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Outils mathématiques de l’enseignement scientifique

Ce thème n’est pas un chapitre noté indépendant : c’est la boîte à outils mathématiques de terminale, mobilisée à l’intérieur des trois grands thèmes (climat, énergies, vivant). On y travaille les fonctions exponentielle et logarithme, les suites arithmétiques et géométriques (modèles linéaire et exponentiel), l’ajustement d’un nuage de points et son test de validité, puis les probabilités (fluctuation d’échantillonnage, intervalle de confiance à 95 %, Hardy-Weinberg, formule de Bayes), enfin proportions, taux de variation, ordres de grandeur et outils numériques (tableur, Python). L’objectif n’est pas la technique pour elle-même, mais le choix raisonné d’un modèle et son exploitation sur des données réelles.

5sectionsca. 24min de lecture4compétencesNiveauBase 1 · Standard 3 · Approfondissement 1Vérifié · 06/2026

T·0555 / 8

Profil d’examen

C1 · Reconnaître une croissance exponentielle, passer d’une description par taux d’évolution constant à une suite géométrique, et utiliser le logarithme (échelle logarithmique, ordres de grandeur, temps de doublement).C2 · Comparer variations absolues et variations relatives par unité de temps pour choisir entre un modèle linéaire (suite arithmétique) et un modèle exponentiel (suite géométrique), puis exploiter le modèle retenu.C3 · Ajuster un nuage de points par une courbe de tendance, l’utiliser pour faire des prévisions, et comparer ses valeurs à des données réelles pour tester la validité du modèle.C4 · Estimer un paramètre d’une population par un intervalle de confiance à 95 %, interpréter la fluctuation d’échantillonnage, et exploiter probabilités conditionnelles, Hardy-Weinberg et formule de Bayes (tableau de contingence).

Opérateurs :reconnaîtremodélisercalculerajusterprévoirtesterestimerinterpréterjustifier

niveau de base

Vise l’essentiel exigible : reconnaître linéaire vs exponentiel sur les variations, lire une échelle logarithmique, calculer un temps de doublement, et lire un intervalle de confiance à 95 % et un tableau de contingence.

niveau approfondi

Pour aller plus loin : démontre la formule du temps de doublement, linéarise une exponentielle en repère semi-logarithmique pour estimer son taux, et relie Hardy-Weinberg à la formule de Bayes sur un cas de diagnostic ou de classification (sensibilité, spécificité, valeur prédictive).

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Inhalt · 5 sections

Outils mathématiques de l’enseignement scientifique

Fonctions exponentielle et logarithme au service des thèmes#

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Linéarité ? Croissance exponentielle vue en échelle normale puis logarithmique

Fig. 1En échelle normale, une exponentielle s’envole : la valeur 100 double pour atteindre 200 après un temps de doublement constant, puis 400, etc.

Croissance exponentielle : une grandeur est multipliée par un même facteur q = 1 + t à chaque pas de temps (t = taux d’évolution par pas). Sa valeur après n pas est y(n) = y₀ × qⁿ ; la fonction continue associée est y(x) = y₀ × eˣ ˡⁿ q. La caractéristique d’une exponentielle n’est pas une pente constante mais un pourcentage d’évolution constant.

Le logarithme décimal log₁₀ et le logarithme népérien ln transforment un produit en somme : log(a×b) = log a + log b et ln(a×b) = ln a + ln b. Conséquence directe : ils transforment une multiplication répétée (donc une exponentielle) en addition répétée (donc une droite). C’est l’outil de la linéarisation.

Échelle logarithmique : on porte log₁₀(grandeur) au lieu de la grandeur. Des valeurs séparées par des ordres de grandeur (×10, ×100, ×1000) deviennent équidistantes. C’est ce qui permet de représenter sur un même axe des concentrations, des magnitudes ou des intensités sonores qui varient sur plusieurs décades.

Temps de doublement d’une croissance exponentielle de taux t par pas de temps : c’est le nombre de pas T tel que qᵀ = 2, soit T = ln 2 / ln(1 + t). Pour un taux faible, l’approximation des 70 (« règle des 70 ») donne T ≈ 70 / p où p est le taux en pourcentage, car ln 2 ≈ 0,69 et ln(1 + t) ≈ t.

