Apuntes · FísicaES · Selectividad

Campo eléctrico

El campo eléctrico es el segundo gran campo de fuerzas de 2.º de Bachillerato y se construye sobre la misma plantilla conceptual que el campo gravitatorio, lo que permite explotar una poderosa analogía formal. En este apunte se trata vectorialmente la intensidad del campo creado por cargas discretas y continuas (principio de superposición), se calcula el flujo y se aplica el teorema de Gauss, se introducen el potencial y la energía electrostática, y se determina el movimiento de cargas libres en el campo. Es un contenido plenamente evaluable en la fase de acceso de la Selectividad/PAU para quienes cursan Física como materia de modalidad.

5seccionesca. 29min de lectura3competenciasNivelEstándar 3 · Profundización 2Revisado · 06/2026

T·0333 / 11

Perfil de examen

CE1 · Resolver problemas del campo eléctrico por métodos analíticos —ley de Coulomb, intensidad de campo, potencial y teorema de Gauss—, reconociendo su relevancia tecnológica (FIS2BAC1.1, FIS2BAC1.2).CE2 · Predecir el comportamiento de cargas eléctricas libres en presencia del campo (variables cinemáticas y dinámicas) y analizar fenómenos naturales y aplicaciones prácticas del campo eléctrico (FIS2BAC2.1, FIS2BAC2.3).CE3 · Aplicar la formulación matemática del campo eléctrico con magnitudes, unidades del SI y coherencia dimensional de los resultados (FIS2BAC3.1, FIS2BAC3.2, FIS2BAC3.3).

Operadores:analizacalculadeducedemuestrajustificainterpretarelacionarepresentarazona

nivel básico

Como Física es materia de modalidad, todo el contenido es exigible al alumnado que la cursa; domina con seguridad E = K·q/r², V = K·q/r, el principio de superposición (vectorial para E, escalar para V) y la analogía con el campo gravitatorio.

nivel avanzado

Para la fase de admisión (voluntaria), profundiza en el teorema de Gauss aplicado a distribuciones con simetría (esférica, cilíndrica, plana) y en el estudio cinemático completo del movimiento de cargas en campos uniformes (tipo «cañón de electrones»).

Profundidad

Schrift

Inhalt · 5 secciones

Campo eléctrico

Carga eléctrica, ley de Coulomb e intensidad de campo#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física · Bloque B (Campo electromagnético — campo eléctrico): campo eléctrico, tratamiento vectorial e intensidad del campo; ley de Coulomb.

La carga eléctrica es una propiedad fundamental de la materia que se presenta en dos signos (positiva y negativa), está cuantizada en múltiplos de la carga elemental e = 1,6·10⁻¹⁹ C y se conserva en todo sistema aislado. La interacción entre dos cargas puntuales en reposo la describe la ley de Coulomb (Charles-Augustin de Coulomb, 1785): la fuerza es directamente proporcional al producto de las cargas, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa y está dirigida a lo largo de la recta que las une, F = K·q₁·q₂/r². La constante de Coulomb en el vacío vale K = 1/(4πε₀) ≈ 9·10⁹ N·m²·C⁻², donde ε₀ = 8,85·10⁻¹² C²·N⁻¹·m⁻² es la permitividad del vacío. A diferencia de la gravedad, la fuerza eléctrica puede ser atractiva (cargas de distinto signo) o repulsiva (cargas del mismo signo).

Para describir esta interacción sin referirse continuamente a la segunda carga se introduce el concepto de campo eléctrico, debido a Michael Faraday: una carga Q perturba el espacio que la rodea de modo que cualquier otra carga colocada en él experimenta una fuerza. La intensidad del campo eléctrico E en un punto se define como la fuerza por unidad de carga positiva que experimentaría una carga testigo q₀ situada en él, E = F/q₀. Para una carga puntual Q que crea el campo, su módulo vale E = K·Q/r² y su unidad en el SI es el newton por culombio, N·C⁻¹ (equivalente a V·m⁻¹). El campo es una magnitud VECTORIAL que existe en cada punto del espacio con independencia de que haya o no una carga testigo (Fig. 1).

Campo de una carga puntual: positiva (sale) frente a negativa (entra)

La dirección del campo de una carga puntual es siempre radial. El sentido depende del signo de la carga que lo crea: si Q es POSITIVA, el campo apunta hacia afuera (radialmente saliente), porque empujaría a una carga testigo positiva alejándola; si Q es NEGATIVA, el campo apunta hacia la carga (radialmente entrante). En forma vectorial, E = (K·Q/r²)·u_r, con u_r el vector unitario que va de Q al punto; el signo de Q se incorpora en el propio valor de la carga. Una vez conocido el campo, la fuerza sobre una carga cualquiera q colocada en ese punto es simplemente F = q·E: si q es positiva, F tiene el sentido de E; si q es negativa, F tiene sentido opuesto a E.

