Apuntes · Matemáticas IIES · Selectividad

Probabilidad condicionada y teorema de Bayes

La probabilidad mide la incertidumbre de los fenómenos aleatorios, y la probabilidad condicionada es la herramienta que actualiza esa medida cuando recibimos información parcial. Este tema, perteneciente al Sentido de la medida y al Sentido estocástico de Matemáticas II, recorre los axiomas de Kolmogórov, la condicionada y la independencia, los experimentos compuestos con árboles y tablas de contingencia, y culmina en los teoremas de la probabilidad total y de Bayes, que permiten razonar «de la causa al efecto» y «del efecto a la causa». En la Selectividad / PAU es un bloque de presencia constante dentro del bloque de Estadística y Probabilidad: aparece de forma casi sistemática como un problema de contexto real (diagnóstico médico, fiabilidad, control de calidad) resuelto con un diagrama de árbol y el teorema de Bayes.

5seccionesca. 29min de lectura3competenciasNivelBásico 1 · Estándar 2 · Profundización 2Revisado · 06/2026

T·0999 / 12

Perfil de examen

CE1 · Modelizar y resolver problemas de contexto real en condiciones de incertidumbre, traduciendo el enunciado a sucesos, probabilidades condicionadas, árboles o tablas y aplicando los teoremas de la probabilidad total y de Bayes.CE2 · Verificar la validez de las soluciones empleando el razonamiento y la argumentación: comprobar que las probabilidades obtenidas son coherentes (entre 0 y 1, suman 1 las exhaustivas) e interpretar el resultado en su contexto.CE6 · Descubrir los vínculos de las matemáticas con otras áreas: el teorema de Bayes en el diagnóstico médico, la fiabilidad, el control de calidad y la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre.

Operadores:calculaanalizainterpretajustificarazonarelacionatraduceexplica

nivel básico

Como materia de modalidad, todo el contenido es exigible: maneja con seguridad los axiomas de la probabilidad, la regla de Laplace, las operaciones con sucesos y la probabilidad condicionada, porque son la base de todo el bloque de estocástica.

nivel avanzado

Profundiza en los experimentos compuestos: domina el trazado de diagramas de árbol y tablas de contingencia, la distinción precisa entre dependencia e independencia, y sobre todo el teorema de Bayes como mecanismo de actualización de probabilidades y de toma de decisiones, que es donde la PAU exige razonamiento e interpretación, no solo cálculo.

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Inhalt · 5 secciones

Probabilidad condicionada y teorema de Bayes

Sucesos, operaciones y axiomas de probabilidad#

BasisBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida / Sentido estocástico — la probabilidad como medida de la incertidumbre (interpretación clásica, frecuentista y subjetiva); operaciones con sucesos; leyes de De Morgan; axiomas de Kolmogórov; diagramas de Venn

De los axiomas de Kolmogórov a las propiedades derivadas

Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no se puede predecir con certeza aunque se repita en idénticas condiciones; el conjunto de todos sus resultados posibles es el espacio muestral, que denotamos por E (o por Ω). Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, es decir, una colección de resultados a la que queremos asignar una probabilidad. Comprender la probabilidad como la medida numérica de la incertidumbre asociada a estos sucesos es el punto de partida de todo el bloque estocástico de Matemáticas II y el marco en el que se inscriben la condicionada y el teorema de Bayes.

El currículo recoge las tres interpretaciones del concepto de probabilidad. La interpretación clásica (regla de Laplace) asigna a un suceso A la razón entre casos favorables y casos posibles, P(A) = casos favorables / casos posibles, válida solo cuando los resultados elementales son equiprobables. La interpretación frecuentista la define como el límite de la frecuencia relativa cuando el número de repeticiones del experimento crece indefinidamente. La interpretación subjetiva la entiende como un grado de creencia personal, coherente con la información disponible; esta última visión es justamente la que el teorema de Bayes formaliza al actualizar una creencia previa con nuevos datos.

