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Equazioni di Maxwell e onde elettromagnetiche

Le quattro equazioni di Maxwell raccolgono in una sintesi compatta tutte le leggi dell'elettromagnetismo: il teorema di Gauss per il campo elettrico e per quello magnetico, la legge di Faraday-Neumann-Lenz e la legge di Ampère completata dalla corrente di spostamento. Da questa sintesi discende una previsione straordinaria: campi elettrici e magnetici variabili si sostengono a vicenda e si propagano nel vuoto come onde trasversali alla velocità c, identica a quella misurata per la luce. Questo appunto ricostruisce le equazioni nel loro significato fisico, mostra come nascono le onde elettromagnetiche e ne descrive lo spettro e l'energia trasportata.

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Profilo d’esame

Cogliere il valore di sintesi unificante delle equazioni di Maxwell, riconoscendo come quattro leggi sperimentali distinte si compongano in un'unica teoria dei campiCollegare campi elettrici e magnetici variabili nel tempo alla generazione e alla propagazione delle onde elettromagneticheInquadrare i fenomeni luminosi e le radiazioni note nello spettro elettromagnetico, mettendo in relazione frequenza, lunghezza d'onda ed energia trasportata

Operatori:spiegadescrivicalcoladeterminaanalizzagiustificaconfrontaillustra

livello base

A tutti gli indirizzi del Liceo è richiesta la comprensione qualitativa delle quattro equazioni come sintesi dell'elettromagnetismo, la nascita dell'onda e.m. dai campi variabili, la struttura dell'onda piana e lo spettro elettromagnetico.

livello avanzato

Nel Liceo Scientifico e nell'opzione Scienze Applicate si curano gli aspetti quantitativi: corrente di spostamento, relazione c = 1/√(ε₀μ₀), rapporto E = cB, calcolo dell'intensità e legame frequenza-lunghezza d'onda-energia del fotone.

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Inhalt · 4 sezioni

Equazioni di Maxwell e onde elettromagnetiche

Le quattro equazioni di Maxwell come sintesi#

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Le quattro equazioni di Maxwell e il loro significato

Verso la metà dell'Ottocento l'elettromagnetismo era un insieme di leggi sperimentali separate; il merito di James Clerk Maxwell fu di riconoscere che esse formano un sistema coerente di quattro equazioni, capace non solo di riassumere tutto il noto ma anche di prevedere fenomeni nuovi. Nella forma integrale, accessibile al Liceo, ciascuna equazione collega il comportamento del campo elettrico E o del campo magnetico B lungo una superficie o lungo una linea chiusa alle sorgenti che lo producono.

La prima equazione è il teorema di Gauss per il campo elettrico: il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è proporzionale alla carica totale racchiusa, Φ(E) = Q/ε₀. Questa equazione afferma che le cariche elettriche sono le sorgenti del campo elettrico e che le sue linee di campo nascono dalle cariche positive e terminano su quelle negative; il campo elettrostatico è dunque un campo «aperto», dotato di sorgenti puntuali.

La seconda equazione è il teorema di Gauss per il campo magnetico: il flusso di B attraverso qualsiasi superficie chiusa è sempre nullo, Φ(B) = 0. Il significato fisico è profondo: non esistono cariche magnetiche isolate (monopoli magnetici), le linee del campo magnetico sono sempre chiuse su sé stesse, ed è per questo che spezzando una calamita si ottengono sempre due nuovi dipoli e mai un polo nord o sud separato.

La terza equazione è la legge di Faraday-Neumann-Lenz: la circuitazione del campo elettrico lungo una linea chiusa è uguale all'opposto della rapidità di variazione del flusso magnetico concatenato, e questo afferma che un campo magnetico che varia nel tempo genera un campo elettrico indotto. Diversamente dal campo elettrostatico, questo campo elettrico indotto ha linee chiuse: è un campo «rotazionale», non conservativo, che può mettere in moto le cariche lungo un circuito chiuso producendo una forza elettromotrice.

La quarta equazione è la legge di Ampère completata da Maxwell: la circuitazione del campo magnetico lungo una linea chiusa dipende non solo dalla corrente di conduzione concatenata, ma anche dalla variazione nel tempo del flusso elettrico (la corrente di spostamento, oggetto della sezione seguente). È proprio questo termine aggiunto da Maxwell a rendere il sistema simmetrico e coerente, e a permettere la previsione delle onde elettromagnetiche.

Considerate insieme, le quattro equazioni dicono che un campo elettrico variabile genera un campo magnetico e che un campo magnetico variabile genera un campo elettrico: i due campi non sono più entità indipendenti ma le due facce di un unico campo elettromagnetico. Questa è la grande unificazione concettuale che fa delle equazioni di Maxwell uno dei vertici della fisica classica, paragonabile alla sintesi newtoniana per la meccanica.

