Mécanique des fluides

Un plongeur descend à $10~\mathrm{m}$ sous la surface d'un lac d'eau douce ($\rho = 1{,}0\times 10^3~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$, $g = 9{,}81~\mathrm{N\cdot kg^{-1}}$, $p_{atm} = 1{,}013\times 10^5~\mathrm{Pa}$). Calculer la pression de l'eau, en pascals puis en bars, et commenter l'affirmation « la pression double tous les 10 mètres ».

1. 01Identifier la loi de la statique

   À la profondeur $h$, la pression absolue est celle de la surface augmentée du terme hydrostatique : $p = p_{atm} + \rho g h$.

   $$p = p_{atm} + \rho\, g\, h$$
2. 02Calculer le terme hydrostatique

   On évalue d'abord la contribution de la colonne d'eau : $\rho g h = 1000\times 9{,}81\times 10 \approx 9{,}81\times 10^4~\mathrm{Pa}$.

3. 03Additionner la pression atmosphérique

   $p = 1{,}013\times 10^5 + 0{,}981\times 10^5 \approx 1{,}99\times 10^5~\mathrm{Pa}$.

4. 04Convertir et commenter

   $1~\mathrm{bar} = 1{,}0\times 10^5~\mathrm{Pa}$, donc $p \approx 1{,}99~\mathrm{bar}$. La pression passe d'environ $1~\mathrm{bar}$ (surface) à environ $2~\mathrm{bar}$ : elle a effectivement à peu près doublé en 10 m d'eau. La règle exacte est « + 1 bar tous les 10 m », plus fidèle en profondeur.

Résultat : $p \approx 1{,}99\times 10^5~\mathrm{Pa} \approx 2{,}0~\mathrm{bar}$ : la pression a presque doublé sur les 10 premiers mètres.

Une sphère d'aluminium de rayon $r = 3{,}0~\mathrm{cm}$ ($\rho_{Al} = 2{,}7\times 10^3~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$) est entièrement immergée dans l'eau ($\rho_{eau} = 1{,}0\times 10^3~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$) et maintenue par un fil. On prend $g = 9{,}81~\mathrm{N\cdot kg^{-1}}$. Faire le bilan des forces, puis calculer la poussée d'Archimède et la tension du fil.

1. 01Calculer le volume de la sphère

   Le volume immergé est ici le volume total : $V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (0{,}030)^3 \approx 1{,}13\times 10^{-4}~\mathrm{m^3}$.

   $$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
2. 02Bilan des forces

   La sphère subit le poids $\overrightarrow{P}$ (vers le bas), la poussée $\overrightarrow{F_A}$ (vers le haut) et la tension $\overrightarrow{T}$ (vers le haut). À l'équilibre, leur somme est nulle.

3. 03Calculer le poids

   $P = \rho_{Al}\, V\, g \approx 2700 \times 1{,}13\times 10^{-4} \times 9{,}81 \approx 3{,}0~\mathrm{N}$.

4. 04Calculer la poussée d'Archimède

   $F_A = \rho_{eau}\, V\, g \approx 1000 \times 1{,}13\times 10^{-4} \times 9{,}81 \approx 1{,}1~\mathrm{N}$.

   $$F_A = \rho_{eau}\, V\, g$$
5. 05En déduire la tension

   Projection sur la verticale ascendante : $T + F_A - P = 0$, donc $T = P - F_A$.

Résultat : $F_A \approx 1{,}1~\mathrm{N}$ et $T \approx 1{,}9~\mathrm{N}$ : la sphère, plus dense que l'eau, est retenue par le fil.

Un tuyau d'arrosage de diamètre intérieur $d_1 = 2{,}0~\mathrm{cm}$ transporte de l'eau à $v_1 = 1{,}5~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$. On fixe à son extrémité un embout d'orifice $d_2 = 1{,}0~\mathrm{cm}$. Eau incompressible, écoulement permanent : calculer le débit volumique (en $\mathrm{L\cdot s^{-1}}$) et la vitesse $v_2$ du jet.

1. 01Calculer les sections

   On convertit les diamètres en mètres puis on applique $S = \frac{\pi d^2}{4}$ : $S_1 = \frac{\pi (0{,}020)^2}{4} \approx 3{,}14\times 10^{-4}~\mathrm{m^2}$.

