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Sommes de variables aléatoires

Ce thème franchit le pas du « une seule variable aléatoire » au « plusieurs variables qu'on additionne », pierre angulaire de la statistique. On y établit deux propriétés majeures : la linéarité de l'espérance, toujours vraie, et l'additivité de la variance, réservée au cas indépendant. Appliquées à un échantillon i.i.d., elles donnent l'espérance et la variance de la moyenne empirique $M_n$ , dont la variance $\sigma^2/n$ s'effondre quand $n$ grandit. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev rend cette concentration quantitative et conduit à la loi des grands nombres — la moyenne empirique se rapproche de l'espérance — que l'on illustre et estime par simulation en Python.

5sectionsca. 23min de lecture4compétencesNiveauBase 1 · Standard 2 · Approfondissement 2Vérifié · 06/2026

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Profil d’examen

Calculer l'espérance et la variance d'une somme ou d'une combinaison linéaire de variables aléatoires, en mobilisant la linéarité de l'espérance et l'additivité de la variance dans le cas indépendant.Déterminer l'espérance et la variance de la moyenne d'un échantillon de variables i.i.d., et interpréter la décroissance de la variance en σ²/n.Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et l'inégalité de concentration pour majorer la probabilité d'un écart à l'espérance.Interpréter la loi des grands nombres et estimer, par simulation en Python, la probabilité qu'une moyenne empirique s'écarte de l'espérance.

Opérateurs :calculerdémontrermajorerappliquerinterpréterjustifiersimulerestimer

niveau de base

Maîtriser d'abord les deux automatismes-clés — $E(aX+b)=aE(X)+b$ , $V(aX+b)=a^2V(X)$ — et, pour un échantillon i.i.d., les résultats $E(M_n)=\mu$ et $V(M_n)=\sigma^2/n$ : ils suffisent à traiter la majorité des questions.

niveau approfondi

Approfondir les démonstrations exigibles (linéarité de l'espérance, additivité de la variance dans le cas indépendant via $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ ) et savoir enchaîner inégalité de concentration → loi des grands nombres, en reliant la majoration $\sigma^2/(n\varepsilon^2)$ au nombre de simulations Python.

Profondeur

Schrift

Inhalt · 5 sections

Sommes de variables aléatoires

Somme et combinaison linéaire de variables aléatoires : linéarité de l'espérance#

BasisBO-2019-spe-maths-terminale-§Sommes-de-variables-aleatoires

Linéarité de l'espérance : la somme des moyennes

Fig. 1On additionne deux variables aléatoires terme à terme (

X+Y

), et l'espérance de la somme est exactement la somme des espérances — sans condition.

Somme de deux variables aléatoires : si

X

Y

sont deux variables aléatoires définies sur le MÊME univers

\Omega

, leur somme

X+Y

est la variable aléatoire qui, à chaque issue

\omega

, associe le réel

X(\omega)+Y(\omega)

. De même, le produit d'une variable

X

par un réel

a

est la variable

aX

qui associe

a\,X(\omega)

, et

aX+b

ajoute la constante

b

. Une combinaison linéaire

aX+bY

se construit en combinant ces deux opérations.

Linéarité de l'espérance — propriété FONDAMENTALE, toujours vraie : pour toutes variables aléatoires

X

Y

et tous réels

a,b

, on a

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

E(aX+b)=aE(X)+b

. En particulier

E(aX)=aE(X)

E(b)=b

(l'espérance d'une constante est cette constante). Attention : aucune hypothèse d'indépendance n'est requise — l'égalité

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

vaut même si

X

Y

sont liées.

Généralisation à

n

variables : par récurrence,

E(X_1+X_2+\dots+X_n)=E(X_1)+E(X_2)+\dots+E(X_n)

, et plus généralement

E\!\left(\sum a_i X_i\right)=\sum a_i E(X_i)

. C'est l'outil qui permet de calculer l'espérance d'un total (somme de gains, de scores, de durées) sans connaître la loi conjointe : il suffit des espérances individuelles.

Méthode de calcul d'une espérance individuelle : pour une variable discrète prenant les valeurs

x_i

avec probabilités

p_i

E(X)=\sum_i x_i\,p_i

. Pour une variable suivant une loi de référence, on utilise les espérances connues : loi de Bernoulli

\mathcal{B}(p)

donne

E=p

; loi binomiale

\mathcal{B}(n,p)

donne

E=np

. La linéarité permet ensuite de combiner.