Los sucesos, al ser conjuntos, se combinan mediante operaciones (Fig. 1). La unión A ∪ B ocurre cuando ocurre A, ocurre B o ambos; la intersección A ∩ B ocurre cuando ocurren A y B a la vez; el suceso contrario o complementario Ā (también A') ocurre cuando no ocurre A. Dos sucesos son incompatibles (o mutuamente excluyentes) si no pueden ocurrir a la vez, es decir, A ∩ B = ∅. Las leyes de De Morgan relacionan estas operaciones con el complementario y son una herramienta de cálculo muy útil: el contrario de la unión es la intersección de los contrarios y viceversa.

Operaciones con sucesos en un diagrama de Venn

Sobre esta estructura, Andréi Kolmogórov estableció en 1933 la axiomática que fundamenta toda la teoría moderna. Sus tres axiomas son: (1) la probabilidad de cualquier suceso es no negativa, P(A) ≥ 0; (2) la probabilidad del suceso seguro es uno, P(E) = 1; y (3) si A y B son incompatibles, la probabilidad de su unión es la suma de probabilidades, P(A ∪ B) = P(A) + P(B). De estos tres axiomas se deducen todas las propiedades que usamos a diario: P(∅) = 0, la probabilidad del contrario P(Ā) = 1 − P(A), que 0 ≤ P(A) ≤ 1, la monotonía (si A ⊂ B entonces P(A) ≤ P(B)) y, muy importante, la regla de la suma para sucesos cualesquiera.

La regla de la suma general, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), corrige el axioma 3 cuando los sucesos no son incompatibles: al sumar P(A) y P(B) se cuenta dos veces la zona común A ∩ B, por lo que hay que restarla una vez. Esta fórmula, junto con la del complementario y las leyes de De Morgan, permite resolver con un diagrama de Venn la gran mayoría de los problemas de un solo experimento, y prepara el terreno para la probabilidad condicionada del apartado siguiente.

P(A) = \dfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}

Regla de Laplace (sucesos equiprobables)

La probabilidad clásica de un suceso es el cociente entre el número de resultados favorables y el número total de resultados posibles, válida solo si todos los resultados elementales son igualmente probables.

P(A) \geq 0, \qquad P(E) = 1, \qquad A \cap B = \varnothing \Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Axiomas de Kolmogórov

Los tres axiomas que fundamentan la teoría: no negatividad, probabilidad del suceso seguro igual a 1 y aditividad para sucesos incompatibles.

P(\bar{A}) = 1 - P(A), \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Complementario y regla de la suma

La probabilidad del contrario es 1 menos la del suceso; la regla de la suma resta la intersección para no contarla dos veces cuando los sucesos no son incompatibles.

\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}, \qquad \overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}

Leyes de De Morgan

El contrario de la unión es la intersección de los contrarios y el contrario de la intersección es la unión de los contrarios; son clave para reformular sucesos negados.

Ejemplo resuelto

Probabilidades con la regla de la suma y De Morgan

En una clase, la probabilidad de que un alumno elegido al azar practique baloncesto es P(A) = 0,5, la de que practique natación es P(B) = 0,4 y la de que practique ambos deportes es P(A ∩ B) = 0,2. Calcula la probabilidad de que practique al menos uno de los dos deportes y la de que no practique ninguno.

Identificar los datos
Tenemos P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 y P(A ∩ B) = 0,2. «Al menos uno» es la unión A ∪ B; «ninguno» es el contrario de la unión.
Aplicar la regla de la suma
La probabilidad de la unión se obtiene sumando las dos y restando la intersección, que se había contado dos veces.
Calcular el contrario por De Morgan
No practicar ninguno es A' ∩ B' = no(A ∪ B), cuyo valor es 1 menos la probabilidad de la unión.

Resultado: La probabilidad de practicar al menos un deporte es 0,7, y la de no practicar ninguno es 0,3.

Errores frecuentes

Aplicar la regla de Laplace cuando los sucesos elementales no son equiprobables, o sumar P(A) + P(B) para la unión sin restar la intersección cuando A y B no son incompatibles.
Confundir incompatibles (A ∩ B = ∅) con independientes (P(A ∩ B) = P(A)·P(B)): son conceptos distintos, y de hecho dos sucesos de probabilidad no nula no pueden ser incompatibles e independientes a la vez.

