Apuntes · Dibujo Técnico IIES · Selectividad

Sistema axonométrico

Apunte de repaso de Dibujo Técnico II (materia de modalidad, 2.º de Bachillerato, LOMLOE) sobre el sistema axonométrico: la representación de figuras y sólidos sobre un único plano del cuadro mediante proyección paralela, en sus dos grandes variantes —la axonometría ortogonal (perspectivas isométrica, dimétrica y trimétrica) y la axonometría oblicua (perspectiva caballera)—. El tema enseña a manejar los ejes y los coeficientes de reducción, a pasar de las vistas diédricas a la perspectiva de un sólido y a representar circunferencias y cuerpos con curvas. Es contenido plenamente evaluable: en la prueba de la PAU suele aparecer en el ejercicio de sistemas de representación, donde se pide construir la perspectiva axonométrica de una pieza a partir de sus vistas, normalmente en isométrica o en caballera.

5seccionesca. 33min de lectura3competenciasNivelBásico 1 · Estándar 2 · Profundización 2Revisado · 06/2026

T·0666 / 10

Perfil de examen

CE3 · Representar la realidad tridimensional sobre la superficie del plano mediante los diferentes sistemas de representación, recreando sólidos en perspectiva axonométrica ortogonal y oblicua.5.3.3 · Criterio 5.3.3 (2.º). Recrear la realidad tridimensional mediante la representación de sólidos en perspectivas axonométricas y cónica, utilizando los conocimientos específicos de dichos sistemas (ejes, escalas axonométricas y coeficientes de reducción).5.3.5 · Criterio 5.3.5 (2.º). Valorar el rigor gráfico de las representaciones y la recreación digital de sólidos, cuidando la precisión, la claridad y la limpieza del trazado, también con herramientas TIC.

Operadores:representaconstruyedibujacalculaaplicaexplicajustificainterpretarelacionatraducerazonacompara

nivel básico

Como contenido de los sistemas de representación de Dibujo Técnico II, se exige conocer los fundamentos de la proyección axonométrica, disponer correctamente los ejes de la isométrica (a 120°) y de la caballera, aplicar los coeficientes de reducción y representar sólidos sencillos definidos por sus vistas diédricas.

nivel avanzado

La profundización propia de la modalidad consiste en encadenar todas las destrezas en un ejercicio completo de la PAU: traducir tres vistas diédricas a la perspectiva (isométrica o caballera), elegir bien el tipo de axonometría y el coeficiente de reducción, representar circunferencias como elipses por el método de los cuatro centros y dibujar cuerpos con curvas (cilindros, conos y redondeos) con rigor, limpieza y construcciones auxiliares visibles.

Profundidad

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Inhalt · 5 secciones

Sistema axonométrico

Fundamentos de la axonometría ortogonal y oblicua#

BasisBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Dibujo Técnico II · Bloque 2 (Geometría proyectiva y normalización) · B.2.1 Sistemas de representación (sistema axonométrico ortogonal y oblicuo)

El sistema axonométrico es un sistema de representación que permite obtener, sobre un único plano del dibujo, una imagen tridimensional y a la vez medible de un objeto. A diferencia del sistema diédrico —que necesita dos o tres vistas separadas para definir un cuerpo—, la axonometría reúne las tres dimensiones (anchura, altura y profundidad) en una sola figura, lo que la hace muy intuitiva. Su fundamento es una proyección PARALELA del objeto, referido a un triedro de tres ejes coordenados X, Y, Z, sobre un plano de proyección llamado «plano del cuadro» o «plano axonométrico». Según cómo sea la dirección de proyección respecto de ese plano, la axonometría se clasifica en dos grandes familias: ortogonal y oblicua (Fig. 1).

