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Numeri complessi

I numeri complessi ampliano l'insieme dei numeri reali introducendo l'unità immaginaria « i », definita dalla relazione i² = −1, e rendono risolubile ogni equazione algebrica. Studieremo la forma algebrica, la rappresentazione nel piano di Argand-Gauss e le forme trigonometrica ed esponenziale, fino alla formula di De Moivre, alle radici n-esime e al teorema fondamentale dell'algebra. È un argomento valutabile all'Esame di Stato, soprattutto nei quesiti della seconda prova e nel colloquio del Liceo Scientifico.

4sezionica. 15min di lettura3competenzeLivelloBase 1 · Standard 1 · Approfondimento 2Verificato · 06/2026

T·131313 / 16

Profilo d’esame

Operare con i numeri complessi nelle diverse forme di rappresentazione (algebrica, trigonometrica ed esponenziale)Interpretare geometricamente le operazioni nel piano complesso (somma come traslazione, prodotto come rotazione-omotetia)Risolvere equazioni nel campo complesso, comprese le radici n-esime, alla luce del teorema fondamentale dell'algebra

Operatori:calcoladeterminadimostrarappresentainterpretarisolvigiustifica

livello base

Per tutti gli indirizzi: padroneggiare la forma algebrica, le operazioni fondamentali e la rappresentazione nel piano di Gauss, con il modulo e il coniugato.

livello avanzato

Per il Liceo Scientifico e l'opzione Scienze Applicate: forma trigonometrica ed esponenziale, formula di De Moivre, radici n-esime e collegamento con il teorema fondamentale dell'algebra, anche in contesti di seconda prova.

Profondità

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Inhalt · 4 sezioni

Numeri complessi

Definizione e forma algebrica#

BasisOSA-matematica-aritmetica-e-algebra: definizione dei numeri complessi; forma algebrica

Numero complesso, coniugato e modulo nel piano

I numeri complessi nascono dall'esigenza di rendere risolubile l'equazione x² + 1 = 0, che nel campo reale non ha soluzioni: si introduce allora l'unità immaginaria « i », definita dalla proprietà fondamentale i² = −1. Un numero complesso si scrive in forma algebrica come z = a + bi, dove a e b sono numeri reali: a si chiama parte reale e si indica con Re(z), mentre b è la parte immaginaria, Im(z). L'insieme di tutti questi numeri si denota con « C » e contiene i reali come caso particolare (b = 0).

Due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria: a + bi = c + di equivale a richiedere contemporaneamente a = c e b = d. Questa condizione, detta principio di identità, è lo strumento che permette di trasformare un'unica equazione complessa in un sistema di due equazioni reali, tecnica usatissima negli esercizi. Un numero con parte reale nulla (z = bi) si dice immaginario puro; con parte immaginaria nulla è semplicemente reale.

Le operazioni si eseguono trattando « i » come un simbolo letterale e sostituendo i² = −1 ogni volta che compare. La somma e la differenza agiscono separatamente su parti reali e immaginarie: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. Il prodotto si ottiene con la proprietà distributiva: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i, dove il termine −bd nasce proprio da bi · di = bd·i² = −bd.

A ogni numero z = a + bi si associa il suo coniugato z̄ = a − bi, ottenuto cambiando segno alla parte immaginaria, e il suo modulo |z| = √(a² + b²), che misura la « grandezza » del numero. Il prodotto di un numero per il suo coniugato è sempre reale e non negativo: z · z̄ = a² + b² = |z|². Questa identità è la chiave della divisione: per calcolare z/w si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore, così da renderlo reale (« razionalizzazione » del denominatore complesso).

i^2 = -1

Unità immaginaria

Proprietà fondamentale che definisce « i » e da cui discendono tutte le regole di calcolo.

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

Prodotto

Si applica la distributiva e si sostituisce i^2 = -1; il termine -bd proviene da bi \cdot di.

\frac{z}{w} = \frac{z \cdot \bar{w}}{w \cdot \bar{w}} = \frac{z \cdot \bar{w}}{|w|^2}

Divisione

Moltiplicando per il coniugato del denominatore si ottiene un denominatore reale.

z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2

Modulo e coniugato

Il prodotto di un numero per il suo coniugato è il quadrato del modulo, sempre reale e non negativo.

Esempio svolto

Quoziente in forma algebrica

Calcola il quoziente (3 + 2i)/(1 − 4i) ed esprimi il risultato nella forma a + bi.