Repaso activo

En un grupo de estudiantes, la probabilidad de que uno elegido al azar estudie inglés es 0,6; la de que estudie francés es 0,3; y la de que estudie ambos idiomas es 0,2. Calcula la probabilidad de que estudie al menos uno de los dos idiomas, la de que no estudie ninguno y la de que estudie solo inglés.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Probabilidad condicionada e independencia#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido estocástico — probabilidad condicionada e independencia entre sucesos aleatorios; cálculo de probabilidades en experimentos compuestos

La probabilidad condicionada reescala el espacio muestral

La probabilidad condicionada responde a una pregunta fundamental: ¿cómo cambia la probabilidad de un suceso A cuando sabemos que ha ocurrido otro suceso B? Saber que B ha ocurrido reduce el espacio muestral a los resultados compatibles con B, y dentro de ese nuevo universo medimos la fracción que también cumple A. Esta idea de «reescalar la incertidumbre con información parcial» es el corazón del tema y el ingrediente que hará posibles los teoremas de la probabilidad total y de Bayes.

Formalmente, la probabilidad de A condicionada a B, que se lee «probabilidad de A dado B» y se escribe P(A | B), se define como el cociente entre la probabilidad de la intersección y la probabilidad de la condición: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), siempre que P(B) > 0 (Fig. 1). Gráficamente, en un diagrama de Venn equivale a quedarnos solo con la región B y preguntar qué proporción de ella es también A. Es esencial no confundir P(A | B) con P(B | A): la condición y el suceso de interés tienen papeles distintos, y en general ambos valores no coinciden.

Despejando en la definición se obtiene la regla del producto o de la multiplicación, P(A ∩ B) = P(B)·P(A | B) = P(A)·P(B | A), que es la herramienta práctica para calcular la probabilidad de que ocurran dos sucesos a la vez. Esta regla es justamente la que se recorre al multiplicar a lo largo de las ramas de un diagrama de árbol: la probabilidad de un camino completo es el producto de las probabilidades (la primera, sin condicionar; las siguientes, condicionadas a lo ya ocurrido).

Dos sucesos son independientes cuando la ocurrencia de uno no altera la probabilidad del otro, es decir, P(A | B) = P(A) (y equivalentemente P(B | A) = P(B)). Sustituyendo en la regla del producto, esto equivale a la condición simétrica y más cómoda de manejar: A y B son independientes si y solo si P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Conviene distinguir con firmeza independencia de incompatibilidad: dos sucesos incompatibles con probabilidad positiva son, de hecho, fuertemente dependientes (si ocurre uno, el otro es imposible), de modo que NO son independientes.

La independencia se extiende a más de dos sucesos y a experimentos compuestos: tirar un dado y lanzar una moneda son experimentos independientes, por lo que la probabilidad de un resultado conjunto es el producto de las probabilidades individuales. La distinción entre extracciones «con reemplazamiento» (independientes, la composición se restaura) y «sin reemplazamiento» (dependientes, cada extracción cambia el contenido restante) es uno de los contextos más habituales en la PAU para poner a prueba este concepto.

P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0

Definición de probabilidad condicionada

Probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B: se reescala la intersección dividiéndola por la probabilidad de la condición B.

P(A \cap B) = P(B)\cdot P(A \mid B) = P(A)\cdot P(B \mid A)

Regla del producto (multiplicación)

La probabilidad de que ocurran A y B se obtiene multiplicando la de uno por la del otro condicionado al primero; es la regla que se aplica en las ramas de un árbol.

A,\,B \text{ independientes} \iff P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) \iff P(A \mid B) = P(A)

Independencia de sucesos

Dos sucesos son independientes cuando la condición no cambia la probabilidad; equivale a que la probabilidad de la intersección sea el producto de las probabilidades.

Independencia frente a incompatibilidad

Ejemplo resuelto

Condicionada e independencia con extracciones

Una urna contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Se extraen dos bolas sin reemplazamiento. a) Calcula la probabilidad de que ambas sean blancas. b) Comprueba si los sucesos «blanca en la primera» y «blanca en la segunda» son independientes.

