono solo a contare: governano lo sviluppo delle potenze di un binomio. Il binomio di Newton afferma che la potenza n-esima di (a+b) si scrive come somma di n+1 termini, ciascuno della forma C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, con k che varia da 0 a n. In ogni termine la somma degli esponenti di a e b è sempre n, e i coefficienti sono proprio i coefficienti binomiali.

La ragione combinatoria è istruttiva: sviluppare (a+b)ⁿ significa moltiplicare n fattori (a+b) e, per ottenere il termine con bᵏ, occorre scegliere da quali k fattori « prendere » la b (e la a dai restanti n−k). Il numero di queste scelte è esattamente C(n,k): ecco perché il coefficiente di aⁿ⁻ᵏbᵏ è il coefficiente binomiale. Combinatoria e algebra si saldano in un'unica formula.

Il triangolo di Tartaglia (Fig. 4) dispone i coefficienti binomiali in righe: la riga n contiene C(n,0), C(n,1), …, C(n,n). Ogni riga inizia e finisce con 1, ed è simmetrica; ogni numero interno è la somma dei due che gli stanno sopra, per la formula di Stifel. La riga n-esima fornisce dunque, già pronti, tutti i coefficienti dello sviluppo di (a+b)ⁿ: per (a+b)⁴ la quarta riga dà 1, 4, 6, 4, 1.

Triangolo di Tartaglia (righe 0-5)

Dal triangolo si leggono identità notevoli. La somma di tutta la riga n vale 2ⁿ (è il numero di tutti i sottoinsiemi di un insieme di n elementi): C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n) = 2ⁿ, che si ottiene ponendo a = b = 1 nel binomio. Ponendo invece a = 1, b = −1 si trova che la somma a segni alterni dei coefficienti di ogni riga (n ≥ 1) è zero. Nelle applicazioni occorre fare attenzione ai segni: se il binomio è una differenza, come (2x−1)³, i termini con potenza dispari di b portano il segno meno.

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{\,n-k} b^{\,k}

binomio di Newton

Sviluppo della potenza n-esima di un binomio: n+1 termini, coefficienti binomiali, somma degli esponenti sempre uguale a n.

\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \cdots + \binom{n}{n} = 2^n

somma di una riga del triangolo

Ponendo a = b = 1 nel binomio: è anche il numero di tutti i sottoinsiemi di un insieme di n elementi.

Esempio svolto

Sviluppo di (2x − 1)³

Sviluppa la potenza (2x − 1)³ usando il binomio di Newton e i coefficienti della riga corrispondente del triangolo di Tartaglia. Indica esplicitamente da quale riga provengono i coefficienti.

Individuare i coefficienti
Poiché l'esponente è 3, si usa la riga 3 del triangolo di Tartaglia, che è 1, 3, 3, 1. Si pone a = 2x e b = −1, con potenze di a decrescenti e di b crescenti.
Scrivere i quattro termini
Si applica la formula del binomio per k = 0, 1, 2, 3, ricordando di elevare a potenza l'intero termine (2x).
Calcolare ciascun termine
Si sviluppano le potenze dei coefficienti numerici e si tiene conto dei segni: 1·8x³, 3·4x²·(−1) = −12x², 3·2x·1 = 6x, 1·(−1) = −1.
Riordinare il risultato
Si ottiene il polinomio sviluppato in potenze decrescenti di x.

Risultato: (2x − 1)³ = 8x³ − 12x² + 6x − 1; i coefficienti binomiali 1, 3, 3, 1 provengono dalla riga 3 del triangolo di Tartaglia.

Errori frequenti

Dimenticare di elevare a potenza anche il coefficiente numerico di un termine, ad esempio scrivere 2x al posto di (2x)² = 4x² nello sviluppo.
Trascurare l'alternanza dei segni quando il binomio è una differenza, oppure invertire le potenze decrescenti di a e crescenti di b.

Ripasso attivo

Sviluppa la potenza (2x − 1)³ usando il binomio di Newton e i coefficienti della riga corrispondente del triangolo di Tartaglia. Indica esplicitamente da quale riga provengono i coefficienti.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)) · Esame di Stato del secondo ciclo — quadri di riferimento e griglie di valutazione (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Riferimenti e fonti

Fonti

Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)

Calcolo combinatorio

Punti chiave

Composizione di un menù

Punti chiave

Podio di una gara e anagrammi di MAMMA

Punti chiave

Formazione di una commissione

Punti chiave

Sviluppo di (2x − 1)³

Fonti

Calcolo combinatorio

Punti chiave

Composizione di un menù

Punti chiave

Podio di una gara e anagrammi di MAMMA

Punti chiave

Formazione di una commissione

Punti chiave

Sviluppo di (2x − 1)³

Fonti