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Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien ln est la réciproque de l'exponentielle : elle transforme les produits en sommes et permet de résoudre les équations où l'inconnue est en exposant. Définie et strictement croissante sur ]0;+∞[, dérivable de dérivée 1/x, elle relie les propriétés algébriques (ln(ab), ln(aⁿ)) à une étude analytique complète (variations, limites en 0⁺ et +∞, croissances comparées). C'est l'outil central pour modéliser les phénomènes à croissance multiplicative, notamment le temps de doublement. En ouverture (hors-programme), le logarithme décimal éclaire les échelles logarithmiques usuelles (pH, magnitudes, décibels).

5sectionsca. 20min de lecture4compétencesNiveauBase 1 · Standard 2 · Approfondissement 2Vérifié · 06/2026

T·0444 / 12

Profil d’examen

C1 · Utiliser les propriétés algébriques du logarithme (ln(ab), ln(a/b), ln(aⁿ), ln(1/a), ln(√a)) pour simplifier, transformer ou résoudre.C2 · Résoudre des équations et inéquations faisant intervenir ln et exp, en précisant systématiquement l'ensemble de définition.C3 · Étudier une fonction comportant un logarithme : domaine, dérivée, sens de variation, limites et asymptotes.C4 · Déterminer les limites de ln en 0⁺ et en +∞, exploiter les croissances comparées et modéliser des problèmes (échelles logarithmiques, temps de doublement).

Opérateurs :définirdémontrerétudiercalculerrésoudredéterminerinterpréterjustifier

niveau de base

Maîtrisez d'abord l'équivalence ln(x)=y ⇔ x=eʸ, les quatre règles algébriques et le tableau de variations : elles suffisent à traiter la majorité des questions d'analyse du sujet écrit.

niveau approfondi

Visez la rédaction experte : justifier l'ensemble de définition AVANT toute manipulation, démontrer les croissances comparées et conduire une étude complète de fonction de la forme ln(u) avec asymptotes et tableau de signes de la dérivée.

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Inhalt · 5 sections

Fonction logarithme népérien

ln comme réciproque de l'exponentielle : définition, valeurs et premières propriétés#

BasisBO-2019-spe-maths-terminale-§Fonction-logarithme

Symétrie des courbes de ln et exp par rapport à la droite y = x

Fig. 1Comme deux fonctions réciproques, exp et ln se déduisent l'une de l'autre par symétrie axiale d'axe la droite y = x.

La fonction exponentielle réalise une bijection de ℝ sur ]0;+∞[ : pour tout réel strictement positif a, l'équation eˣ=a admet une unique solution. La fonction logarithme népérien ln est définie comme la fonction réciproque de exp ; elle associe à tout réel a>0 l'unique réel x tel que eˣ=a.

Ensemble de définition : ln est définie sur ]0;+∞[ uniquement. Écrire ln(x) impose donc toujours la condition x>0, et ln(u(x)) impose u(x)>0. C'est la première chose à poser dans tout exercice.

Équivalence fondamentale : pour x>0 et y réel quelconque, ln(x)=y ⇔ x=eʸ. Elle découle directement de la définition et sert à transformer toute équation logarithmique en équation exponentielle (et réciproquement).

Relations de réciprocité : pour tout x>0, e^(ln x)=x ; pour tout réel x, ln(eˣ)=x. Composer ln puis exp (ou l'inverse) « annule » les deux fonctions, ce qui simplifie les expressions.

Valeurs remarquables : ln(1)=0 (car e⁰=1) et ln(e)=1 (car e¹=e). Plus généralement ln(eⁿ)=n pour tout entier n.

Lecture graphique : les courbes de exp et de ln sont symétriques par rapport à la première bissectrice d'équation y=x, propriété générale de deux fonctions réciproques dans un repère orthonormé.

