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Simulazione e modelli computazionali

Simulare significa far «vivere» un modello di un fenomeno reale all'interno del calcolatore, per osservarne il comportamento quando l'esperimento diretto è impossibile, costoso o pericoloso. Questo argomento collega l'informatica alle altre scienze: si costruisce un modello (deterministico o probabilistico), lo si traduce in un algoritmo, lo si esegue per produrre dati e infine si validano i risultati confrontandoli con la realtà. Il filo conduttore è il ciclo «modello → simulazione → validazione», con un'attenzione costante ai limiti e all'attendibilità di ciò che la macchina restituisce.

5sezionica. 19min di lettura4competenzeLivelloBase 1 · Standard 3 · Approfondimento 1Verificato · 06/2026

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Profilo d’esame

Utilizzare l'informatica per costruire modelli e simulare il comportamento di sistemi e fenomeni realiInterpretare criticamente i risultati di una simulazione, riconoscendo le ipotesi e i limiti del modello adottatoCollegare la simulazione computazionale alle altre discipline scientifiche (Fisica, Scienze, Matematica) in un'ottica di modellizzazioneDistinguere modelli deterministici e probabilistici e impiegare i numeri pseudo-casuali per le simulazioni stocastiche

Operatori:spiegadescrivicostruisciimplementaanalizzainterpretaconfrontaclassificagiustificavaluta

livello base

È richiesto saper distinguere modello e simulazione, riconoscere modelli deterministici e probabilistici e descrivere il ciclo modello → simulazione → validazione su un esempio semplice.

livello avanzato

L'indirizzo Scienze Applicate approfondisce l'implementazione di una simulazione (anche Monte Carlo) in un linguaggio di programmazione, l'analisi quantitativa dei dati prodotti e la valutazione dell'errore, in raccordo con Fisica e Matematica.

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Simulazione e modelli computazionali

Modelli e simulazione di fenomeni reali#

BasisOSA-informatica-CS-simulazione: concetto di modello e di simulazione computazionale di un fenomeno reale

Un «modello» è una rappresentazione semplificata di un fenomeno reale che ne conserva soltanto gli aspetti rilevanti per lo scopo dello studio: descrivere la realtà in ogni dettaglio sarebbe impossibile, perciò si scelgono le variabili significative (le grandezze che descrivono lo stato del sistema) e le relazioni tra di esse, trascurando consapevolmente tutto il resto. La qualità di un modello non sta nel «somigliare» al fenomeno, ma nel rispondere bene alle domande per cui è stato costruito.

La «simulazione computazionale» consiste nell'eseguire il modello sul calcolatore facendo evolvere le sue variabili nel tempo (o al variare dei parametri) per osservare come si comporta il sistema. Si simula soprattutto quando l'esperimento reale è impossibile (l'evoluzione di una galassia), troppo costoso (il crash-test di mille automobili), troppo lento o troppo veloce (il decadimento radioattivo, una reazione chimica), oppure pericoloso (la diffusione di un'epidemia o di un incendio). La macchina diventa così un «laboratorio virtuale».

Conviene tenere distinti tre piani: il «fenomeno reale» (ciò che accade nel mondo), il «modello» (la sua descrizione formale, fatta di variabili, ipotesi e relazioni matematiche o logiche) e la «simulazione» (l'esecuzione algoritmica del modello che produce dati). Un errore frequente è confondere i risultati della simulazione con la realtà: essi sono soltanto la conseguenza delle ipotesi del modello, e valgono quanto valgono quelle ipotesi.

Per questo la modellizzazione è un «processo ciclico» e non un atto unico: si costruisce un modello, lo si simula, si confrontano i risultati con i dati reali (validazione) e, se l'accordo è insufficiente, si raffina il modello (si aggiungono variabili, si correggono le relazioni, si modificano i parametri) e si ripete. Ogni giro migliora l'aderenza alla realtà entro i limiti che ci si è dati. È il cuore del «pensiero computazionale» applicato alle scienze (Fig. 1).

