Fonctions trigonométriques

Calculer la valeur exacte de cos(−13π/6) et de sin(−13π/6).

1. 01Utiliser la périodicité 2π

   On ajoute des multiples de 2π pour ramener l'argument dans un intervalle commode. Comme 2π = 12π/6, on a −13π/6 + 2 × (12π/6) = −13π/6 + 24π/6 = 11π/6, mais il est plus simple d'écrire −13π/6 = −π/6 − 12π/6 = −π/6 − 2π.

   $$-\dfrac{13\pi}{6} = -\dfrac{\pi}{6} - 2\pi$$
2. 02Appliquer la périodicité

   Puisque cos et sin sont 2π-périodiques, ôter 2π ne change rien : cos(−13π/6) = cos(−π/6) et sin(−13π/6) = sin(−π/6).

   $$\cos\!\left(-\dfrac{13\pi}{6}\right) = \cos\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right), \quad \sin\!\left(-\dfrac{13\pi}{6}\right) = \sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$$
3. 03Appliquer la parité

   Cosinus est paire et sinus impaire, donc cos(−π/6) = cos(π/6) = √3/2 et sin(−π/6) = −sin(π/6) = −1/2.

   $$\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$$

Résultat : cos(−13π/6) = √3/2 et sin(−13π/6) = −1/2.

Donner la valeur exacte de cos(5π/6) et de sin(5π/6).

1. 01Reconnaître un angle supplémentaire

   On écrit 5π/6 = π − π/6 : l'angle 5π/6 est l'angle supplémentaire de π/6, situé au deuxième quadrant.

   $$\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$$
2. 02Appliquer les relations des angles supplémentaires

   On utilise cos(π − x) = −cos(x) et sin(π − x) = sin(x) avec x = π/6.

   $$\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right), \quad \sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$$
3. 03Substituer les valeurs remarquables

   On remplace par cos(π/6) = √3/2 et sin(π/6) = 1/2.

   $$\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$$

Résultat : cos(5π/6) = −√3/2 et sin(5π/6) = 1/2 (cohérent avec le deuxième quadrant : cosinus négatif, sinus positif).

Cette démonstration relève du programme de première et n'est pas exigible en terminale ; elle est rappelée pour mémoire. En utilisant la limite lim (h → 0) sin(h)/h = 1 et la formule d'addition sin(x + h) = sin x cos h + cos x sin h, on retrouve que la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus.

1. 01Former le taux d'accroissement

   La dérivée en x est la limite, quand h tend vers 0, du taux d'accroissement [sin(x + h) − sin x] / h.

   $$\tau(h) = \dfrac{\sin(x + h) - \sin(x)}{h}$$
2. 02Développer avec la formule d'addition

   On remplace sin(x + h) par sin x cos h + cos x sin h, puis on regroupe les termes en sin x et en cos x.

   $$\tau(h) = \sin(x)\cdot\dfrac{\cos(h) - 1}{h} + \cos(x)\cdot\dfrac{\sin(h)}{h}$$
3. 03Passer à la limite

   Quand h → 0, (cos h − 1)/h → 0 et sin(h)/h → 1. Le premier terme tend vers sin(x) × 0 = 0, le second vers cos(x) × 1 = cos(x).

   $$\lim_{h \to 0} \tau(h) = \sin(x)\cdot 0 + \cos(x)\cdot 1 = \cos(x)$$

Résultat : La fonction sinus est dérivable sur ℝ et (sin x)′ = cos x. Le même calcul avec cos(x + h) = cos x cos h − sin x sin h donne (cos x)′ = −sin x.

Soit f définie sur ℝ par f(x) = sin(2x). Déterminer sa période, calculer f′(x) et étudier les variations de f sur l'intervalle [0 ; π].

