Dérivation et convexité

Soit f définie sur ℝ par f(x) = (2x − 1) / (x² + 1). Calculer f′(x) et simplifier.

1. 01Identifier u et v

   On pose u(x) = 2x − 1 et v(x) = x² + 1, dérivables sur ℝ. Alors u′(x) = 2 et v′(x) = 2x. Comme x² + 1 > 0, f est dérivable sur ℝ.

   $$u(x) = 2x - 1,\quad v(x) = x^2 + 1,\quad u'(x) = 2,\quad v'(x) = 2x$$
2. 02Appliquer la formule du quotient

   On reporte dans (u′v − uv′)/v² puis on développe le numérateur.

   $$f'(x) = \dfrac{2(x^2 + 1) - (2x - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$$
3. 03Développer et réduire

   Le numérateur vaut 2x² + 2 − (4x² − 2x) = −2x² + 2x + 2.

   $$f'(x) = \dfrac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2 + 1)^2}$$

Résultat : f′(x) = (−2x² + 2x + 2) / (x² + 1)². Le signe de f′ est celui du trinôme −2x² + 2x + 2 (le dénominateur est strictement positif), ce qui permettra d'étudier les variations.

Soit f définie sur ℝ par f(x) = (x + 2)·e^(−x). Calculer f′(x) et factoriser le résultat.

1. 01Reconnaître un produit

   On a un produit u·v avec u(x) = x + 2 et v(x) = e^(−x). On dérivera v comme une composée e^(ax+b) avec a = −1.

   $$u(x) = x + 2,\quad v(x) = e^{-x},\quad u'(x) = 1,\quad v'(x) = -e^{-x}$$
2. 02Appliquer la formule du produit

   On écrit f′ = u′v + uv′.

   $$f'(x) = 1\cdot e^{-x} + (x + 2)\cdot(-e^{-x})$$
3. 03Factoriser par e^(−x)

   On met e^(−x) en facteur ; comme e^(−x) > 0, le signe de f′ est celui de (−x − 1).

   $$f'(x) = e^{-x}\big(1 - (x + 2)\big) = e^{-x}\,(-x - 1)$$

Résultat : f′(x) = −(x + 1)·e^(−x). Comme e^(−x) > 0, f′(x) est du signe de −(x + 1) : f est croissante sur ]−∞ ; −1] puis décroissante sur [−1 ; +∞[, avec un maximum en x = −1.

Soit f définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x. 1) Calculer f′(x) et étudier son signe. 2) Dresser le tableau de variations et donner les extremums. 3) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.

1. 01Calculer la dérivée

   f est un polynôme, dérivable sur ℝ. On dérive terme à terme.

   $$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$$
2. 02Étudier le signe de f′

   Le trinôme 3(x − 1)(x + 1) s'annule en −1 et 1, est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Donc f′ > 0 sur ]−∞ ; −1[, f′ < 0 sur ]−1 ; 1[ et f′ > 0 sur ]1 ; +∞[.

   $$f'(x) > 0 \text{ sur } ]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[, \quad f'(x) < 0 \text{ sur } ]-1;1[$$
3. 03Conclure les variations et les extremums

   f croît, décroît puis croît. En x = −1, f′ passe de + à − : maximum local f(−1) = −1 + 3 = 2. En x = 1, f′ passe de − à + : minimum local f(1) = 1 − 3 = −2.

   $$f(-1) = 2 \;(\text{max local}), \qquad f(1) = -2 \;(\text{min local})$$
4. 04Équation de la tangente en 0

   On calcule f(0) = 0 et f′(0) = 3·0² − 3 = −3, puis on applique la formule de la tangente.

   $$y = f'(0)(x - 0) + f(0) = -3x$$

Résultat : f est croissante sur ]−∞ ; −1], décroissante sur [−1 ; 1], croissante sur [1 ; +∞[, avec un maximum local 2 en −1 et un minimum local −2 en 1. La tangente à la courbe au point d'abscisse 0 a pour équation y = −3x.

Soit f deux fois dérivable sur un intervalle I, telle que f″ ≥ 0 sur I (f est convexe). Soit a un point de I et T la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. Démontrer que, pour tout x de I, la courbe de f est au-dessus de T, c'est-à-dire f(x) ≥ f′(a)(x − a) + f(a).