\ln(x) = y \iff x = e^{y} \quad (x>0,\ y \in \mathbb{R})

Équivalence définissant ln comme réciproque de exp

Cœur de la définition : tout passage d'une écriture logarithmique à une écriture exponentielle repose sur cette équivalence.

e^{\ln x} = x \ \ (x>0) \qquad \ln(e^{x}) = x \ \ (x \in \mathbb{R})

Relations de réciprocité

ln et exp se « neutralisent » par composition ; attention aux domaines respectifs : x>0 à gauche, x quelconque à droite.

\ln(1) = 0, \qquad \ln(e) = 1, \qquad \ln(e^{n}) = n

Valeurs remarquables

Points d'ancrage indispensables : la courbe coupe l'axe des abscisses en x=1 et passe par le point (e ; 1).

Exemple corrigé

Du logarithme à l'exponentiel et réciproquement

Résoudre dans ℝ les équations suivantes, en précisant à chaque fois l'ensemble de définition : a) $\ln(x) = 3$ ; b) $e^{x} = 12$ ; c) $e^{\ln x + 2} = 5$ .

a) Ensemble de définition et résolution
ln(x) n'existe que pour x>0, donc on travaille sur ]0;+∞[. L'équivalence ln(x)=y ⇔ x=eʸ donne directement x=e³.
$\ln(x)=3 \iff x = e^{3} \approx 20{,}09$
b) Inconnue en exposant
eˣ est défini pour tout réel x. On applique ln aux deux membres (12>0) : ln(eˣ)=ln(12), soit x=ln(12).
$e^{x}=12 \iff x = \ln(12) \approx 2{,}48$
c) Simplifier avant de résoudre
Condition d'existence : $x>0$ à cause de $\ln(x)$ . On utilise $e^{a+b}=e^{a}e^{b}$ puis $e^{\ln x}=x$ : $e^{\ln x + 2}=e^{\ln x}\cdot e^{2}=x\,e^{2}$ . L'équation devient $x\,e^{2}=5$ .
$x\,e^{2}=5 \iff x = \dfrac{5}{e^{2}} \approx 0{,}68$
Vérification du domaine
Chaque solution est strictement positive (cas a et c) ou réelle quelconque (cas b), donc compatible avec l'ensemble de définition. On conclut.

Résultat : a) S = {e³} ; b) S = {ln(12)} ; c) S = {5/e²}. Toutes les solutions respectent leur ensemble de définition.

Erreurs fréquentes

Écrire ln(x) ou ln(u(x)) sans poser la condition x>0 (ou u(x)>0) : l'ensemble de définition est omis et le raisonnement est invalidé.
Confondre e^(ln x)=x (valable seulement pour x>0) et ln(eˣ)=x (valable pour tout réel x) : inverser les domaines de validité.
Croire que ln(0) ou ln d'un nombre négatif existe : la fonction n'est pas définie sur ]−∞;0].

Révision active

Résoudre dans ℝ chacune des équations e^(2x)=3, ln(x)=−1, e^(ln x + 2)=5, en précisant à chaque fois l'ensemble de définition.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques de terminale générale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Propriétés algébriques du logarithme et résolution d'équations et d'inéquations#

StandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Fonction-logarithme

Le logarithme transforme un produit en somme

Fig. 2Principe de l'échelle logarithmique : multiplier les grandeurs revient à additionner leurs logarithmes — fondement des règles à calcul et des échelles (pH, décibels, magnitudes).

Relation fonctionnelle fondamentale : pour tous réels a>0 et b>0, ln(ab)=ln(a)+ln(b). Le logarithme transforme un produit en somme — c'est la propriété qui fonde les échelles logarithmiques.

Quotient et inverse : ln(a/b)=ln(a)−ln(b) et, en particulier, ln(1/a)=−ln(a). On obtient le second cas en prenant b=a dans le premier, ou a=1 dans le quotient.

Puissance : pour tout réel a>0 et tout entier relatif n, ln(aⁿ)=n·ln(a). Cette règle s'étend aux exposants réels et permet de « faire descendre » l'inconnue d'un exposant.

Racine carrée : ln(√a)=½·ln(a), cas particulier de la règle de la puissance avec n=½ (puisque √a=a^(1/2)). Plus généralement ln(a^(1/n))=(1/n)·ln(a).