2. 02Calculer le débit volumique

   Le débit se conserve ; on le calcule dans la section connue : $D_v = S_1 v_1 \approx 3{,}14\times 10^{-4}\times 1{,}5 \approx 4{,}7\times 10^{-4}~\mathrm{m^3\cdot s^{-1}}$.

   $$D_v = S_1 v_1$$
3. 03Relier les vitesses par les sections

   La conservation du débit donne $S_1 v_1 = S_2 v_2$. Le diamètre étant divisé par 2, la section est divisée par 4.

4. 04Calculer v₂

   $v_2 = v_1\,\dfrac{S_1}{S_2} = v_1\left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)^2 = 1{,}5\times 4 = 6{,}0~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$.

Résultat : $D_v \approx 0{,}47~\mathrm{L\cdot s^{-1}}$ et $v_2 = 6{,}0~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ : le diamètre divisé par 2 multiplie la vitesse par 4.

Un grand réservoir ouvert à l'air libre est percé d'un petit orifice à une profondeur $h = 1{,}80~\mathrm{m}$ sous la surface libre. Liquide parfait (eau), écoulement permanent ; $g = 9{,}81~\mathrm{N\cdot kg^{-1}}$. Établir l'expression de la vitesse d'éjection, puis la calculer.

1. 01Choisir les deux points

   Point 1 : surface libre (grande section, donc $v_1 \approx 0$). Point 2 : orifice. Les deux sont à l'air libre, donc $p_1 = p_2 = p_{atm}$.

2. 02Écrire Bernoulli entre 1 et 2

   $\tfrac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g z_1 + p_1 = \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g z_2 + p_2$ le long de la ligne de courant.

3. 03Simplifier

   Les pressions $p_1$ et $p_2$ s'éliminent (égales à $p_{atm}$) et $v_1 \approx 0$. Avec $z_1 - z_2 = h$, il reste $\rho g h = \tfrac{1}{2}\rho v_2^2$.

4. 04Isoler la vitesse

   On simplifie par $\rho$ (le résultat ne dépend pas du liquide) : $v_2 = \sqrt{2gh}$.

   $$v_2 = \sqrt{2\,g\,h}$$
5. 05Application numérique

   $v_2 = \sqrt{2\times 9{,}81\times 1{,}80} \approx 5{,}9~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$.

Résultat : $v_2 = \sqrt{2gh} \approx 5{,}9~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ : la vitesse d'éjection est celle d'une chute libre depuis $h$, indépendante de la nature du liquide.

Un tube de Venturi horizontal transporte de l'eau ($\rho = 1{,}0\times 10^3~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$). Section large $S_1 = 20~\mathrm{cm^2}$ à $v_1 = 1{,}0~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$, col $S_2 = 5{,}0~\mathrm{cm^2}$. $g = 9{,}81~\mathrm{N\cdot kg^{-1}}$. Calculer $v_2$, $p_1 - p_2$, puis $\Delta h$.

1. 01Vitesse au col par conservation du débit

   $S_1 v_1 = S_2 v_2$ avec $S_1/S_2 = 4$, donc $v_2 = 4 v_1 = 4{,}0~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$.

   $$v_2 = v_1\,\dfrac{S_1}{S_2}$$
2. 02Écart de pression par Bernoulli (z constant)

   La conduite est horizontale ($z_1 = z_2$), donc le terme de pesanteur disparaît : $p_1 - p_2 = \tfrac{1}{2}\rho(v_2^2 - v_1^2)$.

3. 03Application numérique

   $p_1 - p_2 = \tfrac{1}{2}\times 1000 \times (4{,}0^2 - 1{,}0^2) = 500\times 15 = 7{,}5\times 10^3~\mathrm{Pa}$.

4. 04Dénivellation manométrique

   $p_1 - p_2 = \rho g \Delta h$, donc $\Delta h = \dfrac{p_1 - p_2}{\rho g} = \dfrac{7{,}5\times 10^3}{1000\times 9{,}81} \approx 0{,}76~\mathrm{m}$.

Résultat : $v_2 = 4{,}0~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$, $p_1 - p_2 = 7{,}5\times 10^3~\mathrm{Pa}$, soit $\Delta h \approx 0{,}76~\mathrm{m}$ : le col, plus rapide, est en dépression — le tube de Venturi fonctionne en débitmètre.