Primera extracción
Hay 8 bolas, de las cuales 5 son blancas. La probabilidad de blanca en la primera es 5/8.
Segunda condicionada a la primera
Si la primera fue blanca, quedan 7 bolas y 4 blancas. La probabilidad de blanca en la segunda dado que la primera fue blanca es 4/7.
Aplicar la regla del producto
La probabilidad de que ambas sean blancas es el producto a lo largo de la rama del árbol.
Estudiar la independencia
Para que fueran independientes, P(B_2 | B_1) debería coincidir con P(B_2). Pero P(B_2 | B_1) = 4/7 ≠ 5/8 = P(B_2) (que es la probabilidad de blanca en la segunda sin saber nada, por simetría igual a la de la primera). Como difieren, los sucesos son dependientes.

Resultado: P(ambas blancas) = 5/14 ≈ 0,357. Los sucesos son dependientes, porque al no haber reemplazamiento la primera extracción modifica la composición de la urna.

Errores frecuentes

Invertir la condición y calcular P(B | A) cuando se pide P(A | B), o dividir por la probabilidad equivocada (la del numerador en lugar de la de la condición).
Confundir independencia con incompatibilidad, o suponer que los sucesos son independientes «por defecto» y multiplicar P(A)·P(B) sin haberlo justificado.

Repaso activo

De una baraja española de 40 cartas se extraen dos cartas sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que ambas sean ases. Repite el cálculo suponiendo ahora que la extracción es con reemplazamiento y compara: ¿en qué caso son independientes los sucesos «as en la primera» y «as en la segunda»?

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Experimentos compuestos: árboles y tablas de contingencia#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido estocástico — cálculo de probabilidades en experimentos compuestos; diagramas de árbol y tablas de contingencia

Diagrama de árbol de un experimento compuesto en dos etapas

Un experimento compuesto es el que se realiza en varias etapas o combina varios experimentos simples: lanzar dos dados, extraer varias cartas, elegir primero una máquina y luego una pieza que ella fabrica. La probabilidad de un resultado compuesto se calcula encadenando probabilidades condicionadas etapa a etapa, y el currículo señala dos representaciones que organizan ese cálculo y evitan errores: el diagrama de árbol y la tabla de contingencia.

El diagrama de árbol (Fig. 1) representa cada etapa como un conjunto de ramas que parten de un nodo. Cada rama lleva la probabilidad del suceso correspondiente: las ramas de la primera etapa son probabilidades «simples», y las de las etapas siguientes son probabilidades condicionadas a lo ya ocurrido en las ramas anteriores. Su uso obedece a dos reglas claras: (1) la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo es siempre 1; y (2) la probabilidad de un camino completo (de la raíz a una hoja) es el producto de las probabilidades de sus ramas, que es precisamente la regla del producto P(A ∩ B) = P(A)·P(B | A).

Para obtener la probabilidad de un suceso que puede alcanzarse por varios caminos, se suman las probabilidades de todos los caminos que llevan a él (porque esos caminos son sucesos incompatibles entre sí). Esta combinación de «multiplicar a lo largo de cada rama y sumar entre ramas» es exactamente el mecanismo del teorema de la probabilidad total que veremos en el apartado siguiente, por lo que el árbol es el puente natural entre la condicionada y los grandes teoremas del tema.

La tabla de contingencia (Fig. 2) organiza la información cuando se cruzan dos características de una población (por ejemplo, sexo y aprobado/suspenso, o tipo de máquina y pieza defectuosa). En las casillas interiores van las frecuencias o probabilidades conjuntas P(A ∩ B); en los márgenes (la última fila y la última columna) van las probabilidades marginales P(A) y P(B), que se obtienen sumando por filas o por columnas. A partir de la tabla se leen de forma directa todas las probabilidades del problema: conjuntas en el interior, marginales en los bordes y condicionadas como cociente de una casilla interior entre su total marginal.

