Apuntes · Matemáticas IIES · Selectividad

Pensamiento computacional

El pensamiento computacional es la forma de razonar que descompone un problema, lo abstrae, reconoce sus pautas y lo traduce en un algoritmo reproducible; en Matemáticas II se aplica sobre todo al análisis de las operaciones con matrices y a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales (eliminación de Gauss, determinantes, rangos e inversa). Vertebra la competencia específica CE4 del currículo LOMLOE y conecta el álgebra lineal con la informática y la modelización con herramientas digitales. Aviso importante: este tema es «Ampliación — fuera del examen de Selectividad»; no es un saber básico evaluable de forma aislada en la PAU, sino una mirada metodológica transversal que ayuda a entender y a comprobar lo que sí se evalúa (matrices y sistemas).

4seccionesca. 20min de lectura3competenciasNivelBásico 2 · Estándar 2Revisado · 06/2026

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Perfil de examen

CE4 · CE4 — Utilizar los principios del pensamiento computacional (organizar datos, descomponer en partes, reconocer pautas, interpretar, modificar y crear algoritmos) para modelizar y resolver situaciones, especialmente las operaciones con matrices y la resolución de sistemas. (Ampliación — fuera del examen de Selectividad como contenido evaluable aislado.)CE3 · CE3 — Formular y comprobar conjeturas o plantear problemas utilizando el razonamiento, la abstracción y las herramientas tecnológicas adecuadas.CE8 · CE8 — Comunicar de forma individual y colectiva procedimientos, argumentos y resultados matemáticos con apoyo de medios digitales y de un lenguaje algorítmico claro.

Operadores:analizaexplicadescomponediseñatraducejustificacalcularazonarelacionainterpretacomprueba

nivel básico

En las materias comunes basta con apreciar la idea de algoritmo y de comprobación digital; aquí solo es un apoyo metodológico.

nivel avanzado

En Matemáticas II (modalidad) se profundiza en el análisis algorítmico de Gauss, determinantes, rango e inversa, aunque NO se evalúa de forma aislada en la PAU: refuerza la destreza con matrices y sistemas que sí entra.

Profundidad

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Inhalt · 4 secciones

Pensamiento computacional

Pensamiento computacional: descomposición, abstracción y algoritmos#

BasisBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido algebraico (pensamiento computacional) · CE4

El «pensamiento computacional» es una manera estructurada de afrontar un problema que toma prestada del trabajo del informático su disciplina, pero que es matemática de principio a fin: no se trata de programar, sino de pensar de forma que la solución pueda repetirse paso a paso y, si se desea, automatizarse. Conviene insistir desde el principio en que este tema es una «Ampliación — fuera del examen de Selectividad»: no aparecerá como pregunta aislada en la prueba, sino que es la metodología con la que se ordenan y se comprueban los contenidos de matrices y sistemas, que sí son evaluables.

Se reconocen cuatro fases o pilares (Fig. 1). La «descomposición» parte un problema grande en subproblemas manejables: resolver un sistema 3×3 se descompone en triangular la matriz, despejar la última incógnita y sustituir hacia atrás. La «abstracción» retiene lo esencial y descarta lo accesorio: a un sistema le importan sus coeficientes y términos independientes, no las letras x, y, z que usemos, de ahí la forma matricial. El «reconocimiento de pautas» detecta regularidades que se repiten: la operación «restar a una fila un múltiplo de otra» se repite hasta escalonar. Por último, el «diseño de algoritmos» escribe la secuencia finita, ordenada y no ambigua de pasos que resuelve TODOS los casos del problema, no solo el ejemplo concreto.

