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Probabilités — schéma de Bernoulli et loi binomiale

Ce thème construit le modèle probabiliste de la répétition d'expériences : on part de la variable aléatoire réelle (loi, espérance, variance, écart-type), on isole l'épreuve élémentaire à deux issues (loi de Bernoulli), puis on répète $n$ fois cette épreuve de façon identique et indépendante (schéma de Bernoulli). Le nombre de succès suit alors la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ , dont on maîtrise la probabilité $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ , l'espérance $np$ , la variance $np(1-p)$ et l'écart-type. La représentation graphique en bâtons et la simulation Python complètent l'étude.

5sectionsca. 24min de lecture4compétencesNiveauBase 2 · Standard 2 · Approfondissement 1Vérifié · 06/2026

T·101010 / 12

Profil d’examen

Reconnaître un schéma de Bernoulli, identifier ses paramètres (n,p) et modéliser une situation par une loi binomiale \mathcal{B}(n,p).Calculer les probabilités P(X=k), P(X\le k) et P(X\ge k) pour une variable suivant une loi binomiale, à la main ou à la calculatrice.Déterminer l'espérance, la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire, et en particulier les exploiter pour la loi binomiale (E(X)=np, V(X)=np(1-p)).Représenter graphiquement une loi binomiale, la simuler en Python et estimer une probabilité par la fréquence observée.

Opérateurs :reconnaîtremodélisercalculerdéterminerinterpréterjustifierreprésentersimuler

niveau de base

Verrouiller d'abord le réflexe « épreuve à deux issues, répétée $n$ fois de façon identique et indépendante $\Rightarrow$ loi binomiale », la formule $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ et les résultats $E(X)=np$ , $V(X)=np(1-p)$ : ils suffisent à traiter l'essentiel des questions de probabilités du sujet.

niveau approfondi

Approfondir l'usage des probabilités cumulées $P(X\le k)$ / $P(X\ge k)$ à la calculatrice, la modélisation fine (justification rigoureuse des hypothèses d'indépendance et d'identité des épreuves), l'interprétation de l'espérance et de l'écart-type, et la confrontation simulation $\leftrightarrow$ loi théorique en Python.

Profondeur

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Inhalt · 5 sections

Probabilités — schéma de Bernoulli et loi binomiale

Variable aléatoire réelle : loi de probabilité, espérance, variance, écart-type#

BasisBO-2019-spe-maths-terminale-§Probabilites-loi-binomiale

L'espérance comme centre de gravité d'une distribution

Fig. 1Chaque bâton porte une masse

P(X=x_i)

posée à l'abscisse

x_i

; l'espérance

E(X)

est le point d'équilibre (centre de gravité) de l'ensemble.

Une variable aléatoire réelle

X

sur un univers

\Omega

muni d'une probabilité est une fonction qui associe à chaque issue un nombre réel. On note

\{X=x_i\}

l'événement «

X

prend la valeur

x_i

». La loi de probabilité de

X

est la donnée de toutes les valeurs possibles

x_1, x_2, \dots, x_r

avec leurs probabilités

p_i=P(X=x_i)

; elle se présente sous forme de tableau et vérifie toujours

\sum_i p_i = 1

(la somme de la colonne des probabilités vaut

1

L'espérance

E(X)

est la moyenne des valeurs de

X

PONDÉRÉE par leurs probabilités :

E(X)=\sum_i x_i\,P(X=x_i)

. C'est la valeur moyenne « attendue » sur un très grand nombre de répétitions de l'expérience ; physiquement, c'est le centre de gravité de la distribution. L'espérance peut très bien ne pas être une valeur prise par

X

(par exemple

E(X)=3{,}5

pour un dé).

La variance

V(X)

mesure la DISPERSION des valeurs autour de l'espérance :

V(X)=\sum_i (x_i-E(X))^2\,P(X=x_i)

, qui se calcule plus rapidement par la formule de KÖNIG–HUYGENS

V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2

, où

E(X^2)=\sum_i x_i^2\,P(X=x_i)

. La variance est toujours positive ou nulle.

L'écart-type

\sigma(X)=\sqrt{V(X)}

ramène la dispersion à la même unité que

X

: un petit écart-type signifie des valeurs serrées autour de la moyenne, un grand écart-type des valeurs très dispersées. Propriétés de linéarité utiles : pour des réels

a,b

E(aX+b)=aE(X)+b

V(aX+b)=a^2V(X)

(l'ajout d'une constante ne change pas la dispersion).