Il ciclo di modellizzazione e simulazione

Esempio svolto

Classificare le fasi di uno studio simulativo

Un gruppo di studenti vuole prevedere la temperatura di una tazza di tè che si raffredda. Riconosci, nelle azioni elencate, a quale fase del ciclo di modellizzazione appartiene ciascuna: (a) ipotizzano che la velocità di raffreddamento sia proporzionale alla differenza con la temperatura ambiente; (b) scrivono un programma che aggiorna la temperatura ogni minuto; (c) misurano col termometro la temperatura reale e la confrontano con quella calcolata; (d) poiché lo scarto è grande, rivedono il valore della costante di raffreddamento.

Fase (a)
Stabilire le ipotesi e le relazioni tra le variabili è la costruzione del MODELLO (qui un modello deterministico ispirato alla legge di Newton del raffreddamento).
Fase (b)
Tradurre il modello in un algoritmo eseguibile che fa evolvere la temperatura nel tempo è la SIMULAZIONE.
Fase (c)
Confrontare i valori prodotti con i dati misurati è la VALIDAZIONE.
Fase (d)
Correggere un parametro per migliorare l'accordo è il RAFFINAMENTO, che riporta al modello e fa ripartire il ciclo.

Risultato: (a) modello, (b) simulazione, (c) validazione, (d) raffinamento: le quattro azioni ricostruiscono esattamente un giro completo del ciclo modello → simulazione → validazione → raffinamento.

Errori frequenti

Confondere il modello con il fenomeno reale e presentare i risultati della simulazione come «la verità», dimenticando che dipendono dalle ipotesi adottate.
Pensare che un modello «migliore» sia sempre quello più dettagliato: aggiungere variabili inutili lo rende più complesso e fragile senza migliorarne le risposte, contro il principio di semplicità (parsimonia).

Ripasso attivo

Si vuole studiare con una simulazione il traffico a un incrocio regolato da un semaforo. Individua almeno tre variabili rilevanti del modello, due ipotesi semplificatrici che adotteresti e una grandezza che ti aspetti come risultato della simulazione; spiega poi perché in questo caso la simulazione è preferibile a un esperimento sul traffico reale.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Modelli deterministici e modelli probabilistici#

StandardOSA-informatica-CS-simulazione: modelli deterministici e modelli probabilistici

Modello deterministico e modello probabilistico a confronto

Un modello è «deterministico» quando, fissati lo stato iniziale e i parametri, la sua evoluzione è univocamente determinata: la stessa condizione di partenza produce sempre lo stesso risultato. È il caso tipico dei fenomeni descritti da leggi fisiche, come la caduta di un grave o il moto di un pendolo, dove il futuro del sistema è calcolabile dalle equazioni che lo governano.

Un modello è «probabilistico» (o stocastico) quando incorpora il caso: l'evoluzione dipende da eventi aleatori e quindi due esecuzioni con gli stessi dati iniziali possono dare esiti diversi. Si usa quando il fenomeno è intrinsecamente casuale (il lancio di un dado, il decadimento di un atomo) oppure quando l'incertezza e la variabilità sono parte essenziale del problema (le code agli sportelli, la diffusione di un contagio, l'andamento di un mercato).

La scelta tra i due tipi non è una questione di gusto ma dipende dal fenomeno e dallo scopo: lo stesso sistema può essere modellato in modo deterministico «in media» oppure in modo probabilistico se interessa la dispersione dei risultati. Spesso un modello probabilistico va eseguito molte volte: una singola simulazione fornisce un esito possibile, mentre solo l'insieme di tante esecuzioni (le «repliche») permette di stimare valori medi, probabilità e variabilità.

Una conseguenza importante è la «riproducibilità». In un modello deterministico ripetere l'esecuzione restituisce un risultato identico. In un modello probabilistico ciò non accade, a meno di controllare la sorgente di casualità: come vedremo, fissando il «seme» del generatore pseudo-casuale si può rendere ripetibile anche una simulazione stocastica, requisito prezioso per il collaudo e la verifica dei programmi.