Moltiplica per il coniugato del denominatore
Il coniugato di 1 − 4i è 1 + 4i. Si moltiplicano numeratore e denominatore.
Sviluppa il denominatore
Si usa z \cdot \bar{z} = |z|^2 con a = 1, b = -4.
Sviluppa il numeratore
Con la distributiva e i^2 = -1: 3 + 12i + 2i + 8i^2 = 3 + 14i - 8 = -5 + 14i.
Scrivi la forma algebrica
Si divide ciascuna parte per 17.

Risultato: Il quoziente vale −5/17 + (14/17)i.

Errori frequenti

Scrivere √(−4) = ±2i in modo incontrollato: in C la radice non è una funzione a un solo valore; meglio risolvere x² = −4 ottenendo le due soluzioni x = 2i e x = −2i, senza confondere i segni.
Dimenticare che i² = −1 nel prodotto e lasciare un termine come bd·i² non sostituito, perdendo il cambio di segno nella parte reale.

Ripasso attivo

Dato z = 3 + 2i e w = 1 − 4i, calcola z + w, z · w e il quoziente z/w, esprimendo il risultato in forma algebrica a + bi.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Rappresentazione nel piano di Gauss#

StandardOSA-matematica-aritmetica-e-algebra: rappresentazione nel piano di Argand-Gauss; piano complesso

Somma di z e w con la regola del parallelogramma

Ogni numero complesso z = a + bi può essere rappresentato come un punto P di coordinate (a, b) in un piano cartesiano, detto piano di Argand-Gauss o piano complesso: l'asse delle ascisse è l'asse reale, quello delle ordinate è l'asse immaginario. Esiste quindi una corrispondenza biunivoca tra i numeri complessi e i punti del piano (o, equivalentemente, i vettori applicati nell'origine), e questo dà una veste geometrica concreta a tutte le operazioni algebriche.

La somma di due numeri complessi corrisponde alla somma dei vettori associati secondo la regola del parallelogramma: il vettore di z + w è la diagonale del parallelogramma costruito sui vettori di z e w. La differenza z − w è il vettore che va dall'estremo di w all'estremo di z. Questa lettura vettoriale rende immediata l'interpretazione di tante relazioni e collega i numeri complessi alla geometria del piano.

Il modulo |z| = √(a² + b²) è la distanza del punto P dall'origine, cioè la lunghezza del vettore; pertanto |z − w| rappresenta la distanza tra i due punti che rappresentano z e w. Da qui discende l'utilissima disuguaglianza triangolare |z + w| ≤ |z| + |w|, conseguenza diretta del fatto che un lato di un triangolo non supera la somma degli altri due.

Il coniugato z̄ è il simmetrico di z rispetto all'asse reale, mentre l'opposto −z è il simmetrico rispetto all'origine. La moltiplicazione per « i », come vedremo nella prossima sezione, corrisponde geometricamente a una rotazione di 90° in senso antiorario attorno all'origine: già a questo livello si intuisce che le operazioni complesse codificano trasformazioni geometriche del piano.

|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

Modulo

Distanza del punto (a, b) dall'origine, per il teorema di Pitagora.

|z_1 - z_2| = \sqrt{(a_1-a_2)^2 + (b_1-b_2)^2}

Distanza

Distanza tra i punti che rappresentano i due numeri complessi.

|z + w| \le |z| + |w|

Disuguaglianza triangolare

Un lato di un triangolo non supera la somma degli altri due.

Esempio svolto

Distanza tra due numeri complessi

Dati z = 2 + 3i e w = −1 + i, calcola la distanza |z − w| nel piano di Gauss.

Calcola la differenza
Si sottraggono parte reale e parte immaginaria.
Applica la formula del modulo
La distanza è il modulo della differenza.
Esegui il calcolo
3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13.

Risultato: La distanza tra i due punti è √13 ≈ 3.61.

Errori frequenti

Confondere gli assi, riportando la parte immaginaria sull'asse reale: ricordare sempre che a → ascissa, b → ordinata.
Scrivere il modulo come |z| = a + b oppure a² + b² dimenticando la radice: il modulo è √(a² + b²).