E(X+Y) = E(X) + E(Y) \qquad \text{(toujours, sans hypothèse d'indépendance)}

Additivité de l'espérance

L'espérance d'une somme est la somme des espérances, quelles que soient les variables — c'est le résultat le plus puissant de cette section.

E(aX+b) = a\,E(X) + b \qquad (a,b \in \mathbb{R})

Espérance d'une transformation affine

Multiplier $X$ par $a$ multiplie l'espérance par $a$ ; ajouter la constante $b$ décale l'espérance de $b$ .

E\!\left(\sum_{i=1}^{n} a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^{n} a_i\,E(X_i)

Linéarité pour une combinaison de n variables

L'espérance d'une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des espérances : on « sort » les coefficients et on additionne.

Exemple corrigé

Espérance d'une somme et d'une combinaison linéaire

Une roue de loterie donne un gain $X$ (en euros) d'espérance $E(X)=3$ . À chaque tour on paie une mise de $2$ €, et on joue indépendamment trois tours, de gains $X_1,X_2,X_3$ de même loi que $X$ . On note $T=X_1+X_2+X_3$ le gain brut total et $B=T-6$ le bénéfice net (après les trois mises). Calculer $E(T)$ puis $E(B)$ .

Espérance du total brut
Les trois gains ont la même espérance $E(X_i)=3$ . Par linéarité (pas besoin de l'indépendance, mais elle est ici vérifiée), l'espérance de la somme est la somme des espérances.
$E(T) = E(X_1+X_2+X_3) = E(X_1)+E(X_2)+E(X_3) = 3+3+3 = 9$
Espérance du bénéfice net
Le bénéfice $B=T-6$ est une transformation affine de $T$ (ici $a=1$ , $b=-6$ ). On applique $E(aT+b)=aE(T)+b$ .
$E(B) = E(T-6) = E(T) - 6 = 9 - 6 = 3$
Interprétation
En moyenne, après trois tours et trois mises, le joueur gagne $3$ € : le jeu lui est, en espérance, favorable de $3$ € sur trois parties.

Résultat : $E(T)=9$ € pour le gain brut total et $E(B)=3$ € pour le bénéfice net — obtenus par simple linéarité, sans déterminer la loi de $T$ .

Erreurs fréquentes

Croire que la linéarité de l'espérance exige l'indépendance : c'est FAUX. $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ est toujours vraie ; l'indépendance n'intervient QUE pour la variance et pour $E(XY)=E(X)E(Y)$ (hors programme ici, mais ne pas confondre).
Appliquer la linéarité à un produit ou à un carré : $E(XY)\neq E(X)E(Y)$ en général, et surtout $E(X^2)\neq E(X)^2$ . La linéarité ne concerne QUE les sommes et les multiplications par des constantes, jamais les produits de variables ni les puissances.

Révision active

Un jeu consiste à lancer deux dés équilibrés. On note $X$ et $Y$ les résultats des deux dés, et $S=X+Y$ le total. Sans déterminer la loi de $S$ , calculer $E(S)$ , puis l'espérance du gain $G=2S-5$ .

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Variance d'une somme : le cas des variables indépendantes#

StandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Sommes-de-variables-aleatoires

Espérance vs variance : deux règles à ne pas confondre

Fig. 2L'espérance est toujours additive ; la variance ne l'est QUE si les variables sont indépendantes. Le coefficient affine se comporte différemment :

a

pour l'espérance,

a^2

pour la variance.

Variance et transformation affine : la variance mesure la dispersion autour de l'espérance,

V(X)=E\big((X-E(X))^2\big)=E(X^2)-E(X)^2

, et l'écart-type est

\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\ge0

. Pour une transformation affine,

V(aX+b)=a^2\,V(X)

: le coefficient

a

est ÉLEVÉ AU CARRÉ (la dispersion change d'échelle au carré), et l'ajout d'une constante

b

ne change PAS la variance (un décalage ne disperse pas). On en déduit

\sigma(aX+b)=|a|\,\sigma(X)

Additivité de la variance dans le cas indépendant : si

X

Y

sont INDÉPENDANTES, alors

V(X+Y)=V(X)+V(Y)

. Cette propriété, contrairement à la linéarité de l'espérance, EXIGE l'indépendance — sans elle, l'égalité est en général fausse. Pour une combinaison de variables indépendantes deux à deux,

V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(Y)

Généralisation : si

X_1,X_2,\dots,X_n

sont indépendantes (deux à deux),

V(X_1+X_2+\dots+X_n)=V(X_1)+V(X_2)+\dots+V(X_n)

. C'est l'ingrédient décisif pour étudier la variance d'un total et, dans la section suivante, celle de la moyenne d'un échantillon.