Méthode équation : isoler les ln d'un même côté, les regrouper en un seul ln à l'aide des propriétés algébriques, puis appliquer ln(A)=ln(B) ⇔ A=B (pour A>0 et B>0), ou ln(A)=k ⇔ A=eᵏ.

Méthode inéquation : la stricte croissance de ln donne ln(A)<ln(B) ⇔ A<B (pour A>0, B>0). On ne change PAS le sens de l'inégalité — contrairement à une multiplication par un nombre négatif. L'ensemble de définition restreint toujours l'ensemble solution.

\ln(ab) = \ln a + \ln b \qquad \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b

Produit et quotient (a>0, b>0)

Les deux règles maîtresses : un produit devient une somme, un quotient une différence.

\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln a \qquad \ln(a^{n}) = n\,\ln a \qquad \ln(\sqrt{a}) = \tfrac{1}{2}\ln a

Inverse, puissance et racine (a>0)

L'inverse change le signe ; un exposant entier (ou réel) se place en facteur ; la racine carrée correspond à l'exposant ½.

\ln A = \ln B \iff A = B \qquad \ln A < \ln B \iff A < B \quad (A>0,\ B>0)

Résolution par stricte croissance de ln

La bijectivité et la stricte croissance de ln permettent d'« enlever » les logarithmes en conservant l'ordre.

Exemple corrigé

Équation logarithmique avec contrôle du domaine

Résoudre dans ℝ l'équation ln(x) + ln(x − 3) = ln(10).

Ensemble de définition
Les deux logarithmes imposent x>0 ET x−3>0, donc x>3. On résout sur l'intervalle ]3;+∞[.
$\mathcal{D} = \,]3\,;+\infty[$
Condenser le membre de gauche
La règle du produit ln(a)+ln(b)=ln(ab) donne ln(x)+ln(x−3)=ln(x(x−3)). L'équation devient ln(x(x−3))=ln(10).
$\ln\big(x(x-3)\big) = \ln(10)$
Supprimer les logarithmes
Par stricte croissance (donc injectivité) de ln : ln(A)=ln(B) ⇔ A=B. On obtient x(x−3)=10, soit x²−3x−10=0.
$x^{2} - 3x - 10 = 0$
Résoudre le trinôme
Le discriminant vaut Δ=9+40=49, √Δ=7. Les racines sont x=(3+7)/2=5 et x=(3−7)/2=−2.
$x = \dfrac{3 \pm 7}{2} \ \Rightarrow\ x_1 = 5,\quad x_2 = -2$
Confronter au domaine
On garde uniquement les solutions de ]3;+∞[. La valeur −2 est exclue (hors domaine) ; 5 convient (5>3).

Résultat : S = {5}. La racine −2 est rejetée car elle n'appartient pas à l'ensemble de définition ]3;+∞[.

Erreurs fréquentes

Écrire ln(a+b)=ln(a)+ln(b) : FAUX. La règle ne concerne que le produit, ln(ab)=ln(a)+ln(b). Le logarithme d'une somme ne se développe pas.
Oublier de restreindre l'ensemble solution à l'ensemble de définition : par exemple résoudre ln(x)+ln(x−2)=ln(3) et garder une solution qui rend x−2 négatif.
Inverser le sens d'une inéquation lors du « passage au logarithme » : ln étant croissante, ln(A)<ln(B) ⇔ A<B, l'ordre est conservé.

Révision active

Résoudre dans ℝ l'équation ln(x) + ln(x − 3) = ln(10), puis l'inéquation ln(2x − 1) ≤ ln(x + 4), en précisant à chaque fois l'ensemble de définition.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques de terminale générale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Étude analytique : dérivée, sens de variation et limites en 0⁺ et en +∞#

StandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Fonction-logarithme

Courbe de ln avec asymptote verticale en x = 0 et signe

Fig. 3ln est strictement croissante sur ]0;+∞[ : asymptote verticale x=0 (limite −∞), valeur nulle en x=1, croissance lente vers +∞.