Árbol y tabla son dos vistas de la misma información y a menudo conviene pasar de una a otra. La tabla destaca por su lectura inmediata de probabilidades marginales y por hacer transparentes las condicionadas en ambos sentidos (P(A | B) y P(B | A)); el árbol destaca por mostrar el proceso por etapas y por prepararse directamente para la probabilidad total y Bayes. Dominar el tránsito entre ambas representaciones es una de las destrezas más rentables del bloque estocástico.

P(\text{camino}) = P(\text{rama}_1)\cdot P(\text{rama}_2 \mid \text{rama}_1)\cdots

Probabilidad de un camino en el árbol

La probabilidad de un resultado compuesto es el producto de las probabilidades de las ramas del camino, condicionando cada etapa a las anteriores.

\sum_{\text{ramas de un nodo}} P(\text{rama}) = 1

Suma de ramas de un nodo

Las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo agotan todas las posibilidades de esa etapa, por lo que suman 1.

P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{\text{casilla interior } (A\cap B)}{\text{total marginal de } B}

Condicionada desde una tabla de contingencia

En una tabla, la probabilidad condicionada es el cociente de la frecuencia (o probabilidad) conjunta entre el total marginal de la condición.

Tabla de contingencia: conjuntas, marginales y condicionadas

Ejemplo resuelto

De la tabla de contingencia a las probabilidades

En un instituto de 500 alumnos, 300 son chicas y 200 chicos. Aprobaron Matemáticas 240 chicas y 120 chicos. Elegido un alumno al azar, calcula la probabilidad de que haya aprobado, la de que sea chica sabiendo que ha aprobado, y comprueba si los sucesos «ser chica» y «aprobar» son independientes.

Construir la tabla
Aprobaron 240 chicas y 120 chicos, en total 360 aprobados. Suspendieron 60 chicas (300 − 240) y 80 chicos (200 − 120), en total 140 suspensos. Los totales por sexo son 300 y 200.
Probabilidad de aprobar (marginal)
Es el total de aprobados entre el total de alumnos.
P(chica | aprobado) (condicionada)
Entre los 360 aprobados, 240 son chicas. La condicionada es ese cociente.
Estudiar la independencia
P(C) = 300/500 = 0,6 y P(Ap) = 0,72, luego P(C)·P(Ap) = 0,432. Por otro lado, P(C ∩ Ap) = 240/500 = 0,48. Como 0,48 ≠ 0,432, los sucesos no son independientes.

Resultado: P(aprobar) = 0,72; P(chica | aprobado) = 2/3 ≈ 0,667; y los sucesos «ser chica» y «aprobar» son dependientes, pues la probabilidad conjunta (0,48) no coincide con el producto de las marginales (0,432).

Errores frecuentes

Poner en las ramas de la segunda etapa probabilidades sin condicionar (no actualizar tras la primera etapa, típico en extracciones sin reemplazamiento), o que las ramas de un nodo no sumen 1.
Confundir, en una tabla de contingencia, las probabilidades conjuntas (casillas interiores) con las marginales (bordes) o con las condicionadas (cociente casilla / total marginal).

Repaso activo

Una encuesta a 200 personas cruza si usan transporte público (sí/no) con si viven en el centro o en las afueras. Del centro hay 80 personas, de las cuales 60 usan transporte público; de las afueras, 120 personas, de las cuales 30 usan transporte público. Construye la tabla de contingencia con frecuencias y probabilidades, y calcula P(usa transporte público), P(centro | usa transporte público) y comprueba si vivir en el centro y usar transporte público son independientes.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Teorema de la probabilidad total#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido estocástico — planteamiento y resolución de problemas de contexto real que requieran el teorema de la probabilidad total o el trazado de diagramas de árbol

Probabilidad total: el suceso B repartido entre los escenarios

El teorema de la probabilidad total resuelve una situación muy frecuente: queremos la probabilidad de un suceso B, pero solo conocemos su probabilidad condicionada a varias «causas» o «escenarios» previos. La idea es descomponer B según en cuál de esos escenarios ocurre, y sumar las contribuciones de cada uno. Es el razonamiento «de la causa al efecto»: si sé cómo se comporta el efecto B bajo cada causa, puedo calcular la probabilidad global de B.