Rappel de première : la définition de la fonction exponentielle et celle de ln sont au programme de la classe de première de l’enseignement scientifique ; en terminale on les MOBILISE comme outils dans les thèmes (CO₂ atmosphérique, populations, désintégration), sans nouvelle théorie sur la fonction elle-même.

y(n) = y_0 \times q^{\,n}, \qquad q = 1 + t

Modèle exponentiel discret

Effectif au bout de n pas de temps quand la grandeur est multipliée par le même facteur q = 1 + t à chaque pas (t est le taux d’évolution par pas).

\log(a\times b) = \log a + \log b, \qquad \ln(a\times b) = \ln a + \ln b

Logarithme : produit → somme

Propriété fondamentale qui transforme une multiplication répétée (exponentielle) en addition répétée (droite). Base de la linéarisation et des échelles logarithmiques.

T_{\text{doublement}} = \dfrac{\ln 2}{\ln(1 + t)} \approx \dfrac{70}{p} \quad (p = 100\,t)

Temps de doublement

Nombre de pas T tel que q^{T} = 2. Pour un taux faible, ln(1+t) ≈ t et ln 2 ≈ 0{,}69, d’où la pratique « règle des 70 » (p est le taux en pourcentage).

Échelle logarithmique : la même exponentielle devient une droite

Fig. 2On porte log₁₀(y) en ordonnée : l’exponentielle 100 × 1,3ˣ devient la droite log₁₀(100) + x·log₁₀(1,3) — sa pente mesure le taux de croissance.

Exemple corrigé

Croissance bactérienne : modèle exponentiel et temps de doublement

Une population de bactéries augmente de 8 % par heure et compte 5 000 individus à t = 0. (a) Écrire l’effectif au bout de n heures. (b) Calculer le temps de doublement en heures et le comparer à la règle des 70. (c) Donner l’effectif au bout de 12 heures.

Identifier le facteur multiplicatif
Augmenter de 8 % par heure revient à multiplier par q = 1 + 0,08 = 1,08 chaque heure : la variation relative est constante, le modèle est exponentiel.
Écrire le modèle
L’effectif après n heures part de y₀ = 5000 et se multiplie n fois par q.
Temps de doublement exact
On cherche T tel que 1,08^T = 2, donc T = ln 2 / ln 1,08. Numériquement ln 2 ≈ 0,693 et ln 1,08 ≈ 0,0770.
Comparer à la règle des 70
Avec un taux p = 8 %, la règle des 70 donne 70 / 8 = 8,75 h, proche des 9,0 h exacts : l’approximation est bonne car le taux reste modéré.
Prévision à 12 h
On reporte n = 12 : 1,08^12 ≈ 2,518, donc y(12) ≈ 5000 × 2,518.

Résultat : (a) y(n) = 5000 × 1,08ⁿ. (b) T ≈ 9,0 h, très proche des 8,75 h donnés par la règle des 70. (c) y(12) ≈ 1,26 × 10⁴ individus (environ 12 600).

Erreurs fréquentes

Confondre « augmente de 5 chaque année » (variation absolue constante → linéaire) et « augmente de 5 % chaque année » (taux constant → exponentiel) : ce ne sont pas les mêmes modèles.
Croire qu’une droite obtenue en échelle logarithmique signifie une croissance « lente » ou linéaire : au contraire, une droite en semi-log est la signature d’une croissance exponentielle.

Révision active

Une population de bactéries augmente de 8 % par heure et compte 5 000 individus à t = 0. (a) Écrire l’effectif au bout de n heures. (b) Calculer le temps de doublement (en heures) et le comparer à l’estimation de la règle des 70. (c) Combien d’individus au bout de 12 heures ?

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme d’enseignement scientifique — voie générale, classe terminale (arrêté du 19 juillet 2019, BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019, modifié par l’arrêté du 30 mai 2023, BO n° 25 du 22 juin 2023) (Ministère de l’Éducation nationale — Éduscol)

Suites et modèles : linéaire (arithmétique) ou exponentiel (géométrique) ?#

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Modèle linéaire contre modèle exponentiel à même départ

Fig. 3Deux suites partant de 100 : l’arithmétique (+30 par pas) trace une droite ; la géométrique (×1,30 par pas) s’incurve et passe vite très au-dessus de la droite. Le critère écart/rapport les distingue.

Suite arithmétique : on ajoute toujours la même quantité r (la raison) d’un terme au suivant. Relation de récurrence uₙ₊₁ = uₙ + r, forme explicite uₙ = u₀ + n·r. C’est le modèle LINÉAIRE : la variation ABSOLUE est constante, la représentation est une droite.