\sum_{i} P(X=x_i) = 1

Loi de probabilité : somme des probabilités

Dans le tableau de la loi de $X$ , la somme de toutes les probabilités vaut toujours $1$ : c'est le contrôle indispensable avant tout calcul.

E(X) = \sum_{i} x_i\,P(X=x_i)

Espérance d'une variable aléatoire

Moyenne des valeurs $x_i$ pondérées par leurs probabilités ; c'est la valeur moyenne attendue sur un grand nombre d'expériences.

V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 = \sum_{i} x_i^2\,P(X=x_i) - \Big(\sum_{i} x_i\,P(X=x_i)\Big)^2

Variance (formule de König–Huygens)

On calcule d'abord $E(X)$ puis $E(X^2)$ ; la variance est leur différence $E(X^2)-E(X)^2$ , bien plus rapide que la définition par écarts.

\sigma(X) = \sqrt{V(X)}

Écart-type

Racine carrée de la variance : il exprime la dispersion dans la même unité que $X$ .

Exemple corrigé

Loi, espérance et variance d'un gain

Une roue de loterie comporte $8$ secteurs identiques : $1$ secteur fait gagner $10$ €, $3$ secteurs font gagner $2$ € et les $4$ autres ne font rien gagner. Une partie coûte $3$ €. On note $X$ le gain algébrique du joueur (gain obtenu diminué de la mise de $3$ €). 1) Donner la loi de $X$ . 2) Calculer $E(X)$ et interpréter. 3) Calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$ .

Déterminer les valeurs de X
Le gain algébrique vaut le gain reçu moins $3$ . Gain reçu $10$ € $\Rightarrow X=7$ ; gain reçu $2$ € $\Rightarrow X=-1$ ; gain reçu $0$ € $\Rightarrow X=-3$ . Les probabilités se lisent sur les secteurs : $1/8$ , $3/8$ , $4/8$ .
$P(X=7)=\tfrac{1}{8},\quad P(X=-1)=\tfrac{3}{8},\quad P(X=-3)=\tfrac{4}{8}$
Vérifier la loi
On contrôle que la somme des probabilités vaut $1$ avant tout calcul.
$\tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{8}+\tfrac{4}{8}=\tfrac{8}{8}=1$
Calculer l'espérance
On pondère chaque valeur par sa probabilité.
$E(X)=7\times\tfrac{1}{8}+(-1)\times\tfrac{3}{8}+(-3)\times\tfrac{4}{8}=\frac{7-3-12}{8}=-\frac{8}{8}=-1$
Interpréter E(X)
$E(X)=-1$ € : en moyenne, sur un grand nombre de parties, le joueur PERD $1$ € par partie. Le jeu est défavorable au joueur (et favorable à l'organisateur).
Calculer E(X²) puis la variance
On applique la formule de König–Huygens : on calcule d'abord $E(X^2)$ avec les carrés.
$E(X^2)=7^2\times\tfrac{1}{8}+(-1)^2\times\tfrac{3}{8}+(-3)^2\times\tfrac{4}{8}=\frac{49+3+36}{8}=\frac{88}{8}=11$
Conclure variance et écart-type
On retranche le carré de l'espérance, puis on prend la racine.
$V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=11-(-1)^2=10,\qquad \sigma(X)=\sqrt{10}\approx 3{,}16$

Résultat : Loi : $P(X=7)=\frac{1}{8}$ , $P(X=-1)=\frac{3}{8}$ , $P(X=-3)=\frac{4}{8}$ . Espérance $E(X)=-1$ € (perte moyenne d'un euro par partie : jeu défavorable). Variance $V(X)=10$ , écart-type $\sigma(X)=\sqrt{10}\approx 3{,}16$ €.

Erreurs fréquentes

Confondre espérance et probabilité, ou « oublier » de pondérer : $E(X)$ n'est PAS la moyenne arithmétique des valeurs $x_i$ mais leur moyenne pondérée par les $P(X=x_i)$ .
Mal appliquer König–Huygens en calculant $\big(E(X)\big)^2$ au lieu de $E(X^2)$ , ou inversement : $E(X^2)=\sum x_i^2 P(X=x_i)$ se calcule avec les CARRÉS des valeurs, et il est en général différent de $\big(E(X)\big)^2$ .

