Oscillateurs mécaniques

Un capteur de position enregistre l'abscisse $x(t)$ d'un solide accroché à un ressort horizontal. On lit que le solide passe par un maximum d'élongation $x = +4{,}0~\mathrm{cm}$ à la date $t_1 = 0{,}20~\mathrm{s}$, puis de nouveau par un maximum identique à $t_2 = 1{,}20~\mathrm{s}$, après une seule oscillation complète. Déterminer l'amplitude, la période propre et la fréquence propre.

1. 01Amplitude

   L'amplitude est l'élongation maximale atteinte de part et d'autre de l'équilibre : on la lit directement, $x_m = 4{,}0~\mathrm{cm}$.

2. 02Période propre

   La période est la durée d'une oscillation complète, soit l'intervalle entre deux maxima identiques successifs : $T_0 = t_2 - t_1 = 1{,}20 - 0{,}20 = 1{,}0~\mathrm{s}$.

3. 03Fréquence propre

   La fréquence est l'inverse de la période : $f_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{1}{1{,}0}$.

   $$f_0 = \dfrac{1}{T_0}$$

Résultat : L'amplitude vaut $x_m = 4{,}0~\mathrm{cm}$, la période propre $T_0 = 1{,}0~\mathrm{s}$ et la fréquence propre $f_0 = 1{,}0~\mathrm{Hz}$.

Un solide de masse $m = 0{,}20~\mathrm{kg}$ est accroché à un ressort horizontal de raideur $k = 20~\mathrm{N\cdot m^{-1}}$. a) Calculer la période propre $T_0$ du système masse-ressort. b) Quelle longueur $L$ faudrait-il donner à un pendule simple pour qu'il ait la même période propre ? On prendra $g = 9{,}81~\mathrm{m\cdot s^{-2}}$.

1. 01Période du masse-ressort

   On applique $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{0{,}20/20}$.

   $$T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$$
2. 02Application numérique (a)

   $T_0 = 2\pi\sqrt{0{,}010} = 2\pi\times 0{,}10 \approx 0{,}63~\mathrm{s}$.

3. 03Inverser la formule du pendule

   On veut un pendule de même période ; on isole $L$ dans $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$, soit $L = g\left(\frac{T_0}{2\pi}\right)^2$.

   $$L = g\left(\dfrac{T_0}{2\pi}\right)^2$$
4. 04Application numérique (b)

   $L = 9{,}81\times (0{,}63/2\pi)^2 = 9{,}81\times (0{,}10)^2 \approx 0{,}098~\mathrm{m}$.

Résultat : a) $T_0 \approx 0{,}63~\mathrm{s}$. b) Un pendule de même période propre mesurerait environ $L \approx 9{,}8~\mathrm{cm}$.

Un solide de masse $m$ glisse sans frottement sur un rail horizontal, accroché à un ressort de raideur $k$ dont l'autre extrémité est fixe. On note $x$ l'abscisse du solide comptée depuis sa position d'équilibre. a) Établir l'équation différentielle vérifiée par $x(t)$ à l'aide de la deuxième loi de Newton. b) Montrer que $x(t) = x_m\cos(\omega_0 t)$ est solution et exprimer $\omega_0$.

1. 01Système, référentiel, forces

   Système : le solide. Référentiel terrestre supposé galiléen. Forces : le poids $\overrightarrow{P}$ (vertical, vers le bas), la réaction normale $\overrightarrow{R_N}$ (verticale, vers le haut) et la tension du ressort, force de rappel.

2. 02Projection sur l'axe horizontal (Ox)

   Le poids et la réaction normale sont verticaux : leur projection sur $Ox$ est nulle. La force de rappel se projette en $-k\,x$ ; l'accélération se projette en $\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}$. La deuxième loi de Newton donne $-k\,x = m\,\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}$.

3. 03Forme canonique (a)

   On divise par $m$ et on regroupe : $\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{k}{m}x = 0$.

   $$\dfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + \dfrac{k}{m}\,x = 0$$
4. 04Dériver la solution proposée

   On dérive deux fois $x(t) = x_m\cos(\omega_0 t)$ : $\dot{x} = -x_m\omega_0\sin(\omega_0 t)$ puis $\ddot{x} = -x_m\omega_0^2\cos(\omega_0 t) = -\omega_0^2 x$.