\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i

Media campionaria

Stima del valore atteso ottenuta da N repliche di una simulazione probabilistica: x_i è l'esito della i-esima esecuzione. Aumentando N la media campionaria tende a stabilizzarsi attorno al valore teorico.

Esempio svolto

Stima di un valore medio da repliche di una simulazione

Una simulazione probabilistica del tempo di attesa (in minuti) a uno sportello viene eseguita 5 volte e produce gli esiti: 4, 6, 3, 7, 5. Stima il tempo medio di attesa e spiega perché 5 repliche danno una stima soltanto provvisoria.

Sommare gli esiti
Si sommano i cinque valori ottenuti dalle repliche.
Dividere per N
La media campionaria si ottiene dividendo per il numero di repliche N = 5.
Valutare l'attendibilità
Con sole 5 repliche la media è molto sensibile al caso: la dispersione dei dati (da 3 a 7) è ampia rispetto alla media, quindi la stima è poco stabile.

Risultato: Il tempo medio stimato è 5 minuti; per ottenere una stima affidabile occorre aumentare il numero di repliche, così che la media campionaria si stabilizzi attorno al valore atteso.

Errori frequenti

Credere che «probabilistico» significhi «inaffidabile» o «approssimato»: la casualità è una scelta di modellizzazione legittima, e da molte repliche si ottengono stime stabili e quantificabili.
Trarre conclusioni da una sola esecuzione di un modello probabilistico, scambiando un singolo esito casuale per il comportamento tipico del sistema.

Ripasso attivo

Per ciascuno dei seguenti casi indica se conviene un modello deterministico o probabilistico, motivando: (1) calcolare dopo quanti secondi un sasso lanciato verso l'alto a velocità nota tocca terra; (2) stimare il tempo medio di attesa dei clienti a una cassa di supermercato; (3) prevedere la posizione di un pianeta tra un anno; (4) stimare la probabilità che, lanciando tre dadi, la somma sia 10.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Numeri pseudo-casuali e metodo Monte Carlo (cenni)#

VertiefungOSA-informatica-CS-simulazione: uso dei numeri pseudo-casuali; cenni al metodo Monte Carlo

Stima di pi greco con il metodo Monte Carlo

Per simulare il caso il calcolatore, che è una macchina deterministica, usa generatori di «numeri pseudo-casuali»: sequenze prodotte da una formula deterministica ma che superano i test statistici di casualità, cioè appaiono casuali pur essendo perfettamente calcolabili. Da qui il prefisso «pseudo»: non sono veramente casuali, ma lo sembrano abbastanza da poter essere usati nelle simulazioni.

Ogni generatore parte da un valore iniziale detto «seme» (seed): fissato il seme, l'intera sequenza è determinata. Questo è un vantaggio decisivo per la scienza: rendere ripetibile una simulazione stocastica (stesso seme → stessa sequenza → stessi risultati) permette di verificare un programma, riprodurre un esperimento numerico e confrontare correttamente varianti del modello. In linguaggi come Python la funzione che genera numeri casuali nell'intervallo [0, 1) è il mattone di base con cui si costruiscono tutti gli altri eventi aleatori.

Il «metodo Monte Carlo» è la tecnica che sfrutta numeri pseudo-casuali per stimare una grandezza generando moltissimi campioni casuali e calcolandone una frequenza o una media. L'idea-chiave è che la «frequenza relativa» di un evento (numero di successi diviso numero di prove) tende alla sua probabilità al crescere delle prove (legge dei grandi numeri); così un problema deterministico, come il calcolo di un'area, si risolve «sparando» punti a caso e contando quanti cadono dentro la regione di interesse.