Révision active

Un jeu coûte $2$ € la partie. Une urne contient $3$ boules « gagnantes » (gain de $5$ €) et $7$ boules « perdantes » (gain $0$ €) ; on tire une boule au hasard. On note $G$ le gain ALGÉBRIQUE du joueur (gain reçu moins la mise). Établir la loi de $G$ , calculer $E(G)$ et conclure si le jeu est favorable au joueur. Calculer aussi $V(G)$ et $\sigma(G)$ .

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Épreuve de Bernoulli et loi de Bernoulli de paramètre p#

BasisBO-2019-spe-maths-terminale-§Probabilites-loi-binomiale

Une épreuve de Bernoulli : deux issues, succès ou échec

Fig. 2L'épreuve élémentaire se branche en succès (

S

, probabilité

p

) et échec (

\overline{S}

, probabilité

1-p

) ; la variable de Bernoulli associée vaut

1

0

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que DEUX issues possibles, conventionnellement appelées « succès » (noté

S

) et « échec » (noté

\overline{S}

). On note

p=P(S)

la probabilité de succès, avec

0\le p\le 1

; la probabilité d'échec est alors

P(\overline{S})=1-p

, souvent notée

q

. Le choix de ce qu'on appelle « succès » est libre, mais une fois fixé il détermine la valeur de

p

La loi de Bernoulli de paramètre

p

est la loi de la variable aléatoire

X

qui compte le nombre de succès lors d'UNE seule épreuve de Bernoulli :

X

vaut

1

en cas de succès,

0

en cas d'échec. Ainsi

P(X=1)=p

P(X=0)=1-p

. C'est la « brique élémentaire » à partir de laquelle se construit la loi binomiale.

Espérance, variance et écart-type d'une loi de Bernoulli :

E(X)=0\times(1-p)+1\times p=p

;

E(X^2)=0^2\times(1-p)+1^2\times p=p

, donc

V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=p-p^2=p(1-p)

; et

\sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}

. La variance

p(1-p)

est maximale pour

p=0{,}5

(incertitude maximale) et nulle pour

p=0

p=1

(issue certaine).

Exemples typiques d'épreuves de Bernoulli : lancer une pièce (« pile » = succès,

p=0{,}5

), tester si une pièce produite est défectueuse (

p

= taux de défaut), un tir au but (« réussi » = succès), répondre au hasard à une question à deux issues. Reconnaître l'épreuve de Bernoulli et nommer explicitement le succès est l'étape PRÉALABLE à toute modélisation binomiale.

P(X=1)=p,\qquad P(X=0)=1-p

Loi de Bernoulli de paramètre p

La variable indicatrice de succès vaut $1$ (succès, probabilité $p$ ) ou $0$ (échec, probabilité $1-p$ ).

E(X)=p,\qquad V(X)=p(1-p),\qquad \sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}

Espérance, variance et écart-type (loi de Bernoulli)

Résultats à connaître par cœur : l'espérance est $p$ , la variance $p(1-p)$ , maximale quand $p=0{,}5$ .

Exemple corrigé

Modéliser une épreuve de Bernoulli et calculer ses paramètres

Un joueur de basket réussit en moyenne $70\,\%$ de ses lancers francs. On considère un lancer franc et on note « succès » le fait que le panier soit marqué ; soit $X$ la variable de Bernoulli associée. 1) Justifier qu'il s'agit d'une épreuve de Bernoulli et donner son paramètre. 2) Donner la loi de $X$ . 3) Calculer $E(X)$ , $V(X)$ et $\sigma(X)$ .

Reconnaître l'épreuve de Bernoulli
Un lancer franc a exactement deux issues : le panier est marqué (succès) ou manqué (échec). C'est donc une épreuve de Bernoulli, de paramètre $p=P(\text{succès})=0{,}70$ .
Donner la loi de X
La variable de Bernoulli $X$ vaut $1$ si le panier est marqué, $0$ sinon.
$P(X=1)=0{,}7,\qquad P(X=0)=1-0{,}7=0{,}3$
Espérance
Pour une loi de Bernoulli, l'espérance est égale au paramètre.
$E(X)=p=0{,}7$
Variance et écart-type
On applique $V(X)=p(1-p)$ puis on prend la racine carrée.
$V(X)=0{,}7\times 0{,}3=0{,}21,\qquad \sigma(X)=\sqrt{0{,}21}\approx 0{,}458$