La intensidad del campo de una carga puntual decae con el cuadrado de la distancia (ley del inverso del cuadrado): si la distancia se duplica, el campo se reduce a la cuarta parte. Esta dependencia es idéntica en forma a la del campo gravitatorio g = G·M/r², lo que da pie a una analogía formal muy útil que se desarrolla en todo el tema: a la masa M le corresponde la carga Q, a la constante G le corresponde la constante K, y a g le corresponde E. Las dos diferencias esenciales son que la fuerza gravitatoria es siempre atractiva mientras que la eléctrica puede ser de los dos signos, y que la interacción eléctrica es enormemente más intensa (K es unos 20 órdenes de magnitud «más fuerte» que G en términos relativos).

\vec{F} = K\,\dfrac{q_1\,q_2}{r^2}\,\vec{u}_r

Ley de Coulomb

Fuerza entre dos cargas puntuales; K = 9\times10^{9}~N\cdot m^2\cdot C^{-2}. Es repulsiva si q_1 q_2>0 y atractiva si q_1 q_2<0.

\vec{E} = \dfrac{\vec{F}}{q_0} = K\,\dfrac{Q}{r^2}\,\vec{u}_r

Intensidad del campo eléctrico

Fuerza por unidad de carga testigo positiva creada por una carga Q; se mide en N\cdot C^{-1} (= V\cdot m^{-1}).

\vec{F} = q\,\vec{E}

Fuerza sobre una carga en el campo

Conocido E, la fuerza sobre una carga q tiene el sentido de E si q>0 y el opuesto si q<0.

Ejemplo resuelto

Campo y fuerza creados por una carga puntual

Una carga puntual Q = +5,0·10⁻⁹ C está fija en el origen de coordenadas. (a) Calcula el módulo del campo eléctrico que crea en un punto P situado a 0,30 m de la carga. (b) Determina la fuerza que experimentaría en P una carga testigo q₀ = +2,0·10⁻⁹ C. (K = 9·10⁹ N·m²·C⁻².)

Datos y fórmula del campo
Aplicamos E = K·Q/r² con Q = 5,0·10⁻⁹ C y r = 0,30 m. El campo de una carga positiva apunta radialmente hacia afuera, alejándose de Q.
Sustituir valores (a)
E = 9·10⁹ · 5,0·10⁻⁹ / (0,30)² = 9·10⁹ · 5,0·10⁻⁹ / 0,09. El numerador K·Q = 45 N·m²·C⁻¹.
Resultado del campo
E = 45 / 0,09 = 500 N·C⁻¹, dirigido radialmente hacia afuera desde Q hacia P.
Fuerza sobre la carga testigo (b)
F = q₀·E = 2,0·10⁻⁹ · 500 = 1,0·10⁻⁶ N. Como q₀ es positiva, la fuerza tiene el mismo sentido que E: repulsiva, alejando q₀ de Q.

Resultado: (a) E = 500 N·C⁻¹, radial hacia afuera (Q positiva). (b) F = 1,0·10⁻⁶ N, repulsiva (mismo sentido que E, por ser q₀ positiva).

Errores frecuentes

Confundir el sentido del campo con el de la fuerza sobre una carga: el campo de una carga positiva siempre sale de ella, pero la fuerza sobre una carga testigo NEGATIVA apunta hacia la carga (sentido opuesto al campo).
Olvidar elevar al cuadrado la distancia o trabajar con la distancia en centímetros en vez de metros, obteniendo resultados que difieren en factores de 100 o 10 000.

Repaso activo

Una carga puntual Q = −6,0·10⁻⁹ C está fija en el origen. (a) Calcula el módulo, la dirección y el sentido del campo eléctrico que crea en un punto P situado a 0,20 m de ella. (b) Determina la fuerza que experimentaría en P una carga q = +2,0·10⁻⁹ C, indicando su sentido. (K = 9·10⁹ N·m²·C⁻².)

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Principio de superposición y líneas de campo eléctrico#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física · Bloque B (Campo eléctrico): intensidad del campo en distribuciones de cargas discretas y continuas; principio de superposición; líneas de campo producidas por distribuciones de carga sencillas.