Suite géométrique : on multiplie toujours par le même facteur q (la raison) d’un terme au suivant. Relation de récurrence uₙ₊₁ = q·uₙ, forme explicite uₙ = u₀ × qⁿ. C’est le modèle EXPONENTIEL : la variation RELATIVE (le pourcentage) est constante.

Le critère de choix est entièrement contenu dans les données : si les ÉCARTS successifs uₙ₊₁ − uₙ sont à peu près constants → modèle linéaire ; si les RAPPORTS successifs uₙ₊₁ / uₙ sont à peu près constants → modèle exponentiel. C’est la première chose à tester sur un tableau de valeurs.

Lien avec les fonctions : la suite arithmétique est l’analogue discret de la fonction affine x ↦ a + r·x ; la suite géométrique est l’analogue discret de la fonction exponentielle x ↦ u₀ × qˣ. C’est pourquoi « linéaire ↔ arithmétique » et « exponentiel ↔ géométrique » sont les deux couples-clés du thème.

Domaines d’emploi typiques en terminale : un dépôt constant chaque année (épargne sans intérêts, accumulation linéaire) relève de l’arithmétique ; un capital à intérêts composés, une population à taux constant ou une désintégration radioactive (multiplication par ½ par demi-vie) relèvent du géométrique.

u_{n+1} = u_n + r, \qquad u_n = u_0 + n\,r

Suite arithmétique (modèle linéaire)

Variation absolue constante r : récurrence à gauche, forme explicite à droite. Sa courbe est une droite de pente r.

u_{n+1} = q\,u_n, \qquad u_n = u_0 \times q^{\,n}

Suite géométrique (modèle exponentiel)

Variation relative constante (rapport q) : récurrence à gauche, forme explicite à droite. q > 1 : croissance ; 0 < q < 1 : décroissance.

\text{écart } u_{n+1}-u_n \text{ constant} \Rightarrow \text{linéaire} \quad ; \quad \text{rapport } \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \text{ constant} \Rightarrow \text{exponentiel}

Critère de choix du modèle

Test à mener sur le tableau de valeurs avant tout calcul : c’est la constance de la variation absolue ou relative qui tranche.

Exemple corrigé

Adhérents d’un club : choisir et exploiter le bon modèle

On relève le nombre d’adhérents d’un club sur quatre années : 200, 230, 260, 290. (a) Modèle linéaire ou exponentiel ? Justifier par les écarts et les rapports. (b) Donner la relation de récurrence et la forme explicite. (c) Prévoir l’effectif la 7ᵉ année (n = 6).

Calculer les écarts successifs
230 − 200 = 30 ; 260 − 230 = 30 ; 290 − 260 = 30. Les écarts sont rigoureusement constants : variation absolue constante.
Vérifier par les rapports
230 / 200 = 1,15 ; 260 / 230 ≈ 1,13 ; 290 / 260 ≈ 1,115. Les rapports ne sont PAS constants : le modèle exponentiel est écarté.
Conclure et écrire la suite
Écarts constants, rapports non constants : modèle linéaire (suite arithmétique de premier terme u₀ = 200 et de raison r = 30).
Prévoir la 7ᵉ année
La 1re année est n = 0, donc la 7ᵉ année correspond à n = 6 : u₆ = 200 + 30 × 6.

Résultat : (a) Écarts constants (+30) mais rapports décroissants : modèle LINÉAIRE. (b) uₙ₊₁ = uₙ + 30 et uₙ = 200 + 30 n. (c) La 7ᵉ année (n = 6) : 380 adhérents prévus.

Erreurs fréquentes

Choisir le modèle « à l’œil » : sur un petit intervalle, droite et exponentielle se ressemblent. Il faut tester écarts ET rapports sur plusieurs valeurs.
Mélanger récurrence et forme explicite : uₙ₊₁ = q·uₙ relie deux termes consécutifs, alors que uₙ = u₀·qⁿ donne directement le terme de rang n. Confondre les deux fait poser de mauvais calculs.

Révision active

On relève le nombre d’adhérents d’un club sur quatre années : 200, 230, 260, 290. (a) Ce nuage est-il mieux décrit par un modèle linéaire ou exponentiel ? Justifier par les écarts et les rapports. (b) Donner la relation de récurrence et la forme explicite. (c) Prévoir l’effectif la 7ᵉ année (n = 6).