Résultat : Épreuve de Bernoulli de paramètre $p=0{,}7$ . Loi : $P(X=1)=0{,}7$ , $P(X=0)=0{,}3$ . On a $E(X)=0{,}7$ , $V(X)=0{,}21$ et $\sigma(X)=\sqrt{0{,}21}\approx 0{,}46$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que l'épreuve doit avoir EXACTEMENT deux issues : une expérience à trois résultats ou plus n'est pas une épreuve de Bernoulli telle quelle (il faut éventuellement regrouper les issues en « succès » et « non-succès »).
Confondre $p$ et $1-p$ en intervertissant succès et échec : une fois le succès choisi, $p$ est figé ; définir le succès comme « obtenir un défaut » puis utiliser le taux de pièces correctes est une erreur classique.

Révision active

Dans une usine, $4\%$ des pièces produites sont défectueuses. On prélève une pièce au hasard et on appelle « succès » l'événement « la pièce est défectueuse ». Justifier qu'il s'agit d'une épreuve de Bernoulli, préciser son paramètre, puis donner la loi, l'espérance et l'écart-type de la variable de Bernoulli associée.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Schéma de Bernoulli et loi binomiale B(n,p)#

StandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Probabilites-loi-binomiale

Arbre d'un schéma de Bernoulli à 3 répétitions

Fig. 3Le chemin surligné (S–S–Ē) a pour probabilité

p\times p\times(1-p)=p^2(1-p)

; il y a

\binom{3}{2}=3

chemins à exactement

2

succès, d'où

P(X=2)=3\,p^2(1-p)

Un schéma de Bernoulli de paramètres

n

p

est la RÉPÉTITION de

n

épreuves de Bernoulli identiques (même probabilité de succès

p

à chaque fois) et INDÉPENDANTES (le résultat d'une épreuve n'influence pas les autres). On le visualise par un arbre pondéré à

n

niveaux, où chaque branche porte la probabilité

p

(succès) ou

1-p

(échec). Les trois conditions à vérifier : deux issues par épreuve, épreuves identiques, épreuves indépendantes.

On note

X

la variable aléatoire égale au NOMBRE de succès au cours des

n

épreuves.

X

peut prendre toute valeur entière de

0

n

. On dit alors que

X

suit la loi binomiale de paramètres

n

p

, notée

X\sim\mathcal{B}(n,p)

Coefficient binomial

\binom{n}{k}

(lu «

k

parmi

n

») : c'est le nombre de chemins de l'arbre comportant exactement

k

succès parmi

n

épreuves, c'est-à-dire le nombre de façons de CHOISIR les

k

positions des succès parmi les

n

. Il relie la loi binomiale au dénombrement (combinaisons). À la calculatrice, on l'obtient par la fonction « combinaison » ; quelques valeurs utiles :

\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1

\binom{n}{1}=n

Formule de la loi binomiale : pour tout entier

k

0

n

P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}

. On la lit ainsi :

\binom{n}{k}

compte les chemins à

k

succès,

p^k

est la probabilité des

k

succès et

(1-p)^{n-k}

celle des

n-k

échecs, chaque chemin ayant la même probabilité

p^k(1-p)^{n-k}

. Vérification globale :

\displaystyle\sum_{k=0}^{n}P(X=k)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=\big(p+(1-p)\big)^n=1

(formule du binôme de Newton).

X\sim\mathcal{B}(n,p)\ \Longleftrightarrow\ X=\text{nombre de succès de } n \text{ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre } p

Définition de la loi binomiale

La loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ est la loi du nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de $n$ épreuves de probabilité de succès $p$ .

P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},\qquad k\in\{0,1,\dots,n\}

Probabilité de k succès

$\binom{n}{k}$ compte les chemins à $k$ succès, $p^k$ pèse les succès, $(1-p)^{n-k}$ les échecs : le produit donne $P(X=k)$ .

\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}=\big(p+(1-p)\big)^{n}=1

Contrôle par le binôme de Newton

La somme de toutes les probabilités vaut $1$ ; c'est exactement le développement de $(p+(1-p))^n$ .

Diagramme en bâtons de B(10 ; 0,3)

Fig. 4Loi binomiale B(10 ; 0,3) : la probabilité P(X = k) est maximale autour de k = 3 (proche de np = 3) ; la distribution est légèrement asymétrique car p < 0,5.