Las cuatro fases del pensamiento computacional

Un «algoritmo» es, formalmente, una secuencia finita de instrucciones precisas que, partiendo de unos datos de entrada, produce una salida en un número finito de pasos. Debe ser finito (acaba siempre), determinista (mismos datos → mismo resultado), general (vale para toda una familia de problemas) y eficaz (cada paso es ejecutable). Para describirlo sin atarse a ningún lenguaje de programación se usa el «pseudocódigo», una notación intermedia entre el lenguaje natural y el código, y el «diagrama de flujo», su representación gráfica con bloques de proceso, rombos de decisión y flechas (lo verás en la sección de Gauss, Fig. 2).

Frente a este enfoque metódico está el «cálculo simbólico a ojo», válido en casos pequeños pero frágil: el valor del pensamiento computacional es que un buen algoritmo no se equivoca por cansancio, escala a tamaños grandes y, sobre todo, permite COMPROBAR el resultado de forma sistemática (por ejemplo, sustituyendo la solución en el sistema original, o verificando que A·A⁻¹ = I). En la práctica de Matemáticas II este pensamiento se concreta en tres algoritmos clásicos del álgebra lineal —la eliminación de Gauss, el cálculo de determinantes y el cálculo del rango y de la inversa— y en el uso de herramientas digitales (hojas de cálculo, GeoGebra, calculadoras simbólicas) para explorar y verificar.

\text{Algoritmo}: \ \text{entrada} \longrightarrow \underbrace{P_1 \to P_2 \to \cdots \to P_n}_{\text{pasos finitos y precisos}} \longrightarrow \text{salida}

Esquema general de un algoritmo

Un algoritmo transforma unos datos de entrada en una salida mediante un número finito de pasos precisos y ordenados.

Ejemplo resuelto

De un problema a un algoritmo general

Diseña un algoritmo, en pseudocódigo, que reciba tres números reales a, b, c (los coeficientes de la ecuación lineal a·x + b = c con a posiblemente nula) y decida si la ecuación tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna, devolviendo la solución cuando sea única.

Descomponer
El problema se reduce a despejar x de a·x + b = c, es decir a·x = c − b, distinguiendo según a sea o no nulo.
Abstraer y reconocer la pauta
Lo que decide el tipo de solución es únicamente si a = 0 y, en ese caso, si c − b = 0. Es la misma estructura que la discusión de un sistema.
Diseñar el algoritmo
ENTRADA a, b, c. Calcular d = c − b. SI a ≠ 0 ENTONCES devolver «solución única: x = d/a». SI NO (a = 0): SI d = 0 ENTONCES devolver «infinitas soluciones»; SI NO devolver «ninguna solución». FIN.
Comprobar la generalidad
El algoritmo cubre los tres casos posibles, es finito (acaba tras unas pocas comparaciones) y determinista. Por ejemplo, con a=2, b=3, c=11 da d=8 y x=4; con a=0, b=3, c=3 da d=0 → infinitas; con a=0, b=3, c=5 da d=2≠0 → ninguna.

Resultado: El algoritmo clasifica correctamente la ecuación: única (x=(c−b)/a si a≠0), infinitas (a=0 y c=b) o ninguna (a=0 y c≠b); es el embrión de la discusión de sistemas.

Errores frecuentes

Confundir «pensamiento computacional» con «usar la calculadora o el ordenador»: lo esencial es el razonamiento algorítmico, no la máquina.
Diseñar un procedimiento que funciona solo para el ejemplo concreto y no contempla los casos especiales (por ejemplo, un pivote nulo en Gauss), perdiendo la generalidad que exige un algoritmo.

Repaso activo

Describe en pseudocódigo, en no más de seis pasos, un algoritmo que reciba dos números enteros a y b y devuelva su máximo común divisor por el método de Euclides; identifica luego cuál es la entrada, cuál la salida y por qué el procedimiento es finito.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Algoritmo de Gauss para sistemas y rangos#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido algebraico · Análisis algorítmico de la resolución de sistemas (método de Gauss y rangos)

Diagrama de flujo del método de Gauss

La eliminación de Gauss es el ejemplo más limpio de algoritmo en Matemáticas II: transforma la matriz ampliada de un sistema en una forma escalonada mediante una repetición controlada de transformaciones elementales, y de esa forma escalonada se leen de un vistazo el rango y la clasificación del sistema. Aunque este tema sea una «Ampliación — fuera del examen de Selectividad», entender Gauss como ALGORITMO es exactamente lo que te da soltura en las preguntas de sistemas que sí entran en la PAU.