1. 01Période

   La fonction x ↦ sin(2x) est de la forme sin(ax) avec a = 2, donc de période 2π/a = π. Étudier sur [0 ; π] suffit pour connaître f partout.

   $$T = \dfrac{2\pi}{a} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$$
2. 02Dérivée

   On dérive la composée affine : (sin(2x))′ = 2·cos(2x). La dérivée a le signe de cos(2x).

   $$f'(x) = 2\cos(2x)$$
3. 03Signe de la dérivée sur [0 ; π]

   Sur [0 ; π], 2x parcourt [0 ; 2π]. cos(2x) > 0 quand 2x ∈ [0 ; π/2[ ∪ ]3π/2 ; 2π], c'est-à-dire x ∈ [0 ; π/4[ ∪ ]3π/4 ; π] ; cos(2x) < 0 pour x ∈ ]π/4 ; 3π/4[.

   $$f'(x) = 0 \iff x = \dfrac{\pi}{4} \ \text{ou} \ x = \dfrac{3\pi}{4}$$
4. 04Tableau de variations

   f croît sur [0 ; π/4] (de 0 à 1), décroît sur [π/4 ; 3π/4] (de 1 à −1), puis croît sur [3π/4 ; π] (de −1 à 0). Le maximum 1 est en π/4, le minimum −1 en 3π/4.

   $$f\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 1, \qquad f\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right) = \sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) = -1$$

Résultat : f(x) = sin(2x) est π-périodique ; sur [0 ; π] elle croît jusqu'à 1 en π/4, décroît jusqu'à −1 en 3π/4, puis remonte vers 0 — soit une oscillation complète de moitié de longueur par rapport à sin(x).

Un trapèze isocèle est inscrit dans un demi-disque de rayon 1 : sa grande base est le diamètre [PQ] (avec P(−1 ; 0) et Q(1 ; 0)), et ses deux autres sommets sont les points A(cos θ ; sin θ) et B(−cos θ ; sin θ) du demi-cercle supérieur, où θ ∈ ]0 ; π/2[. Déterminer la valeur de θ qui rend l'aire du trapèze maximale, et donner cette aire maximale.

1. 01Exprimer l'aire en fonction de θ

   La grande base vaut PQ = 2, la petite base AB = 2 cos θ et la hauteur (l'ordonnée de A) vaut sin θ. L'aire d'un trapèze est la demi-somme des bases multipliée par la hauteur.

   $$A(\theta) = \dfrac{(2 + 2\cos\theta)}{2}\times \sin\theta = (1 + \cos\theta)\sin\theta$$
2. 02Dériver A sur ]0 ; π/2[

   On dérive un produit : A′(θ) = (−sin θ)·sin θ + (1 + cos θ)·cos θ = −sin²θ + cos θ + cos²θ. Avec sin²θ = 1 − cos²θ, on obtient A′(θ) = 2cos²θ + cos θ − 1, qui se factorise.

   $$A'(\theta) = 2\cos^2\theta + \cos\theta - 1 = (2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1)$$
3. 03Étudier le signe et conclure à l'optimum

   Sur ]0 ; π/2[, cos θ + 1 > 0, donc A′(θ) a le signe de 2cos θ − 1. Or 2cos θ − 1 > 0 ⇔ cos θ > 1/2 ⇔ θ < π/3, et < 0 pour θ > π/3. Ainsi A croît puis décroît : elle atteint son maximum en θ = π/3.

   $$A'(\theta) = 0 \iff \cos\theta = \dfrac{1}{2} \iff \theta = \dfrac{\pi}{3}$$
4. 04Calculer l'aire maximale

   On remplace θ par π/3 : cos(π/3) = 1/2 et sin(π/3) = √3/2.

   $$A\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \left(1 + \dfrac{1}{2}\right)\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{2}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$$

Résultat : L'aire est maximale pour θ = π/3 ; elle vaut alors 3√3/4 ≈ 1,30. C'est l'archétype de la capacité attendue de terminale : étudier une fonction définie à partir de sin et cos pour déterminer un optimum dans un problème géométrique.

Résoudre dans l'intervalle [0 ; 2π[ l'équation cos(x) = 1/2.