Exemple corrigé

Reconnaître la loi binomiale et calculer P(X = k)

Un questionnaire à choix multiples comporte $5$ questions indépendantes ; pour chacune, $4$ réponses sont proposées dont une seule est correcte. Un candidat répond au hasard à chaque question. On note $X$ le nombre de réponses correctes. 1) Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. 2) Calculer la probabilité d'obtenir exactement $2$ bonnes réponses. 3) Calculer la probabilité de n'avoir AUCUNE bonne réponse.

Identifier l'épreuve de Bernoulli répétée
Pour chaque question, deux issues : « répondre correctement » (succès) ou non. En répondant au hasard parmi $4$ choix, $p=\frac{1}{4}=0{,}25$ . Les $5$ questions sont identiques (même $p$ ) et indépendantes.
Conclure sur la loi de X
On répète $n=5$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre $p=0{,}25$ . Donc $X$ compte les succès et suit la loi binomiale $\mathcal{B}(5\,;\,0{,}25)$ .
$X\sim\mathcal{B}\!\left(5\,;\,0{,}25\right)$
Calculer P(X = 2)
On applique la formule avec $k=2$ : $\binom{5}{2}=10$ , $p^2=0{,}25^2$ et $(1-p)^3=0{,}75^3$ .
$P(X=2)=\binom{5}{2}(0{,}25)^2(0{,}75)^3=10\times 0{,}0625\times 0{,}421875\approx 0{,}2637$
Calculer P(X = 0)
Avec $k=0$ : $\binom{5}{0}=1$ , $p^0=1$ et $(1-p)^5=0{,}75^5$ . Aucune bonne réponse revient à échouer aux $5$ questions.
$P(X=0)=\binom{5}{0}(0{,}25)^0(0{,}75)^5=0{,}75^5\approx 0{,}2373$

Résultat : $X\sim\mathcal{B}(5\,;\,0{,}25)$ . La probabilité d'exactement $2$ bonnes réponses est environ $0{,}264$ et celle de n'avoir aucune bonne réponse environ $0{,}237$ .

Erreurs fréquentes

Appliquer la loi binomiale sans indépendance : un tirage SANS REMISE dans une urne ne donne PAS un schéma de Bernoulli (la composition change à chaque tirage), donc $X$ n'y suit pas une loi binomiale.
Oublier le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ et écrire seulement $p^k(1-p)^{n-k}$ : on ne compterait qu'UN chemin alors qu'il y en a $\binom{n}{k}$ menant à $k$ succès. Erreur miroir : confondre $p^k$ et $k^p$ , ou se tromper sur l'exposant des échecs ( $n-k$ et non $n$ ).

Révision active

On lance $6$ fois de suite un dé équilibré ; on appelle « succès » l'obtention d'un $6$ . On note $X$ le nombre de $6$ obtenus. Justifier que $X$ suit une loi binomiale, préciser ses paramètres, puis calculer $P(X=2)$ et $P(X=0)$ .

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Espérance, variance et écart-type de la loi binomiale ; probabilités cumulées#

StandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Probabilites-loi-binomiale

Tableau de la loi de B(3 ; 0,5) et calcul de l'espérance

Fig. 5Loi de

\mathcal{B}(3\,;\,0{,}5)

: la somme de la ligne

k\times P(X=k)

donne

E(X)=1{,}5=3\times 0{,}5=np

, comme attendu.

Pour une variable

X

suivant la loi binomiale

\mathcal{B}(n,p)

, l'espérance, la variance et l'écart-type se calculent directement à partir des paramètres :

E(X)=np

V(X)=np(1-p)

\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}

. Intuition de l'espérance : sur

n

épreuves de probabilité de succès

p

, on attend en moyenne

np

succès. Ces formules dispensent de repasser par le tableau complet de la loi.

Justification de l'espérance : la variable binomiale

X

se décompose en somme de

n

variables de Bernoulli indépendantes

X_1,\dots,X_n

(la

i

-ème vaut

1

si la

i

-ème épreuve est un succès). Par linéarité de l'espérance,

E(X)=\sum E(X_i)=n\times p=np

; et par additivité de la variance pour des variables INDÉPENDANTES,

V(X)=\sum V(X_i)=n\times p(1-p)=np(1-p)

Probabilités cumulées.

P(X\le k)=\sum_{j=0}^{k}P(X=j)

est la fonction de RÉPARTITION : elle donne « au plus

k

succès » et s'obtient directement à la calculatrice (commande de type « binomFRép »/cumulée) ou en Python. On en déduit les autres :

P(X<k)=P(X\le k-1)

P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)

P(X>k)=1-P(X\le k)

. Bien gérer les bornes (« strictement », « au moins », « au plus ») est décisif.