\Phi_S(\vec{E}) = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}

I — Gauss elettrico

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa S è proporzionale alla carica totale racchiusa: le cariche sono le sorgenti del campo elettrico.

\Phi_S(\vec{B}) = 0

II — Gauss magnetico

Il flusso del campo magnetico attraverso ogni superficie chiusa è nullo: non esistono monopoli magnetici, le linee di B sono sempre chiuse.

\oint_{\ell} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = -\frac{\Delta \Phi(\vec{B})}{\Delta t}

III — Faraday-Neumann-Lenz

Un campo magnetico variabile nel tempo genera un campo elettrico indotto a linee chiuse (non conservativo); il segno meno esprime la legge di Lenz.

\oint_{\ell} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = \mu_0 i + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\Delta \Phi(\vec{E})}{\Delta t}

IV — Ampère-Maxwell

Il campo magnetico è generato sia dalle correnti di conduzione i sia da un campo elettrico variabile (corrente di spostamento), introdotta da Maxwell.

Esempio svolto

Flusso del campo elettrico e teorema di Gauss

Una carica puntiforme q = 5.0 nC è racchiusa all'interno di una superficie chiusa di forma qualsiasi. Determina il flusso del campo elettrico attraverso tale superficie, spiegando perché il risultato non dipende dalla forma della superficie. Assumi ε₀ = 8.85·10⁻¹² C²/(N·m²).

Riconosci l'equazione
La prima equazione di Maxwell (teorema di Gauss) lega il flusso di E alla sola carica racchiusa, indipendentemente dalla forma della superficie.
Sostituisci i valori
La carica racchiusa è Q = 5.0·10⁻⁹ C; ε₀ = 8.85·10⁻¹² C²/(N·m²).
Calcola
Eseguendo la divisione si ottiene il flusso in N·m²/C.
Interpreta
Il flusso dipende solo dalla carica racchiusa: una superficie più grande è attraversata da un campo più debole ma da più area, e il prodotto resta costante.

Risultato: Il flusso vale circa 5.6·10² N·m²/C ed è indipendente dalla forma della superficie chiusa: questa è l'essenza del teorema di Gauss.

Errori frequenti

Confondere i due teoremi di Gauss: il flusso di E attraverso una superficie chiusa dipende dalla carica racchiusa, mentre il flusso di B è sempre nullo perché non esistono monopoli magnetici.
Affermare che il campo elettrico ha sempre linee aperte: il campo elettrico INDOTTO da un campo magnetico variabile ha linee chiuse ed è non conservativo, a differenza del campo elettrostatico.

Ripasso attivo

Enuncia le quattro equazioni di Maxwell nella forma integrale e, per ciascuna, indica con una frase il fenomeno fisico fondamentale che essa esprime. Spiega in particolare perché la seconda equazione (Φ(B) = 0) implica l'inesistenza dei monopoli magnetici.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

La corrente di spostamento e i campi indotti#

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Il paradosso del condensatore e la corrente di spostamento

La quarta equazione, nella forma classica di Ampère, presentava un'incoerenza che Maxwell seppe riconoscere e risolvere. La legge di Ampère afferma che la circuitazione del campo magnetico è proporzionale alla corrente di conduzione concatenata alla linea chiusa; ma «concatenata» significa che attraversa una qualunque superficie che ha quella linea come bordo. Maxwell osservò che esistono casi in cui due superfici diverse, appoggiate alla stessa linea, danno risultati contraddittori.

L'esempio cruciale è il condensatore in fase di carica. Se scegliamo una superficie attraversata dal filo, la corrente di conduzione la attraversa; ma se «gonfiamo» la stessa superficie in modo che passi tra le due armature del condensatore, lì non passa alcuna carica e la corrente di conduzione è nulla. La legge di Ampère darebbe due risultati diversi per la stessa circuitazione: una contraddizione inaccettabile per una legge fisica.

Maxwell risolse il paradosso introducendo la corrente di spostamento. Tra le armature del condensatore non passa carica, ma il campo elettrico cresce nel tempo mentre il condensatore si carica: c'è dunque un flusso elettrico variabile. Maxwell ipotizzò che proprio questa variazione del flusso elettrico produca un campo magnetico, esattamente come fa una corrente di conduzione. La corrente di spostamento è definita come i_s = ε₀ · ΔΦ(E)/Δt e ripristina la coerenza della legge: attraverso entrambe le superfici la circuitazione di B risulta la stessa.