El principio de superposición es la herramienta central para tratar sistemas de varias cargas: el campo eléctrico creado en un punto por un conjunto de cargas es la suma VECTORIAL de los campos que cada carga crearía por separado en ese punto, E = E₁ + E₂ + … + E_n. Como E es un vector, la suma no es algebraica salvo que los campos sean colineales; en el caso general hay que descomponer cada E_i en sus componentes cartesianas, sumar componente a componente y recomponer el módulo y la dirección de la resultante (Fig. 2). Conviene dibujar primero el sentido de cada E_i (saliente de las cargas positivas, entrante hacia las negativas) y solo después operar con sus componentes.

Líneas de campo de un dipolo eléctrico (carga + y carga −)

Para distribuciones CONTINUAS de carga (un hilo, un anillo, una placa) el principio de superposición se generaliza dividiendo la distribución en elementos infinitesimales de carga dq, cada uno de los cuales crea un campo elemental dE = K·dq/r², y sumando (integrando) las contribuciones, E = ∫dE. En 2.º de Bachillerato no se exige resolver estas integrales, pero sí entender que el resultado de configuraciones simétricas (como una esfera cargada o una placa infinita) se obtiene con mayor comodidad mediante el teorema de Gauss, que se estudia más adelante. Para una carga distribuida con simetría esférica, vista desde fuera, el campo coincide con el de una carga puntual concentrada en el centro.

Una representación gráfica muy útil del campo son las LÍNEAS DE CAMPO, introducidas por Faraday: curvas tangentes en cada punto al vector E, orientadas en su sentido. Sus propiedades son: salen de las cargas positivas y entran en las negativas (o se pierden en el infinito); su densidad (cuántas pasan por unidad de área) es proporcional a la intensidad del campo, de modo que están más juntas donde E es mayor; y nunca se cruzan, porque en cada punto el campo tiene una única dirección. El número de líneas que parten de o llegan a una carga es proporcional al valor de la carga.

Los dos casos canónicos que conviene saber dibujar son el de una carga aislada (líneas radiales) y el del DIPOLO eléctrico —dos cargas iguales y de signo opuesto— cuyas líneas salen de la positiva, se curvan y entran en la negativa. En la región entre dos cargas IGUALES del mismo signo aparece un punto donde el campo se anula (punto neutro), mientras que entre dos cargas de distinto signo el campo nunca se anula sobre el segmento que las une. Saber localizar el punto neutro de un sistema de dos cargas —aquel donde E_total = 0— es un ejercicio clásico de la PAU que se resuelve igualando los módulos de los campos individuales y razonando que las contribuciones deben tener sentidos opuestos.

\vec{E}_{\text{total}} = \sum_{i=1}^{n} \vec{E}_i = \sum_{i=1}^{n} K\,\dfrac{q_i}{r_i^2}\,\vec{u}_{r,i}

Principio de superposición

El campo de un sistema de cargas es la suma VECTORIAL de los campos individuales en el punto.

d\vec{E} = K\,\dfrac{dq}{r^2}\,\vec{u}_r \;\Rightarrow\; \vec{E} = \int d\vec{E}

Distribución continua de carga

Para una distribucion continua se suman (integran) las contribuciones elementales dE de cada dq.

E_1 = E_2 \;\Rightarrow\; \dfrac{q_1}{x^2} = \dfrac{q_2}{(d-x)^2}

Condición de punto neutro

En el punto donde E se anula, los modulos de los campos individuales se igualan (con sentidos opuestos).

Ejemplo resuelto

Campo eléctrico resultante de dos cargas

Dos cargas iguales q₁ = q₂ = +6,0·10⁻⁹ C están situadas en los puntos A(0, 0) m y B(0,80, 0) m. Calcula el módulo y la dirección de la intensidad del campo eléctrico resultante en el punto P(0,40, 0,30) m. (K = 9·10⁹ N·m²·C⁻².)

Distancias de cada carga a P
Por simetría, ambas cargas distan lo mismo de P: r = √((0,40)² + (0,30)²) = √(0,16 + 0,09) = √0,25 = 0,50 m, de modo que r² = 0,25 m².
Módulo del campo de cada carga
Cada carga crea en P un campo de módulo E₁ = E₂ = K·q/r² = 9·10⁹ · 6,0·10⁻⁹ / 0,25 = 54 / 0,25 = 216 N·C⁻¹.
Componentes y simetría
Cada E_i sale de su carga hacia P. Las componentes horizontales (x) son iguales y opuestas, por lo que se cancelan; solo sobreviven las verticales, ambas dirigidas hacia arriba (+y). El coseno con la vertical cumple cos θ = 0,30/0,50 = 0,60.
Suma de las componentes verticales
E = 2·E₁·cos θ = 2 · 216 · 0,60 = 259,2 N·C⁻¹, dirigido verticalmente hacia arriba (perpendicular al segmento AB, alejándose de él).