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Ajustement, courbe de tendance et test de validité d’un modèle#

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Nuage de points et droite de tendance

Fig. 4Cinq mesures (points) et la droite de tendance C(t) = 2,0 + 1,0·t qui les résume. Au-delà de t = 4 (zone grisée), la prévision devient une extrapolation à manier avec prudence.

Modéliser, c’est résumer un nuage de points (relevés expérimentaux) par une courbe de tendance simple — droite pour un modèle linéaire, exponentielle pour un modèle exponentiel — que l’on ajuste « au plus près » des points (à l’œil, au tableur ou à la calculatrice).

La courbe de tendance sert ensuite à PRÉVOIR : on interpole entre les points connus, ou on extrapole un peu au-delà. L’extrapolation lointaine est risquée car rien ne garantit que le phénomène conserve le même comportement (saturation, changement de régime).

Tester la validité du modèle : on confronte les valeurs PRÉDITES par la courbe aux valeurs RÉELLES non utilisées pour l’ajuster. Si les écarts (résidus) restent faibles et sans tendance systématique, le modèle est validé ; sinon il faut le rejeter ou en changer.

Aucun modèle n’est « vrai » : il est seulement utile dans un domaine de validité. Un même nuage peut être bien décrit localement par une droite et globalement par une exponentielle — d’où l’importance de préciser sur quel intervalle on l’utilise.

Outils pratiques : le tableur (fonction de tendance/régression) et la calculatrice donnent une équation d’ajustement ; en terminale on privilégie l’INTERPRÉTATION (cohérence, ordre de grandeur, écart aux données) plutôt que la justification théorique de la méthode des moindres carrés.

\text{résidu}_i = y_i^{\text{mesuré}} - y_i^{\text{prédit}}

Résidu (écart au modèle)

Écart entre une valeur mesurée et la valeur donnée par la courbe de tendance. De petits résidus sans tendance systématique valident le modèle.

y(t) = a + b\,t \quad (\text{tendance linéaire}) \qquad y(t) = y_0 \times q^{\,t} \quad (\text{tendance exponentielle})

Deux courbes de tendance usuelles

On ajuste l’une ou l’autre selon le critère écart/rapport, puis on l’utilise pour interpoler et extrapoler.

Concentration de polluant mesurée et droite de tendance

Fig. 5Cinq relevés de concentration (2,0 ; 2,9 ; 4,0 ; 5,1 ; 6,0 mg·L⁻¹ aux instants t = 0 à 4 h) avec la droite d'ajustement des moindres carrés calculée par le moteur. La quasi-constance des écarts (résidus ≤ 0,1) valide le modèle linéaire C(t) ≈ 2,0 + 1,0·t.

Exemple corrigé

Polluant : test de validité d’un modèle linéaire et extrapolation

On mesure la concentration d’un polluant (mg·L⁻¹) : (0 ; 2,0), (1 ; 2,9), (2 ; 4,0), (3 ; 5,1), (4 ; 6,0). On propose la droite C(t) = 2,0 + 1,0·t. (a) Calculer les résidus. (b) Le modèle est-il acceptable ? (c) Prévoir C à t = 6 et discuter la fiabilité.

Calculer les valeurs prédites
On applique C(t) = 2,0 + t : C(0)=2,0 ; C(1)=3,0 ; C(2)=4,0 ; C(3)=5,0 ; C(4)=6,0.
Calculer les résidus (mesuré − prédit)
t=0 : 2,0−2,0 = 0 ; t=1 : 2,9−3,0 = −0,1 ; t=2 : 4,0−4,0 = 0 ; t=3 : 5,1−5,0 = +0,1 ; t=4 : 6,0−6,0 = 0.
Conclure sur la validité
Les résidus sont très faibles (|écart| ≤ 0,1 mg·L⁻¹) et ne montrent aucune dérive systématique : le modèle linéaire est acceptable sur 0 ≤ t ≤ 4.
Extrapoler à t = 6
C(6) = 2,0 + 1,0 × 6 = 8,0 mg·L⁻¹. Mais t = 6 est hors du domaine validé (0 à 4) : la prévision suppose que la tendance se prolonge, ce qui n’est pas garanti (saturation possible).

