Calcul intégral

Le repère est orthonormé. 1) Soit f(x) = x sur [0 ; 3]. En reconnaissant un domaine triangulaire sous la courbe, déterminer ∫_0^3 x dx. 2) Soit g(x) = x − 2 sur [0 ; 3]. Déterminer ∫_0^3 (x − 2) dx en distinguant la portion en dessous de l'axe (sur [0 ; 2]) et la portion au-dessus (sur [2 ; 3]).

1. 01Identifier le domaine sous f

   Sur [0 ; 3], f(x) = x est positive ; le domaine sous la courbe est le triangle de sommets (0, 0), (3, 0) et (3, 3).

   $$f(x) = x \ge 0 \text{ sur } [0;3]$$
2. 02Calculer l'aire du triangle

   Le triangle a une base de longueur 3 (sur l'axe des abscisses) et une hauteur de 3. Son aire vaut (base × hauteur)/2.

   $$\int_0^3 x\,dx = \frac{3 \times 3}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5$$
3. 03Étudier le signe de g

   g(x) = x − 2 s'annule en x = 2 : g ≤ 0 sur [0 ; 2] (portion sous l'axe) et g ≥ 0 sur [2 ; 3] (portion au-dessus).

   $$g(x) \le 0 \text{ sur } [0;2],\qquad g(x) \ge 0 \text{ sur } [2;3]$$
4. 04Mesurer chaque portion (aires algébriques)

   Sur [0 ; 2], le domaine sous l'axe est un triangle d'aire géométrique 2, compté négativement : −2. Sur [2 ; 3], le triangle au-dessus a une aire 1/2, compté positivement : +0,5.

   $$\text{sur } [0;2] : -\tfrac{2 \times 2}{2} = -2,\qquad \text{sur } [2;3] : +\tfrac{1 \times 1}{2} = +0{,}5$$
5. 05Conclure par addition des aires algébriques

   L'intégrale sur [0 ; 3] est la somme des deux aires algébriques.

   $$\int_0^3 (x - 2)\,dx = -2 + 0{,}5 = -1{,}5$$

Résultat : ∫_0^3 x dx = 4,5 (aire d'un triangle) ; ∫_0^3 (x − 2) dx = −1,5 (aire algébrique : la portion sous l'axe l'emporte).

1) Calculer I = ∫_0^2 (3x² − 2x + 1) dx en précisant une primitive. 2) Calculer J = ∫_0^1 x·e^x dx à l'aide d'une intégration par parties.

1. 01Déterminer une primitive de l'intégrande de I

   On primitive terme à terme : 3x² ↦ x³, −2x ↦ −x², 1 ↦ x. Une primitive est donc F(x) = x³ − x² + x.

   $$F(x) = x^3 - x^2 + x,\qquad F'(x) = 3x^2 - 2x + 1$$
2. 02Appliquer le théorème fondamental pour I

   On évalue F(2) − F(0) à l'aide du crochet.

   $$I = \big[x^3 - x^2 + x\big]_0^2 = (8 - 4 + 2) - 0 = 6$$
3. 03Poser l'intégration par parties pour J

   On choisit u(x) = x (donc u′ = 1) et v′(x) = e^x (donc v = e^x), de sorte que la nouvelle intégrale ∫ u′v = ∫ e^x soit immédiate.

   $$u = x,\ u' = 1,\qquad v' = e^x,\ v = e^x$$
4. 04Écrire la formule d'intégration par parties

   On applique ∫ u v′ = [u v] − ∫ u′ v sur [0 ; 1].

   $$J = \big[x\,e^x\big]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx$$
5. 05Calculer chaque morceau et conclure

   Le crochet vaut 1·e¹ − 0·e⁰ = e ; l'intégrale restante vaut [e^x]_0^1 = e − 1. On soustrait.

   $$J = e - \big[e^x\big]_0^1 = e - (e - 1) = 1$$

Résultat : I = ∫_0^2 (3x² − 2x + 1) dx = 6 ; J = ∫_0^1 x·e^x dx = 1 (par intégration par parties).

1) Calculer A = ∫_0^1 (4x³ − 6x² + 2) dx en utilisant la linéarité. 2) Montrer, sans calculer la primitive, que 0 ≤ ∫_0^1 x²·e^(−x) dx ≤ 1/3.