Variances de référence à connaître : loi de Bernoulli

\mathcal{B}(p)

donne

V=p(1-p)

; loi binomiale

\mathcal{B}(n,p)

donne

V=np(1-p)

— résultat qui se RETROUVE en écrivant la binomiale comme somme de

n

Bernoulli indépendantes et en additionnant les variances

p(1-p)

. Cet exemple illustre exactement la puissance de l'additivité de la variance.

V(aX+b) = a^2\,V(X) \qquad \text{et} \qquad \sigma(aX+b) = |a|\,\sigma(X)

Variance d'une transformation affine

Le facteur $a$ est élevé au carré ; la constante $b$ disparaît, car translater une variable ne modifie pas sa dispersion.

X,\,Y \ \text{indépendantes} \;\Longrightarrow\; V(X+Y) = V(X) + V(Y)

Additivité de la variance (cas indépendant)

L'égalité n'est garantie que sous l'hypothèse d'indépendance — c'est la différence essentielle avec la linéarité de l'espérance, toujours vraie.

X_1,\dots,X_n \ \text{indépendantes} \;\Longrightarrow\; V\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \sum_{i=1}^{n} V(X_i)

Variance d'une somme de n variables indépendantes

Les variances s'additionnent terme à terme dès lors que les variables sont indépendantes.

Loi binomiale B(10 ; 0,5) : E = np = 5, V = np(1−p) = 2,5

Fig. 3La binomiale est une somme de 10 Bernoulli indépendantes : son espérance 5 s'obtient par linéarité (10 × 0,5) et sa variance 2,5 par additivité (10 × 0,25). L'écart-type vaut σ = √2,5 ≈ 1,58.

Exemple corrigé

Variance d'une somme de variables indépendantes et d'une transformation affine

Deux machines remplissent indépendamment des bouteilles. On note $X$ la masse (en g) versée par la première machine, d'espérance $E(X)=500$ et de variance $V(X)=4$ , et $Y$ la masse versée par la seconde, avec $E(Y)=300$ et $V(Y)=9$ . Une bouteille reçoit le contenu des deux machines : sa masse totale est $T=X+Y$ . a) Calculer $E(T)$ et $V(T)$ . b) Pour un contrôle, on étudie l'écart à la cible $D=T-800$ ; donner $E(D)$ et $V(D)$ . c) On change d'unité (g → cg) : la masse devient $C=100\,T$ . Donner $V(C)$ .

a) Espérance et variance du total
L'espérance est additive sans condition. La variance est additive CAR $X$ et $Y$ sont indépendantes.
$E(T)=E(X)+E(Y)=500+300=800,\qquad V(T)=V(X)+V(Y)=4+9=13$
b) Écart à la cible (translation)
$D=T-800$ est une translation ( $a=1$ , $b=-800$ ). L'espérance se décale, mais la variance ne change PAS.
$E(D)=E(T)-800=0,\qquad V(D)=1^2\times V(T)=13$
c) Changement d'unité (facteur 100)
$C=100\,T$ multiplie par $a=100$ : la variance est multipliée par $a^2=100^2=10\,000$ .
$V(C)=100^2\times V(T)=10\,000\times 13=130\,000$

Résultat : a) $E(T)=800$ g, $V(T)=13$ ; b) $E(D)=0$ , $V(D)=13$ (la translation ne disperse pas) ; c) $V(C)=130\,000$ (le facteur $100$ est élevé au carré).

Erreurs fréquentes

Additionner les variances sans vérifier l'indépendance : $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ n'est valable QUE si $X$ et $Y$ sont indépendantes. Sans cette hypothèse, l'égalité est en général fausse et la rédaction est pénalisée.
Oublier le carré sur le coefficient : écrire $V(aX+b)=aV(X)$ au lieu de $a^2V(X)$ , ou croire que la constante $b$ modifie la variance. Erreur fréquente : pour $\sigma$ , ne pas mettre la valeur absolue ( $\sigma(aX)=|a|\sigma(X)$ ).

Révision active

On note $X$ le nombre de faces « pile » obtenues en lançant $20$ fois une pièce équilibrée. Justifier que $X$ suit une loi binomiale, donner $E(X)$ et $V(X)$ par additivité, puis calculer la variance de $Y=3X-4$ .

