Appunti · InformaticaIT · Maturità

Computazione e calcolo numerico

Il calcolo numerico studia i metodi con cui un calcolatore risolve in modo approssimato problemi matematici che non ammettono soluzione esatta o pratica: dalla rappresentazione finita dei numeri in virgola mobile, con i suoi errori, alla ricerca degli zeri di una funzione (metodo di bisezione) e all'approssimazione di aree e integrali (metodi dei rettangoli e dei trapezi). L'argomento intreccia informatica e matematica nel triennio del Liceo Scientifico delle Scienze Applicate: ogni metodo è un algoritmo iterativo da analizzare per correttezza, efficienza e affidabilità del risultato, e da implementare in un linguaggio di programmazione o in un foglio di calcolo. Imparare a stimare e controllare l'errore è il filo conduttore che lega tutte le tecniche.

4sezionica. 17min di lettura3competenzeLivelloStandard 3 · Approfondimento 1Verificato · 06/2026

T·121212 / 14

Profilo d’esame

Utilizzare metodi computazionali per risolvere in modo approssimato problemi matematici (equazioni, aree, integrali)Valutare l'errore e l'affidabilità dei risultati ottenuti con metodi numericiCollegare informatica e matematica nella modellizzazione e nel calcolo, implementando gli algoritmi in un linguaggio di programmazione o in un foglio di calcolo (raccordo con Matematica)

Operatori:calcoladeterminadimostraanalizzaspiegadescriviconfrontaclassificaillustragiustificainterpretaimplementa

livello base

È richiesto di conoscere e applicare i metodi numerici fondamentali (bisezione, rettangoli, trapezi), di tradurli in un semplice algoritmo e di stimare l'ordine di grandezza dell'errore.

livello avanzato

L'indirizzo Scienze Applicate approfondisce l'analisi quantitativa dell'errore (rappresentazione in virgola mobile, propagazione, criteri di arresto), il confronto dell'efficienza tra metodi e l'implementazione completa degli algoritmi in un linguaggio di programmazione.

Profondità

Schrift

Inhalt · 4 sezioni

Computazione e calcolo numerico

Rappresentazione dei numeri ed errori di calcolo#

StandardOSA-informatica-CS-calcolo-numericoRappresentazione in virgola mobile e propagazione degli errori

Anatomia di un numero in virgola mobile

Un calcolatore dispone di una quantità finita di memoria per ogni numero, perciò non può rappresentare esattamente l'insieme infinito e continuo dei numeri reali: ogni valore viene approssimato, e da questa approssimazione nascono gli errori che il calcolo numerico deve riconoscere e dominare. Capire come la macchina memorizza i numeri è quindi il punto di partenza per giudicare l'affidabilità di qualunque risultato.

Nella rappresentazione in virgola fissa il numero di cifre dedicate alla parte intera e a quella frazionaria è prestabilito: la rappresentazione è semplice ma poco flessibile, perché o si perde precisione sui numeri molto piccoli o si esaurisce l'intervallo dei numeri molto grandi. La rappresentazione in virgola mobile (floating point) supera questo limite scrivendo ogni numero nella forma «mantissa per base elevata a un esponente», così da coprire con poche cifre un intervallo molto ampio di valori, dai più piccoli ai più grandi.

Poiché la mantissa ha un numero finito di cifre, la maggior parte dei numeri reali viene approssimata troncando o arrotondando le cifre eccedenti: nasce così l'errore di rappresentazione (o di arrotondamento). Si distingue tra errore assoluto, cioè il valore assoluto della differenza tra il valore vero e quello approssimato, ed errore relativo, cioè il rapporto tra l'errore assoluto e il valore vero, che misura la precisione in modo indipendente dall'ordine di grandezza ed è ciò che davvero conta per giudicare un risultato.

Gli errori non restano isolati: nelle operazioni si combinano e si propagano. Particolarmente insidiosa è la cancellazione numerica, che si verifica quando si sottraggono due numeri quasi uguali: le cifre più significative si annullano e l'errore relativo del risultato può crescere enormemente. Per questo nella pratica si riformulano le espressioni per evitare sottrazioni critiche, si tiene presente che le operazioni in virgola mobile non sono perfettamente associative e si valuta sempre se il risultato finale è significativo rispetto agli errori accumulati.