El sistema axonométrico: las dos familias y sus variantes

En la AXONOMETRÍA ORTOGONAL la dirección de proyección es PERPENDICULAR al plano del cuadro, y el triedro de ejes se sitúa de forma que ninguno de ellos sea paralelo a dicho plano. Al proyectarse, los tres ejes aparecen formando ángulos entre sí y, salvo que coincidan con el plano, sufren un acortamiento o «reducción» en sus medidas. Según cuántas reducciones sean iguales, la axonometría ortogonal se subdivide en tres tipos: ISOMÉTRICA, cuando los tres ejes se reducen igual y forman entre sí ángulos iguales de 120° (el caso más usado por su simetría); DIMÉTRICA, cuando dos ejes se reducen igual y el tercero de forma distinta; y TRIMÉTRICA, cuando los tres ejes tienen reducciones diferentes. La isométrica es, con mucho, la más frecuente en la PAU por su sencillez de trazado.

En la AXONOMETRÍA OBLICUA la dirección de proyección es OBLICUA (no perpendicular) respecto del plano del cuadro, pero el objeto se coloca con una de sus caras principales PARALELA a dicho plano. Gracias a ello, esa cara se proyecta en verdadera magnitud, sin deformación: es su gran ventaja. La variante más importante de la axonometría oblicua es la PERSPECTIVA CABALLERA, en la que la cara frontal del objeto (el plano XZ) se dibuja en verdadera forma y tamaño, y solo el eje de profundidad (Y) se inclina y se reduce. Esto la hace cómoda para piezas con muchos detalles en su cara frontal, que se conservan sin deformar. (La perspectiva «militar» es otra axonometría oblicua que mantiene en verdadera magnitud la cara horizontal, la planta).

El concepto clave común a todo el sistema es el «coeficiente de reducción»: la razón entre la medida que un segmento paralelo a un eje tiene EN EL DIBUJO y su medida REAL. Como en la axonometría ortogonal los ejes están inclinados respecto del cuadro, al proyectarse se acortan, y ese acortamiento se mide con un coeficiente menor que 1 para cada eje. Aplicar el coeficiente correcto a cada dimensión es lo que garantiza que la perspectiva sea métricamente fiel; trabajar sin reducir (escala 1:1) produce una figura proporcionada pero ampliada, lo cual también es una práctica admitida y muy habitual en isometría (la llamada «perspectiva isométrica» frente a la «axonometría isométrica» exacta).

La gran propiedad que hace posible medir directamente en axonometría es el «teorema fundamental de la axonometría» (teorema de Pohlke), que garantiza que tres segmentos cualesquiera trazados desde un punto, con longitudes y ángulos arbitrarios (no alineados), pueden interpretarse siempre como la proyección axonométrica de un triedro trirrectángulo a una cierta escala. En consecuencia, sobre cada eje del dibujo se mide con su propia «escala axonométrica» (la escala real afectada por el coeficiente de reducción), y las medidas solo se llevan SOBRE las direcciones de los ejes o paralelas a ellos: nunca sobre una recta cualquiera de la figura, porque fuera de los ejes las longitudes no se conservan.

Ejemplo resuelto

Clasificación de tres axonometrías por sus ejes y coeficientes

Clasifica las axonometrías: (a) ejes a 120° con los tres coeficientes iguales; (b) ejes X horizontal y Z vertical, Y a 45° y coeficiente de profundidad 1/2; (c) ejes con los tres coeficientes distintos. Indica el tipo y, en su caso, la cara en verdadera magnitud.

1. Caso (a): tres coeficientes iguales y ejes a 120°
Cuando los tres ejes se reducen por igual y forman entre sí ángulos iguales de 120°, la proyección es ortogonal e ISOMÉTRICA. Ninguna cara queda en verdadera magnitud, pero las tres se tratan por igual.
2. Caso (b): cara frontal sin deformar y Y a 45°
Ejes X y Z perpendiculares (cara frontal XZ en verdadera magnitud) y eje Y oblicuo a 45° con coeficiente 1/2: es una axonometría OBLICUA, en concreto la perspectiva CABALLERA. La cara frontal se conserva en verdadera forma y tamaño.
3. Caso (c): tres coeficientes distintos
Si los tres ejes tienen coeficientes de reducción diferentes y la proyección es perpendicular al cuadro, la axonometría ortogonal es TRIMÉTRICA. No hay cara en verdadera magnitud.