Stratégie de calcul : pour « au moins un succès », passer par l'ÉVÉNEMENT CONTRAIRE est presque toujours le plus rapide :

P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^n

. Pour un intervalle,

P(a\le X\le b)=P(X\le b)-P(X\le a-1)

. La calculatrice (mode examen) et Python fournissent les valeurs ; il faut surtout traduire correctement l'énoncé en inégalité sur

X

E(X)=np,\qquad V(X)=np(1-p),\qquad \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}

Espérance, variance et écart-type de \mathcal{B}(n,p)

Formules à connaître par cœur : l'espérance est $np$ , la variance $np(1-p)$ , l'écart-type sa racine carrée.

P(X\le k)=\sum_{j=0}^{k}\binom{n}{j}p^{j}(1-p)^{n-j}

Probabilité cumulée (fonction de répartition)

« Au plus $k$ succès » : somme des probabilités de $0$ à $k$ , obtenue directement à la calculatrice ou en Python.

P(X\ge k)=1-P(X\le k-1),\qquad P(X\ge 1)=1-(1-p)^{n}

Passage au complémentaire

« Au moins $k$ » se déduit du cumulé ; « au moins un succès » se calcule par l'événement contraire $1-P(X=0)$ .

Loi B(20 ; 0,5) centrée sur E(X) = np = 10

Fig. 6Pour p = 0,5 la loi binomiale est SYMÉTRIQUE et centrée sur l'espérance np = 10 ; l'écart-type σ = √(20 × 0,5 × 0,5) ≈ 2,24 donne la largeur typique des valeurs.

Exemple corrigé

Espérance, écart-type et probabilités cumulées

Un fournisseur d'accès affirme que sa box fonctionne sans coupure un jour donné avec une probabilité de $0{,}9$ , indépendamment des autres jours. On observe $30$ jours consécutifs et on note $X$ le nombre de jours sans coupure. 1) Préciser la loi de $X$ et calculer $E(X)$ et $\sigma(X)$ . 2) Calculer la probabilité qu'il y ait au moins $28$ jours sans coupure, $P(X\ge 28)$ . 3) Calculer la probabilité qu'il y ait au moins une coupure sur les $30$ jours.

Identifier la loi
Chaque jour est une épreuve de Bernoulli (succès = « pas de coupure », $p=0{,}9$ ), répétée $30$ fois de façon identique et indépendante. Donc $X\sim\mathcal{B}(30\,;\,0{,}9)$ .
$X\sim\mathcal{B}(30\,;\,0{,}9)$
Espérance et écart-type
On applique $E(X)=np$ et $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$ .
$E(X)=30\times 0{,}9=27,\qquad \sigma(X)=\sqrt{30\times 0{,}9\times 0{,}1}=\sqrt{2{,}7}\approx 1{,}64$
Calculer P(X ≥ 28)
« Au moins $28$ » s'obtient via le complémentaire du cumulé : $P(X\ge 28)=1-P(X\le 27)$ , la valeur $P(X\le 27)$ étant lue à la calculatrice (loi binomiale cumulée).
$P(X\ge 28)=1-P(X\le 27)\approx 1-0{,}5888\approx 0{,}411$
Calculer P(au moins une coupure)
« Au moins une coupure » est le contraire de « aucune coupure » = « les $30$ jours sont sans coupure ». On passe au complémentaire de $P(X=30)$ .
$P(\text{au moins une coupure})=1-P(X=30)=1-0{,}9^{30}\approx 1-0{,}0424\approx 0{,}958$

Résultat : $X\sim\mathcal{B}(30\,;\,0{,}9)$ , avec $E(X)=27$ jours sans coupure en moyenne et $\sigma(X)\approx 1{,}64$ . On a $P(X\ge 28)\approx 0{,}41$ et la probabilité d'au moins une coupure sur les $30$ jours est environ $0{,}958$ .

Erreurs fréquentes

Confondre les formules de l'espérance et de la variance, ou écrire $V(X)=np$ (au lieu de $np(1-p)$ ) ; oublier la racine carrée pour passer de la variance $np(1-p)$ à l'écart-type.
Mal gérer l'inégalité du cumulé : écrire $P(X\ge k)=1-P(X\le k)$ (faux : on oublie la valeur $k$ elle-même) au lieu de $P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$ ; symétriquement, confondre $P(X<k)$ et $P(X\le k)$ .