Dérivée : la fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[ et (ln x)′=1/x. Comme 1/x>0 sur ]0;+∞[, la dérivée est strictement positive : ln est strictement croissante sur tout son domaine.

Sens de variation et conséquences : de la stricte croissance découlent l'injectivité (ln(a)=ln(b) ⇔ a=b) et la conservation de l'ordre (a<b ⇔ ln(a)<ln(b)). En particulier, ln(x)>0 pour x>1, ln(x)<0 pour 0<x<1, et ln(x)=0 ⇔ x=1.

Limite en +∞ : lim(x→+∞) ln(x)=+∞. La croissance est cependant très lente — ln tend vers l'infini moins vite que toute puissance positive de x (voir croissances comparées).

Limite en 0⁺ : lim(x→0⁺) ln(x)=−∞. La courbe « plonge » vers le bas en se rapprochant de l'axe des ordonnées : la droite d'équation x=0 (l'axe Oy) est asymptote verticale.

Tangente en x=1 : au point d'abscisse 1, ln(1)=0 et (ln)′(1)=1, donc la tangente à la courbe en (1;0) a pour équation y=x−1. Cette tangente est au-dessus de la courbe (concavité tournée vers le bas, car (ln)″(x)=−1/x²<0).

Dérivée de ln(u) : si u est dérivable et strictement positive sur un intervalle, alors ln(u) est dérivable et (ln u)′=u′/u. C'est la clé de l'étude des fonctions composées avec un logarithme.

(\ln x)' = \dfrac{1}{x} \quad (x>0) \qquad (\ln u)' = \dfrac{u'}{u} \quad (u>0)

Dérivée de ln et de ln(u)

Dérivée de base, puis sa version composée : on divise la dérivée de l'argument par l'argument lui-même.

\lim_{x \to 0^{+}} \ln(x) = -\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty

Limites aux bornes du domaine

À gauche, chute vers −∞ (asymptote verticale x=0) ; à droite, croissance vers +∞, mais lente.

\ln(x) > 0 \iff x > 1, \qquad \ln(x) < 0 \iff 0 < x < 1, \qquad \ln(x) = 0 \iff x = 1

Signe de ln

Le signe du logarithme se lit par rapport à 1 : positif au-delà, négatif en deçà, nul en 1.

Exemple corrigé

Étude de f(x) = x − ln(x) sur ]0 ; +∞[

Soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x) = x − ln(x). Étudier les variations de f et déterminer son minimum.

Dérivée
f est dérivable sur ]0;+∞[ comme somme de fonctions dérivables. On a f′(x)=1−1/x, soit, en réduisant au même dénominateur, f′(x)=(x−1)/x.
$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}$
Signe de la dérivée
Sur ]0;+∞[, le dénominateur x est strictement positif ; le signe de f′(x) est donc celui de x−1. Ainsi f′(x)<0 pour 0<x<1 et f′(x)>0 pour x>1.
$f'(x) < 0 \text{ sur } ]0;1[, \qquad f'(x) > 0 \text{ sur } ]1;+\infty[$
Variations
f est strictement décroissante sur ]0;1] puis strictement croissante sur [1;+∞[. Elle admet donc un minimum global en x=1.
Valeur du minimum
f(1)=1−ln(1)=1−0=1. Le minimum de f vaut 1 et est atteint en x=1. On en déduit que pour tout x>0, x−ln(x)≥1, c'est-à-dire ln(x)≤x−1 (la tangente est au-dessus de la courbe de ln).
$\forall x>0,\quad \ln(x) \le x - 1$

Résultat : f décroît sur ]0;1], croît sur [1;+∞[ ; minimum global f(1)=1. Conséquence : ln(x) ≤ x − 1 pour tout x>0.