La conseguenza concettuale è di portata enorme e va al di là della soluzione del paradosso del condensatore. Significa che un campo elettrico variabile nel tempo genera un campo magnetico, in perfetta simmetria con la legge di Faraday secondo cui un campo magnetico variabile genera un campo elettrico. I due campi diventano così sorgenti reciproci l'uno dell'altro quando variano nel tempo, e questa reciprocità è il meccanismo che consente alle onde elettromagnetiche di esistere e di propagarsi anche nel vuoto, lontano da ogni carica e da ogni corrente.

i_s = \varepsilon_0 \, \frac{\Delta \Phi(\vec{E})}{\Delta t}

Corrente di spostamento

Un flusso elettrico variabile nel tempo agisce come una corrente equivalente, capace di generare un campo magnetico.

\oint_{\ell} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = \mu_0 \left( i + i_s \right) = \mu_0 i + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\Delta \Phi(\vec{E})}{\Delta t}

Ampère-Maxwell completa

La circuitazione di B dipende dalla somma della corrente di conduzione e della corrente di spostamento: la legge diventa coerente per qualsiasi superficie.

Esempio svolto

Calcolo della corrente di spostamento in un condensatore

Un condensatore piano si carica e il flusso del campo elettrico tra le armature aumenta uniformemente di ΔΦ(E) = 1.0·10⁴ N·m²/C in un intervallo Δt = 2.0·10⁻³ s. Determina la corrente di spostamento tra le armature. Assumi ε₀ = 8.85·10⁻¹² C²/(N·m²).

Scrivi la definizione
La corrente di spostamento è il prodotto di ε₀ per la rapidità di variazione del flusso elettrico.
Calcola la rapidità di variazione
Dividi la variazione del flusso per l'intervallo di tempo.
Moltiplica per ε₀
Moltiplica per la costante dielettrica del vuoto.
Risultato numerico
Esegui il prodotto delle potenze e dei coefficienti.

Risultato: La corrente di spostamento vale circa 4.4·10⁻⁵ A = 44 μA; pur senza passaggio di carica tra le armature, essa genera lo stesso campo magnetico di una corrente di conduzione di pari intensità.

Errori frequenti

Pensare che la corrente di spostamento sia un vero spostamento di cariche tra le armature: non c'è alcun passaggio di carica, ma soltanto un flusso elettrico variabile nel tempo.
Dimenticare il fattore ε₀ nella definizione i_s = ε₀ · ΔΦ(E)/Δt, oppure confonderlo con μ₀ε₀ che compare invece nel termine completo della quarta equazione.

Ripasso attivo

Spiega, anche con uno schema, perché la legge di Ampère nella sua forma originaria entra in contraddizione nel caso di un condensatore in carica, e mostra come l'introduzione della corrente di spostamento i_s = ε₀ · ΔΦ(E)/Δt risolva il problema.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Le onde elettromagnetiche e la loro propagazione#

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Struttura di un'onda elettromagnetica piana

Una volta riconosciuto che un campo elettrico variabile genera un campo magnetico e viceversa, Maxwell poté prevedere l'esistenza delle onde elettromagnetiche. Immaginiamo una carica che oscilla: essa produce un campo elettrico variabile, che genera un campo magnetico variabile, che a sua volta rigenera un campo elettrico variabile poco più lontano, e così via. La perturbazione si propaga nello spazio anche senza alcun mezzo materiale: l'onda elettromagnetica si autosostiene e può viaggiare nel vuoto.

In un'onda elettromagnetica piana il campo elettrico E e il campo magnetico B oscillano in fase, sono perpendicolari fra loro e sono entrambi perpendicolari alla direzione di propagazione: l'onda è quindi trasversale. I tre vettori E, B e la direzione di propagazione formano una terna ordinata, come gli assi cartesiani x, y, z. Questa struttura geometrica, illustrata in Fig. 1, è la firma caratteristica della radiazione elettromagnetica.

Dalle equazioni di Maxwell discende la velocità di propagazione nel vuoto, che risulta determinata da due costanti elettromagnetiche: la costante dielettrica ε₀ e la permeabilità magnetica μ₀. Il calcolo dà c = 1/√(ε₀μ₀) ≈ 3.00·10⁸ m/s. Maxwell notò che questo valore coincideva, entro gli errori sperimentali, con la velocità della luce già misurata: una coincidenza troppo precisa per essere casuale, che lo portò a concludere che la luce stessa è un'onda elettromagnetica.