1. 01Décomposer A par linéarité

   On intègre terme à terme et on sort les constantes : A = 4∫_0^1 x³ dx − 6∫_0^1 x² dx + 2∫_0^1 1 dx.

   $$A = 4\int_0^1 x^3\,dx - 6\int_0^1 x^2\,dx + 2\int_0^1 dx$$
2. 02Calculer chaque intégrale élémentaire

   ∫_0^1 x³ = [x⁴/4]_0^1 = 1/4 ; ∫_0^1 x² = [x³/3]_0^1 = 1/3 ; ∫_0^1 1 = 1.

   $$A = 4\cdot\tfrac{1}{4} - 6\cdot\tfrac{1}{3} + 2\cdot 1 = 1 - 2 + 2 = 1$$
3. 03Encadrer l'intégrande de la seconde intégrale

   Sur [0 ; 1], on a 0 ≤ e^(−x) ≤ 1 (car −x ≤ 0). En multipliant par x² ≥ 0, on obtient 0 ≤ x²·e^(−x) ≤ x².

   $$0 \le e^{-x} \le 1 \;\Rightarrow\; 0 \le x^2 e^{-x} \le x^2 \quad\text{sur } [0;1]$$
4. 04Intégrer l'encadrement (comparaison)

   Comme l'ordre se conserve par intégration sur [0 ; 1], on intègre les trois membres.

   $$\int_0^1 0\,dx \le \int_0^1 x^2 e^{-x}\,dx \le \int_0^1 x^2\,dx$$
5. 05Conclure l'encadrement

   L'intégrale de 0 vaut 0 et celle de x² vaut 1/3.

   $$0 \le \int_0^1 x^2 e^{-x}\,dx \le \frac{1}{3}$$

Résultat : A = 1 (par linéarité) ; et 0 ≤ ∫_0^1 x²·e^(−x) dx ≤ 1/3 (par comparaison, sans calculer l'intégrale).

1) Déterminer la valeur moyenne μ de la fonction f(x) = x² sur l'intervalle [0 ; 3]. 2) Calculer l'aire du domaine compris entre la droite d'équation y = x + 2 et la parabole d'équation y = x².

1. 01Calculer l'intégrale de f sur [0 ; 3]

   Une primitive de x² est x³/3 ; on applique le théorème fondamental.

   $$\int_0^3 x^2\,dx = \Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^3 = \tfrac{27}{3} - 0 = 9$$
2. 02Diviser par la longueur de l'intervalle

   La valeur moyenne s'obtient en divisant l'intégrale par (b − a) = 3 − 0 = 3.

   $$\mu = \frac{1}{3 - 0}\int_0^3 x^2\,dx = \frac{9}{3} = 3$$
3. 03Déterminer les bornes par intersection

   On résout x + 2 = x², soit x² − x − 2 = 0, dont les solutions sont x = −1 et x = 2. Ce sont les abscisses des points d'intersection, donc les bornes.

   $$x^2 - x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = -1 \text{ ou } x = 2$$
4. 04Justifier la position relative

   Sur [−1 ; 2], la différence (x + 2) − x² = −x² + x + 2 est positive (elle s'annule aux bornes et son coefficient dominant est négatif) : la droite est au-dessus de la parabole.

   $$(x + 2) - x^2 \ge 0 \text{ sur } [-1\,;2]$$
5. 05Intégrer la différence (haut − bas)

   L'aire est ∫ de −1 à 2 de (x + 2 − x²). Une primitive de −x² + x + 2 est −x³/3 + x²/2 + 2x.

   $$\mathcal{A} = \Big[-\tfrac{x^3}{3} + \tfrac{x^2}{2} + 2x\Big]_{-1}^{2} = \tfrac{10}{3} - \big(-\tfrac{7}{6}\big) = \frac{9}{2}$$

Résultat : La valeur moyenne de x² sur [0 ; 3] est μ = 3 ; l'aire entre la droite y = x + 2 et la parabole y = x² vaut 9/2 = 4,5 unités d'aire.

Pour tout entier naturel n, on pose I_n = ∫_0^1 x^n·e^x dx. 1) Calculer I_0. 2) Établir, pour n ≥ 1, la relation I_n = e − n·I_{n−1} par une intégration par parties. 3) En déduire les valeurs exactes de I_1 et I_2. 4) Montrer que (I_n) est positive et décroissante, puis que 0 ≤ I_n ≤ e/(n + 1) ; en déduire la limite de (I_n).

1. 01Calculer le terme initial I₀

   Pour n = 0, x^0 = 1, donc I_0 = ∫_0^1 e^x dx = [e^x]_0^1 = e − 1.

   $$I_0 = \int_0^1 e^x\,dx = \big[e^x\big]_0^1 = e - 1$$
2. 02Poser l'intégration par parties pour I_n

   Pour n ≥ 1, on choisit u(x) = x^n (donc u′ = n·x^{n−1}) et v′(x) = e^x (donc v = e^x), afin de faire baisser l'exposant de la puissance.

   $$u = x^n,\ u' = n\,x^{n-1},\qquad v' = e^x,\ v = e^x$$
3. 03Appliquer la formule et reconnaître In−₁

