Ondes et phénomènes ondulatoires

Une source sonore ponctuelle émet une puissance acoustique P = 2,0 mW de manière isotrope (dans toutes les directions). La propagation se fait sans absorption. (a) Calculer l'intensité sonore I puis le niveau L à r₁ = 1,0 m. (b) Calculer L à r₂ = 4,0 m. (c) En déduire l'atténuation géométrique entre ces deux distances et commenter. Donnée : I₀ = 1,0 × 10⁻¹² W·m⁻².

1. 01Intensité à 1,0 m

   La puissance se répartit sur une sphère de rayon r₁ : I₁ = P/(4πr₁²) = 2,0 × 10⁻³ / (4π × 1,0²) ≈ 1,6 × 10⁻⁴ W·m⁻².

   $$I_1 = \dfrac{P}{4\pi r_1^{2}}$$
2. 02Niveau à 1,0 m

   On applique L = 10 log(I/I₀) : L₁ = 10 log(1,6 × 10⁻⁴ / 1,0 × 10⁻¹²) ≈ 82 dB.

3. 03Niveau à 4,0 m

   À r₂ = 4r₁, l'intensité est divisée par 4² = 16 : I₂ = I₁/16 ≈ 9,9 × 10⁻⁶ W·m⁻², d'où L₂ = 10 log(I₂/I₀) ≈ 70 dB.

4. 04Atténuation géométrique

   A = L₁ − L₂ = 82 − 70 = 12 dB. On retrouve : quadrupler la distance (×4) divise I par 16, soit 10 log 16 ≈ 12 dB de perte.

Résultat : I₁ ≈ 1,6 × 10⁻⁴ W·m⁻² et L₁ ≈ 82 dB ; à 4,0 m, L₂ ≈ 70 dB. L'atténuation géométrique vaut A ≈ 12 dB, conforme à la loi en 1/r² (×4 sur la distance → −12 dB).

Deux haut-parleurs identiques produisent, séparément, un niveau de 60 dB en un même point. Quel niveau obtient-on lorsqu'ils fonctionnent ensemble (intensités qui s'ajoutent) ?

1. 01Repasser aux intensités

   Chaque source produit I telle que 60 = 10 log(I/I₀). Les niveaux ne s'additionnent pas ; ce sont les intensités qui s'ajoutent.

2. 02Additionner les intensités

   Ensemble, l'intensité reçue est I_tot = 2I (deux fois la même intensité).

3. 03Calculer le nouveau niveau

   L_tot = 10 log(2I/I₀) = 10 log 2 + 10 log(I/I₀) = 3,0 + 60.

   $$L_{tot} = L + 10\log 2 \approx L + 3{,}0$$
4. 04Conclure

   L_tot ≈ 63 dB, et non 120 dB. Doubler l'intensité n'ajoute que 3 dB : c'est une erreur classique d'additionner directement les décibels.

Résultat : L_tot ≈ 63 dB : doubler l'intensité ajoute +3 dB, jamais +60 dB. Les décibels ne s'additionnent pas comme des nombres ordinaires.

Un faisceau laser de longueur d'onde λ = 633 nm éclaire une fente verticale de largeur a. Sur un écran placé à D = 2,0 m de la fente, on mesure une largeur totale de la tache centrale de diffraction L = 2,5 cm. (a) Déterminer l'angle caractéristique de diffraction θ. (b) En déduire la largeur a de la fente.

1. 01Relier L à θ

   La tache centrale a pour largeur totale L = 2D·θ (demi-largeur ℓ = D·θ de part et d'autre du centre). On en tire θ = L/(2D).

   $$\theta = \dfrac{L}{2D}$$
2. 02Calcul de θ

   θ = 2,5 × 10⁻² / 4,0 = 6,25 × 10⁻³ rad ≈ 6,3 × 10⁻³ rad. L'angle est bien petit, ce qui valide l'approximation tan θ ≈ θ.

3. 03Utiliser θ = λ/a

   On inverse la relation de diffraction : a = λ/θ.

   $$a = \dfrac{\lambda}{\theta}$$
4. 04Calcul de a

   a = 633 × 10⁻⁹ / 6,25 × 10⁻³ ≈ 1,0 × 10⁻⁴ m = 0,10 mm. Cette dimension (≈ 160 λ) reste assez petite pour produire une diffraction nettement observable.