L'esempio classico è la «stima di π». Si generano molti punti casuali nel quadrato di lato 1 (con 0 ≤ x < 1 e 0 ≤ y < 1) e si conta quanti cadono dentro il quarto di cerchio di raggio 1 centrato nell'origine, cioè quelli per cui x² + y² ≤ 1. Poiché l'area del quarto di cerchio è π/4 e quella del quadrato è 1, il rapporto «dentro/totale» approssima π/4, da cui si stima π. La precisione cresce lentamente con il numero di punti: per dimezzare l'errore tipico occorre circa quadruplicare le prove (l'errore decresce all'incirca come 1/√N) (Fig. 5).

\pi \approx 4 \cdot \frac{N_{\text{dentro}}}{N_{\text{totale}}}

Stima Monte Carlo di pi greco

Il rapporto tra i punti caduti nel quarto di cerchio (x^2 + y^2 <= 1) e i punti totali approssima l'area del quarto di cerchio, cioe pi/4; moltiplicando per 4 si stima pi.

\varepsilon \sim \frac{1}{\sqrt{N}}

Andamento dell'errore

L'errore tipico di una stima Monte Carlo decresce all'incirca come 1 su radice di N: per dimezzarlo occorre quadruplicare il numero N di prove.

Esempio svolto

Una stima di pi greco con 1000 punti

Una simulazione Monte Carlo genera 1000 punti casuali nel quadrato unitario e ne trova 786 con x² + y² ≤ 1. Calcola la stima di π risultante e commenta brevemente l'accuratezza.

Rapporto dentro/totale
Si calcola la frazione di punti caduti nel quarto di cerchio.
Applicare la formula
La stima di π è quattro volte tale rapporto.
Commentare
Il valore 3.144 differisce da π ≈ 3.14159 di circa 0.0024. Con soli 1000 punti l'errore tipico è dell'ordine di qualche centesimo: per migliorarlo di un ordine di grandezza servirebbero circa 100 volte più punti.

Risultato: π ≈ 3.144, in buon accordo con il valore vero a meno di pochi millesimi; l'accuratezza cresce lentamente, all'incirca come 1/√N.

Errori frequenti

Affermare che i numeri pseudo-casuali sono «veramente casuali»: sono generati da una formula deterministica e, dato il seme, l'intera sequenza è prevedibile.
Confondere la condizione del cerchio: il punto è interno quando x² + y² ≤ 1 (raggio 1), non x² + y² ≤ r con altri valori, e dimenticare il fattore 4 nel passare da π/4 a π.

Ripasso attivo

Descrivi a parole l'algoritmo Monte Carlo per stimare π: quali numeri casuali servono, quale condizione decide se un punto è «dentro», come si combina il conteggio finale per ottenere la stima di π. Spiega infine perché aumentare di 100 volte il numero di punti riduce l'errore tipico solo di circa 10 volte.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Costruire una semplice simulazione#

StandardOSA-informatica-CS-simulazione: costruzione di semplici simulazioni di fenomeni naturali, fisici o sociali; implementazione in un linguaggio di programmazione

Diagramma di flusso del ciclo di simulazione

Costruire una simulazione significa tradurre il modello in un «algoritmo eseguibile». Lo schema ricorrente è semplice e potente: si fissano lo stato iniziale e i parametri, poi si itera un «passo di aggiornamento» che fa avanzare lo stato (nel tempo o nello spazio dei tentativi), registrando di volta in volta le grandezze di interesse, finché non si raggiunge una condizione di arresto. È il cuore di moltissime simulazioni a tempo discreto.

Il «passo temporale» Δt (o, nelle simulazioni stocastiche, il numero di prove) è una scelta cruciale. Nei modelli continui approssimati a passi discreti si aggiorna lo stato di piccoli incrementi: ad esempio, nel raffreddamento di un corpo si calcola la nuova temperatura sottraendo a ogni passo una quantità proporzionale alla differenza con l'ambiente. Un Δt più piccolo rende la simulazione più fedele ma più lenta; un Δt troppo grande introduce errori grossolani: è il primo compromesso da governare.