Las únicas operaciones permitidas son las tres «transformaciones elementales de fila», que no alteran el conjunto de soluciones: intercambiar dos filas (Fᵢ ↔ Fⱼ), multiplicar una fila por un escalar no nulo (Fᵢ → k·Fᵢ con k ≠ 0) y sumar a una fila un múltiplo de otra (Fᵢ → Fᵢ + k·Fⱼ). El algoritmo elige en cada columna un elemento «pivote» no nulo y, con la tercera transformación, hace ceros por debajo de él; cuando un pivote candidato es 0 se intercambian filas para traer otro distinto de cero (esto se llama «pivoteo» y es el caso especial que un buen algoritmo NUNCA olvida).

El proceso tiene dos fases bien diferenciadas (Fig. 1 muestra el diagrama de flujo). En la «eliminación hacia adelante» se barren las columnas de izquierda a derecha creando ceros bajo la diagonal hasta dejar la matriz escalonada (triangular superior). En la «sustitución hacia atrás» se despeja la última incógnita y se va subiendo, sustituyendo los valores ya hallados. El número de filas no nulas de la forma escalonada es, por definición operativa, el rango de la matriz: ahí el algoritmo entronca directamente con el teorema de Rouché-Frobenius, que compara el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada.

La gran ventaja del enfoque algorítmico es el control de los casos. Una fila que queda «0 0 0 | k» con k ≠ 0 significa una ecuación imposible (0 = k): sistema incompatible. Una fila completamente nula «0 0 0 | 0» es una ecuación redundante que baja el rango y puede dar infinitas soluciones. Comparando el número de pivotes con el número de incógnitas se decide entre compatible determinado (tantos pivotes como incógnitas) e indeterminado (menos pivotes que incógnitas). Este mismo recorrido, aplicado a una matriz sin la columna de términos independientes, es el algoritmo del cálculo del rango.

F_i \leftrightarrow F_j, \qquad F_i \to k\,F_i \ (k \neq 0), \qquad F_i \to F_i + k\,F_j

Transformaciones elementales de fila

Las tres operaciones que el algoritmo de Gauss puede aplicar sin cambiar el conjunto de soluciones del sistema.

F_i \to F_i - \frac{a_{ij}}{a_{jj}}\,F_j

Creación de un cero bajo el pivote

Con el pivote a_{jj} no nulo, se anula el elemento a_{ij} restando a la fila i el múltiplo adecuado de la fila pivote j.

Ejemplo resuelto

Resolución de un sistema 3×3 por Gauss

Resuelve por el método de Gauss el sistema x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2. Indica el rango de la matriz de coeficientes y de la ampliada, y clasifica el sistema.

Matriz ampliada
Se escribe la matriz ampliada (A|b) con los coeficientes y los términos independientes.
Ceros en la 1.ª columna
Con pivote a₁₁ = 1 hacemos F₂ → F₂ − 2F₁ y F₃ → F₃ − F₁.
Cero en la 2.ª columna
Con pivote −3 en F₂ hacemos F₃ → F₃ + (1/3)F₂ para anular el 1 de la posición (3,2).
Sustitución hacia atrás
De la 3.ª fila: −(7/3)z = −7 ⇒ z = 3. De la 2.ª: −3y − z = −9 ⇒ −3y − 3 = −9 ⇒ y = 2. De la 1.ª: x + y + z = 6 ⇒ x + 2 + 3 = 6 ⇒ x = 1.
Rangos y clasificación
La forma escalonada tiene 3 pivotes no nulos: rg(A) = rg(A|b) = 3 = número de incógnitas. Por Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado.