1. 01Identifier un angle de référence

   On cherche a tel que cos(a) = 1/2. Parmi les valeurs remarquables, cos(π/3) = 1/2, donc on écrit cos(x) = cos(π/3).

   $$\cos(x) = \dfrac{1}{2} = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$$
2. 02Écrire les solutions générales

   D'après la propriété cos(x) = cos(a) ⇔ x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ, on obtient deux familles avec a = π/3.

   $$x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$
3. 03Sélectionner les solutions dans [0 ; 2π[

   Pour x = π/3 + 2kπ : k = 0 donne π/3 (dans l'intervalle), k = 1 donne 7π/3 (hors). Pour x = −π/3 + 2kπ : k = 0 donne −π/3 (hors, négatif), k = 1 donne −π/3 + 2π = 5π/3 (dans l'intervalle).

   $$\dfrac{\pi}{3} \in [0 ; 2\pi[ \qquad -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3} \in [0 ; 2\pi[$$

Résultat : L'ensemble des solutions dans [0 ; 2π[ est S = { π/3 ; 5π/3 }, ce que confirme la lecture graphique (deux intersections de y = cos x avec y = 1/2).

Résoudre dans l'intervalle [0 ; 2π[ l'équation sin(x) = √2/2.

1. 01Identifier un angle de référence

   On cherche a tel que sin(a) = √2/2. Comme sin(π/4) = √2/2, on écrit sin(x) = sin(π/4).

   $$\sin(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$$
2. 02Écrire les solutions générales

   D'après sin(x) = sin(a) ⇔ x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ, avec a = π/4.

   $$x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$$
3. 03Sélectionner les solutions dans [0 ; 2π[

   Pour k = 0 : la première famille donne π/4, la seconde 3π/4, toutes deux dans [0 ; 2π[. Pour k = 1 les valeurs (9π/4 et 11π/4) sortent de l'intervalle.

   $$\dfrac{\pi}{4} \in [0 ; 2\pi[ \qquad \dfrac{3\pi}{4} \in [0 ; 2\pi[$$

Résultat : L'ensemble des solutions dans [0 ; 2π[ est S = { π/4 ; 3π/4 } : deux angles symétriques par rapport à l'axe Oy, comme l'impose sin(π − a) = sin(a).

Résoudre dans l'intervalle [−π ; π] l'inéquation cos(x) ⩽ 1/2.

1. 01Résoudre d'abord l'équation associée

   On cherche les bornes : cos(x) = 1/2 sur [−π ; π]. Comme cos(π/3) = 1/2 et cosinus est paire, les solutions sont x = π/3 et x = −π/3.

   $$\cos(x) = \dfrac{1}{2} \ \text{sur } [-\pi\,;\,\pi] \iff x = -\dfrac{\pi}{3} \ \text{ou} \ x = \dfrac{\pi}{3}$$
2. 02Étudier la position de la courbe par rapport à y = 1/2

   Sur [−π ; π], cosinus vaut 1 en 0 (son maximum) et −1 en ±π. Il décroît de 0 à π et croît de −π à 0 : cos(x) est donc supérieur à 1/2 autour de 0 (sur ]−π/3 ; π/3[) et inférieur ou égal à 1/2 vers les bords ±π.

   $$\cos(x) > \dfrac{1}{2} \ \text{sur } \left]-\dfrac{\pi}{3}\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right[ \qquad \cos(x) \leqslant \dfrac{1}{2} \ \text{ailleurs}$$
3. 03Conclure par une réunion d'intervalles

   Les valeurs où cos(x) ⩽ 1/2 sont donc celles proches de ±π, bornes incluses (cos(±π/3) = 1/2 vérifie l'inégalité large).

   $$S = \left[-\pi\,;\,-\dfrac{\pi}{3}\right] \cup \left[\dfrac{\pi}{3}\,;\,\pi\right]$$

Résultat : Sur [−π ; π], cos(x) ⩽ 1/2 ⇔ x ∈ [−π ; −π/3] ∪ [π/3 ; π] : une réunion de deux intervalles symétriques, ce que confirme la lecture des arcs du cercle (la partie du cercle où l'abscisse est ⩽ 1/2).