1. 01Introduire l'écart à la tangente

   L'équation de T est y = f′(a)(x − a) + f(a). On étudie le signe de la fonction d définie sur I par d(x) = f(x) − [f′(a)(x − a) + f(a)], qui mesure l'écart vertical entre la courbe et sa tangente. Montrer que la courbe est au-dessus de T revient à montrer que d(x) ≥ 0 sur I.

   $$d(x) = f(x) - \big[f'(a)(x - a) + f(a)\big]$$
2. 02Dériver d

   La fonction d est dérivable sur I comme différence de fonctions dérivables. En dérivant par rapport à x (a est fixé), le terme f(a) disparaît et la dérivée de f′(a)(x − a) vaut f′(a).

   $$d'(x) = f'(x) - f'(a)$$
3. 03Utiliser la convexité : f′ est croissante

   Comme f″ ≥ 0 sur I, la dérivée f′ est croissante sur I. Donc : pour x ≥ a, f′(x) ≥ f′(a), d'où d′(x) ≥ 0 ; pour x ≤ a, f′(x) ≤ f′(a), d'où d′(x) ≤ 0. La fonction d est donc décroissante sur la partie de I à gauche de a et croissante à droite de a.

   $$d'(x) \le 0 \text{ pour } x \le a, \qquad d'(x) \ge 0 \text{ pour } x \ge a$$
4. 04Conclure par le minimum en a

   D'après ses variations, d admet un minimum sur I au point a. Or d(a) = f(a) − [f′(a)·0 + f(a)] = 0. Donc d(x) ≥ d(a) = 0 pour tout x de I : la courbe de f est au-dessus de sa tangente T.

   $$\forall x \in I, \quad d(x) \ge d(a) = 0 \;\Longrightarrow\; f(x) \ge f'(a)(x - a) + f(a)$$

Résultat : L'écart d(x) = f(x) − [f′(a)(x − a) + f(a)] a pour dérivée d′(x) = f′(x) − f′(a). La convexité (f″ ≥ 0) rend f′ croissante, donc d′ est négative avant a et positive après a : d atteint son minimum en a, où d(a) = 0. Ainsi d(x) ≥ 0 sur I, ce qui prouve que la courbe d'une fonction convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes. (En remplaçant les inégalités par l'inégalité stricte, une fonction concave, pour laquelle f″ ≤ 0, est de même en dessous de ses tangentes.)

Soit f définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x. Déterminer les intervalles de convexité et de concavité de f.

1. 01Calculer f′ puis f″

   On dérive deux fois le polynôme.

   $$f'(x) = 3x^2 - 3, \qquad f''(x) = 6x$$
2. 02Étudier le signe de f″

   6x est négatif pour x < 0 et positif pour x > 0.

   $$f''(x) < 0 \text{ sur } ]-\infty;0[, \qquad f''(x) > 0 \text{ sur } ]0;+\infty[$$
3. 03Conclure

   Là où f″ ≤ 0 la fonction est concave, là où f″ ≥ 0 elle est convexe.

   $$f \text{ concave sur } ]-\infty;0], \qquad f \text{ convexe sur } [0;+\infty[$$

Résultat : f est concave sur ]−∞ ; 0] et convexe sur [0 ; +∞[. Sur [0 ; +∞[ la courbe est donc au-dessus de chacune de ses tangentes ; sur ]−∞ ; 0] elle est en dessous. Le changement de convexité a lieu en x = 0.

On admet que la fonction exponentielle est convexe sur ℝ. 1) Déterminer l'équation de la tangente T à sa courbe au point d'abscisse 0. 2) En déduire que pour tout réel x, e^x ≥ 1 + x. 3) Retrouver le résultat en étudiant les variations de g(x) = e^x − 1 − x.

1. 01Équation de la tangente en 0

   Pour f(x) = e^x, on a f(0) = 1 et f′(0) = e^0 = 1. La tangente en 0 a donc pour équation y = f′(0)(x − 0) + f(0).

   $$T : \; y = 1\cdot(x - 0) + 1 = 1 + x$$
2. 02Utiliser la convexité

   Une fonction convexe a sa courbe située au-dessus de chacune de ses tangentes. Comme l'exponentielle est convexe, sa courbe est au-dessus de T.

   $$\forall x \in \mathbb{R}, \quad e^x \ge 1 + x$$
3. 03Vérifier par une étude de fonction

   Posons g(x) = e^x − 1 − x. Alors g′(x) = e^x − 1, négative pour x < 0 et positive pour x > 0 : g admet un minimum en 0, égal à g(0) = 0. Donc g(x) ≥ 0 partout.

   $$g'(x) = e^x - 1, \quad g(0) = 0 = \min g \;\Rightarrow\; g(x) \ge 0$$

Résultat : La tangente à la courbe de l'exponentielle en 0 est y = 1 + x ; la convexité place la courbe au-dessus de cette tangente, d'où e^x ≥ 1 + x pour tout réel x. L'étude de g(x) = e^x − 1 − x, de minimum nul en 0, confirme l'inégalité.