Limites des fonctions

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{2x^2 + x - 5}{x^2 + 3}$. Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, puis en déduire l'asymptote horizontale de la courbe $\mathcal{C}_f$.

1. 01Identifier la forme indéterminée

   Le numérateur tend vers $+\infty$ et le dénominateur aussi en $+\infty$ : on obtient la forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$. On factorise donc par le terme de plus haut degré.

   $$\frac{2x^2 + x - 5}{x^2 + 3} \;:\; \text{forme } \tfrac{\infty}{\infty}$$
2. 02Factoriser par x²

   On met $x^2$ en facteur au numérateur et au dénominateur, puis on simplifie.

   $$f(x) = \frac{x^2\left(2 + \frac{1}{x} - \frac{5}{x^2}\right)}{x^2\left(1 + \frac{3}{x^2}\right)} = \frac{2 + \frac{1}{x} - \frac{5}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}}$$
3. 03Passer à la limite

   Quand $x \to +\infty$, chaque terme en $\frac{1}{x}$ ou $\frac{1}{x^2}$ tend vers 0. Le même calcul vaut en $-\infty$.

   $$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \frac{2 + 0 - 0}{1 + 0} = 2$$
4. 04Conclure sur l'asymptote

   Les deux limites valent 2 : la droite d'équation $y = 2$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

   $$y = 2 \text{ est asymptote horizontale en } +\infty \text{ et } -\infty$$

Résultat : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$ ; la droite $y = 2$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$ et en $-\infty$.

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par $f(x) = \dfrac{3}{x - 2}$. Déterminer $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ et $\lim_{x \to 2^+} f(x)$, puis interpréter graphiquement.

1. 01Étudier le comportement du dénominateur à droite

   Pour $x > 2$, on a $x - 2 > 0$ et $x - 2 \to 0^+$ lorsque $x \to 2^+$. Le numérateur 3 est positif constant.

   $$x \to 2^+ \;\Rightarrow\; x - 2 \to 0^+ \;\Rightarrow\; \frac{3}{x-2} \to +\infty$$
2. 02Étudier le comportement du dénominateur à gauche

   Pour $x < 2$, on a $x - 2 < 0$ et $x - 2 \to 0^-$ lorsque $x \to 2^-$. Le quotient d'un nombre positif par un nombre négatif proche de 0 tend vers $-\infty$.

   $$x \to 2^- \;\Rightarrow\; x - 2 \to 0^- \;\Rightarrow\; \frac{3}{x-2} \to -\infty$$
3. 03Comparer les limites latérales

   Les deux limites latérales sont infinies de signes opposés : $\lim_{x \to 2} f(x)$ n'existe pas, mais la limite est infinie de chaque côté.

   $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty \neq +\infty = \lim_{x \to 2^+} f(x)$$
4. 04Interpréter graphiquement

   Une limite infinie en $x = 2$ traduit une asymptote verticale d'équation $x = 2$.

   $$x = 2 \text{ est asymptote verticale à } \mathcal{C}_f$$

Résultat : $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ ; la droite d'équation $x = 2$ est asymptote verticale à la courbe.

Déterminer $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - x \right)$.

1. 01Reconnaître la forme indéterminée

   Quand $x \to +\infty$, $\sqrt{x^2 + 3x} \to +\infty$ et $x \to +\infty$ : on a la forme indéterminée $\infty - \infty$.

   $$\sqrt{x^2 + 3x} - x \;:\; \text{forme } \infty - \infty$$
2. 02Multiplier par la quantité conjuguée

   On multiplie et divise par $\sqrt{x^2 + 3x} + x$ ; au numérateur, $(\sqrt{x^2+3x})^2 - x^2 = 3x$.

   $$\sqrt{x^2+3x} - x = \frac{(x^2 + 3x) - x^2}{\sqrt{x^2+3x} + x} = \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x} + x}$$
3. 03Factoriser par x au dénominateur

   Comme $x > 0$, $\sqrt{x^2 + 3x} = x\sqrt{1 + \frac{3}{x}}$. On factorise alors par $x$ haut et bas.

   $$\frac{3x}{x\sqrt{1+\frac{3}{x}} + x} = \frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}} + 1}$$
4. 04Passer à la limite

   Quand $x \to +\infty$, $\frac{3}{x} \to 0$ donc $\sqrt{1 + \frac{3}{x}} \to 1$.

   $$\lim_{x \to +\infty} \frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1} = \frac{3}{1 + 1} = \frac{3}{2}$$

Résultat : $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - x \right) = \dfrac{3}{2}$.

Déterminer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin(x)}{x}$ en utilisant le théorème des gendarmes.

1. 01Encadrer le sinus

   Pour tout réel $x$, on a $-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1$.

   $$-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1$$
2. 02Diviser par x > 0

   Pour $x > 0$, on divise l'encadrement par $x$ (qui est positif, le sens des inégalités est conservé).

   $$-\frac{1}{x} \leqslant \frac{\sin(x)}{x} \leqslant \frac{1}{x}$$
3. 03Limites des deux gendarmes

   Les deux fonctions encadrantes ont la même limite 0 en $+\infty$.

   $$\lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{1}{x}\right) = 0 = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x}$$
4. 04Conclure par le théorème des gendarmes

   La fonction est encadrée par deux fonctions de limite commune 0 : sa limite est donc 0.

   $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x} = 0$$

Résultat : $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin(x)}{x} = 0$.

Déterminer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x - x^3}{x^2}$.

1. 01Reconnaître la forme indéterminée

   Le numérateur est une F.I. $\infty - \infty$ ; le quotient est de la forme $\frac{\infty}{\infty}$. On sépare en deux quotients.

   $$\frac{e^x - x^3}{x^2} = \frac{e^x}{x^2} - \frac{x^3}{x^2} = \frac{e^x}{x^2} - x$$
2. 02Appliquer la croissance comparée

   Par croissance comparée, l'exponentielle l'emporte sur la puissance $x^2$.

   $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2} = +\infty$$
3. 03Comparer la croissance des deux termes

   On factorise par $\frac{e^x}{x^2}$, qui domine. On écrit $\frac{e^x}{x^2} - x = \frac{e^x}{x^2}\left(1 - \frac{x^3}{e^x}\right)$ ; or $\frac{x^3}{e^x} = x^3 e^{-x} \to 0$.

   $$\frac{e^x}{x^2} - x = \frac{e^x}{x^2}\left(1 - \frac{x^3}{e^x}\right), \quad \frac{x^3}{e^x} \to 0$$
4. 04Passer à la limite

   Le facteur entre parenthèses tend vers 1 et $\frac{e^x}{x^2} \to +\infty$, donc le produit tend vers $+\infty$.

   $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - x^3}{x^2} = +\infty$$

Résultat : $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x - x^3}{x^2} = +\infty$ : l'exponentielle l'emporte sur les puissances.