Resultado: E ≈ 2,6·10² N·C⁻¹ (259,2 N·C⁻¹), dirigido verticalmente hacia arriba (en el sentido +y, perpendicular al segmento AB).

Errores frecuentes

Sumar los campos de varias cargas como escalares (sumando módulos) en lugar de sumar vectorialmente, ignorando las direcciones y sentidos de cada E_i.
Buscar el punto neutro entre dos cargas del mismo signo en la zona exterior, cuando en realidad está SOBRE el segmento que las une (y, para cargas de distinto signo, está en la prolongación exterior, del lado de la carga de menor valor absoluto).

Repaso activo

Dos cargas puntuales, q₁ = +9,0·10⁻⁹ C y q₂ = +4,0·10⁻⁹ C, están fijas y separadas 0,50 m. Determina en qué punto del segmento que las une el campo eléctrico resultante es nulo. Justifica por qué ese punto neutro está más cerca de la carga menor.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Potencial, energía electrostática, trabajo y superficies equipotenciales#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física · Bloque B (Campo eléctrico): energía de una distribución de cargas estáticas; potencial eléctrico y diferencia de potencial; magnitudes que se modifican y permanecen constantes con el desplazamiento de cargas libres; superficies equipotenciales.

Junto a la descripción vectorial mediante E, el campo eléctrico admite una descripción ENERGÉTICA, escalar y a menudo más cómoda. El potencial eléctrico V en un punto se define como la energía potencial por unidad de carga positiva que tendría allí una carga testigo: V = Ep/q₀. Para una carga puntual Q, tomando el origen de potenciales en el infinito (V → 0 cuando r → ∞), el potencial vale V = K·Q/r y la energía potencial de un par de cargas Q y q separadas r es Ep = K·Q·q/r. A diferencia del caso gravitatorio (siempre negativo), aquí el SIGNO sigue al de las cargas: V y Ep son positivos para cargas del mismo signo (estado de mayor energía, repulsivo) y negativos para cargas de distinto signo (estado ligado, atractivo). El potencial se mide en voltios, V = J·C⁻¹ (Fig. 3).

Líneas de campo radiales y superficies equipotenciales de una carga puntual positiva

El potencial es un escalar, lo que simplifica mucho los problemas con varias cargas: por el principio de superposición, el potencial creado por un sistema de cargas en un punto es la SUMA ALGEBRAICA (con su signo) de los potenciales que crea cada carga, V = ΣVᵢ = K·Σ(qᵢ/rᵢ). No hay que descomponer en componentes ni preocuparse de direcciones: basta sumar números con su signo. La energía de una distribución de cargas estáticas (la energía necesaria para «montarla» trayendo las cargas desde el infinito) se obtiene sumando la energía de cada PAR de cargas, Ep = K·Σ(qᵢ·qⱼ/rᵢⱼ) sin repetir parejas.

El trabajo que realiza la FUERZA del campo cuando una carga q se desplaza del punto A al punto B es igual a la variación de energía potencial cambiada de signo: W_campo = −ΔEp = Ep(A) − Ep(B) = q·(V_A − V_B). La diferencia de potencial V_A − V_B = ΔV es, por tanto, el trabajo por unidad de carga; de ahí que el voltio sea el julio por culombio. Si una carga POSITIVA se mueve espontáneamente, lo hace de mayor a menor potencial (el campo realiza trabajo positivo); una carga NEGATIVA libre se mueve, en cambio, hacia potenciales crecientes. El trabajo que debe aportar un agente externo para moverla cuasiestáticamente es el opuesto, W_ext = +ΔEp.

Las superficies en las que el potencial toma un mismo valor se llaman SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES; para una carga puntual son esferas concéntricas centradas en la carga. Dos propiedades clave para la PAU: (1) el trabajo para mover una carga a lo largo de una superficie equipotencial es NULO, porque ΔV = 0 (W = q·ΔV = 0); y (2) las líneas de campo son siempre perpendiculares a las equipotenciales y apuntan hacia las de menor potencial (el campo «cae» hacia potenciales decrecientes), E = −ΔV/Δd en módulo para campos uniformes. Conviene tener clara la cadena de definiciones de la analogía: a g le corresponde E, a V_gravitatorio le corresponde V_eléctrico, a Ep_gravitatoria le corresponde Ep_eléctrica, con la diferencia esencial del SIGNO de las cargas.

