Géométrie dans l'espace

Dans un repère (O ; i, j, k), on considère A(1 ; 0 ; 2), B(2 ; 1 ; 1), C(0 ; 2 ; 3) et D(4 ; 1 ; 0). Les points A, B, C et D sont-ils coplanaires ?

1. 01Calculer trois vecteurs issus de A

   On calcule AB, AC et AD en soustrayant les coordonnées de A.

   $$\vec{AB}(1\,;\,1\,;\,-1),\quad \vec{AC}(-1\,;\,2\,;\,1),\quad \vec{AD}(3\,;\,1\,;\,-2)$$
2. 02Chercher une combinaison linéaire AD = a·AB + b·AC

   On écrit le système obtenu coordonnée par coordonnée, en supposant AB et AC non colinéaires (ce qui est le cas car leurs composantes ne sont pas proportionnelles).

   $$\begin{cases} a - b = 3 \\ a + 2b = 1 \\ -a + b = -2 \end{cases}$$
3. 03Résoudre les deux premières équations

   En soustrayant la première de la deuxième : 3b = −2, donc b = −2/3, puis a = 3 + b = 7/3.

   $$a = \dfrac{7}{3}, \qquad b = -\dfrac{2}{3}$$
4. 04Vérifier la troisième équation

   On reporte dans −a + b : −7/3 − 2/3 = −9/3 = −3 ≠ −2. La troisième équation n'est pas vérifiée.

   $$-a + b = -\dfrac{7}{3} - \dfrac{2}{3} = -3 \neq -2$$

Résultat : Le système n'a pas de solution : AD n'est pas combinaison linéaire de AB et AC. Les vecteurs AB, AC, AD ne sont donc pas coplanaires, et les quatre points A, B, C, D ne sont pas coplanaires. Comme ils ne sont pas coplanaires, les trois vecteurs AB, AC, AD forment une base de l'espace.

On considère la droite d de représentation paramétrique x = 2 + t, y = 1 − t, z = t (t ∈ ℝ) et le plan P d'équation x + y + z = 6. Démontrer que d et P sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection I.

1. 01Tester le parallélisme avec n·u

   La droite d a pour vecteur directeur u(1 ; −1 ; 1) et le plan P a pour vecteur normal n(1 ; 1 ; 1). On calcule n·u : s'il est nul, d est parallèle à P ; sinon, ils sont sécants.

   $$\vec{n}\cdot\vec{u} = 1\cdot 1 + 1\cdot(-1) + 1\cdot 1 = 1 \neq 0 \;\Rightarrow\; d \text{ et } P \text{ sécants}$$
2. 02Injecter la droite dans l'équation du plan

   On remplace x, y et z par leurs expressions en fonction de t dans x + y + z = 6.

   $$(2 + t) + (1 - t) + t = 6$$
3. 03Résoudre l'équation en t

   On développe et on regroupe : 2 + t + 1 − t + t = 3 + t. L'équation devient 3 + t = 6, d'où t = 3.

   $$3 + t = 6 \;\Longrightarrow\; t = 3$$
4. 04Calculer les coordonnées de I

   On reporte t = 3 dans la paramétrisation de d.

   $$I\,(2 + 3\,;\,1 - 3\,;\,3) = I\,(5\,;\,-2\,;\,3)$$

Résultat : Comme n·u = 1 ≠ 0, le vecteur directeur de d n'est pas orthogonal au normal de P : la droite n'est pas parallèle au plan, donc d et P sont sécants. En injectant la paramétrisation dans l'équation du plan, on obtient t = 3, d'où le point d'intersection I(5 ; −2 ; 3). La méthode est toujours la même : tester d'abord n·u (nullité = parallélisme), puis résoudre l'équation en t.

Dans un repère orthonormé, on donne u(1 ; 2 ; −2) et v(2 ; 0 ; 1). 1) Calculer u·v. 2) Calculer ‖u‖ et ‖v‖. 3) En déduire la valeur de cos θ, où θ est l'angle entre u et v, puis l'arrondi de θ au degré.

1. 01Calculer le produit scalaire

   On applique u·v = xx' + yy' + zz' avec les coordonnées données.

   $$\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\times 2 + 2\times 0 + (-2)\times 1 = 2 + 0 - 2 = 0$$
2. 02Calculer les normes

   Chaque norme est la racine de la somme des carrés des coordonnées.

   $$\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3, \qquad \lVert\vec{v}\rVert = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5}$$
3. 03Calculer le cosinus de l'angle

   On reporte dans cos θ = (u·v) / (‖u‖·‖v‖).

   $$\cos\theta = \dfrac{0}{3\sqrt{5}} = 0$$
4. 04Conclure sur l'angle

   Un cosinus nul correspond à un angle droit.

   $$\cos\theta = 0 \;\Longrightarrow\; \theta = 90^\circ$$

Résultat : On obtient u·v = 0, ‖u‖ = 3 et ‖v‖ = √5, d'où cos θ = 0 et θ = 90°. Les vecteurs u et v sont orthogonaux : c'est le pivot de la section suivante (u·v = 0 ⇔ u ⊥ v).

Un plan P est dirigé par les vecteurs u(2 ; −1 ; 1) et v(1 ; 0 ; 3). Déterminer un vecteur normal n(a ; b ; c) à P.