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Échantillon i.i.d. : espérance et variance de la moyenne empirique#

StandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Sommes-de-variables-aleatoires

Réduction de la variance σ²/n quand l'échantillon grandit

Fig. 4À mesure que

n

croît, la variance de la moyenne empirique

\sigma^2/n

rétrécit : la « cloche » de

M_n

se resserre autour de

\mu

, alors que son centre reste fixé en

\mu

Définition d'un échantillon : un échantillon de taille

n

d'une loi est une suite

X_1,X_2,\dots,X_n

de variables aléatoires INDÉPENDANTES et de MÊME LOI (on dit i.i.d. : indépendantes et identiquement distribuées). Elles modélisent

n

répétitions indépendantes de la même expérience aléatoire. On note

\mu=E(X_1)

leur espérance commune et

\sigma^2=V(X_1)

leur variance commune.

Moyenne empirique (ou moyenne d'échantillon) : c'est la variable aléatoire

M_n=\dfrac{X_1+X_2+\dots+X_n}{n}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i

. Elle représente la moyenne observée sur l'échantillon ; comme les

X_i

sont aléatoires,

M_n

l'est aussi (elle change d'un échantillon à l'autre).

Espérance de la moyenne empirique :

E(M_n)=\mu

. Démonstration par linéarité :

E(M_n)=\dfrac{1}{n}\big(E(X_1)+\dots+E(X_n)\big)=\dfrac{1}{n}\times n\mu=\mu

. La moyenne empirique a la MÊME espérance que la variable individuelle : en moyenne, elle « vise juste » la vraie espérance

\mu

(on dit qu'elle est sans biais).

Variance de la moyenne empirique :

V(M_n)=\dfrac{\sigma^2}{n}

. Démonstration :

M_n=\dfrac{1}{n}S_n

avec

S_n=\sum X_i

; par additivité (les

X_i

sont indépendantes)

V(S_n)=n\sigma^2

, puis par

V(aX)=a^2V(X)

avec

a=\tfrac{1}{n}

V(M_n)=\dfrac{1}{n^2}\times n\sigma^2=\dfrac{\sigma^2}{n}

. Point CLÉ : la variance décroît en

\sigma^2/n

, donc l'écart-type en

\sigma/\sqrt{n}

— plus l'échantillon est grand, plus la moyenne empirique est resserrée autour de

\mu

M_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i \qquad \text{avec } X_1,\dots,X_n \ \text{i.i.d.}\ \big(\mu=E(X_i),\ \sigma^2=V(X_i)\big)

Moyenne empirique d'un échantillon

On somme les $n$ variables de l'échantillon puis on divise par $n$ : la moyenne observée, elle-même aléatoire.

E(M_n) = \mu

Espérance de la moyenne empirique

La moyenne empirique a la même espérance que la variable individuelle : elle est centrée sur la vraie espérance $\mu$ (sans biais).

V(M_n) = \frac{\sigma^2}{n} \qquad \text{donc} \qquad \sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Variance et écart-type de la moyenne empirique

La dispersion de la moyenne empirique diminue avec $n$ : sa variance est divisée par $n$ , son écart-type par $\sqrt{n}$ .

Décroissance de l'écart-type σ(Mₙ) = σ/√n (ici σ = 2)

Fig. 5L'écart-type de la moyenne empirique décroît en σ/√n : il faut QUADRUPLER la taille de l'échantillon pour DIVISER PAR DEUX la dispersion (passer de n = 25 à n = 100 divise σ(Mₙ) par 2).

Exemple corrigé

Espérance, variance de la moyenne empirique et taille d'échantillon

Le temps d'attente $X$ (en minutes) à un guichet a pour espérance $\mu=4$ et pour variance $\sigma^2=9$ . On observe $n$ clients, dont les temps $X_1,\dots,X_n$ forment un échantillon i.i.d. de loi de $X$ , et on note $M_n$ le temps d'attente moyen observé. a) Donner $E(M_n)$ et $V(M_n)$ en fonction de $n$ . b) Calculer $\sigma(M_n)$ pour $n=36$ . c) Combien de clients faut-il observer pour que l'écart-type de $M_n$ ne dépasse pas $0{,}3$ min ?

a) Espérance et variance
Par les formules de la moyenne empirique d'un échantillon i.i.d. : l'espérance vaut $\mu$ (indépendante de $n$ ), la variance vaut $\sigma^2/n$ .
$E(M_n)=\mu=4,\qquad V(M_n)=\frac{\sigma^2}{n}=\frac{9}{n}$
b) Écart-type pour n = 36
On prend la racine de la variance : $\sigma(M_n)=\sigma/\sqrt{n}=3/\sqrt{36}$ .
$\sigma(M_{36})=\frac{3}{\sqrt{36}}=\frac{3}{6}=0{,}5\ \text{min}$
c) Taille pour atteindre la précision
On résout $\dfrac{3}{\sqrt{n}}\le0{,}3$ , soit $\sqrt{n}\ge\dfrac{3}{0{,}3}=10$ , donc $n\ge100$ .
$\frac{3}{\sqrt{n}}\le0{,}3 \iff \sqrt{n}\ge 10 \iff n\ge 100$

Résultat : a) $E(M_n)=4$ , $V(M_n)=9/n$ ; b) $\sigma(M_{36})=0{,}5$ min ; c) il faut au moins $n=100$ clients pour que l'écart-type de la moyenne descende à $0{,}3$ min.