Resultado: (a) Axonométrica ortogonal isométrica (sin cara en verdadera magnitud); (b) axonométrica oblicua caballera (cara frontal XZ en verdadera magnitud); (c) axonométrica ortogonal trimétrica (sin cara en verdadera magnitud).

Errores frecuentes

Confundir axonometría ORTOGONAL (dirección de proyección perpendicular al cuadro) con axonometría OBLICUA (dirección oblicua): en la caballera la proyección es oblicua, aunque la cara frontal se dibuje de frente.
Creer que en perspectiva caballera se reducen los tres ejes; en realidad solo se reduce el eje de profundidad (Y), mientras la cara frontal (XZ) se mantiene en verdadera magnitud.
Tomar medidas sobre rectas que no son paralelas a los ejes (por ejemplo, sobre una diagonal del sólido): fuera de las direcciones de los ejes las longitudes no se conservan y la figura sale deformada.

Repaso activo

Clasifica razonadamente las siguientes axonometrías indicando, en cada una, si la proyección es ortogonal u oblicua, qué ángulos forman los ejes y qué coeficientes de reducción se aplican: (a) ejes a 120° con los tres coeficientes iguales; (b) ejes X horizontal y Z vertical con Y a 45° y coeficiente de profundidad 1/2; (c) ejes con los tres coeficientes distintos. Indica además, en cada caso, qué cara (si alguna) se proyecta en verdadera magnitud.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Perspectiva isométrica: ejes y coeficientes de reducción#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Dibujo Técnico II · Bloque 2 · B.2.1 Sistemas de representación (perspectiva isométrica; ejes y coeficientes de reducción)

La perspectiva isométrica es la axonometría ortogonal en la que los tres ejes coordenados se proyectan formando entre sí ángulos iguales de 120°, de modo que las tres direcciones del espacio reciben idéntico tratamiento. La disposición habitual sitúa el eje Z vertical (hacia arriba) y los ejes X e Y inclinados 30° respecto de la horizontal, a uno y otro lado: cada par de ejes consecutivos abarca, en efecto, 120° (Fig. 2). Esta simetría es la razón de su nombre («iso-métrica» = igual medida) y de su enorme popularidad, pues basta una escuadra de 30°/60° y un cartabón para construir todos los ejes y todas las paralelas.

Ejes isométricos a 120° con sus coeficientes de reducción

El coeficiente de reducción TEÓRICO de los tres ejes vale el coseno del ángulo que forma cada eje con el plano del cuadro, que en isometría es cos(35°16') ≈ 0,8165, valor igual a √(2/3). Es decir, en la axonometría isométrica exacta cada centímetro real se dibuja como 0,8165 cm. Como trabajar con 0,816 es incómodo en la práctica, lo habitual es dibujar a ESCALA 1:1 (coeficiente 1), llevando las medidas reales directamente sobre los ejes; el resultado es una figura proporcionada pero AMPLIADA en el factor 1/0,8165 ≈ 1,2247 (un 22,5 % mayor). A esta versión se le llama «perspectiva isométrica» (con coeficiente 1) frente a la «axonometría isométrica» rigurosa (con coeficiente 0,816); ambas son correctas y solo se diferencian en el tamaño global.

La regla de oro para medir es que en isometría las longitudes se conservan SOLO sobre las direcciones de los ejes (X, Y, Z) y sobre las paralelas a ellos. Cualquier arista del objeto que sea paralela a un eje coordenado se lleva a su verdadera medida (afectada del coeficiente elegido); en cambio, las aristas oblicuas —diagonales, biseles— NO se miden directamente, sino que se obtienen uniendo los extremos de segmentos sí medibles sobre los ejes. Por eso el método de trabajo consiste en encajar la pieza en un prisma (o «caja») envolvente, llevar las tres dimensiones sobre los ejes y construir después los detalles a partir de puntos definidos por sus tres coordenadas.