Résultat : (a) Résidus {0 ; −0,1 ; 0 ; +0,1 ; 0}. (b) Modèle linéaire validé sur 0 ≤ t ≤ 4 (écarts ≤ 0,1 mg·L⁻¹, sans biais). (c) C(6) ≈ 8,0 mg·L⁻¹, valeur à présenter avec réserve car elle repose sur une extrapolation hors du domaine testé.

Schritt-für-Schritt Erklärung4 Schritte

1
Tout commence par un nuage de points : des mesures de concentration de polluant qui montent régulièrement avec le temps.
2
Les écarts successifs valent à peu près +1 par unité de temps : on tente donc une droite de tendance, C(t) = 2,0 + 1,0·t.
3
Pour la valider, on compare les valeurs prédites aux valeurs mesurées : les résidus restent inférieurs à 0,1 milligramme par litre, sans dérive. Le modèle tient.
4
Enfin, prévoir à t = 6 donne 8 milligrammes par litre — mais c’est une extrapolation hors du domaine testé : à annoncer avec prudence.

Erreurs fréquentes

Extrapoler très loin sans précaution et présenter la prévision comme certaine, alors que le modèle n’a été validé que sur un intervalle restreint.
Confondre « la courbe passe par tous les points » et « le modèle est bon » : une courbe trop ajustée à du bruit peut prédire moins bien qu’une tendance plus simple.

Révision active

On mesure la concentration d’un polluant (en mg·L⁻¹) à plusieurs dates : (0 ; 2,0), (1 ; 2,9), (2 ; 4,0), (3 ; 5,1), (4 ; 6,0). On propose la droite de tendance C(t) = 2,0 + 1,0·t. (a) Calculer les écarts entre valeurs prédites et mesurées. (b) Le modèle linéaire est-il acceptable ? (c) Prévoir la concentration à t = 6 et discuter la fiabilité de cette extrapolation.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Probabilités : fluctuation, intervalle de confiance, Hardy-Weinberg et Bayes#

Vertiefungeduscol-programme-enseignement-scientifique

Intervalle de confiance à 95 % autour d’une fréquence observée

Fig. 6On observe une fréquence f sur un échantillon de taille n ; l’intervalle de confiance à 95 % est le segment [f − 1/√n ; f + 1/√n]. Exemple : f = 0,52 pour n = 100 donne 1/√n = 0,10, soit l’intervalle [0,42 ; 0,62]. Plus n est grand, plus 1/√n est petit et plus le segment se resserre autour de f.

Fluctuation d’échantillonnage : deux échantillons de même taille tirés d’une même population ne donnent pas exactement la même proportion. La loi des grands nombres assure que, quand la taille n grandit, la fréquence observée se rapproche de la probabilité réelle ; mais pour n fini, elle fluctue autour d’elle.

Intervalle de confiance à 95 % pour une proportion : à partir d’une fréquence observée f sur un échantillon de taille n, on encadre la proportion inconnue p de la population par l’intervalle [f − 1/√n ; f + 1/√n]. On dit qu’il contient p « avec un niveau de confiance de 95 % ». La précision (la largeur de l’intervalle) s’améliore quand n augmente, en 1/√n.

Une estimation par intervalle de confiance n’est JAMAIS certaine à 100 % : le niveau de confiance de 95 % traduit justement le risque dû à la fluctuation d’échantillonnage. Annoncer « p est compris entre … et … » sans niveau de confiance est incorrect.

Modèle de Hardy-Weinberg : pour un gène à deux allèles de fréquences p et q (avec p + q = 1) dans une population idéale, les fréquences attendues des génotypes sont p² (homozygote 1), 2pq (hétérozygote) et q² (homozygote 2). C’est l’exemple-clé reliant probabilités et génétique des populations du thème « le vivant ».

Probabilités conditionnelles et formule de Bayes : un tableau de contingence croise un état réel (malade / sain) et un résultat de test (positif / négatif) en quatre cases — vrais positifs (VP), faux positifs (FP), vrais négatifs (VN), faux négatifs (FN). La formule de Bayes remonte de l’effet (test positif) à la cause (être réellement malade) : P(malade | positif) = VP / (VP + FP).

IC_{95\%} = \left[\, f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \;;\; f + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \,\right]

Intervalle de confiance à 95 % d’une proportion

f est la fréquence observée sur un échantillon de taille n. L’intervalle contient la proportion p de la population avec un niveau de confiance de 95 % ; sa largeur décroît en 1/√n.

p^2 + 2pq + q^2 = 1, \qquad p + q = 1

Équilibre de Hardy-Weinberg

Fréquences attendues des génotypes (p² homozygote dominant, 2pq hétérozygote, q² homozygote récessif) pour deux allèles de fréquences p et q dans une population idéale.