E_{\text{ass}} = |x - \tilde{x}|

Errore assoluto

Differenza in valore assoluto tra il valore vero x e il valore approssimato x con tilde; ha la stessa unita di misura della grandezza.

E_{\text{rel}} = \frac{|x - \tilde{x}|}{|x|}, \qquad x \neq 0

Errore relativo

Rapporto tra errore assoluto e modulo del valore vero; e adimensionale e si esprime spesso in percentuale moltiplicando per cento.

x = (-1)^{s} \cdot m \cdot b^{\,e}

Forma in virgola mobile

Un numero in floating point e dato dal segno s, dalla mantissa m (con numero finito di cifre nella base b) e dall'esponente e; la finitezza di m genera l'errore di rappresentazione.

Esempio svolto

Errore assoluto e relativo di un'approssimazione

Il valore vero di pi greco e 3.14159265; un programma lo memorizza come 3.14159. Determina l'errore assoluto e l'errore relativo dell'approssimazione, ed esprimi quest'ultimo in percentuale.

Errore assoluto
Si sottrae l'approssimato dal vero e si prende il valore assoluto.
Errore relativo
Si divide l'errore assoluto per il modulo del valore vero.
In percentuale
Si moltiplica l'errore relativo per cento.

Risultato: L'errore assoluto e circa 0.00000265 e l'errore relativo circa 8.4 per dieci alla meno sette, cioe meno di un milionesimo: l'approssimazione e ottima e conserva sei cifre significative corrette.

Errori frequenti

Confondere errore assoluto ed errore relativo, oppure dimenticare di prendere il valore assoluto: l'errore è una grandezza non negativa.
Ritenere che, aumentando i passi di un metodo, l'errore tenda sempre a zero: oltre un certo punto gli errori di arrotondamento accumulati possono prevalere e peggiorare il risultato.

Ripasso attivo

Il valore vero di una costante è 3.14159265 e un programma ne fornisce l'approssimazione 3.14159. Calcola l'errore assoluto e l'errore relativo dell'approssimazione, esprimendo il secondo anche in percentuale, e commenta il significato dei due valori.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Risoluzione approssimata di equazioni: il metodo di bisezione#

StandardOSA-informatica-CS-calcolo-numericoMetodo di bisezione per la ricerca degli zeri di una funzione

Bisezione su f(x) = x² - 2 in [1, 2]

Molte equazioni della forma f(x) = 0 non si risolvono con formule esatte: il calcolo numerico le affronta cercando una soluzione approssimata, cioè un valore di x in cui la funzione vale (quasi) zero. Il metodo di bisezione è il più semplice e robusto fra questi metodi, perché si basa su una sola idea geometrica chiara: se una funzione continua cambia segno tra due punti, allora in mezzo deve passare per lo zero.

Il fondamento teorico è il teorema degli zeri (corollario del teorema di Bolzano sulla continuità, ripasso di Matematica): se f è continua su un intervallo chiuso [a, b] e agli estremi assume valori di segno opposto, cioè f(a) e f(b) hanno prodotto negativo, allora esiste almeno un punto c interno all'intervallo in cui f(c) = 0. La bisezione sfrutta questo enunciato per circoscrivere progressivamente lo zero.

Il procedimento è iterativo: si calcola il punto medio m dell'intervallo e si valuta f(m); se f(m) ha lo stesso segno di f(a) lo zero sta nella metà destra e si pone a = m, altrimenti sta nella metà sinistra e si pone b = m. A ogni passo l'intervallo che contiene lo zero si dimezza, quindi la sua ampiezza dopo n passi è l'ampiezza iniziale divisa per due elevato a n. Il metodo si arresta quando l'ampiezza dell'intervallo (o equivalentemente l'errore sulla stima) scende sotto una tolleranza prefissata, oppure quando f(m) è abbastanza vicino a zero.

Il pregio della bisezione è la convergenza garantita: se le ipotesi del teorema sono soddisfatte, il metodo trova sempre lo zero. Il difetto è la lentezza: la convergenza è lineare e occorre dimezzare molte volte l'intervallo per guadagnare poche cifre decimali. Altri metodi (come quelli delle tangenti o delle secanti) convergono più rapidamente ma richiedono ipotesi più forti e possono non convergere; la bisezione resta il metodo di riferimento per la sua affidabilità e per la stima dell'errore semplice e certa.

f(a)\cdot f(b) < 0 \;\Rightarrow\; \exists\, c \in (a,b): f(c)=0

Teorema degli zeri

Se f e continua su [a,b] e assume valori di segno opposto agli estremi, esiste almeno uno zero interno: e la condizione che rende applicabile la bisezione.

m = \frac{a+b}{2}

Punto medio

Stima corrente della radice a ogni iterazione; sostituisce l'estremo che conserva lo stesso segno di f(m).