Erreurs fréquentes

Confondre l'espérance et la variance face à $n$ : l'espérance $E(M_n)=\mu$ NE dépend PAS de $n$ (elle reste constante), tandis que la variance $V(M_n)=\sigma^2/n$ décroît. Croire que la moyenne empirique « se rapproche » en espérance est faux : c'est sa DISPERSION qui diminue.
Oublier le carré du $1/n$ : on a $V(M_n)=\dfrac{1}{n^2}V(S_n)$ et non $\dfrac{1}{n}V(S_n)$ ; c'est la combinaison $\dfrac{1}{n^2}\times n\sigma^2$ qui donne $\dfrac{\sigma^2}{n}$ . Sauter cette étape conduit souvent à une erreur d'un facteur $n$ .

Révision active

Une variable $X$ a pour espérance $\mu=12$ et écart-type $\sigma=3$ . On prélève un échantillon i.i.d. de taille $n$ et on note $M_n$ la moyenne empirique. Déterminer $E(M_n)$ et $V(M_n)$ en fonction de $n$ , puis la plus petite taille $n$ telle que l'écart-type de $M_n$ soit inférieur à $0{,}5$ .

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev et inégalité de concentration#

VertiefungBO-2019-spe-maths-terminale-§Sommes-de-variables-aleatoires

Bienaymé-Tchebychev : l'écart à l'espérance est contrôlé

Fig. 6Hors de l'intervalle

]E(X)-a\,;E(X)+a[

, la probabilité totale ne dépasse pas

V(X)/a^2

: presque toute la masse reste à moins de

a

de l'espérance.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour toute variable aléatoire

X

admettant une espérance

E(X)

et une variance

V(X)

, et pour tout réel

a>0

P\big(|X-E(X)|\ge a\big)\le\dfrac{V(X)}{a^2}

. Lecture : la probabilité que

X

s'écarte de son espérance d'AU MOINS

a

est majorée par

\dfrac{V(X)}{a^2}

. C'est une majoration UNIVERSELLE (valable pour n'importe quelle loi), donc souvent grossière, mais utilisable sans connaître la loi exacte.

Lecture quantitative : plus la variance est petite, plus la probabilité d'un grand écart est faible ; et pour un écart

a

fixé, doubler

a

divise la borne par

4

(le

a^2

au dénominateur). L'événement complémentaire donne

P\big(|X-E(X)|<a\big)\ge1-\dfrac{V(X)}{a^2}

: une garantie de concentration autour de l'espérance.

Inégalité de concentration (cas de la moyenne empirique) : en appliquant Bienaymé-Tchebychev à

X=M_n

, dont

E(M_n)=\mu

V(M_n)=\dfrac{\sigma^2}{n}

, on obtient pour tout

\varepsilon>0

P\big(|M_n-\mu|\ge\varepsilon\big)\le\dfrac{\sigma^2}{n\,\varepsilon^2}

. La probabilité que la moyenne empirique s'écarte de

\mu

d'au moins

\varepsilon

est majorée par une quantité qui TEND VERS

0

quand

n\to+\infty

Méthode d'application : (1) identifier la variable, son espérance et sa variance ; (2) identifier l'écart

a

(ou

\varepsilon

) ; (3) appliquer la formule pour MAJORER une probabilité, ou la résoudre pour trouver le

n

garantissant

P\le

seuil. La borne n'est qu'une majoration : la vraie probabilité est en général bien plus petite (on ne « calcule » pas la probabilité, on la borne).

\forall a>0,\qquad P\big(|X-E(X)|\ge a\big) \le \frac{V(X)}{a^2}

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

La probabilité d'un écart à l'espérance d'au moins $a$ est majorée par la variance divisée par $a^2$ — valable pour toute loi.

P\big(|X-E(X)|< a\big) \ge 1 - \frac{V(X)}{a^2}

Forme complémentaire (garantie de proximité)

En passant à l'événement contraire, on minore la probabilité que $X$ reste à moins de $a$ de son espérance.