P(\text{M} \mid \text{+}) = \dfrac{\text{VP}}{\text{VP} + \text{FP}}

Formule de Bayes sur un tableau de contingence

Probabilité d’être réellement malade (M) sachant que le test est positif (+) : nombre de vrais positifs rapporté à tous les positifs (vrais + faux). C’est la valeur prédictive positive du test.

Tableau de contingence et formule de Bayes (test de dépistage)

Fig. 7Exemple chiffré : maladie touchant 1 % d'une population de 10 000 personnes (100 malades), test sensible à 99 % et spécifique à 95 %. On obtient 99 vrais positifs (mis en évidence) mais 495 faux positifs. D'où P(malade | positif) = 99 / (99 + 495) ≈ 17 % seulement : avec une maladie rare, les faux positifs gonflent le dénominateur et un test positif reste peu prédictif.

Exemple corrigé

Dépistage : tableau de contingence et formule de Bayes

Un test est appliqué à 10 000 personnes ; la maladie touche réellement 1 % de la population ; le test détecte 95 % des malades (sensibilité) et donne 4 % de faux positifs chez les sains. (a) Construire le tableau (VP, FN, FP, VN). (b) Calculer P(malade | test positif). (c) Commenter.

Répartir la population
Sur 10 000 personnes, 1 % sont malades : 100 malades et 9 900 sains.
Vrais positifs et faux négatifs
Le test détecte 95 % des 100 malades : VP = 95. Les autres malades sont manqués : FN = 100 − 95 = 5.
Faux positifs et vrais négatifs
4 % des 9 900 sains sont positifs à tort : FP = 0,04 × 9 900 = 396. Les autres sains sont bien négatifs : VN = 9 900 − 396 = 9 504.
Appliquer Bayes
Parmi tous les positifs (VP + FP = 95 + 396 = 491), seuls les VP sont réellement malades.
Interpréter
Un test positif ne donne qu’environ 19 % de chances d’être réellement malade : la maladie étant rare, les faux positifs (396) écrasent les vrais positifs (95). D’où l’intérêt d’un test de confirmation.

Résultat : (a) VP = 95, FN = 5, FP = 396, VN = 9 504. (b) P(malade | positif) = 95/491 ≈ 0,19, soit environ 19 %. (c) Malgré une sensibilité de 95 %, un positif n’a qu’environ une chance sur cinq d’être vraiment malade, car la maladie est rare et les faux positifs nombreux : c’est le paradoxe des tests sur maladies rares.

Erreurs fréquentes

Croire qu’un test positif signifie « malade à coup sûr » : avec une maladie rare, les faux positifs peuvent dominer et P(malade | positif) être faible. C’est tout l’intérêt de Bayes.
Oublier le niveau de confiance, ou penser qu’augmenter n change la proportion p elle-même : n ne modifie pas p, il resserre seulement l’intervalle (précision en 1/√n).

Révision active

Un test de dépistage est appliqué à 10 000 personnes. La maladie touche réellement 1 % de la population. Le test détecte 95 % des malades (sensibilité) et donne 4 % de faux positifs chez les sains. (a) Construire le tableau de contingence (VP, FN, FP, VN). (b) Calculer la probabilité d’être réellement malade quand le test est positif. (c) Commenter ce résultat.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Proportions, taux de variation, ordres de grandeur et outils numériques#

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Composition d’évolutions : +20 % puis −15 %

Fig. 8Deux évolutions successives se composent en MULTIPLIANT leurs coefficients, jamais en additionnant les pourcentages : ×1,20 (+20 %) puis ×0,85 (−15 %) donnent ×(1,20 × 0,85) = ×1,02, soit une hausse nette de 2 % (et non +5 %). Le résultat global est mis en évidence.

Proportion et pourcentage : une proportion est un rapport partie/total ; un pourcentage est cette proportion exprimée sur 100. Prendre p % d’une grandeur, c’est la multiplier par p/100. Attention : enchaîner deux pourcentages se fait en MULTIPLIANT les coefficients (×, pas +).

Taux de variation : la variation ABSOLUE est la différence (valeur finale − valeur initiale) ; le taux RELATIF (ou taux d’évolution) est cette différence rapportée à la valeur initiale, t = (V_f − V_i)/V_i. Une hausse de p % correspond au coefficient multiplicateur 1 + p/100, une baisse de p % au coefficient 1 − p/100.