E_n \le \frac{b-a}{2^{\,n}}

Errore dopo n passi

L'ampiezza dell'intervallo, e dunque l'errore massimo sulla stima, si dimezza a ogni iterazione: imponendo questo valore minore della tolleranza si ricava il numero n di passi.

Esempio svolto

Tre passi di bisezione per radice di 2

Approssima la soluzione positiva di x^2 - 2 = 0 nell'intervallo [1, 2] con tre passi del metodo di bisezione. Riporta a ogni passo l'intervallo, il punto medio m, il segno di f(m) e l'errore massimo.

Verifica ipotesi
f(1) = 1 - 2 = -1 < 0 e f(2) = 4 - 2 = 2 > 0: segni opposti, il teorema garantisce uno zero in (1, 2).
Passo 1
m = 1.5; f(1.5) = 2.25 - 2 = 0.25 > 0, stesso segno di f(2): lo zero e a sinistra, nuovo intervallo [1, 1.5]. Errore massimo 0.5.
Passo 2
m = 1.25; f(1.25) = 1.5625 - 2 = -0.4375 < 0, stesso segno di f(1): lo zero e a destra, nuovo intervallo [1.25, 1.5]. Errore massimo 0.25.
Passo 3
m = 1.375; f(1.375) = 1.890625 - 2 = -0.109375 < 0, lo zero e a destra, nuovo intervallo [1.375, 1.5]. Errore massimo 0.125.

Risultato: Dopo tre passi la radice e localizzata in [1.375, 1.5], con stima centrale 1.4375 ed errore massimo 0.125; il valore vero radice di 2 e circa 1.41421, dentro l'intervallo trovato.

Errori frequenti

Applicare la bisezione senza verificare il cambio di segno agli estremi: se f(a) e f(b) hanno lo stesso segno il teorema non garantisce alcuno zero e il metodo non e applicabile.
Confondere il punto medio m con la radice esatta: m e solo la stima corrente; l'errore e al piu la semiampiezza dell'intervallo, non zero.

Ripasso attivo

Considera la funzione f(x) = x^2 - 2 sull'intervallo [1, 2]. Verifica le ipotesi del teorema degli zeri ed esegui tre passi del metodo di bisezione, indicando a ogni passo l'intervallo, il punto medio, il segno di f nel punto medio e l'errore massimo sulla stima.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Integrazione numerica: metodi dei rettangoli e dei trapezi#

VertiefungOSA-informatica-CS-calcolo-numericoMetodi di integrazione numerica (rettangoli, trapezi)

Area sotto f(x) = x² su [0, 1] approssimata con i trapezi

Calcolare un integrale definito significa misurare l'area compresa tra il grafico di una funzione e l'asse delle ascisse su un intervallo. Quando non si conosce una primitiva, o quando la funzione è data solo per punti, si ricorre all'integrazione numerica: si stima quell'area sommando le aree di tante figure elementari che ricoprono la regione. Più fitta è la suddivisione, migliore è l'approssimazione.

L'idea comune a tutti i metodi è suddividere l'intervallo [a, b] in n sottointervalli di uguale ampiezza h = (b − a)/n, individuando i nodi equidistanti. Su ciascun sottointervallo si sostituisce alla funzione una forma di cui si sa calcolare l'area: un rettangolo nel metodo dei rettangoli, un trapezio nel metodo dei trapezi. La somma di queste aree fornisce la stima dell'integrale.

Nel metodo dei rettangoli l'altezza di ogni rettangolo è il valore della funzione in un punto del sottointervallo: l'estremo sinistro (rettangoli sinistri), l'estremo destro (rettangoli destri) o il punto medio (metodo del punto medio, in genere più accurato). Il metodo è semplice ma, usando un valore costante per tutto il sottointervallo, tende a sovrastimare o sottostimare l'area dove la funzione cresce o decresce.