Résultat : θ ≈ 6,3 × 10⁻³ rad et a ≈ 0,10 mm. La mesure de la largeur de la tache centrale, combinée à θ = λ/a, donne directement la largeur de la fente.

Deux haut-parleurs S₁ et S₂ alimentés par le même générateur émettent en phase un son de fréquence f = 680 Hz. La célérité du son dans l'air est v = 340 m·s⁻¹. En un point M, on relève S₁M = 3,00 m et S₂M = 4,25 m. (a) Calculer la longueur d'onde λ. (b) Calculer la différence de marche δ. (c) L'interférence en M est-elle constructive ou destructive ?

1. 01Longueur d'onde

   On relie λ, v et f : λ = v/f = 340 / 680 = 0,500 m.

   $$\lambda = \dfrac{v}{f}$$
2. 02Différence de marche

   Les sources étant en phase, δ = S₂M − S₁M = 4,25 − 3,00 = 1,25 m.

3. 03Comparaison à λ

   On exprime δ en nombre de longueurs d'onde : δ/λ = 1,25 / 0,500 = 2,5 = 2 + ½.

4. 04Conclusion

   δ = (k + ½)λ avec k = 2 : la condition d'interférences destructives est vérifiée. En M, les ondes sont en opposition de phase : le son y est atténué (minimum d'intensité).

Résultat : λ = 0,500 m, δ = 1,25 m = 2,5 λ = (2 + ½)λ : l'interférence en M est destructive (son minimal).

Un dispositif de trous d'Young est éclairé par un laser de longueur d'onde λ = 633 nm. Les fentes sont distantes de b = 0,20 mm ; l'écran est placé à D = 2,0 m. (a) À partir de δ = bx/D, établir l'expression de l'interfrange i. (b) Calculer i. (c) On mesure la largeur totale occupée par 10 interfranges : quelle valeur prévoir ?

1. 01Positions des franges brillantes

   Une frange brillante vérifie δ = kλ, soit bx/D = kλ, donc x_k = kλD/b. La frange suivante correspond à k+1.

   $$x_k = k\,\dfrac{\lambda D}{b}$$
2. 02Expression de l'interfrange

   L'interfrange est l'écart entre deux franges brillantes consécutives : i = x_{k+1} − x_k = λD/b.

   $$i = \dfrac{\lambda D}{b}$$
3. 03Application numérique

   i = (633 × 10⁻⁹ × 2,0) / (0,20 × 10⁻³) ≈ 6,3 × 10⁻³ m = 6,3 mm. On veille à convertir b en mètres.

4. 04Largeur de 10 interfranges

   Pour gagner en précision, on mesure plusieurs interfranges : 10 i ≈ 10 × 6,3 mm = 63 mm. On retrouve i en divisant la largeur mesurée par 10.

Résultat : i = λD/b ≈ 6,3 × 10⁻³ m = 6,3 mm ; 10 interfranges occupent ≈ 63 mm. Mesurer N interfranges puis diviser par N réduit l'incertitude sur i (et donc sur λ).

Une voiture de police, sirène allumée, se rapproche d'un piéton immobile. Au repos, la sirène émet f₀ = 680 Hz. À l'approche, le piéton perçoit f = 740 Hz. Célérité du son : v = 340 m·s⁻¹. (a) Justifier que f > f₀. (b) Déterminer la vitesse v_e de la voiture. (c) Conclure en km·h⁻¹.

1. 01Sens du décalage

   La source se rapproche : les fronts d'onde se resserrent à l'avant, la fréquence perçue augmente. On a bien f = 740 Hz > f₀ = 680 Hz, soit Δf = +60 Hz.

2. 02Relation Doppler (approche)

   L'observateur est fixe, l'émetteur se rapproche : f = f₀ · v/(v − v_e).

   $$f = f_0\,\dfrac{v}{v - v_e}$$
3. 03Isoler v_e

   On inverse : v − v_e = v · f₀/f, donc v_e = v(1 − f₀/f).

   $$v_e = v\left(1 - \dfrac{f_0}{f}\right)$$
4. 04Application numérique

   v_e = 340 × (1 − 680/740) = 340 × 0,0811 ≈ 27,6 m·s⁻¹. Conversion : ×3,6 → ≈ 99 km·h⁻¹.

Résultat : Δf = +60 Hz (son plus aigu, cohérent avec un rapprochement) ; v_e ≈ 27,6 m·s⁻¹ ≈ 99 km·h⁻¹. Le décalage Doppler mesuré donne directement la vitesse de la source.