\forall \varepsilon>0,\qquad P\big(|M_n-\mu|\ge \varepsilon\big) \le \frac{\sigma^2}{n\,\varepsilon^2}

Inégalité de concentration pour la moyenne empirique

Appliquée à $M_n$ , l'inégalité montre que la probabilité d'un écart $\varepsilon$ à $\mu$ tend vers $0$ lorsque $n$ augmente.

Borne de concentration σ²/(n ε²) en fonction de n (ici σ² = 4, ε = 0,5)

Fig. 7La majoration P(|Mₙ − μ| ≥ 0,5) ≤ 4/(n × 0,25) = 16/n décroît vers 0. Elle devient inférieure à 1 dès n > 16, et inférieure à 0,05 pour n ≥ 320 : la majoration garantit la concentration, même si elle est grossière.

Exemple corrigé

Application de Bienaymé-Tchebychev et de l'inégalité de concentration

La durée de vie $X$ (en heures) d'un composant a pour espérance $\mu=1000$ et variance $\sigma^2=2500$ . a) Majorer $P(|X-1000|\ge100)$ . b) On teste un échantillon i.i.d. de $n=400$ composants et on note $M_n$ la durée de vie moyenne. Majorer $P(|M_n-1000|\ge10)$ . c) Quelle taille $n$ garantit $P(|M_n-1000|\ge10)\le0{,}01$ ?

a) Bienaymé-Tchebychev sur X
On applique l'inégalité avec $a=100$ : la borne est $V(X)/a^2$ .
$P(|X-1000|\ge100)\le\frac{2500}{100^2}=\frac{2500}{10\,000}=0{,}25$
b) Inégalité de concentration sur la moyenne
Ici $V(M_n)=\sigma^2/n=2500/400=6{,}25$ et $\varepsilon=10$ . On applique l'inégalité de concentration $P(|M_n-\mu|\ge\varepsilon)\le\sigma^2/(n\varepsilon^2)$ .
$P(|M_{400}-1000|\ge10)\le\frac{2500}{400\times10^2}=\frac{2500}{40\,000}=0{,}0625$
c) Résoudre pour la taille n
On impose la borne $\le0{,}01$ et on isole $n$ .
$\frac{2500}{n\times10^2}\le0{,}01 \iff \frac{25}{n}\le0{,}01 \iff n\ge\frac{25}{0{,}01}=2500$

Résultat : a) $P(|X-1000|\ge100)\le0{,}25$ ; b) $P(|M_{400}-1000|\ge10)\le0{,}0625$ ; c) il faut $n\ge2500$ composants pour garantir une probabilité d'écart d'au plus $0{,}01$ .

Erreurs fréquentes

Transformer la majoration en égalité : Bienaymé-Tchebychev donne une BORNE supérieure, pas la valeur de la probabilité. Écrire $P(|X-E(X)|\ge a)=V(X)/a^2$ est faux ; la vraie probabilité est en général strictement plus petite.
Se tromper de sens d'inégalité ou d'événement : confondre $\ge a$ (écart au moins $a$ ) et $\le a$ , ou appliquer la formule à $P(X\ge a)$ au lieu de $P(|X-E(X)|\ge a)$ . La formule porte sur la valeur absolue de l'écart à l'ESPÉRANCE, pas sur $X$ directement.

Révision active

Une variable $X$ a pour espérance $E(X)=50$ et variance $V(X)=16$ . Majorer, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, la probabilité $P(|X-50|\ge8)$ , puis minorer $P(42<X<58)$ .

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Loi des grands nombres et estimation par simulation (Python)#

VertiefungBO-2019-spe-maths-terminale-§Sommes-de-variables-aleatoires

Trajectoires de moyennes empiriques convergeant vers μ

Fig. 8Plusieurs simulations indépendantes : chaque trajectoire

M_n

oscille puis se resserre vers

\mu

(la bande

\mu\pm\varepsilon

). La loi des grands nombres garantit que la quasi-totalité des trajectoires finit dans la bande.

Loi (faible) des grands nombres : pour un échantillon i.i.d.

X_1,X_2,\dots

d'espérance

\mu

et de variance

\sigma^2

, la moyenne empirique

M_n

converge (en probabilité) vers

\mu

quand

n\to+\infty

. Concrètement : pour tout écart

\varepsilon>0

fixé,

P\big(|M_n-\mu|\ge\varepsilon\big)\to0

. La preuve repose entièrement sur l'inégalité de concentration : la borne

\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}

tend vers

0

, donc la probabilité aussi.