Schritt-für-Schritt Erklärung4 Schritte

1
Partons de la dérivée : ln est dérivable sur ]0;+∞[ et sa dérivée est 1/x. Comme 1/x est toujours strictement positif sur ce domaine, ln est strictement croissante.
2
Regardons le comportement aux bornes. Quand x tend vers 0 par valeurs positives, ln(x) plonge vers moins l'infini : l'axe des ordonnées est asymptote verticale.
3
À l'autre extrémité, quand x tend vers plus l'infini, ln(x) tend aussi vers plus l'infini, mais très lentement — bien plus lentement que x lui-même.
4
On rassemble tout dans la courbe : négative entre 0 et 1, nulle en 1, positive ensuite, croissante partout, avec son asymptote verticale x=0.

Erreurs fréquentes

Écrire (ln x)′ = x (au lieu de 1/x) ou (ln x)′ = ln(x)/x : la dérivée de ln est exactement 1/x.
Annoncer une limite finie en 0⁺ : ln(x) tend vers −∞ (et non vers 0), l'axe des ordonnées est asymptote verticale.
Pour (ln u)′, oublier le numérateur u′ et écrire seulement 1/u : la dérivée d'une fonction composée est u′/u.

Révision active

Soit f définie sur ]0;+∞[ par f(x)=x−ln(x). Calculer f′(x), étudier son signe, dresser le tableau de variations de f et déterminer son minimum.

Rappel actif

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Sources : Programme de spécialité mathématiques de terminale générale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Croissances comparées et asymptotes#

VertiefungBO-2019-spe-maths-terminale-§Fonction-logarithme

Comparaison des croissances de ln(x), √x et x

Fig. 4Au voisinage de +∞ : ln(x) ≪ √x ≪ x. La lenteur du logarithme se lit à l'aplatissement de sa courbe par rapport aux deux autres.

Croissance comparée en +∞ : lim(x→+∞) ln(x)/x = 0. Le logarithme croît infiniment moins vite que la fonction x ↦ x ; toute puissance positive de x finit par « écraser » ln.

Croissance comparée en 0⁺ : lim(x→0⁺) x·ln(x) = 0. Bien que ln(x)→−∞, le facteur x tend vers 0 « plus fort » et le produit tend vers 0. On lève ainsi l'indétermination « 0 × (−∞) ».

Hiérarchie des croissances : au voisinage de +∞, ln(x) ≪ √x ≪ x ≪ x² ≪ eˣ. Graphiquement, la courbe de ln finit toujours en dessous de celle de x et même de celle de √x.

Application aux limites avec indétermination : pour lever une forme « +∞ − ∞ » comme x − ln(x), on factorise par le terme dominant : x − ln(x) = x(1 − ln(x)/x). Comme ln(x)/x → 0, le facteur tend vers 1 et la limite est +∞.

Asymptote oblique éventuelle : une fonction du type f(x)=x+ln(x) n'a pas d'asymptote oblique (l'écart ln(x) n'est pas borné), mais ln(x)/x → 0 garantit qu'elle se comporte « comme x » à grande échelle ; pour une asymptote, l'écart f(x)−(ax+b) doit tendre vers 0.

Lien avec la dérivée et le tracé : la lenteur de ln (dérivée 1/x → 0) explique l'aplatissement de la courbe en +∞ ; comparée à √x et x, sa croissance comparée se visualise directement.

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to 0^{+}} x\,\ln(x) = 0

Croissances comparées de référence

Les deux limites exigibles : ln est dominé par x en +∞, et x domine ln en 0⁺.

x - \ln(x) = x\left(1 - \dfrac{\ln(x)}{x}\right) \ \xrightarrow[x \to +\infty]{}\ +\infty

Lever une indétermination +∞ − ∞ par factorisation

On factorise par le terme dominant x ; le crochet tend vers 1 car ln(x)/x → 0, donc le produit tend vers +∞.