Révision active

Soit $X\sim\mathcal{B}(50\,;\,0{,}2)$ . 1) Calculer $E(X)$ , $V(X)$ et $\sigma(X)$ . 2) À l'aide de la calculatrice, calculer $P(X\le 8)$ , puis $P(X\ge 12)$ . 3) Calculer la probabilité d'obtenir au moins un succès, $P(X\ge 1)$ .

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Modélisation, représentation graphique et simulation en Python#

VertiefungBO-2019-spe-maths-terminale-§Probabilites-loi-binomiale

Simulation Python : fréquences observées vs loi théorique

Fig. 7Algorithme : pour chaque réalisation, on compte les succès sur

n

tirages (

\texttt{random()}<p

), on répète

N

fois, puis on compare les fréquences observées (barres) au diagramme en bâtons théorique (points).

Modéliser une situation par une loi binomiale, c'est : (1) repérer l'épreuve de Bernoulli élémentaire et nommer le succès ; (2) vérifier les répétitions identiques et indépendantes ; (3) identifier

n

(nombre de répétitions) et

p

(probabilité de succès) ; (4) définir clairement la variable

X

comptée ; (5) conclure

X\sim\mathcal{B}(n,p)

. C'est ce passage du concret au modèle qui est attendu, puis l'INTERPRÉTATION des résultats (espérance comme moyenne, probabilité comme proportion attendue).

Représentation graphique : on trace le diagramme en BÂTONS de la loi, en portant

k

en abscisse et

P(X=k)

en ordonnée. La forme dépend de

p

: symétrique et centrée sur

np

pour

p=0{,}5

, étalée vers la droite (asymétrie positive) pour

p<0{,}5

, vers la gauche pour

p>0{,}5

. Le « sommet » du diagramme (valeur la plus probable, le mode) se situe au voisinage de l'espérance

np

Simulation en Python d'une loi binomiale : on simule UNE épreuve de Bernoulli par un tirage aléatoire (

\texttt{random()} < p

donne un succès), on en répète

n

pour compter les succès (une réalisation de

X

), et on recommence un grand nombre

N

de fois. La fréquence d'apparition de chaque valeur estime alors

P(X=k)

; la moyenne des réalisations estime

E(X)=np

. On peut aussi utiliser directement une fonction de bibliothèque qui renvoie un nombre de succès.

Loi des grands nombres (cadre d'interprétation) : quand le nombre

N

de simulations augmente, la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité théorique, et l'histogramme des fréquences se rapproche du diagramme en bâtons de la loi. Estimer une probabilité « par la fréquence » consiste à compter, sur

N

simulations, la proportion de réalisations vérifiant l'événement (par exemple

X\ge k

) : cette fréquence approche

P(X\ge k)

f_k = \frac{\text{nombre de simulations donnant } X=k}{N} \;\xrightarrow[N\to+\infty]{}\; P(X=k)

Estimation d'une probabilité par la fréquence

La fréquence observée $f_k$ sur $N$ simulations s'approche de la probabilité théorique $P(X=k)$ quand $N$ devient grand (loi des grands nombres).

\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} X_i \;\xrightarrow[N\to+\infty]{}\; E(X)=np

Moyenne empirique et espérance

La moyenne des $N$ réalisations simulées de $X$ s'approche de l'espérance théorique $np$ .

Effet du paramètre p : B(15 ; 0,7)

Fig. 8Pour p = 0,7 > 0,5, la loi B(15 ; 0,7) est étalée vers la GAUCHE (asymétrie négative) et centrée sur np = 10,5 ; le mode se situe autour de k = 10 ou 11.

Exemple corrigé

Modéliser, simuler et estimer une probabilité

Un standard téléphonique reçoit des appels ; on estime qu'un appel donné est « urgent » avec une probabilité $p=0{,}15$ , indépendamment des autres. On considère $n=40$ appels d'une matinée et on note $X$ le nombre d'appels urgents. 1) Préciser la loi de $X$ et son espérance. 2) Décrire un algorithme Python estimant $P(X\ge 8)$ par simulation. 3) Vers quelle valeur la fréquence observée doit-elle tendre quand le nombre de simulations augmente ?