   Le crochet vaut [x^n·e^x]_0^1 = 1·e − 0 = e ; l'intégrale restante est ∫_0^1 n·x^{n−1}·e^x dx = n·I_{n−1}.

   $$I_n = \big[x^n e^x\big]_0^1 - \int_0^1 n\,x^{n-1}e^x\,dx = e - n\,I_{n-1}$$
4. 04Calculer I₁ et I₂ de proche en proche

   Avec la récurrence : I_1 = e − 1·I_0 = e − (e − 1) = 1, puis I_2 = e − 2·I_1 = e − 2.

   $$I_1 = e - (e - 1) = 1,\qquad I_2 = e - 2\cdot 1 = e - 2$$
5. 05Signe et sens de variation par comparaison

   Sur [0 ; 1], x^n·e^x ≥ 0 donc I_n ≥ 0 ; et 0 ≤ x^{n+1} ≤ x^n entraîne x^{n+1}·e^x ≤ x^n·e^x, d'où I_{n+1} ≤ I_n : la suite (I_n) est positive et décroissante.

   $$0 \le x^{n+1}e^x \le x^n e^x \text{ sur } [0;1] \;\Rightarrow\; 0 \le I_{n+1} \le I_n$$
6. 06Encadrer puis conclure sur la limite

   Sur [0 ; 1], e^x ≤ e, donc x^n·e^x ≤ e·x^n ; en intégrant, I_n ≤ e·∫_0^1 x^n dx = e·1/(n + 1). Avec I_n ≥ 0, on a 0 ≤ I_n ≤ e/(n + 1) → 0 : par le théorème des gendarmes, I_n → 0.

   $$0 \le I_n \le e\int_0^1 x^n\,dx = \frac{e}{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0,\quad\text{donc } \lim_{n\to+\infty} I_n = 0$$

Résultat : I_0 = e − 1 ; la relation de récurrence est I_n = e − n·I_{n−1} (n ≥ 1), d'où I_1 = 1 et I_2 = e − 2. La suite (I_n) est positive et décroissante, encadrée par 0 ≤ I_n ≤ e/(n + 1), donc lim I_n = 0.

On veut approcher I = ∫_0^1 x² dx (valeur exacte 1/3 ≈ 0,3333). 1) Calculer la somme des rectangles à gauche avec n = 4 (pas h = 0,25). 2) Écrire une fonction Python rectangles_gauche(f, a, b, n) renvoyant cette approximation, et préciser si l'on sous-estime ou sur-estime I.

1. 01Déterminer le pas et les points de subdivision

   Avec n = 4 sur [0 ; 1], le pas est h = (1 − 0)/4 = 0,25 ; les bords gauches sont x_0 = 0, x_1 = 0,25, x_2 = 0,5, x_3 = 0,75.

   $$h = \frac{1 - 0}{4} = 0{,}25,\qquad x_k = 0{,}25\,k$$
2. 02Évaluer f aux bords gauches

   Avec f(x) = x², on calcule les hauteurs : f(0) = 0 ; f(0,25) = 0,0625 ; f(0,5) = 0,25 ; f(0,75) = 0,5625.

   $$f(x_0)=0,\ f(x_1)=0{,}0625,\ f(x_2)=0{,}25,\ f(x_3)=0{,}5625$$
3. 03Sommer les aires des rectangles

   On multiplie la somme des hauteurs par la largeur commune h.

   $$S_g = 0{,}25\,(0 + 0{,}0625 + 0{,}25 + 0{,}5625) = 0{,}25 \times 0{,}875 = 0{,}21875$$
4. 04Conclure sur l'encadrement

   f(x) = x² est croissante sur [0 ; 1], donc la somme des rectangles à gauche SOUS-ESTIME l'intégrale : S_g = 0,21875 < 1/3 ≈ 0,3333. En augmentant n, l'approximation se rapproche de 1/3.

   $$S_g = 0{,}21875 \;<\; \int_0^1 x^2\,dx = \tfrac{1}{3} \approx 0{,}3333$$
5. 05Écrire l'algorithme Python

   On initialise l'aire à 0, on calcule h, puis on cumule h·f(a + k·h) pour k de 0 à n − 1. Code : def rectangles_gauche(f, a, b, n): | aire = 0 | h = (b - a) / n | for k in range(n): | aire = aire + h f(a + k h) | return aire. On appelle rectangles_gauche(lambda x: x**2, 0, 1, 4), qui renvoie 0,21875.

   $$\texttt{aire} \mathrel{+}= h \cdot f(a + k\,h),\quad k = 0,\dots,n-1$$

Résultat : Avec n = 4, la somme des rectangles à gauche vaut S_g = 0,21875, qui sous-estime I = 1/3 (car x² est croissante). La fonction Python rectangles_gauche cumule h·f(a + k·h) sur k de 0 à n − 1 et converge vers 1/3 quand n augmente.