Nel metodo dei trapezi si congiungono con un segmento i due valori della funzione agli estremi di ogni sottointervallo, approssimando l'area con quella di un trapezio. La somma di tutti i trapezi dà una formula in cui i valori interni della funzione compaiono con peso doppio rispetto ai due estremi. A parità di suddivisione il metodo dei trapezi è più accurato di quello dei rettangoli, perché segue meglio l'andamento della curva; il suo errore diminuisce all'aumentare di n, ma all'infittire della suddivisione si deve tenere presente che aumentano anche il costo di calcolo e gli errori di arrotondamento.

h = \frac{b-a}{n}, \qquad x_i = a + i\,h

Passo e nodi

L'intervallo [a,b] e diviso in n sottointervalli di ampiezza h; i nodi x_i (con i da 0 a n) sono equidistanti.

\int_a^b f(x)\,dx \approx h\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)

Metodo dei rettangoli (sinistri)

Ogni rettangolo ha base h e altezza pari al valore della funzione nell'estremo sinistro del sottointervallo; la somma approssima l'area.

\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left[f(x_0) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n)\right]

Metodo dei trapezi (composito)

I due estremi entrano con peso 1, i nodi interni con peso 2; il fattore h/2 deriva dall'area del singolo trapezio.

Esempio svolto

Integrale di x^2 su [0,1] con rettangoli e trapezi (n = 4)

Stima l'integrale di f(x) = x^2 tra 0 e 1 con n = 4 sottointervalli, usando i rettangoli sinistri e i trapezi; confronta con il valore esatto 1/3.

Passo e nodi
h = (1 - 0)/4 = 0.25; nodi x = 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1. Valori: f = 0, 0.0625, 0.25, 0.5625, 1.
Rettangoli sinistri
Si sommano i valori nei nodi sinistri (0, 0.25, 0.5, 0.75) e si moltiplica per h: (0 + 0.0625 + 0.25 + 0.5625) = 0.875; per 0.25 = 0.21875.
Trapezi
Estremi peso 1 (0 e 1), interni peso 2 (0.0625, 0.25, 0.5625). Somma pesata: 0 + 2(0.0625 + 0.25 + 0.5625) + 1 = 0 + 2(0.875) + 1 = 2.75; per h/2 = 0.125.
Confronto
Valore esatto 1/3 = 0.3333... I rettangoli sinistri (0.21875) sottostimano di 0.1146; i trapezi (0.34375) sbagliano solo di 0.0104.

Risultato: Il metodo dei trapezi (0.34375) e nettamente piu accurato dei rettangoli sinistri (0.21875): a parita di suddivisione l'errore dei trapezi e circa un decimo di quello dei rettangoli, confermando che approssimare con segmenti segue meglio la curva.

Errori frequenti

Dimenticare il fattore h/2 nella formula dei trapezi oppure non raddoppiare i valori dei nodi interni: la stima risulta sistematicamente errata.
Calcolare male l'ampiezza dei sottointervalli usando h = (b - a)/(n+1) o un numero di nodi sbagliato: con n sottointervalli i nodi sono n+1 e l'ampiezza e (b - a)/n.

Ripasso attivo

Stima l'integrale di f(x) = x^2 tra 0 e 1 suddividendo l'intervallo in n = 4 parti, applicando sia il metodo dei rettangoli sinistri sia quello dei trapezi. Confronta le due stime con il valore esatto 1/3 e commenta quale metodo e piu accurato.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Elaborazione di dati numerici e implementazione degli algoritmi#

StandardOSA-informatica-CS-calcolo-numericoElaborazione e analisi di dati numerici con strumenti di calcolo automatico (anche fogli di calcolo)Implementazione di algoritmi di calcolo numerico in un linguaggio di programmazione

Diagramma di flusso del metodo di bisezione

Un metodo numerico diventa davvero utile quando è automatizzato: il calcolo a mano serve a capire l'algoritmo, ma è la macchina a eseguire le decine o migliaia di iterazioni necessarie per una buona precisione. Il calcolo numerico si concretizza quindi in due strumenti complementari: il foglio di calcolo, per esplorare dati e tabulare iterazioni in modo immediato, e il linguaggio di programmazione, per implementazioni più generali, riusabili e controllabili.