Modéliser
Chaque appel est une épreuve de Bernoulli (succès = « urgent », $p=0{,}15$ ), répétée $n=40$ fois de façon identique et indépendante. Donc $X\sim\mathcal{B}(40\,;\,0{,}15)$ , d'espérance $E(X)=np=40\times 0{,}15=6$ .
$X\sim\mathcal{B}(40\,;\,0{,}15),\qquad E(X)=40\times 0{,}15=6$
Principe de la simulation
Une réalisation de $X$ se simule en tirant $40$ nombres aléatoires dans $[0\,;1[$ et en comptant ceux qui sont strictement inférieurs à $p=0{,}15$ (chacun représente un appel urgent). On répète $N$ fois pour obtenir $N$ réalisations.
Estimer P(X ≥ 8)
On compte la proportion de réalisations où le nombre de succès est supérieur ou égal à $8$ ; cette fréquence estime $P(X\ge 8)$ . En pseudo-code : compteur $c$ incrémenté quand $X_i\ge 8$ , puis fréquence $c/N$ .
$\widehat{P}(X\ge 8)=\frac{\#\{i : X_i\ge 8\}}{N}$
Confronter à la théorie
Par la loi des grands nombres, cette fréquence se rapproche de la valeur théorique $P(X\ge 8)=1-P(X\le 7)$ quand $N$ grandit ; la calculatrice donne $P(X\le 7)\approx 0{,}756$ , soit $P(X\ge 8)\approx 0{,}244$ .
$P(X\ge 8)=1-P(X\le 7)\approx 1-0{,}756\approx 0{,}244$

Résultat : $X\sim\mathcal{B}(40\,;\,0{,}15)$ , $E(X)=6$ appels urgents en moyenne. L'algorithme simule $N$ réalisations en comptant les tirages $<0{,}15$ sur $40$ appels et estime $P(X\ge 8)$ par la fréquence des réalisations $\ge 8$ ; cette fréquence tend vers $P(X\ge 8)\approx 0{,}244$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung5 Schritte

1
On part d'une situation concrète : un appel téléphonique est « urgent » avec la probabilité p égale à 0,15. C'est une épreuve de Bernoulli : deux issues seulement, urgent ou non.
2
On répète cette épreuve pour n égale 40 appels, de façon identique et indépendante : c'est un schéma de Bernoulli. La variable X qui compte les appels urgents suit donc la loi binomiale B de 40 et 0,15.
3
L'espérance se calcule directement : n fois p, soit 40 fois 0,15, égale 6. On attend en moyenne six appels urgents par matinée.
4
Pour estimer une probabilité, on simule en Python : on tire des nombres au hasard, on compte un succès quand le tirage est inférieur à p, et on répète un grand nombre N de fois. La fréquence observée approche la probabilité théorique.
Fréquences simulées de X ~ B(40 ; 0,15)
5
Enfin, par la loi des grands nombres, la fréquence des matinées comptant au moins huit appels urgents se rapproche de la valeur théorique P de X supérieur ou égal à 8, environ 0,244.

Erreurs fréquentes

Croire qu'une simulation « démontre » une probabilité : la fréquence observée n'est qu'une ESTIMATION qui fluctue ; elle approche la probabilité théorique quand $N$ est grand, mais ne la prouve pas et peut s'en écarter sur un petit nombre de simulations.
Erreurs d'algorithme Python : confondre $n$ (nombre d'épreuves par réalisation) et $N$ (nombre de simulations), tester $\texttt{random()} > p$ au lieu de $\texttt{<\,p}$ pour compter un succès, ou oublier de réinitialiser le compteur de succès à $0$ avant chaque réalisation.

Révision active

On considère $X\sim\mathcal{B}(12\,;\,0{,}25)$ . 1) Écrire un programme Python qui simule $N=10000$ réalisations de $X$ et estime $P(X\le 2)$ par la fréquence observée. 2) Donner la valeur théorique de $E(X)$ que la moyenne des réalisations doit approcher. 3) Tracer (ou décrire) le diagramme en bâtons attendu et indiquer où se situe son sommet.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Références et sources

Sources

Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol

Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019)

Probabilités — schéma de Bernoulli et loi binomiale

Points clés

Loi, espérance et variance d'un gain

Points clés

Modéliser une épreuve de Bernoulli et calculer ses paramètres

Points clés

Reconnaître la loi binomiale et calculer P(X = k)

Points clés

Espérance, écart-type et probabilités cumulées

Points clés

Modéliser, simuler et estimer une probabilité

Sources