Exemple corrigé

Lever des indéterminations grâce aux croissances comparées

Déterminer a) lim(x→+∞) (x − ln(x)) et b) lim(x→0⁺) x²·ln(x).

a) Forme indéterminée +∞ − ∞
En +∞, x → +∞ et ln(x) → +∞ : la différence est indéterminée. On factorise par le terme dominant x.
$x - \ln(x) = x\left(1 - \dfrac{\ln(x)}{x}\right)$
a) Conclusion par croissance comparée
Comme ln(x)/x → 0, le crochet tend vers 1 ; le produit d'un facteur tendant vers +∞ par un facteur tendant vers 1 tend vers +∞.
$\lim_{x \to +\infty} \big(x - \ln(x)\big) = +\infty$
b) Forme indéterminée 0 × (−∞)
En 0⁺, x² → 0 et ln(x) → −∞. On écrit x²·ln(x) = x·(x·ln(x)) et on utilise la croissance comparée x·ln(x) → 0.
$x^{2}\ln(x) = x \cdot \big(x\,\ln(x)\big)$
b) Conclusion
Le facteur x → 0 et le facteur x·ln(x) → 0 ; le produit de deux facteurs tendant vers 0 tend vers 0.
$\lim_{x \to 0^{+}} x^{2}\,\ln(x) = 0$

Résultat : a) lim(x→+∞) (x − ln(x)) = +∞ ; b) lim(x→0⁺) x²·ln(x) = 0.

Erreurs fréquentes

Conclure que x·ln(x) → −∞ en 0⁺ « parce que ln(x) → −∞ » : on oublie que le facteur x → 0 l'emporte, et la limite est 0 (forme indéterminée 0 × ∞).
Affirmer que ln(x)/x → +∞ : c'est l'inverse, ln croît moins vite que x donc le quotient tend vers 0.
Distribuer une limite sur une forme indéterminée +∞ − ∞ sans factoriser par le terme dominant.

Révision active

Déterminer les limites suivantes : a) lim(x→+∞) (x − ln(x)) ; b) lim(x→+∞) ln(x)/x² ; c) lim(x→0⁺) x²·ln(x). Justifier en utilisant les croissances comparées.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques de terminale générale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Fonctions de la forme ln(u) et problèmes de modélisation#

VertiefungBO-2019-spe-maths-terminale-§Fonction-logarithme

Tableau de variations d'une fonction ln(u) : g(x) = ln(x² + 1)

Fig. 5Étude de g(x)=ln(x²+1) : comme x²+1>0 partout, g est définie sur ℝ ; g′(x)=2x/(x²+1) a le signe de x ; minimum g(0)=ln(1)=0.

Domaine d'une fonction ln(u) : ln(u(x)) n'est défini que là où u(x)>0. La première étape d'une étude est donc la résolution de l'inéquation u(x)>0 (tableau de signes).

Dérivée et variations de ln(u) : (ln u)′=u′/u. Comme u>0 sur le domaine, le signe de la dérivée est celui de u′. Les variations de ln(u) reproduisent donc celles de u sur le domaine où u>0.

Limites par composition : on calcule la limite de u, puis on compose avec ln (lim ln=−∞ en 0⁺, +∞ en +∞). Une limite de u vers 0⁺ donne ln(u)→−∞ (asymptote verticale possible) ; une limite de u vers +∞ donne ln(u)→+∞.

Modélisation — temps de doublement : pour une grandeur évoluant selon N(t)=N₀·qᵗ (croissance multiplicative de raison q>1) ou N₀·e^{kt}, le temps de doublement se trouve en résolvant 2=qᵗ, soit t=ln(2)/ln(q) (ou t=ln(2)/k). L'inconnue, placée en exposant, se libère grâce au logarithme.

Ouverture (hors-programme, culture scientifique) : les échelles logarithmiques usuelles — pH=−log₁₀([H₃O⁺]), magnitude sismique, niveau sonore en décibels — reposent sur le logarithme décimal log (lié à ln par log(x)=ln(x)/ln(10)). Le logarithme décimal n'est plus au programme de spécialité de terminale, qui ne traite que ln ; ce point est donné à titre de culture pour illustrer la « résolution de problème ». Idée à retenir : multiplier la grandeur par 10 ajoute une unité à l'échelle.

Méthode générale d'étude d'une fonction avec ln : (1) domaine via u>0 ; (2) limites aux bornes et asymptotes ; (3) dérivée u′/u et tableau de signes ; (4) tableau de variations ; (5) tracé et interprétation.