Nell'onda i moduli dei due campi non sono indipendenti: in ogni istante e in ogni punto vale la relazione E = cB. Poiché c è molto grande, a parità di campo elettrico il campo magnetico ha valori numericamente molto piccoli; ciò non significa però che B sia meno importante, perché i due campi trasportano in media la stessa quantità di energia. La previsione teorica di Maxwell trovò conferma sperimentale nel 1887, quando Heinrich Hertz riuscì a produrre e a rivelare onde elettromagnetiche in laboratorio, misurandone la velocità e verificando che si comportano come la luce (riflessione, rifrazione, interferenza).

Anche la radiazione monocromatica obbedisce alle relazioni generali delle onde: la lunghezza d'onda λ, la frequenza f e la velocità c sono legate da c = λf. Poiché nel vuoto c è costante, frequenza e lunghezza d'onda sono inversamente proporzionali: onde di frequenza più alta hanno lunghezza d'onda più piccola. Questo legame è la chiave per ordinare tutte le radiazioni elettromagnetiche nello spettro, oggetto della sezione conclusiva.

c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} \approx 3.00 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}

Velocità nel vuoto

La velocità delle onde elettromagnetiche nel vuoto dipende solo da due costanti elettromagnetiche e coincide con la velocità della luce.

E = c\,B

Rapporto tra i campi

In ogni punto e istante di un'onda e.m. piana il modulo del campo elettrico è c volte quello del campo magnetico.

c = \lambda f

Relazione fondamentale

Lunghezza d'onda e frequenza sono inversamente proporzionali, perché nel vuoto la velocità c è costante.

\langle I \rangle = \frac{1}{2}\, c\, \varepsilon_0\, E_0^{2}

Intensità media

L'intensità media trasportata da un'onda e.m. piana (energia per unità di area e di tempo) è proporzionale al quadrato dell'ampiezza del campo elettrico E₀.

Frequenza e lunghezza d'onda inversamente proporzionali (c = lambda f)

Esempio svolto

Lunghezza d'onda di un'onda radio

Una stazione radio FM trasmette su una frequenza f = 100 MHz. Determina la lunghezza d'onda della radiazione nel vuoto e, sapendo che il campo elettrico ha ampiezza E₀ = 6.0·10⁻² V/m, calcola l'ampiezza del campo magnetico. Assumi c = 3.00·10⁸ m/s.

Scrivi la relazione fondamentale
Lunghezza d'onda, frequenza e velocità della luce sono legate da c = λf.
Sostituisci i valori
La frequenza è f = 100 MHz = 1.00·10⁸ Hz.
Calcola la lunghezza d'onda
Il rapporto delle potenze dà un valore di pochi metri, tipico delle onde radio FM.
Calcola il campo magnetico
Dalla relazione E = cB ricavo B = E₀/c.

Risultato: La lunghezza d'onda è λ = 3.00 m; l'ampiezza del campo magnetico è B₀ = 2.0·10⁻¹⁰ T, molto piccola perché B = E/c con c grande.

Errori frequenti

Descrivere l'onda elettromagnetica come longitudinale o ritenere che E e B oscillino lungo la direzione di propagazione: essa è trasversale, con E e B perpendicolari alla propagazione.
Pensare che le onde elettromagnetiche abbiano bisogno di un mezzo materiale per propagarsi: a differenza del suono, esse si propagano anche nel vuoto.

Ripasso attivo

Una stazione radio trasmette su una frequenza f = 100 MHz. Calcola la lunghezza d'onda della radiazione emessa nel vuoto e descrivi la struttura geometrica dell'onda elettromagnetica corrispondente (orientazione reciproca di E, B e direzione di propagazione).

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Lo spettro elettromagnetico e l'energia trasportata#

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Lo spettro elettromagnetico ordinato per frequenza crescente

Tutte le onde elettromagnetiche hanno la stessa natura e la stessa velocità nel vuoto, ma si differenziano per frequenza e lunghezza d'onda. Ordinando le radiazioni dalla frequenza più bassa a quella più alta si ottiene lo spettro elettromagnetico, illustrato in Fig. 1: onde radio, microonde, infrarosso, luce visibile, ultravioletto, raggi X e raggi gamma. La luce visibile, l'unica percepita dall'occhio umano, occupa una banda strettissima dello spettro, fra circa 400 nm (violetto) e 700 nm (rosso).

Poiché nel vuoto vale c = λf, frequenza e lunghezza d'onda sono inversamente proporzionali: le onde radio hanno lunghezze d'onda da metri a chilometri e frequenze relativamente basse, mentre i raggi gamma hanno lunghezze d'onda piccolissime (inferiori al picometro) e frequenze altissime. Conoscere una qualunque delle due grandezze permette di collocare immediatamente la radiazione nello spettro e di calcolare l'altra.