La struttura del programma riusa i fondamenti già noti (ripasso): variabili per lo stato, un ciclo (iterazione) per il passo di aggiornamento, una selezione per le decisioni (ad esempio «il punto è dentro il cerchio?») e, per i modelli probabilistici, il generatore pseudo-casuale. Modularizzare con sottoprogrammi — uno per il passo, uno per la raccolta dati — rende la simulazione leggibile e riutilizzabile.

È buona pratica separare nettamente tre responsabilità: il «motore» della simulazione (che fa evolvere lo stato), la «raccolta dei dati» (che memorizza i risultati a ogni passo) e la «presentazione» (tabelle, grafici). Questa separazione, oltre a migliorare la qualità del codice, riflette la logica scientifica: prima si producono i dati, poi li si analizza e infine li si confronta con la realtà, come vedremo nella sezione di validazione (Fig. 7).

T_{n+1} = T_n - k\,(T_n - T_a)

Passo di aggiornamento (raffreddamento)

Regola iterativa a tempo discreto: la nuova temperatura T al passo n+1 si ottiene sottraendo a quella attuale una quota proporzionale (costante k) alla differenza con la temperatura ambiente T_a.

Esempio svolto

Tre passi di una simulazione di raffreddamento

Simula il raffreddamento di un corpo con temperatura iniziale T₀ = 90 gradi, temperatura ambiente Tₐ = 20 gradi e costante k = 0.1 per passo, secondo la regola Tₙ₊₁ = Tₙ − k·(Tₙ − Tₐ). Calcola la temperatura dopo i primi tre passi.

Passo 1
Si applica la regola partendo da T₀ = 90.
Passo 2
Si ripete usando T₁ = 83.
Passo 3
Si ripete usando T₂ = 76.7.

Risultato: Dopo tre passi: T₁ = 83 gradi, T₂ = 76.7 gradi, T₃ = 71.03 gradi. La temperatura decresce avvicinandosi progressivamente ai 20 gradi dell'ambiente, con incrementi sempre più piccoli.

Errori frequenti

Dimenticare di inizializzare lo stato o la condizione di arresto, ottenendo un ciclo che non parte correttamente o che non termina.
Aggiornare lo stato e nello stesso passo usarlo già modificato per altri calcoli, falsando l'evoluzione: in un passo vanno prima letti tutti i valori «vecchi» e poi scritti quelli «nuovi».

Ripasso attivo

Progetta (in pseudocodice o in un linguaggio a tua scelta) una simulazione del raffreddamento di un corpo: parti da una temperatura iniziale di 90 gradi, una temperatura ambiente di 20 gradi e una costante k = 0.1 per passo; a ogni passo la temperatura diminuisce di k volte la differenza con l'ambiente. Indica lo stato iniziale, il passo di aggiornamento, la condizione di arresto e quali dati registreresti.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Analisi dei dati e validazione del modello#

StandardOSA-informatica-CS-simulazione: raccolta, elaborazione e interpretazione dei dati; validazione del modello tramite confronto tra risultati simulati e dati reali

Confronto tra dati simulati e dati reali

Una simulazione produce «dati», non verità: l'ultima fase del ciclo consiste nel raccoglierli, elaborarli e interpretarli criticamente. Si calcolano sintesi statistiche (medie, valori massimi e minimi, dispersione), si tracciano grafici dell'andamento nel tempo e si individuano tendenze. Strumenti come i fogli di calcolo o le librerie di un linguaggio di programmazione rendono questa analisi accessibile anche su grandi quantità di dati.

La «validazione» è il confronto sistematico tra i risultati simulati e i dati reali misurati. Se l'accordo è buono entro la tolleranza richiesta, il modello è considerato valido «per quello scopo»; se lo scarto è significativo, occorre indagarne le cause — ipotesi troppo grossolane, parametri mal stimati, passo temporale inadeguato — e raffinare il modello. Un modello validato per un certo intervallo di condizioni non è necessariamente valido al di fuori di esso: la validità è sempre circoscritta.