Interprétation : si l'on répète un grand nombre de fois une même expérience aléatoire indépendamment, la moyenne des résultats observés se rapproche de l'espérance théorique. C'est le fondement de l'estimation statistique (une moyenne sur un grand échantillon approche la « vraie » valeur) et la justification rigoureuse de l'intuition « la fréquence se rapproche de la probabilité » (cas particulier où

X_i

est une Bernoulli).

Ce que la loi des grands nombres ne dit PAS : elle ne garantit pas que

M_n

atteigne

\mu

, ni que l'écart décroisse à chaque étape (

M_n

peut s'écarter ponctuellement). Elle affirme seulement que la probabilité d'un écart notable devient négligeable pour

n

grand. Ce n'est pas non plus une « loi de compensation » : les tirages passés n'influencent pas les futurs.

Estimation par simulation en Python : on ne calcule pas toujours

P(|M_n-\mu|\ge\varepsilon)

exactement ; on l'ESTIME en simulant un grand nombre

N

d'échantillons, en calculant la moyenne empirique de chacun, et en comptant la proportion de ceux qui s'écartent de

\mu

d'au moins

\varepsilon

. Cette fréquence observée approche la probabilité cherchée (c'est encore la loi des grands nombres appliquée à l'événement). On utilise le module `random` (ou `numpy.random`) : `random.random()`, `random.randint`, `random.gauss`, etc.

\forall \varepsilon>0,\qquad \lim_{n\to+\infty} P\big(|M_n-\mu|\ge\varepsilon\big)=0

Loi (faible) des grands nombres

La probabilité que la moyenne empirique s'écarte de l'espérance d'au moins $\varepsilon$ tend vers $0$ : $M_n$ se concentre autour de $\mu$ .

0 \le P\big(|M_n-\mu|\ge\varepsilon\big) \le \frac{\sigma^2}{n\,\varepsilon^2} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0

Preuve par l'inégalité de concentration (théorème des gendarmes)

Coincée entre $0$ et une borne qui tend vers $0$ , la probabilité d'écart tend vers $0$ : c'est la démonstration de la loi des grands nombres.

\widehat{p} = \frac{\#\{\,\text{échantillons tels que } |M_n-\mu|\ge\varepsilon\,\}}{N} \approx P\big(|M_n-\mu|\ge\varepsilon\big)

Estimation par simulation (fréquence observée)

En simulant $N$ échantillons, la fréquence des écarts $\ge\varepsilon$ estime la probabilité cherchée — d'autant mieux que $N$ est grand.

Une trajectoire simulée : moyenne empirique du lancer d'un dé (μ=3,5)

Fig. 9Moyenne cumulée des résultats d'un dé équilibré simulé en Python. Très instable au début, elle se stabilise autour de l'espérance μ=3,5 quand n grandit — illustration directe de la loi des grands nombres.

Exemple corrigé

Loi des grands nombres : borne théorique et estimation Python

Un dé équilibré donne un résultat $X$ d'espérance $\mu=3{,}5$ et de variance $\sigma^2=\dfrac{35}{12}\approx2{,}917$ . On lance le dé $n=100$ fois (échantillon i.i.d.) et on note $M_n$ la moyenne des résultats. a) Justifier que $M_n$ se concentre autour de $3{,}5$ quand $n$ grandit. b) Majorer $P(|M_{100}-3{,}5|\ge0{,}5)$ . c) Écrire un algorithme Python estimant cette probabilité par simulation de $N=10\,000$ échantillons.

a) Concentration (loi des grands nombres)
Les lancers sont indépendants et de même loi : $X_1,\dots,X_n$ forment un échantillon i.i.d. Par l'inégalité de concentration, pour tout $\varepsilon>0$ , $P(|M_n-3{,}5|\ge\varepsilon)\le\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\to0$ . La moyenne empirique converge donc (en probabilité) vers $\mu=3{,}5$ : c'est la loi des grands nombres.
$P(|M_n-3{,}5|\ge\varepsilon)\le\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$
b) Borne pour n = 100, ε = 0,5
On applique l'inégalité de concentration avec $\sigma^2=35/12$ , $n=100$ , $\varepsilon=0{,}5$ .
$P(|M_{100}-3{,}5|\ge0{,}5)\le\frac{35/12}{100\times0{,}25}=\frac{35/12}{25}=\frac{35}{300}\approx0{,}117$
c) Estimation par simulation Python
On simule $N=10\,000$ échantillons de $n=100$ lancers, on calcule chaque moyenne, et on compte la proportion d'écarts $\ge0{,}5$ . La fréquence obtenue (de l'ordre de $0{,}003$ à $0{,}004$ ) est BIEN inférieure à la borne $0{,}117$ — confirmant que Bienaymé-Tchebychev majore largement la vraie probabilité. import random N = 10000 n = 100 mu = 3.5 eps = 0.5 compteur = 0 for _ in range(N): somme = 0 for _ in range(n): somme = somme + random.randint(1, 6) moyenne = somme / n if abs(moyenne - mu) >= eps: compteur = compteur + 1 print(compteur / N)