V = K\,\dfrac{Q}{r}

Potencial de una carga puntual

Energia potencial por unidad de carga, con origen en el infinito; se mide en voltios (V = J\cdot C^{-1}). Su signo es el de Q.

E_p = K\,\dfrac{Q\,q}{r} = q\,V

Energía potencial electrostática

Energia de un par de cargas; positiva si son del mismo signo (repulsion) y negativa si son de signo opuesto (atraccion).

W_{\text{campo}} = -\Delta E_p = q\,(V_A - V_B)

Trabajo de la fuerza eléctrica

Trabajo del campo entre dos puntos; W_{ext} = +\Delta E_p es el que aporta un agente externo. Sobre una equipotencial W = 0.

V = \sum_i K\,\dfrac{q_i}{r_i}

Superposición del potencial

El potencial de varias cargas es la suma ALGEBRAICA (con signo) de los potenciales individuales.

Ejemplo resuelto

Potencial y trabajo en el campo de una carga puntual

Una carga puntual Q = +8,0·10⁻⁹ C está fija en el origen. Una carga testigo q = +3,0·10⁻⁹ C se traslada desde un punto A situado a 0,20 m de Q hasta un punto B situado a 0,50 m de Q. (a) Calcula el potencial eléctrico en A y en B. (b) Determina el trabajo realizado por la fuerza eléctrica en ese desplazamiento e interpreta su signo. (K = 9·10⁹ N·m²·C⁻².)

Potencial en A
V_A = K·Q/r_A = 9·10⁹ · 8,0·10⁻⁹ / 0,20 = 72 / 0,20 = 360 V. El numerador K·Q = 72 V·m.
Potencial en B
V_B = K·Q/r_B = 72 / 0,50 = 144 V. Como B está más lejos de la carga, su potencial es menor que el de A.
Trabajo de la fuerza eléctrica
W = q·(V_A − V_B) = 3,0·10⁻⁹ · (360 − 144) = 3,0·10⁻⁹ · 216.
Resultado e interpretación
W = 3,0·10⁻⁹ · 216 = 6,48·10⁻⁷ J. Es POSITIVO: la carga positiva se aleja espontáneamente hacia potenciales menores, así que el campo realiza trabajo a su favor (la fuerza repulsiva empuja la carga hacia afuera).

Resultado: (a) V_A = 360 V, V_B = 144 V. (b) W ≈ +6,5·10⁻⁷ J: positivo, porque una carga positiva se desplaza de mayor a menor potencial y el campo trabaja a su favor.

Errores frecuentes

Tratar el potencial como un vector y «descomponerlo» en componentes; el potencial es un escalar y solo se suma algebraicamente con su signo.
Equivocar el signo del trabajo: una carga positiva libre cae hacia potenciales DECRECIENTES (W_campo > 0), pero una carga negativa libre se mueve hacia potenciales CRECIENTES; olvidar este detalle invierte el resultado.

Repaso activo

Dos cargas puntuales, q₁ = +4,0·10⁻⁹ C y q₂ = −2,0·10⁻⁹ C, están fijas en A(0, 0) m y B(0,60, 0) m. (a) Calcula el potencial eléctrico resultante en el punto P(0,30, 0) m, punto medio del segmento. (b) Determina el trabajo que realiza el campo al trasladar una carga q = +3,0·10⁻⁹ C desde P hasta el infinito. (K = 9·10⁹ N·m²·C⁻².)

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Flujo del campo eléctrico y teorema de Gauss#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física · Bloque B (Campo eléctrico): cálculo e interpretación del flujo de campo eléctrico (teorema de Gauss) en distribuciones de carga sencillas.

Superficie gaussiana esférica que engloba una carga puntual

El flujo del campo eléctrico Φ a través de una superficie mide cuántas líneas de campo la atraviesan. Para un campo uniforme y una superficie plana de área S, el flujo es Φ = E·S·cos α, donde α es el ángulo entre el vector campo E y el vector superficie (normal a ella): el flujo es máximo cuando E es perpendicular a la superficie (α = 0, cos α = 1) y nulo cuando E es paralelo a ella (α = 90°). En el caso general de un campo variable o una superficie curva, el flujo se calcula como la integral de superficie Φ = ∮ E·dS extendida a toda la superficie. Su unidad en el SI es N·m²·C⁻¹. El flujo es una magnitud ESCALAR con signo: positivo si las líneas salen de la superficie cerrada, negativo si entran.