Grandeurs quotients : beaucoup de grandeurs scientifiques sont des rapports (vitesse = distance/temps, masse volumique = masse/volume, concentration = quantité/volume). Les manipuler exige de suivre les unités, qui se simplifient comme des nombres (analyse dimensionnelle).

Ordres de grandeur et puissances de 10 : on écrit un nombre a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 (notation scientifique). L’ordre de grandeur est la puissance de 10 la plus proche. Comparer deux grandeurs, c’est d’abord comparer leurs exposants ; les conversions d’unités se ramènent à des multiplications par des puissances de 10.

Outils numériques : le tableur (formules recopiées, graphiques, tendances), la calculatrice et un court programme Python permettent de simuler un modèle (Hardy-Weinberg, croissance, captures-recaptures), de l’itérer sur de nombreux pas et d’en exploiter les sorties — sans calcul manuel fastidieux.

t = \dfrac{V_f - V_i}{V_i}, \qquad \text{CM} = 1 + \dfrac{p}{100}

Taux d’évolution et coefficient multiplicateur

Taux relatif t (variation rapportée à la valeur initiale) et coefficient multiplicateur associé à une hausse de p % (1 − p/100 pour une baisse).

\text{CM}_{\text{global}} = \text{CM}_1 \times \text{CM}_2

Composition de deux évolutions

Deux évolutions successives se composent en MULTIPLIANT leurs coefficients, jamais en additionnant les pourcentages.

x = a \times 10^{n}, \quad 1 \le a < 10

Notation scientifique et ordre de grandeur

Écriture normalisée d’un nombre : a est la mantisse, 10^n fixe l’ordre de grandeur. Comparer deux nombres revient d’abord à comparer leurs exposants n.

Exemple corrigé

Composer deux évolutions en pourcentage

Le prix d’un bien augmente de 20 % la première année, puis diminue de 15 % la seconde. (a) Coefficient multiplicateur global ? (b) Variation en pourcentage sur deux ans ? (c) Écrire une ligne de tableur donnant le prix final à partir de la cellule A1 (prix initial).

Coefficient de chaque année
Hausse de 20 % : ×1,20. Baisse de 15 % : ×(1 − 0,15) = ×0,85.
Coefficient global
On multiplie les deux coefficients (et surtout on n’additionne pas +20 % et −15 %).
Variation nette
Un coefficient global de 1,02 signifie +2 % sur deux ans, et non +5 % comme le suggérerait une addition naïve.
Traduire en tableur
Dans une cellule, on enchaîne les coefficients à partir de A1 (le signe = ouvre une formule de tableur).

Résultat : (a) CM global = 1,20 × 0,85 = 1,02. (b) Le prix a augmenté de 2 % sur deux ans (et non de 5 %). (c) Formule de tableur : =A11,200,85 (soit =A11.200.85 avec un séparateur décimal point).

Erreurs fréquentes

Additionner les pourcentages : une hausse de 20 % suivie d’une baisse de 20 % ne ramène PAS à la valeur de départ (×1,20 puis ×0,80 = ×0,96, soit −4 %).
Mal placer la virgule en notation scientifique ou oublier de convertir les unités avant de comparer des ordres de grandeur (ex. comparer des nm et des µm sans conversion).

Révision active

Le prix d’un bien augmente de 20 % une première année, puis diminue de 15 % l’année suivante. (a) Donner le coefficient multiplicateur global. (b) De combien de pour cent le prix a-t-il varié sur deux ans ? (c) Écrire une ligne de tableur calculant le prix final à partir d’une cellule A1 contenant le prix initial.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Références et sources

Sources

Ministère de l’Éducation nationale — Éduscol

Programme d’enseignement scientifique — voie générale, classe terminale (arrêté du 19 juillet 2019, BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019, modifié par l’arrêté du 30 mai 2023, BO n° 25 du 22 juin 2023)

Outils mathématiques de l’enseignement scientifique

Points clés

Croissance bactérienne : modèle exponentiel et temps de doublement

Points clés

Adhérents d’un club : choisir et exploiter le bon modèle

Points clés

Polluant : test de validité d’un modèle linéaire et extrapolation

Points clés

Dépistage : tableau de contingence et formule de Bayes

Points clés

Composer deux évolutions en pourcentage

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