El ingrediente clave es un sistema completo de sucesos (o partición del espacio muestral): una familia A_1, A_2, …, A_n de sucesos incompatibles dos a dos (no se solapan) y exhaustivos (su unión es todo el espacio muestral, por lo que sus probabilidades suman 1). Cada A_i representa uno de los escenarios posibles, y cualquier resultado del experimento cae en exactamente uno de ellos (Fig. 1). En un diagrama de árbol, el sistema completo es justamente el conjunto de ramas de la primera etapa.

Con esa partición, el teorema afirma que la probabilidad de un suceso B es la suma, sobre todos los escenarios, de la probabilidad de cada escenario por la probabilidad de B condicionada a ese escenario: P(B) = Σ P(A_i)·P(B | A_i). En el lenguaje del árbol, esto es «multiplicar a lo largo de cada rama que llega a B y sumar todas esas ramas» — exactamente lo que hacíamos en el apartado anterior, ahora formulado como teorema. La fórmula es válida precisamente porque los sucesos A_i ∩ B son incompatibles entre sí y su unión es B.

El caso más sencillo y más usado en la PAU es la partición en dos escenarios, A y su contrario Ā: entonces P(B) = P(A)·P(B | A) + P(Ā)·P(B | Ā). Por ejemplo, para hallar la probabilidad de que una pieza sea defectuosa cuando la fabrican dos máquinas, se suma la contribución de cada máquina (su cuota de producción por su tasa de defectos). El teorema admite cualquier número de escenarios: tres máquinas, varias urnas, distintos proveedores, etc.

El teorema de la probabilidad total es, además, el paso previo imprescindible para el teorema de Bayes: el valor P(B) que calculamos aquí será el denominador de la fórmula de Bayes del apartado siguiente. Por eso conviene plantear ambos teoremas con un único diagrama de árbol bien construido, del que la probabilidad total se lee «hacia adelante» y Bayes «hacia atrás».

A_1, A_2, \ldots, A_n \text{ sistema completo} \iff A_i \cap A_j = \varnothing\ (i\neq j),\ \bigcup_{i=1}^{n} A_i = E

Sistema completo de sucesos (partición)

Una partición del espacio muestral en escenarios incompatibles dos a dos y exhaustivos, cuyas probabilidades suman 1.

P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)\cdot P(B \mid A_i)

Teorema de la probabilidad total

La probabilidad de B es la suma, sobre todos los escenarios, de la probabilidad de cada escenario por la de B condicionada a él.

P(B) = P(A)\cdot P(B \mid A) + P(\bar{A})\cdot P(B \mid \bar{A})

Caso de dos escenarios (A y su contrario)

La versión más usada: el sistema completo se reduce a un suceso y su contrario.

Árbol de las tres máquinas y la tasa de defectos

Ejemplo resuelto

Probabilidad total con tres máquinas

Tres máquinas A, B y C fabrican el 50 %, el 30 % y el 20 % de los tornillos de una fábrica. La proporción de defectuosos es del 3 % en A, del 4 % en B y del 5 % en C. Se elige un tornillo al azar de la producción total. ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?

Identificar el sistema completo
Las máquinas A, B, C forman una partición: un tornillo procede de exactamente una de ellas y las cuotas suman 1. P(A) = 0,50, P(B) = 0,30, P(C) = 0,20.
Escribir las condicionadas
El dato «defectuoso dado la máquina» es la tasa de defectos de cada una. Sea D el suceso «defectuoso».
Aplicar la probabilidad total
Se multiplica cada cuota por su tasa de defectos y se suman las tres contribuciones.
Calcular
Sumamos los tres productos: 0,015 + 0,012 + 0,010.

Resultado: La probabilidad de que un tornillo elegido al azar sea defectuoso es 0,037, es decir, el 3,7 %.