El teorema de Gauss (Carl Friedrich Gauss) es el resultado central de este apartado: el flujo del campo eléctrico a través de una superficie CERRADA cualquiera (llamada superficie gaussiana) es igual a la carga neta encerrada en su interior dividida por la permitividad del vacío, Φ = ∮ E·dS = Q_int/ε₀. Es una de las cuatro ecuaciones de Maxwell y expresa, en esencia, que las cargas son las fuentes (positivas) y sumideros (negativas) del campo eléctrico. Un hecho crucial es que el flujo depende SOLO de la carga encerrada, no de su posición dentro de la superficie ni de las cargas exteriores (que crean campo en la superficie pero contribuyen con flujo neto nulo, pues toda línea que entra vuelve a salir).

El teorema de Gauss es además una herramienta de CÁLCULO muy potente para obtener el campo de distribuciones con alta simetría, eligiendo una superficie gaussiana en la que el campo sea constante en módulo y perpendicular a ella. Para una carga puntual o una esfera con simetría esférica se toma una superficie esférica de radio r: como E es radial y constante en ella, Φ = E·(4πr²) = Q/ε₀, de donde E = Q/(4πε₀·r²) = K·Q/r², recuperándose exactamente la ley de Coulomb. Esto demuestra que, vista desde fuera, una distribución esférica de carga crea el mismo campo que una carga puntual concentrada en su centro.

Aplicando la misma idea a otras simetrías sencillas se obtienen resultados de referencia: un hilo cargado muy largo (densidad lineal λ) crea un campo radial cuyo módulo decae como 1/r, E = λ/(2πε₀·r); una placa plana «infinita» (densidad superficial σ) crea un campo UNIFORME perpendicular a ella, de módulo constante E = σ/(2ε₀), independiente de la distancia a la placa. Una consecuencia notable, también demostrable con Gauss, es que el campo eléctrico en el INTERIOR de un conductor en equilibrio es nulo y que toda carga en exceso de un conductor se distribuye en su superficie; en una esfera conductora hueca, el campo interior es cero (este es el fundamento de la jaula de Faraday).

\Phi = \vec{E}\cdot\vec{S} = E\,S\cos\alpha

Flujo en un campo uniforme

Flujo a traves de una superficie plana; alpha es el angulo entre E y la NORMAL a la superficie. Se mide en N\cdot m^2\cdot C^{-1}.

\Phi = \oint \vec{E}\cdot d\vec{S} = \dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}

Teorema de Gauss

El flujo a traves de una superficie CERRADA solo depende de la carga neta encerrada; epsilon_0 = 8.85\times10^{-12}~C^2\cdot N^{-1}\cdot m^{-2}.

E\cdot 4\pi r^2 = \dfrac{Q}{\varepsilon_0} \;\Rightarrow\; E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2} = K\,\dfrac{Q}{r^2}

Campo de una distribución esférica

Aplicando Gauss a una superficie esferica se recupera la ley de Coulomb: una esfera cargada equivale, vista desde fuera, a una carga puntual en su centro.

E_{\text{placa}} = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} \qquad E_{\text{hilo}} = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}

Distribuciones plana y lineal

Una placa infinita crea un campo UNIFORME (independiente de la distancia); un hilo infinito, un campo radial que decae como 1/r.

Ejemplo resuelto

Flujo eléctrico mediante el teorema de Gauss

Una carga puntual Q = +5,0·10⁻⁶ C está situada en el centro de una superficie esférica imaginaria de radio R = 0,50 m. (a) Calcula el flujo del campo eléctrico a través de la superficie. (b) Calcula el módulo del campo eléctrico en los puntos de dicha superficie y comprueba que coincide con la ley de Coulomb. (ε₀ = 8,85·10⁻¹² C²·N⁻¹·m⁻², K = 9·10⁹ N·m²·C⁻².)

Flujo por el teorema de Gauss (a)
El flujo a través de una superficie cerrada solo depende de la carga encerrada: Φ = Q/ε₀ = 5,0·10⁻⁶ / 8,85·10⁻¹².
Resultado del flujo
Φ = 5,65·10⁵ N·m²·C⁻¹. Este valor es independiente del radio de la superficie: una esfera mayor no altera el flujo, porque la carga encerrada es la misma.
Campo en la superficie (b)
Por simetría E es radial y constante sobre la esfera; el flujo es Φ = E·(4πR²), luego E = Φ/(4πR²) = 5,65·10⁵ / (4π·0,25) = 5,65·10⁵ / 3,1416.
Comprobación con Coulomb
E ≈ 1,8·10⁵ N·C⁻¹. Por la ley de Coulomb, E = K·Q/R² = 9·10⁹ · 5,0·10⁻⁶ / 0,25 = 1,8·10⁵ N·C⁻¹: ambos métodos coinciden.