1. 01Écrire les conditions d'orthogonalité

   Le vecteur n doit être orthogonal à u et à v, ce qui donne deux équations.

   $$\begin{cases} \vec{n}\cdot\vec{u} = 2a - b + c = 0 \\ \vec{n}\cdot\vec{v} = a + 3c = 0 \end{cases}$$
2. 02Exprimer a en fonction de c

   La deuxième équation donne a = −3c.

   $$a = -3c$$
3. 03En déduire b

   On reporte dans la première équation : 2(−3c) − b + c = 0, soit −6c − b + c = 0, donc b = −5c.

   $$2(-3c) - b + c = 0 \;\Longrightarrow\; b = -5c$$
4. 04Choisir une valeur simple

   On prend c = 1 (un vecteur normal est défini à un coefficient près, on choisit le plus simple).

   $$c = 1 \;\Rightarrow\; \vec{n}(-3\,;\,-5\,;\,1)$$

Résultat : Un vecteur normal à P est n(−3 ; −5 ; 1). Vérification : n·u = −6 + 5 + 1 = 0 et n·v = −3 + 0 + 3 = 0 ; n est bien orthogonal aux deux directeurs, donc normal au plan.

Dans un repère orthonormé, on considère le point A(1 ; 2 ; −1) et le vecteur n(2 ; −1 ; 2). 1) Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par A et de vecteur normal n. 2) Soit M(3 ; 1 ; 3). Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H de M sur P. 3) En déduire la distance de M à P.

1. 01Écrire l'équation cartésienne de P

   Le plan a pour équation 2(x − 1) − 1(y − 2) + 2(z + 1) = 0 ; on développe.

   $$2x - 2 - y + 2 + 2z + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; 2x - y + 2z + 2 = 0$$
2. 02Paramétrer la droite (MH) dirigée par n

   Le projeté H est sur la droite passant par M et dirigée par le normal n. On la paramètre.

   $$x = 3 + 2t,\quad y = 1 - t,\quad z = 3 + 2t \quad (t \in \mathbb{R})$$
3. 03Trouver t en injectant dans P

   On reporte dans 2x − y + 2z + 2 = 0 : 2(3 + 2t) − (1 − t) + 2(3 + 2t) + 2 = 0.

   $$6 + 4t - 1 + t + 6 + 4t + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; 13 + 9t = 0 \;\Longrightarrow\; t = -\dfrac{13}{9}$$
4. 04Calculer les coordonnées de H

   On reporte t = −13/9 dans la paramétrisation.

   $$H\left(3 - \tfrac{26}{9}\,;\,1 + \tfrac{13}{9}\,;\,3 - \tfrac{26}{9}\right) = H\left(\tfrac{1}{9}\,;\,\tfrac{22}{9}\,;\,\tfrac{1}{9}\right)$$
5. 05Calculer la distance par la formule directe

   On applique d(M, P) = |2·3 − 1 + 2·3 + 2| / √(4 + 1 + 4).

   $$d(M, P) = \dfrac{\lvert 6 - 1 + 6 + 2\rvert}{\sqrt{9}} = \dfrac{13}{3}$$

Résultat : Le plan P a pour équation 2x − y + 2z + 2 = 0. Le projeté orthogonal de M(3 ; 1 ; 3) est H(1/9 ; 22/9 ; 1/9), et la distance de M à P vaut 13/3. On vérifie la cohérence : MH = |t|·‖n‖ = (13/9)·3 = 13/3, identique à la formule directe.

Dans un repère orthonormé, on considère la droite d passant par A(0 ; 0 ; 0) et de vecteur directeur u(1 ; 2 ; 2), ainsi que le point M(3 ; 0 ; 0). Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H de M sur d, puis calculer la distance de M à d.

1. 01Paramétrer la droite et écrire H

   Tout point H de d s'écrit H = A + t·u, donc H(t ; 2t ; 2t). Le projeté orthogonal cherché correspond à une valeur particulière de t.

   $$H\,(t\,;\,2t\,;\,2t) \quad (t \in \mathbb{R})$$
2. 02Traduire l'orthogonalité du projeté

   H est le projeté orthogonal de M sur d lorsque le vecteur MH est orthogonal au vecteur directeur u, c'est-à-dire MH·u = 0 (de façon équivalente HM·u = 0).

   $$\vec{MH}\,(t - 3\,;\,2t\,;\,2t), \qquad \vec{MH}\cdot\vec{u} = 0$$
3. 03Résoudre l'équation en t

   On développe MH·u : (t − 3)·1 + 2t·2 + 2t·2 = t − 3 + 4t + 4t = 9t − 3. On annule : 9t − 3 = 0, donc t = 1/3.

   $$(t - 3) + 4t + 4t = 9t - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; t = \dfrac{1}{3}$$
4. 04Calculer les coordonnées de H

   On reporte t = 1/3 dans H(t ; 2t ; 2t).

   $$H\left(\tfrac{1}{3}\,;\,\tfrac{2}{3}\,;\,\tfrac{2}{3}\right)$$
5. 05Calculer la distance MH

   La distance de M à d est la longueur MH, avec MH(1/3 − 3 ; 2/3 ; 2/3) = (−8/3 ; 2/3 ; 2/3).

   $$d(M, d) = \lVert\vec{MH}\rVert = \dfrac{1}{3}\sqrt{8^2 + 2^2 + 2^2} = \dfrac{\sqrt{72}}{3} = 2\sqrt{2}$$

Résultat : Le projeté orthogonal de M(3 ; 0 ; 0) sur la droite d est H(1/3 ; 2/3 ; 2/3), et la distance de M à d vaut MH = 2√2 ≈ 2,83. La méthode est générale : on écrit H = A + t·u, on traduit MH·u = 0 (le projeté est le point de d le plus proche de M), on en tire t, puis on mesure la longueur MH.