Per quantificare lo scarto si usano misure d'errore. L'«errore assoluto» è la differenza (in valore assoluto) tra valore simulato e valore reale; l'«errore relativo» è tale differenza rapportata al valore reale, ed è più informativo perché adimensionale e confrontabile tra grandezze diverse. Su una serie di dati si possono usare l'errore medio o lo scarto quadratico medio per giudicare l'aderenza complessiva.

Riconoscere i «limiti» del modello fa parte della validazione, non è un suo fallimento. Ogni modello incorpora semplificazioni e una simulazione può soffrire anche di errori numerici (arrotondamento, passo troppo grande) e, nei modelli stocastici, di variabilità statistica. L'atteggiamento corretto è dichiarare le ipotesi, stimare l'errore e usare la simulazione consapevolmente: è ciò che distingue l'uso scientifico dello strumento da una fiducia ingenua nel numero che appare sullo schermo (Fig. 9).

E_{\text{ass}} = |v_{\text{sim}} - v_{\text{reale}}|

Errore assoluto

Differenza in valore assoluto tra il valore prodotto dalla simulazione e il valore reale misurato; si esprime nella stessa unita di misura della grandezza.

E_{\text{rel}} = \frac{|v_{\text{sim}} - v_{\text{reale}}|}{|v_{\text{reale}}|}

Errore relativo

Errore assoluto rapportato al valore reale: e adimensionale e spesso espresso in percentuale, cosi da confrontare l'accuratezza di grandezze diverse.

Esempio svolto

Calcolo dell'errore in una validazione

Una simulazione prevede una temperatura di 71 gradi dopo 10 minuti; la misura reale è 68 gradi. Calcola l'errore assoluto e l'errore relativo percentuale, e valuta se l'accordo è accettabile per una tolleranza richiesta del 5%.

Errore assoluto
Si calcola la differenza in valore assoluto tra simulato e reale.
Errore relativo
Si rapporta l'errore assoluto al valore reale.
In percentuale
Si moltiplica per 100 per esprimerlo in percentuale.

Risultato: L'errore assoluto è 3 gradi e l'errore relativo è circa 4.41%, inferiore alla tolleranza del 5%: l'accordo è accettabile per questo scopo, ma resta valido solo per le condizioni testate e va confermato con altri confronti.

Errori frequenti

Considerare un modello «valido in assoluto» dopo un solo confronto riuscito, dimenticando che la validità vale solo per le condizioni testate.
Confondere errore assoluto ed errore relativo, o riportare l'errore relativo come numero puro senza accorgersi che si esprime spesso in percentuale.

Ripasso attivo

Una simulazione del raffreddamento prevede dopo 10 minuti una temperatura di 71 gradi; la misura reale con il termometro è 68 gradi. Calcola l'errore assoluto e l'errore relativo percentuale, poi spiega che cosa potresti modificare nel modello per migliorare l'accordo e perché un solo confronto non basta a dichiararlo valido.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)) · Esame di Stato del secondo ciclo — quadri di riferimento e griglie di valutazione (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Riferimenti e fonti

Fonti

Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)

Simulazione e modelli computazionali

Punti chiave

Classificare le fasi di uno studio simulativo

Punti chiave

Stima di un valore medio da repliche di una simulazione

Punti chiave

Una stima di pi greco con 1000 punti

Punti chiave

Tre passi di una simulazione di raffreddamento

Punti chiave

Calcolo dell'errore in una validazione

Fonti

Simulazione e modelli computazionali

Punti chiave

Classificare le fasi di uno studio simulativo

Punti chiave

Stima di un valore medio da repliche di una simulazione

Punti chiave

Una stima di pi greco con 1000 punti

Punti chiave

Tre passi di una simulazione di raffreddamento

Punti chiave

Calcolo dell'errore in una validazione

Fonti