5. 05Identification (b)

   En reportant : $-\omega_0^2 x + \frac{k}{m}x = 0$ pour tout $t$, donc $\omega_0^2 = \frac{k}{m}$.

Résultat : L'abscisse vérifie $\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{k}{m}x = 0$ ; la fonction $x(t) = x_m\cos(\omega_0 t)$ en est solution à condition que $\omega_0 = \sqrt{k/m}$, ce qui redonne $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$.

Un solide de masse $m = 0{,}20~\mathrm{kg}$, accroché à un ressort horizontal de raideur $k = 20~\mathrm{N\cdot m^{-1}}$, oscille sans frottement avec une amplitude $x_m = 5{,}0~\mathrm{cm}$. a) Calculer l'énergie mécanique du système. b) En déduire la vitesse maximale du solide.

1. 01Énergie mécanique à l'élongation maximale

   À l'élongation maximale, la vitesse est nulle ($E_c = 0$) : toute l'énergie est potentielle élastique, $E_m = \tfrac{1}{2}k x_m^2$.

   $$E_m = \tfrac{1}{2}k x_m^2$$
2. 02Application numérique (a)

   $E_m = \tfrac{1}{2}\times 20 \times (0{,}050)^2 = 10\times 2{,}5\times 10^{-3} = 2{,}5\times 10^{-2}~\mathrm{J}$.

3. 03Conservation au passage par l'équilibre

   Au passage par l'équilibre, $E_p = 0$ : toute l'énergie est cinétique. La conservation impose $\tfrac{1}{2}m v_{max}^2 = E_m$.

4. 04Application numérique (b)

   $v_{max} = \sqrt{\dfrac{2 E_m}{m}} = \sqrt{\dfrac{2\times 2{,}5\times 10^{-2}}{0{,}20}}$.

   $$v_{max} = \sqrt{\dfrac{2 E_m}{m}}$$

Résultat : a) $E_m = 2{,}5\times 10^{-2}~\mathrm{J} = 0{,}025~\mathrm{J}$. b) $v_{max} = 0{,}50~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$, ce que confirme $v_{max} = x_m\sqrt{k/m} = 0{,}050\times 10 = 0{,}50~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$.

Un élève chronomètre un pendule simple : il mesure une durée $\Delta t = 20{,}1~\mathrm{s}$ pour $N = 10$ oscillations complètes de faible amplitude. a) En déduire la période propre du pendule. b) En réalité l'amplitude diminue : entre le début et la fin de l'enregistrement, l'énergie mécanique passe de $E_{m,0} = 0{,}40~\mathrm{J}$ à $E_m = 0{,}36~\mathrm{J}$. Quelle est l'énergie dissipée par les frottements, et sous quelle forme ?

1. 01Période par chronométrage (a)

   On divise la durée totale par le nombre d'oscillations : $T_0 = \frac{\Delta t}{N} = \frac{20{,}1}{10} = 2{,}01~\mathrm{s} \approx 2{,}0~\mathrm{s}$.

   $$T_0 = \dfrac{\Delta t}{N}$$
2. 02Énergie dissipée (b)

   L'énergie dissipée est la diminution de l'énergie mécanique : $|\Delta E_m| = E_{m,0} - E_m = 0{,}40 - 0{,}36$.

3. 03Interprétation

   Cette énergie n'a pas disparu : elle a été convertie en énergie thermique (échauffement de l'air et du point d'attache) par le travail des forces de frottement, ce qui explique la décroissance de l'amplitude.

Résultat : a) $T_0 = 20{,}1/10 = 2{,}01~\mathrm{s} \approx 2{,}0~\mathrm{s}$. b) L'énergie dissipée vaut $4\times 10^{-2}~\mathrm{J}$ (soit 0,04 J), convertie en énergie thermique ; c'est elle qui fait décroître l'amplitude des oscillations.