Ripasso attivo

Rappresenta nel piano di Gauss i numeri z = 2 + 3i e w = −1 + i, costruisci graficamente z + w e calcola la distanza |z − w|.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Forma trigonometrica ed esponenziale#

VertiefungOSA-matematica-aritmetica-e-algebra: forma trigonometrica ed esponenziale; formula di Eulero; prodotto come rotazione

Modulo r e argomento θ nel piano complesso

Oltre alla forma algebrica, un numero complesso non nullo si descrive mediante le sue coordinate polari: il modulo r = |z| e l'argomento θ, cioè l'angolo che il vettore associato forma con il semiasse reale positivo. Si ottiene così la forma trigonometrica z = r(cos θ + i sin θ), dove a = r cos θ e b = r sin θ. L'argomento è definito a meno di multipli di 2π: l'argomento principale si sceglie convenzionalmente in (−π, π] oppure in [0, 2π).

Il vero vantaggio della forma trigonometrica emerge nella moltiplicazione: il prodotto di due numeri complessi ha per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti. In simboli, se z₁ = r₁(cos θ₁ + i sin θ₁) e z₂ = r₂(cos θ₂ + i sin θ₂), allora z₁z₂ = r₁r₂[cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)]. Geometricamente, moltiplicare per z₂ significa dilatare di un fattore r₂ e ruotare di un angolo θ₂: ecco perché moltiplicare per « i » (modulo 1, argomento 90°) è una rotazione di 90°.

Analogamente, nella divisione i moduli si dividono e gli argomenti si sottraggono. Queste regole rendono la forma trigonometrica lo strumento ideale per le potenze e le radici, dove la forma algebrica diventerebbe rapidamente ingestibile. La dimostrazione delle formule del prodotto si fonda sulle formule di addizione di seno e coseno (ripasso di goniometria).

La formula di Eulero, e^(iθ) = cos θ + i sin θ, condensa tutto in forma esponenziale: z = r·e^(iθ). Ne discende la celebre identità di Eulero e^(iπ) + 1 = 0, che lega cinque costanti fondamentali. La forma esponenziale rende trasparenti le regole sui prodotti e sulle potenze, perché si riducono alle proprietà delle potenze: e^(iθ₁)·e^(iθ₂) = e^(i(θ₁+θ₂)).

z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\,e^{i\theta}

Forme polari

Forma trigonometrica ed esponenziale con r = |z| e \theta = \arg(z).

z_1 z_2 = r_1 r_2\big[\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)\big]

Prodotto

I moduli si moltiplicano, gli argomenti si sommano: dilatazione e rotazione.

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

Formula di Eulero

Collega l'esponenziale complesso alle funzioni goniometriche.

e^{i\pi} + 1 = 0

Identità di Eulero

Caso particolare per \theta = \pi che lega e, i, \pi, 1 e 0.

Esempio svolto

Dalla forma algebrica alla forma trigonometrica

Scrivi z = −1 + i in forma trigonometrica ed esponenziale, indicando modulo e argomento principale.

Calcola il modulo
Con a = -1 e b = 1.
Individua il quadrante
a < 0 e b > 0: il punto sta nel secondo quadrante, quindi l'argomento è compreso tra \pi/2 e \pi.
Determina l'argomento
Poiché |a| = |b|, l'angolo di riferimento è \pi/4; nel secondo quadrante l'argomento principale è \pi - \pi/4.
Scrivi le forme polari
Si sostituiscono r e \theta nelle due forme.

Risultato: z = √2 (cos 3π/4 + i sin 3π/4) = √2 · e^(i·3π/4).

Errori frequenti

Determinare l'argomento con la sola tangente senza guardare il quadrante: arctan(b/a) va corretto sommando o sottraendo π quando il punto sta nel secondo o terzo quadrante.
Scrivere la forma trigonometrica come r·cos θ + i sin θ dimenticando la parentesi: il modulo r moltiplica entrambi i termini, cioè r(cos θ + i sin θ).

Ripasso attivo

Scrivi z = −1 + i in forma trigonometrica ed esponenziale, determinando modulo e argomento principale.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

De Moivre, radici n-esime e teorema fondamentale dell'algebra#

VertiefungOSA-matematica-aritmetica-e-algebra: formula di De Moivre; radici n-esime; teorema fondamentale dell'algebra (cenni)

Le tre radici cubiche di 8 sui vertici di un triangolo equilatero

Applicando ripetutamente la regola del prodotto in forma trigonometrica si ottiene la formula di De Moivre: per ogni intero n, [r(cos θ + i sin θ)]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Elevare a potenza un numero complesso significa dunque elevare il modulo alla n e moltiplicare l'argomento per n. La formula è uno strumento potentissimo: permette, tra l'altro, di ricavare le formule di duplicazione e triplicazione di seno e coseno confrontando parte reale e parte immaginaria.