Le onde elettromagnetiche trasportano energia e quantità di moto: è grazie a questa energia che la luce del Sole riscalda la Terra e che un'antenna riceve un segnale. L'intensità di un'onda, cioè l'energia che attraversa nell'unità di tempo l'unità di superficie perpendicolare alla propagazione, è proporzionale al quadrato dell'ampiezza del campo elettrico. Il fatto che le onde trasportino quantità di moto si manifesta nella pressione di radiazione, piccola ma misurabile.

Per le radiazioni di frequenza più alta diventa essenziale la descrizione quantistica: l'energia non viene trasportata in modo continuo ma in pacchetti discreti detti fotoni, ciascuno di energia E = hf, dove h è la costante di Planck. Questa relazione spiega perché i raggi ultravioletti, X e gamma, ad alta frequenza, sono più energetici e potenzialmente più dannosi delle onde radio o della luce visibile: a parità di descrizione ondulatoria, il singolo fotone trasporta tanta più energia quanto maggiore è la frequenza. Lo studio dettagliato del fotone appartiene al capitolo di fisica quantistica; qui esso completa la visione unificata aperta dalle equazioni di Maxwell.

Lo spettro elettromagnetico è dunque la sintesi visibile dell'opera di Maxwell: fenomeni apparentemente lontani — il calore di un termosifone (infrarosso), la luce di una lampada (visibile), una radiografia (raggi X), la trasmissione radiotelevisiva (onde radio) — sono tutti manifestazioni di un'unica realtà fisica, il campo elettromagnetico che si propaga come onda.

c = \lambda f

Frequenza e lunghezza d'onda

Permette di collocare ogni radiazione nello spettro: nota la lunghezza d'onda si ricava la frequenza, e viceversa.

E = h f

Energia del fotone

L'energia trasportata dal singolo quanto di radiazione (fotone) è proporzionale alla frequenza; h è la costante di Planck.

Esempio svolto

Frequenza ed energia del fotone della luce verde

La luce verde ha lunghezza d'onda λ = 5.0·10⁻⁷ m nel vuoto. Determina la frequenza della radiazione e l'energia di un singolo fotone. Assumi c = 3.00·10⁸ m/s e h = 6.63·10⁻³⁴ J·s.

Ricava la frequenza
Dalla relazione c = λf isolo f = c/λ.
Calcola la frequenza
Eseguo il rapporto delle potenze: il risultato è dell'ordine di 10¹⁴ Hz, tipico della luce visibile.
Applica la legge di Planck
L'energia del fotone è il prodotto della costante di Planck per la frequenza.
Calcola l'energia
Esegui il prodotto; il risultato è dell'ordine di 10⁻¹⁹ J, ossia circa 2.5 eV.

Risultato: La frequenza è f = 6.0·10¹⁴ Hz e l'energia del fotone è E ≈ 4.0·10⁻¹⁹ J (circa 2.5 eV); la radiazione appartiene alla banda della luce visibile.

Errori frequenti

Ritenere che le diverse radiazioni abbiano velocità diverse nel vuoto: tutte le onde elettromagnetiche viaggiano nel vuoto alla stessa velocità c; cambiano frequenza e lunghezza d'onda, non la velocità.
Invertire la relazione tra frequenza ed energia: i raggi gamma sono più energetici delle onde radio perché hanno frequenza più alta (E = hf), non perché abbiano lunghezza d'onda maggiore.

Ripasso attivo

La luce verde ha lunghezza d'onda λ = 5.0·10⁻⁷ m nel vuoto. Determina la sua frequenza e l'energia di un singolo fotone, usando c = 3.00·10⁸ m/s e h = 6.63·10⁻³⁴ J·s. Indica inoltre in quale banda dello spettro si colloca questa radiazione.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)) · Esame di Stato del secondo ciclo — quadri di riferimento e griglie di valutazione (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Riferimenti e fonti

Fonti

Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)

Equazioni di Maxwell e onde elettromagnetiche

Punti chiave

Flusso del campo elettrico e teorema di Gauss

Punti chiave

Calcolo della corrente di spostamento in un condensatore

Punti chiave

Lunghezza d'onda di un'onda radio

Punti chiave

Frequenza ed energia del fotone della luce verde

Fonti

Equazioni di Maxwell e onde elettromagnetiche

Punti chiave

Flusso del campo elettrico e teorema di Gauss

Punti chiave

Calcolo della corrente di spostamento in un condensatore

Punti chiave

Lunghezza d'onda di un'onda radio

Punti chiave

Frequenza ed energia del fotone della luce verde

Fonti