Errores frecuentes

No comprobar que los escenarios forman un sistema completo (que sean incompatibles y que sus probabilidades sumen 1), lo que invalida la fórmula.
Olvidar multiplicar cada probabilidad condicionada P(B | A_i) por la probabilidad del escenario P(A_i), o sumar solo algunas ramas en lugar de todas las que llegan a B.

Repaso activo

Tres máquinas A, B y C fabrican, respectivamente, el 50 %, el 30 % y el 20 % de los tornillos de una fábrica. La proporción de tornillos defectuosos es del 3 % en A, del 4 % en B y del 5 % en C. Se toma un tornillo al azar de la producción total: calcula la probabilidad de que sea defectuoso.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Teorema de Bayes y actualización de probabilidades#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido estocástico — teorema de Bayes; resolución e interpretación para actualizar la probabilidad a partir de la observación y la experimentación y la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre

De a priori a a posteriori: el flujo del teorema de Bayes

El teorema de Bayes invierte la dirección del razonamiento: mientras la probabilidad total va «de la causa al efecto» (conocidas las causas, calculo la probabilidad del efecto), Bayes va «del efecto a la causa» (observado el efecto, calculo cuál es la probabilidad de cada causa). Es el mecanismo matemático para actualizar nuestras creencias a la luz de la evidencia, lo que lo convierte en la herramienta natural del diagnóstico, la fiabilidad y la toma de decisiones bajo incertidumbre. Debe su nombre a Thomas Bayes, y su difusión y formalización moderna a Pierre-Simon Laplace.

Partimos de un sistema completo de sucesos A_1, …, A_n (las posibles causas) con sus probabilidades a priori P(A_i) —lo que sabíamos antes de observar nada— y de las verosimilitudes P(B | A_i) —cómo de probable es la evidencia B bajo cada causa. El teorema de Bayes calcula la probabilidad a posteriori P(A_i | B), es decir, la probabilidad de la causa A_i una vez observado el efecto B (Fig. 1). En el diagrama de árbol, Bayes consiste en recorrer una rama «hacia atrás»: cociente entre la probabilidad del camino que lleva a A_i ∩ B y la probabilidad total de B.

La fórmula es P(A_i | B) = P(A_i)·P(B | A_i) / Σ_j P(A_j)·P(B | A_j). El numerador es la probabilidad del camino concreto que pasa por A_i y produce B; el denominador es exactamente la probabilidad total P(B) del apartado anterior, es decir, la suma de las probabilidades de TODOS los caminos que producen B. Por eso resolver un problema de Bayes siempre implica, de paso, calcular una probabilidad total: primero se obtiene P(B) y luego se divide la rama de interés entre ese total.

La interpretación es lo que el currículo subraya como esencial: Bayes actualiza la probabilidad. Partimos de una creencia inicial (a priori), observamos un dato (la evidencia B) y obtenemos una creencia revisada (a posteriori). Un resultado a menudo sorprendente y muy formativo es el de las pruebas de diagnóstico: aunque un test sea muy sensible y específico, si la enfermedad es rara (a priori baja), la probabilidad de estar realmente enfermo tras dar positivo puede ser sorprendentemente moderada, porque hay muchos más sanos que pueden dar un falso positivo. Esta «paradoja del falso positivo» es un clásico de la PAU y un ejemplo perfecto de toma de decisiones en condiciones de incertidumbre.

Conviene fijar el método de resolución, que es siempre el mismo: (1) definir los sucesos y el sistema completo de causas; (2) escribir las probabilidades a priori y las verosimilitudes en un diagrama de árbol; (3) calcular la probabilidad total del efecto observado (denominador); y (4) aplicar Bayes dividiendo la rama de interés entre ese total. Comprobar al final que las probabilidades a posteriori de todas las causas dado B suman 1 es una excelente verificación de coherencia (competencia CE2).

P(A_i \mid B) = \dfrac{P(A_i)\cdot P(B \mid A_i)}{\displaystyle\sum_{j=1}^{n} P(A_j)\cdot P(B \mid A_j)}

Teorema de Bayes

La probabilidad a posteriori de la causa A_i tras observar B es la probabilidad del camino A_i→B dividida entre la probabilidad total de B (suma de todos los caminos que producen B).