Résultat : a) $M_n$ converge vers $3{,}5$ (loi des grands nombres) ; b) $P(|M_{100}-3{,}5|\ge0{,}5)\le0{,}117$ ; c) l'algorithme renvoie une fréquence observée de l'ordre de $0{,}003$ à $0{,}004$ , bien en dessous de la borne — la majoration de Bienaymé-Tchebychev est correcte mais grossière.

Schritt-für-Schritt Erklärung6 Schritte

1
But : démontrer la loi des grands nombres, c'est-à-dire que la moyenne empirique $M_n$ d'un échantillon i.i.d. se concentre autour de l'espérance $\mu$ , puis l'illustrer par simulation.
2
Étape 1 — la moyenne empirique. Pour un échantillon i.i.d. d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$ , on a établi $E(M_n)=\mu$ et $V(M_n)=\sigma^2/n$ : la moyenne est centrée sur $\mu$ et sa variance s'effondre quand $n$ grandit.
$E(M_n)=\mu,\qquad V(M_n)=\frac{\sigma^2}{n}$
3
Étape 2 — l'inégalité de concentration. En appliquant Bienaymé-Tchebychev à $M_n$ , pour tout écart $\varepsilon>0$ , la probabilité d'un écart $\ge\varepsilon$ est majorée par $\sigma^2/(n\varepsilon^2)$ .
$P(|M_n-\mu|\ge\varepsilon)\le\frac{\sigma^2}{n\,\varepsilon^2}$
4
Étape 3 — le passage à la limite. La borne $\sigma^2/(n\varepsilon^2)$ tend vers $0$ quand $n\to+\infty$ . Coincée entre $0$ et cette borne, la probabilité d'écart tend vers $0$ : c'est la loi des grands nombres.
$0\le P(|M_n-\mu|\ge\varepsilon)\le\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$
5
Étape 4 — l'illustration. En simulant la moyenne cumulée des lancers d'un dé, on voit la trajectoire se stabiliser autour de $\mu=3{,}5$ : instable au début, elle se resserre à mesure que $n$ augmente.
Moyenne empirique du dé convergeant vers 3,5
6
Bilan : la moyenne empirique d'un grand échantillon approche l'espérance — fondement de toute estimation statistique. En Python, on l'estime en comptant, sur $N$ simulations, la proportion d'échantillons dont la moyenne s'écarte trop de $\mu$ .

Erreurs fréquentes

Interpréter la loi des grands nombres comme une « loi des séries » : penser qu'après une série de faces, pile « doit » rattraper son retard est FAUX. Les tirages sont indépendants ; c'est la MOYENNE (et non la somme des écarts) qui se rapproche de l'espérance.
Confondre $N$ (nombre de simulations) et $n$ (taille de chaque échantillon) dans le code : on simule $N$ échantillons de taille $n$ chacun. Augmenter $n$ concentre $M_n$ autour de $\mu$ ; augmenter $N$ améliore la PRÉCISION de l'estimation de la probabilité, pas la concentration elle-même.

Révision active

On lance $n=50$ fois une pièce équilibrée et on note $M_n$ la fréquence de « pile » (moyenne de variables de Bernoulli $\mathcal{B}(0{,}5)$ , donc $\mu=0{,}5$ , $\sigma^2=0{,}25$ ). a) Majorer $P(|M_n-0{,}5|\ge0{,}1)$ par l'inégalité de concentration. b) Écrire un algorithme Python estimant cette probabilité en simulant $N=10\,000$ échantillons.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Références et sources

Sources

Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol

Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019)

Sommes de variables aléatoires

Points clés

Espérance d'une somme et d'une combinaison linéaire

Points clés

Variance d'une somme de variables indépendantes et d'une transformation affine

Points clés

Espérance, variance de la moyenne empirique et taille d'échantillon

Points clés

Application de Bienaymé-Tchebychev et de l'inégalité de concentration

Points clés

Loi des grands nombres : borne théorique et estimation Python

Sources