Resultado: Sistema compatible determinado con solución única (x, y, z) = (1, 2, 3); rg(A) = rg(A|b) = 3.

Errores frecuentes

Multiplicar una fila por 0 o usar como pivote un elemento nulo sin intercambiar filas antes (pivoteo olvidado), lo que rompe el algoritmo.
Confundir el orden Fᵢ → Fᵢ + k·Fⱼ (correcta) con Fᵢ → k·Fᵢ + Fⱼ, que sí altera la fila pivote y cambia las soluciones; o cometer errores de signo al restar múltiplos.

Repaso activo

Aplica el método de Gauss a la matriz ampliada del sistema x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2, escribiendo cada transformación de fila empleada, e indica el rango de la matriz de coeficientes, el de la ampliada y la clasificación del sistema.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Algoritmos de operaciones con matrices y determinantes#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido algebraico · Análisis algorítmico de las operaciones con matrices (producto, determinantes, rango, inversa)

Regla de Sarrus para el determinante 3×3

Las operaciones con matrices son, ellas mismas, algoritmos con una estructura muy regular, lo que las convierte en el banco de pruebas ideal del pensamiento computacional dentro de Matemáticas II (siempre como «Ampliación — fuera del examen de Selectividad»). Sumar dos matrices, multiplicar una matriz por un escalar, multiplicarlas entre sí o calcular un determinante son procedimientos que se describen sin ambigüedad con bucles que recorren filas y columnas (Fig. 1).

El producto de matrices es el algoritmo más instructivo: para C = A·B, con A de orden m×n y B de orden n×p, cada elemento cᵢⱼ es el producto escalar de la fila i de A por la columna j de B, es decir cᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ·bₖⱼ. Algorítmicamente son tres bucles anidados (sobre i, sobre j y, dentro, sobre k acumulando la suma). De aquí se reconocen pautas importantes: el producto solo está definido si las columnas de A coinciden con las filas de B, y su «coste» crece con el tamaño (del orden de m·n·p multiplicaciones), una primera idea de eficiencia algorítmica.

El determinante admite varios algoritmos equivalentes y elegir el adecuado es pensamiento computacional puro. Para 2×2 es la fórmula directa ad − bc; para 3×3, la regla de Sarrus (Fig. 1) suma las tres diagonales descendentes y resta las tres ascendentes; para órdenes mayores se usa el «desarrollo por adjuntos» (de Laplace) por una fila o columna, eligiendo aquella con más ceros para reducir el cálculo, o bien la triangulación por Gauss, ya que el determinante de una matriz triangular es el producto de su diagonal. Reconocer cuál conviene es abstracción y reconocimiento de pautas.

El mismo enfoque resuelve el rango y la inversa. El rango es el número de filas no nulas tras escalonar por Gauss (o el mayor orden de un menor no nulo). La inversa de una matriz cuadrada A regular se calcula por adjuntos, A⁻¹ = (1/|A|)·(adj A)ᵀ, válida solo si |A| ≠ 0, o por el algoritmo de Gauss-Jordan: se parte de la matriz ampliada (A | I) y se aplican transformaciones de fila hasta llevar A a la identidad; lo que queda a la derecha es A⁻¹. La comprobación honesta del resultado —verificar A·A⁻¹ = I— es la fase de validación que todo algoritmo debe incorporar.

c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}

Elemento del producto de matrices

Cada elemento del producto C = A·B es el producto escalar de la fila i de A por la columna j de B; algorítmicamente, tres bucles anidados.

\det\!\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

Determinante 3×3 (regla de Sarrus)

Suma de las tres diagonales descendentes menos las tres ascendentes.

A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,(\operatorname{adj} A)^{\mathsf{T}}, \qquad \det A \neq 0

Inversa por adjuntos

La inversa existe solo si el determinante es no nulo; es la traspuesta de la matriz adjunta dividida por el determinante.