\big(\ln(u)\big)' = \dfrac{u'}{u} \quad \text{sur } \{x \mid u(x) > 0\}

Dérivée d'une composée ln(u)

Le signe de la dérivée se ramène à celui de u′ puisque u>0 ; les variations suivent celles de u.

N(t) = N_0\, e^{kt} = 2N_0 \iff e^{kt} = 2 \iff t = \dfrac{\ln 2}{k}

Temps de doublement

On isole l'exposant en appliquant ln : le temps de doublement ne dépend que du taux k, pas de la valeur initiale.

\log(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln(10)} \qquad \text{pH} = -\log\big([\mathrm{H_3O^+}]\big)

Logarithme décimal et échelle de pH (ouverture, hors-programme)

Hors-programme de spécialité de terminale (seul ln est exigible) : donné en ouverture. Le logarithme décimal se déduit du népérien par division par ln(10) ; il fonde les échelles multiplicatives (pH, décibels, magnitudes).

Exemple corrigé

Temps de doublement d'une population modélisée par une exponentielle

Une culture de bactéries est modélisée par N(t) = 500·e^{0,12 t}, où t est exprimé en heures. Déterminer, à l'heure près, le temps au bout duquel la population a doublé.

Traduire « avoir doublé »
La population a doublé lorsque N(t)=2×500=1000. On résout donc 500·e^{0,12t}=1000, soit e^{0,12t}=2.
$500\,e^{0{,}12\,t} = 1000 \iff e^{0{,}12\,t} = 2$
Libérer l'exposant avec ln
On applique ln aux deux membres (qui sont strictement positifs) et on utilise ln(eˣ)=x : 0,12 t = ln(2).
$\ln\!\big(e^{0{,}12\,t}\big) = \ln(2) \iff 0{,}12\,t = \ln(2)$
Isoler t
On divise par 0,12 : t = ln(2)/0,12. Numériquement, ln(2)≈0,693, donc t ≈ 0,693/0,12 ≈ 5,78.
$t = \dfrac{\ln(2)}{0{,}12} \approx 5{,}78 \text{ h}$
Interpréter
Le temps de doublement vaut environ 5,78 heures, soit à peu près 5 h 47 min. Remarque : il ne dépend pas de la population initiale 500, seulement du taux 0,12.

Résultat : La population double au bout de t = ln(2)/0,12 ≈ 5,78 heures (≈ 5 h 47 min).

Erreurs fréquentes

Oublier de restreindre le domaine de ln(u) à {u>0} et étudier la fonction sur tout ℝ.
Pour résoudre qᵗ=2, diviser au lieu de prendre le logarithme : seul le passage à ln (ou log) libère l'exposant t.
Confondre le logarithme népérien ln (base e) et le logarithme décimal log (base 10) dans un problème d'échelle, sans conversion log(x)=ln(x)/ln(10) (le log décimal est hors-programme, mentionné ici en ouverture).

Révision active

Une population de bactéries suit N(t)=500·e^{0,12t} (t en heures). Déterminer le temps au bout duquel la population a doublé, puis triplé. Étudier ensuite la fonction g(x)=ln(x²+1) sur ℝ (domaine, dérivée, variations, limites).

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques de terminale générale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Références et sources

Sources

Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol

Programme de spécialité mathématiques de terminale générale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019)

Fonction logarithme népérien

Points clés

Du logarithme à l'exponentiel et réciproquement

Points clés

Équation logarithmique avec contrôle du domaine

Points clés

Étude de f(x) = x − ln(x) sur ]0 ; +∞[

Points clés

Lever des indéterminations grâce aux croissances comparées

Points clés

Temps de doublement d'une population modélisée par une exponentielle

Sources

Fonction logarithme népérien

Points clés

Du logarithme à l'exponentiel et réciproquement

Points clés

Équation logarithmique avec contrôle du domaine

Points clés

Étude de f(x) = x − ln(x) sur ]0 ; +∞[

Points clés

Lever des indéterminations grâce aux croissances comparées

Points clés

Temps de doublement d'une population modélisée par une exponentielle

Sources