La stessa idea, letta « al contrario », fornisce le radici n-esime. Un numero complesso w ≠ 0 di modulo ρ e argomento φ possiede esattamente n radici n-esime distinte: hanno tutte modulo la radice n-esima reale ρ^(1/n) e argomenti φ/n + 2kπ/n, con k = 0, 1, …, n−1. Sono quindi n numeri equidistanti su una circonferenza di raggio ρ^(1/n) centrata nell'origine, vertici di un poligono regolare di n lati.

Caso notevole sono le radici n-esime dell'unità, soluzioni di zⁿ = 1: hanno tutte modulo 1 e argomenti 2kπ/n, e si dispongono sui vertici di un poligono regolare inscritto nella circonferenza unitaria, con un vertice in 1. Per n = 3, ad esempio, sono 1 e i due numeri di argomento 120° e 240°. Questa interpretazione geometrica è una delle più eleganti illustrazioni del legame tra algebra e geometria.

Il teorema fondamentale dell'algebra afferma che ogni equazione polinomiale di grado n ≥ 1 a coefficienti complessi possiede esattamente n radici nel campo complesso, contate con la loro molteplicità. È questa la ragione « di fondo » per cui si introducono i numeri complessi: in C ogni polinomio si fattorizza completamente in fattori di primo grado. Per i polinomi a coefficienti reali vale inoltre che le radici complesse non reali compaiono sempre a coppie coniugate.

\big[r(\cos\theta + i\sin\theta)\big]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)

Formula di De Moivre

Il modulo si eleva alla n, l'argomento si moltiplica per n.

z_k = \sqrt[n]{\rho}\left(\cos\frac{\varphi + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2k\pi}{n}\right),\quad k = 0,1,\dots,n-1

Radici n-esime

Le n radici di un numero di modulo \rho e argomento \varphi, vertici di un poligono regolare.

P(z) = a_n(z - z_1)(z - z_2)\cdots(z - z_n)

Teorema fondamentale dell'algebra

In C ogni polinomio di grado n si fattorizza in n fattori lineari (radici con molteplicità).

Esempio svolto

Radici cubiche di 8

Determina le tre soluzioni dell'equazione z³ = 8 in forma trigonometrica e algebrica.

Scrivi 8 in forma trigonometrica
8 è reale positivo: modulo \rho = 8, argomento \varphi = 0.
Applica la formula delle radici n-esime
Con n = 3 il modulo delle radici è \sqrt[3]{8} = 2 e gli argomenti sono 2k\pi/3.
Valuta k = 0
cos 0 = 1, sin 0 = 0.
Valuta k = 1
cos(2\pi/3) = -1/2, sin(2\pi/3) = \sqrt{3}/2.
Valuta k = 2
cos(4\pi/3) = -1/2, sin(4\pi/3) = -\sqrt{3}/2.

Risultato: Le tre radici sono 2, −1 + i√3 e −1 − i√3, vertici di un triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di raggio 2.

Errori frequenti

Trovare una sola radice n-esima invece di tutte e n: bisogna far variare k da 0 a n−1, ottenendo n soluzioni distinte.
Applicare De Moivre alla forma algebrica direttamente: la formula vale per la forma trigonometrica; un numero come (1 + i)^10 va prima portato in forma polare.

Ripasso attivo

Determina le tre radici cubiche di 8 (cioè le soluzioni di z³ = 8) in forma trigonometrica e algebrica, e rappresentale nel piano di Gauss.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)) · Esame di Stato del secondo ciclo — quadri di riferimento e griglie di valutazione (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Riferimenti e fonti

Fonti

Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)

Numeri complessi

Punti chiave

Quoziente in forma algebrica

Punti chiave

Distanza tra due numeri complessi

Punti chiave

Dalla forma algebrica alla forma trigonometrica

Punti chiave

Radici cubiche di 8

Fonti

Numeri complessi

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Quoziente in forma algebrica

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Distanza tra due numeri complessi

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Dalla forma algebrica alla forma trigonometrica

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Radici cubiche di 8

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