Ejemplo resuelto

Producto de matrices, determinante e inversa 2×2

Sean A = ((1,2),(0,3)) y B = ((4,−1),(2,5)). Calcula A·B y B·A; comprueba que A·B ≠ B·A. Calcula |A| y, si procede, A⁻¹, verificando A·A⁻¹ = I.

Producto A·B
Cada elemento es fila de A por columna de B: c₁₁=1·4+2·2=8, c₁₂=1·(−1)+2·5=9, c₂₁=0·4+3·2=6, c₂₂=0·(−1)+3·5=15.
Producto B·A
Ahora fila de B por columna de A: d₁₁=4·1+(−1)·0=4, d₁₂=4·2+(−1)·3=5, d₂₁=2·1+5·0=2, d₂₂=2·2+5·3=19.
No conmutatividad
Comparando, A·B = ((8,9),(6,15)) y B·A = ((4,5),(2,19)) son distintas: el producto de matrices no es conmutativo.
Determinante de A
Para 2×2, |A| = ad − bc = 1·3 − 2·0 = 3 ≠ 0, luego A es invertible.
Inversa de A
Para 2×2, A⁻¹ = (1/|A|)·((d,−b),(−c,a)) = (1/3)·((3,−2),(0,1)).
Comprobación
A·A⁻¹ = ((1,2),(0,3))·((1,−2/3),(0,1/3)) = ((1, −2/3+2/3),(0, 1)) = ((1,0),(0,1)) = I.

Resultado: A·B = ((8,9),(6,15)) ≠ B·A = ((4,5),(2,19)); |A| = 3 y A⁻¹ = ((1,−2/3),(0,1/3)), verificada con A·A⁻¹ = I.

Errores frecuentes

Intentar multiplicar matrices incompatibles (columnas de A ≠ filas de B) o suponer que el producto es conmutativo, cuando en general A·B ≠ B·A.
En la regla de Sarrus, equivocar el signo de las diagonales ascendentes (que restan) o aplicar Sarrus a determinantes que no son 3×3.

Repaso activo

Dadas A = ((1,2),(0,3)) y B = ((4,−1),(2,5)), calcula A·B y B·A y comprueba que no coinciden; calcula además |A| y, si es no nulo, la inversa A⁻¹, verificando que A·A⁻¹ = I.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Modelización y exploración con herramientas digitales#

BasisBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido algebraico / espacial / de la medida · Modelización con herramientas tecnológicas; CE3, CE8

Herramientas digitales para modelizar y explorar

La última pieza del pensamiento computacional es usar la tecnología con criterio para modelizar situaciones, explorar conjeturas y comunicar resultados (competencias CE3 y CE8), de nuevo como «Ampliación — fuera del examen de Selectividad»: en la PAU no se permite ni se evalúa el uso de estas herramientas, pero en el aula son insustituibles para entender, para ganar intuición y para verificar a mano lo que haya que entregar en el examen.

Las tres familias de herramientas tienen perfiles distintos (Fig. 1). Las «hojas de cálculo» (Calc, Excel) organizan datos en celdas y propagan fórmulas: son idóneas para tabular, para repetir un cálculo sobre muchos casos y para automatizar operaciones con matrices mediante funciones específicas. Los «entornos de geometría dinámica y cálculo» como GeoGebra permiten representar funciones, vectores y objetos del espacio, mover parámetros con deslizadores y ver al instante el efecto, además de resolver sistemas y operar con matrices simbólicamente. Los «sistemas de cálculo simbólico» (CAS) manipulan expresiones exactas: factorizan, derivan, integran o invierten matrices con fracciones exactas en lugar de aproximaciones.

La gran aportación didáctica es la «exploración»: al desplazar un parámetro y observar cómo cambia la solución de un sistema o la gráfica de una función, se «formulan y comprueban conjeturas» (CE3). Por ejemplo, en un sistema dependiente de un parámetro m, variar m con un deslizador deja ver para qué valores el sistema deja de ser compatible determinado; la herramienta sugiere la respuesta, pero la justificación rigurosa (vía rangos o determinantes) sigue siendo trabajo del estudiante. La tecnología propone; la matemática demuestra.