La isometría reproduce muy bien la sensación de volumen de piezas cúbicas o prismáticas, pero tiene un inconveniente conocido: cuando una arista del objeto coincide en dirección con una de las diagonales de proyección, dos vértices se superponen y la pieza puede parecer ambigua (efecto de «cubo de Necker»). Por ello, al encajar el sólido conviene orientarlo de manera que sus caras principales queden bien visibles y no se produzcan coincidencias engañosas. La elección de la cara que mira hacia el observador y del sentido de los ejes es, pues, una decisión de partida importante.

Conviene relacionar la isométrica con el resto del temario. Como sistema de proyección paralela, conserva el paralelismo (rectas paralelas en el objeto siguen paralelas en el dibujo) y la razón simple sobre cada dirección, pero NO conserva ángulos ni longitudes fuera de los ejes: por eso un ángulo recto entre dos caras puede aparecer como 120° o 60° en la perspectiva. Esta es la diferencia esencial con el sistema diédrico (que sí da verdaderas magnitudes en cada vista, pero fragmentadas) y con la perspectiva cónica (que sí simula la disminución del tamaño con la distancia, mientras que la axonometría no, por ser paralela).

c_x = c_y = c_z = \cos(35^\circ\,16') = \sqrt{\tfrac{2}{3}} \approx 0.8165

Coeficiente de reducción teórico en isometría

En la axonometría isométrica exacta los tres ejes se reducen por igual al coseno del ángulo que forman con el plano del cuadro, aproximadamente 0,816 (igual a la raíz cuadrada de dos tercios).

k = \dfrac{1}{0.8165} \approx 1.2247

Factor de ampliación al dibujar a escala 1:1

Si en lugar de reducir se mide a tamaño real (coeficiente 1), la figura sale ampliada en el factor 1/0,816, aproximadamente un 22,5 % más grande que la axonometría exacta.

Ejemplo resuelto

Prisma en isometría a escala 1:1 y conversión al coeficiente teórico

Representa un prisma recto de base cuadrada de 40 mm de lado y 60 mm de altura sobre los ejes isométricos, a escala 1:1, e indica qué altura tendría con el coeficiente de reducción teórico 0,816.

1. Disponer los ejes
Se traza el eje Z vertical y los ejes X e Y a 30° de la horizontal, dejando 120° entre cada par de ejes. El origen O es el vértice de partida del prisma.
2. Llevar las dimensiones sobre los ejes (escala 1:1)
A escala 1:1 se miden las medidas reales sobre los ejes: 40 mm sobre X y 40 mm sobre Y para la base cuadrada, y 60 mm sobre Z para la altura.
3. Cerrar el prisma
Desde los cuatro vértices de la base se trazan paralelas al eje Z de 60 mm y se unen los extremos con paralelas a X y a Y para formar la cara superior. Las aristas vistas se trazan a línea llena y las ocultas a trazos.
4. Conversión al coeficiente teórico
Si se usara la axonometría exacta, la altura dibujada sería 60 × 0,816 = 48,96 mm; análogamente cada lado de la base sería 40 × 0,816 = 32,66 mm.

Resultado: El prisma se dibuja con 40 mm en X y en Y y 60 mm en Z a escala 1:1 (figura ampliada un 22,5 %). Con el coeficiente teórico 0,816, la altura sería 48,96 mm y cada lado de la base 32,66 mm; el resultado es la misma forma, solo que reducida.

Errores frecuentes

Medir directamente sobre aristas oblicuas (diagonales o biseles) llevando su longitud real: solo se mide sobre los ejes y sus paralelas; las oblicuas se obtienen uniendo extremos ya situados.
Mezclar en un mismo dibujo el coeficiente teórico (0,816) en unas medidas y la escala 1:1 en otras: hay que elegir UN criterio y mantenerlo en toda la perspectiva.
Disponer los ejes X e Y a 45° en lugar de a 30° de la horizontal (eso sería otra axonometría): en isométrica los ejes inclinados van a 30° para que el ángulo entre ejes sea de 120°.