Resultado: (a) Φ ≈ 5,65·10⁵ N·m²·C⁻¹ (independiente del radio). (b) E ≈ 1,8·10⁵ N·C⁻¹, valor idéntico al obtenido por la ley de Coulomb.

Errores frecuentes

Creer que el flujo a través de una superficie cerrada depende de las cargas exteriores o de la posición de la carga interior; el teorema de Gauss afirma que solo depende de la carga NETA encerrada.
Confundir el ángulo α de la fórmula del flujo: se mide entre el campo E y la NORMAL a la superficie, no entre E y el plano de la superficie (con frecuencia se intercambia el seno por el coseno).

Repaso activo

Una superficie esférica de radio R = 0,40 m tiene en su centro una carga puntual Q = +3,0·10⁻⁶ C. (a) Calcula el flujo del campo eléctrico a través de la superficie esférica. (b) Razona qué le ocurriría a ese flujo si el radio de la esfera se duplicara, y qué le ocurriría si se acercara desde fuera una segunda carga sin atravesar la superficie. (ε₀ = 8,85·10⁻¹² C²·N⁻¹·m⁻².)

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 534/2024 — Prueba de Acceso a la Universidad (PAU) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Movimiento de cargas en el campo y aplicaciones tecnológicas#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física · Bloque B (Campo eléctrico): determinación de las variables cinemáticas y dinámicas de cargas eléctricas libres en presencia del campo eléctrico; fenómenos naturales y aplicaciones tecnológicas en los que se aprecian los efectos del campo eléctrico.

Cuando una carga libre q se abandona en una región donde hay campo eléctrico, experimenta una fuerza F = q·E y, por la segunda ley de Newton, una aceleración a = F/m = q·E/m. Determinar las variables cinemáticas (posición, velocidad) y dinámicas (fuerza, aceleración) de la carga es el objetivo de este apartado. El caso más importante y más preguntado es el del campo UNIFORME, como el que existe entre las dos placas paralelas de un condensador: allí E es constante en módulo, dirección y sentido, de modo que la fuerza es constante y el movimiento de la carga es uniformemente acelerado, idéntico en su tratamiento al de un proyectil bajo la gravedad (Fig. 5).

Carga acelerada en el campo uniforme entre dos placas paralelas

Si la carga parte del reposo y se mueve PARALELA al campo (entre las placas, perpendicular a ellas), describe un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Sus ecuaciones son las del MRUA con a = q·E/m: v = a·t y d = ½·a·t². La velocidad final tras recorrer una distancia d (o tras atravesar una diferencia de potencial ΔV) se obtiene cómodamente por conservación de la energía: el trabajo del campo se invierte en energía cinética, q·ΔV = ½·m·v², de donde v = √(2·q·ΔV/m). Este es exactamente el principio del «cañón de electrones» que acelera partículas en un tubo de rayos catódicos o en un acelerador lineal.

Si la carga entra en el campo uniforme con una velocidad PERPENDICULAR a él, el movimiento es una composición de dos: uniforme en la dirección de entrada (sin fuerza en esa dirección) y uniformemente acelerado en la dirección del campo. La trayectoria resultante es una PARÁBOLA, exactamente análoga al tiro horizontal en el campo gravitatorio. Este es el fundamento de la desviación de haces de electrones en los osciloscopios y de las impresoras de chorro de tinta. El balance de energía y la descomposición del movimiento en sus dos ejes (uno MRU, otro MRUA) son las claves para resolver estos problemas.

El campo eléctrico está detrás de numerosos fenómenos naturales y aplicaciones tecnológicas que el currículo pide reconocer. En la naturaleza, el rayo es una descarga eléctrica que se produce cuando el campo entre las nubes y el suelo supera la rigidez dieléctrica del aire; la electricidad estática y la electrización por frotamiento son manifestaciones cotidianas. En la tecnología, el condensador almacena carga y energía eléctrica entre placas; el pararrayos aprovecha el «poder de las puntas» (el campo es más intenso en zonas de pequeño radio de curvatura); la fotocopiadora e impresora láser (xerografía) y los precipitadores electrostáticos que limpian humos industriales se basan en atraer partículas cargadas mediante campos eléctricos. La jaula de Faraday (campo nulo en el interior de un conductor) protege equipos y personas de campos externos.