P(A_i \mid B) = \dfrac{P(A_i)\cdot P(B \mid A_i)}{P(B)}, \qquad P(B)=\sum_{j} P(A_j)\,P(B\mid A_j)

Bayes y probabilidad total (denominador)

El denominador de Bayes es exactamente la probabilidad total de B; por eso todo problema de Bayes empieza calculando P(B).

\text{a priori } P(A_i) \ \xrightarrow{\ \text{evidencia } B\ }\ \text{a posteriori } P(A_i \mid B), \qquad \sum_i P(A_i\mid B)=1

Actualización de probabilidades

Bayes transforma la creencia previa (a priori) en una creencia revisada (a posteriori) tras observar la evidencia; las a posteriori de un sistema completo suman 1.

Árbol del test de diagnóstico (Bayes hacia atrás)

Ejemplo resuelto

Bayes en un test de diagnóstico (la paradoja del falso positivo)

Una enfermedad afecta al 1 % de la población. Una prueba da positivo en el 95 % de los enfermos (sensibilidad) y en el 4 % de los sanos (falsos positivos). Una persona elegida al azar da positivo. Calcula la probabilidad de que esté realmente enferma e interpreta el resultado.

Definir sucesos y a priori
Sea E = «estar enfermo» y S = «estar sano» (sistema completo). Sea + = «dar positivo». A priori: P(E) = 0,01 y P(S) = 0,99.
Escribir las verosimilitudes
La sensibilidad es P(+ | E) = 0,95; los falsos positivos son P(+ | S) = 0,04.
Probabilidad total de positivo
Sumamos las dos ramas que dan positivo: enfermo y positivo, más sano y positivo.
Aplicar Bayes
Dividimos la rama de interés (enfermo y positivo) entre la probabilidad total de positivo.
Interpretar
Aunque el test es bastante fiable, la enfermedad es rara, de modo que tras un positivo la probabilidad de estar realmente enfermo es solo del 19,3 %: hay tantos sanos que el número de falsos positivos (0,0396) supera con creces al de verdaderos positivos (0,0095). El positivo sube la creencia desde el 1 % a priori hasta casi el 19,4 % a posteriori, pero no la convierte en certeza.

Resultado: P(enfermo | positivo) ≈ 0,1935, es decir, alrededor del 19,3 %. El resultado ilustra la paradoja del falso positivo: con una enfermedad poco frecuente, un positivo aislado eleva mucho la probabilidad a priori pero está lejos de garantizar la enfermedad.

Errores frecuentes

Confundir P(A | B) con P(B | A): por ejemplo, dar como respuesta la sensibilidad del test (P(positivo | enfermo)) cuando se pregunta por P(enfermo | positivo).
Usar como denominador solo P(B | A_i) o solo la rama de interés, en lugar de la probabilidad total P(B) (suma de TODAS las ramas que producen el efecto B).

Repaso activo

Una enfermedad afecta al 1 % de la población. Una prueba de diagnóstico da positivo en el 95 % de los enfermos (sensibilidad) y en el 4 % de los sanos (falsos positivos). Si una persona elegida al azar da positivo, calcula la probabilidad de que esté realmente enferma e interpreta el resultado.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)) · Real Decreto 534/2024 — Prueba de Acceso a la Universidad (PAU) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Probabilidad condicionada y teorema de Bayes

Puntos clave

Probabilidades con la regla de la suma y De Morgan

Puntos clave

Condicionada e independencia con extracciones

Puntos clave

De la tabla de contingencia a las probabilidades

Puntos clave

Probabilidad total con tres máquinas

Puntos clave

Bayes en un test de diagnóstico (la paradoja del falso positivo)

Fuentes

Probabilidad condicionada y teorema de Bayes

Puntos clave

Probabilidades con la regla de la suma y De Morgan

Puntos clave

Condicionada e independencia con extracciones

Puntos clave

De la tabla de contingencia a las probabilidades

Puntos clave

Probabilidad total con tres máquinas

Puntos clave

Bayes en un test de diagnóstico (la paradoja del falso positivo)

Fuentes