Il foglio di calcolo (ripasso del biennio) organizza i dati in righe e colonne: ogni cella contiene un valore o una formula che fa riferimento ad altre celle. Tabulando una funzione su una colonna di valori di x si individua per esempio dove cambia segno, preparando la bisezione; oppure si costruisce, riga per riga, la successione dei punti medi o la somma dei contributi di un'integrazione numerica. Le funzioni statistiche integrate (somma, media, massimo, minimo) permettono inoltre di elaborare e interpretare insiemi di dati numerici.

Implementare un algoritmo numerico in un linguaggio di programmazione (ripasso delle strutture di controllo) significa tradurre il metodo in un ciclo: si inizializza lo stato (per esempio gli estremi a e b), si ripete l'aggiornamento finché non è soddisfatto il criterio di arresto e infine si restituisce il risultato. È essenziale prevedere sempre una condizione di terminazione affidabile — una tolleranza sull'errore e, per sicurezza, un numero massimo di iterazioni — per evitare cicli che non finiscono mai.

Qualunque sia lo strumento, valgono i principi generali dell'informatica: l'algoritmo deve essere corretto (produce il risultato atteso sui casi noti), efficiente (raggiunge la precisione voluta con un numero ragionevole di operazioni) e validato con prove ed esempi di controllo. Confrontare l'output del programma con un valore noto — per esempio la radice di 2 o un integrale calcolabile a mano — è il modo onesto per verificare che l'implementazione sia affidabile prima di usarla su problemi nuovi.

|b - a| < \text{tol} \quad \text{oppure} \quad k \ge \text{maxIter}

Criterio di arresto

Il ciclo termina quando l'ampiezza dell'intervallo scende sotto la tolleranza voluta, oppure quando si raggiunge il numero massimo di iterazioni di sicurezza.

Esempio svolto

Pseudocodice del metodo di bisezione

Scrivi lo pseudocodice di una procedura BISEZIONE(f, a, b, tol, maxIter) che restituisce un'approssimazione della radice di f in [a, b], con inizializzazione, ciclo e criterio di arresto espliciti.

Precondizione
Verificare che f(a) e f(b) abbiano segno opposto; in caso contrario il metodo non e applicabile e si segnala un errore.
Inizializzazione
Porre k = 0 e calcolare il primo punto medio m = (a + b) / 2.
Ciclo
Finche |b - a| >= tol e k < maxIter: m = (a + b)/2; se f(a)*f(m) < 0 allora b = m altrimenti a = m; incrementare k.
Restituzione
Al termine restituire m come approssimazione della radice, con errore massimo |b - a|/2.

Risultato: PROCEDURA BISEZIONE(f, a, b, tol, maxIter): se f(a)f(b) >= 0 -> errore; k <- 0; FINCHE |b-a| >= tol E k < maxIter: m <- (a+b)/2; SE f(a)f(m) < 0 ALLORA b <- m ALTRIMENTI a <- m; k <- k+1; FINE-FINCHE; RESTITUISCI m. L'algoritmo termina sempre grazie al doppio criterio di arresto (tolleranza e numero massimo di iterazioni).

Errori frequenti

Scrivere un ciclo senza condizione di terminazione affidabile (per esempio basata solo su f(m) esattamente uguale a zero), col rischio di un ciclo infinito perche lo zero esatto non viene mai raggiunto in virgola mobile.
Non validare l'implementazione su un caso noto: un programma che gira non e necessariamente un programma corretto.

Ripasso attivo

Scrivi lo pseudocodice di un algoritmo che implementa il metodo di bisezione per una funzione f su un intervallo [a, b], ricevendo in ingresso una tolleranza tol e un numero massimo di iterazioni maxIter, e restituendo l'approssimazione della radice. Indica esplicitamente inizializzazione, ciclo e criterio di arresto.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Esame di Stato del secondo ciclo — quadri di riferimento e griglie di valutazione (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Riferimenti e fonti

Fonti

Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)

Computazione e calcolo numerico

Punti chiave

Errore assoluto e relativo di un'approssimazione

Punti chiave

Tre passi di bisezione per radice di 2

Punti chiave

Integrale di x^2 su [0,1] con rettangoli e trapezi (n = 4)

Punti chiave

Pseudocodice del metodo di bisezione

Fonti

Computazione e calcolo numerico

Punti chiave

Errore assoluto e relativo di un'approssimazione

Punti chiave

Tre passi di bisezione per radice di 2

Punti chiave

Integrale di x^2 su [0,1] con rettangoli e trapezi (n = 4)

Punti chiave

Pseudocodice del metodo di bisezione

Fonti