\vec{a} = \dfrac{\vec{F}}{m} = \dfrac{q\,\vec{E}}{m}

Aceleración de una carga en el campo

Segunda ley de Newton aplicada a la fuerza electrica; para q<0 la aceleracion es opuesta a E.

E = \dfrac{\Delta V}{d}

Campo uniforme entre placas

Modulo del campo uniforme entre dos placas separadas una distancia d con diferencia de potencial Delta V; se mide en V\cdot m^{-1}.

q\,\Delta V = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2 \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\dfrac{2\,q\,\Delta V}{m}}

Velocidad por conservación de la energía

El trabajo del campo (q\,\Delta V) se invierte en energia cinetica de la carga acelerada desde el reposo.

x = v_0\,t,\qquad y = \tfrac{1}{2}\,\dfrac{q\,E}{m}\,t^2

Trayectoria parabólica (entrada perpendicular)

Composicion de MRU (eje de entrada) y MRUA (eje del campo): la trayectoria es una parabola.

Ejemplo resuelto

Electrón acelerado entre placas paralelas

Entre dos placas paralelas separadas d = 5,0 cm se aplica una diferencia de potencial de 300 V. Un electrón (q = 1,6·10⁻¹⁹ C, m = 9,11·10⁻³¹ kg) parte del reposo junto a la placa negativa. (a) Calcula el módulo del campo eléctrico y la aceleración del electrón. (b) Determina la velocidad con que el electrón llega a la placa positiva. (Desprecia el peso.)

Campo uniforme (a)
Entre placas paralelas el campo es uniforme: E = ΔV/d = 300 / 0,050 = 6,0·10³ V·m⁻¹ (= N·C⁻¹).
Aceleración del electrón
a = q·E/m = 1,6·10⁻¹⁹ · 6,0·10³ / 9,11·10⁻³¹. El numerador q·E = 9,6·10⁻¹⁶ N.
Resultado de la aceleración
a = 9,6·10⁻¹⁶ / 9,11·10⁻³¹ ≈ 1,05·10¹⁵ m·s⁻². La fuerza eléctrica es enormemente mayor que el peso, que se desprecia justificadamente.
Velocidad final por energía (b)
El trabajo del campo se invierte en energía cinética: q·ΔV = ½·m·v², de donde v = √(2·q·ΔV/m) = √(2 · 1,6·10⁻¹⁹ · 300 / 9,11·10⁻³¹) = √(1,054·10¹⁴).
Resultado de la velocidad
v = √(1,054·10¹⁴) ≈ 1,03·10⁷ m·s⁻¹. (Puede comprobarse también con v = √(2·a·d) = √(2·1,05·10¹⁵·0,050).)

Resultado: (a) E = 6,0·10³ N·C⁻¹ y a ≈ 1,05·10¹⁵ m·s⁻². (b) v ≈ 1,03·10⁷ m·s⁻¹ al alcanzar la placa positiva.

Errores frecuentes

Olvidar que la fuerza sobre una carga NEGATIVA (como el electrón) tiene sentido OPUESTO al campo, de modo que su aceleración apunta en sentido contrario a E.
Despreciar el peso solo cuando procede sin justificarlo, o al contrario, incluirlo cuando es despreciable: para un electrón o un protón en un campo de laboratorio, la fuerza eléctrica es enormemente mayor que el peso, que se desprecia (conviene indicarlo).

Repaso activo

Entre dos placas paralelas separadas d = 4,0 cm se establece una diferencia de potencial de 500 V. Un protón (q = +1,6·10⁻¹⁹ C, m = 1,67·10⁻²⁷ kg) parte del reposo junto a la placa positiva. (a) Calcula el campo eléctrico entre las placas y la aceleración del protón. (b) Determina la velocidad con que llega a la placa negativa. (Desprecia el peso.)

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Campo eléctrico

Puntos clave

Campo y fuerza creados por una carga puntual

Puntos clave

Campo eléctrico resultante de dos cargas

Puntos clave

Potencial y trabajo en el campo de una carga puntual

Puntos clave

Flujo eléctrico mediante el teorema de Gauss

Puntos clave

Electrón acelerado entre placas paralelas

Fuentes

Campo eléctrico

Puntos clave

Campo y fuerza creados por una carga puntual

Puntos clave

Campo eléctrico resultante de dos cargas

Puntos clave

Potencial y trabajo en el campo de una carga puntual

Puntos clave

Flujo eléctrico mediante el teorema de Gauss

Puntos clave

Electrón acelerado entre placas paralelas

Fuentes