El pensamiento computacional incluye también una ética del uso honesto: la herramienta verifica y acelera, pero no sustituye al razonamiento ni se puede presentar su salida sin entenderla. Conviene contrastar siempre el resultado digital con una comprobación a mano (sustituir la solución, verificar A·A⁻¹ = I, comparar con un caso conocido) y comunicar el procedimiento con un lenguaje claro —pseudocódigo, diagramas de flujo, capturas anotadas— para que cualquiera pueda reproducirlo. Esa transparencia es la cara comunicativa de la competencia CE8.

\text{Herramienta: conjetura} \ \longrightarrow \ \text{Matemática: demostración}

Papel de la tecnología

La herramienta digital ayuda a explorar y conjeturar, pero la justificación rigurosa corresponde al razonamiento matemático.

Ejemplo resuelto

Explorar un sistema con parámetro y confirmarlo con rangos

Para el sistema x + y = 1, x + m·y = m, usa la idea de exploración (¿qué pasa al variar m?) y confírmalo con un razonamiento por determinantes y rangos: clasifica el sistema según el valor de m.

Exploración (conjetura)
Con un deslizador m en GeoGebra se ven dos rectas; para casi todo m se cortan en un punto (solución única), pero al acercar m a 1 las rectas tienden a coincidir, lo que sugiere un comportamiento especial en m = 1.
Determinante de la matriz de coeficientes
A = ((1,1),(1,m)); |A| = 1·m − 1·1 = m − 1. Se anula solo en m = 1.
Caso m ≠ 1
|A| ≠ 0 ⇒ rg(A) = 2 = nº de incógnitas: sistema compatible determinado. Restando la 1.ª ecuación a la 2.ª: (m−1)·y = m−1 ⇒ y = 1; y de x + y = 1 ⇒ x = 0. (Por Cramer daría lo mismo: y = det(A_y)/det(A) = (m−1)/(m−1) = 1 y x = det(A_x)/det(A) = 0.)
Caso m = 1
El sistema queda x + y = 1 y x + y = 1: la segunda ecuación es idéntica a la primera. rg(A) = rg(A|b) = 1 < 2 incógnitas: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones).
Confirmación
La conjetura digital (algo especial ocurre en m = 1) se confirma rigurosamente: el comportamiento singular es exactamente m = 1, donde el determinante se anula y las rectas coinciden.

Resultado: Si m ≠ 1, compatible determinado con solución única (x, y) = (0, 1); si m = 1, compatible indeterminado con infinitas soluciones x = 1 − λ, y = λ. La exploración digital sugirió m = 1 y los rangos lo demostraron.

Errores frecuentes

Tratar la salida de la herramienta como demostración: representar una gráfica o leer una solución no sustituye al razonamiento que exige la prueba.
Depender de la tecnología hasta el punto de no saber resolver el problema a mano, justo lo que sí se pide en la PAU.

Repaso activo

Plantea cómo usarías una hoja de cálculo o GeoGebra para explorar, en función del parámetro m, la clasificación del sistema x + y = 1, x + m·y = m; describe qué observarías al variar m y cómo lo confirmarías después con un razonamiento por rangos o determinantes.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Pensamiento computacional

Puntos clave

De un problema a un algoritmo general

Puntos clave

Resolución de un sistema 3×3 por Gauss

Puntos clave

Producto de matrices, determinante e inversa 2×2

Puntos clave

Explorar un sistema con parámetro y confirmarlo con rangos

Fuentes

Pensamiento computacional

Puntos clave

De un problema a un algoritmo general

Puntos clave

Resolución de un sistema 3×3 por Gauss

Puntos clave

Producto de matrices, determinante e inversa 2×2

Puntos clave

Explorar un sistema con parámetro y confirmarlo con rangos

Fuentes