Repaso activo

Sobre los ejes isométricos (Z vertical; X e Y a 30° de la horizontal), representa un prisma recto de base cuadrada de 40 mm de lado y 60 mm de altura, trabajando a escala 1:1. Después, indica qué medida tendría la altura si se usara el coeficiente de reducción teórico 0,816 en lugar de la escala 1:1.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Perspectiva caballera: coeficiente de reducción del eje de profundidad#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Dibujo Técnico II · Bloque 2 · B.2.1 Sistemas de representación (perspectiva caballera; ejes y coeficiente de reducción del eje de profundidad)

La perspectiva caballera es la principal axonometría OBLICUA: la dirección de proyección es oblicua respecto del plano del cuadro, pero el objeto se coloca con su cara frontal (el plano XZ) PARALELA a dicho plano. Como consecuencia inmediata, esa cara frontal se proyecta sin deformación alguna, en su verdadera forma y verdadera magnitud. Es su rasgo distintivo y su gran ventaja: todo lo que sea paralelo a la cara frontal —cuadrados, circunferencias, agujeros, contornos— se dibuja exactamente igual que en la vista de alzado, sin construcciones especiales (Fig. 3).

Perspectiva caballera: cara frontal en verdadera magnitud y eje Y reducido a 45°

Los ejes de la caballera se disponen así: el eje X horizontal, el eje Z vertical (ambos en el plano del cuadro, formando la cara frontal sin reducción) y el eje Y de PROFUNDIDAD inclinado, normalmente a 45° respecto de la horizontal (también se usan 30° o 60°). Sobre los ejes X y Z se lleva la verdadera magnitud (coeficiente 1), mientras que sobre el eje Y se aplica un coeficiente de reducción para compensar la deformación visual que produciría dibujar la profundidad a tamaño real. Sin esa reducción, la pieza parecería excesivamente alargada hacia el fondo.

El coeficiente de reducción del eje de profundidad en perspectiva caballera más habitual es 1/2 (0,5): cada medida real en profundidad se dibuja a la mitad. También se emplean los valores 2/3 (≈ 0,667) y, en algunos casos, 1 (sin reducir, la llamada «caballera de coeficiente la unidad» o perspectiva cabinet cuando el coeficiente es justamente 1/2). El enunciado del problema fija siempre el ángulo del eje Y y el coeficiente; si no se indica, lo convencional es 45° y 1/2. Aplicar el coeficiente solo a las medidas paralelas al eje Y (la profundidad) y nunca a las paralelas a X o Z es la clave para que la pieza salga correcta.

El procedimiento de trazado es muy cómodo precisamente por la cara frontal sin deformar. Primero se dibuja la cara frontal (alzado) en verdadera magnitud sobre el plano XZ; después, desde cada vértice de esa cara, se trazan rectas paralelas al eje Y (a 45°) y se lleva sobre ellas la profundidad multiplicada por el coeficiente de reducción; por último se cierra la pieza uniendo los extremos con paralelas a la cara frontal. Por eso conviene orientar el objeto de modo que su cara más detallada (con curvas, taladros o contornos complicados) sea la frontal: se dibuja sin esfuerzo y solo hay que «arrastrarla» hacia el fondo.

Comparada con la isométrica, la caballera reparte de forma muy distinta las virtudes: gana en comodidad y en fidelidad de la cara frontal, pero ofrece una imagen menos equilibrada del conjunto y puede dar sensación de cierta distorsión en las caras laterales y superior, sobre todo si la profundidad es grande. Por eso se elige la caballera cuando interesa conservar intacta una cara rica en detalles, y la isométrica cuando se busca una representación más armónica de las tres dimensiones. Ambas son proyecciones paralelas y, por tanto, conservan el paralelismo y permiten medir sobre los ejes, pero no reproducen la convergencia de la perspectiva cónica.

L_Y^{\text{dibujo}} = c_Y \cdot L_Y^{\text{real}}, \qquad c_Y = \tfrac{1}{2}

Reducción del eje de profundidad en caballera

La medida de profundidad dibujada es la real multiplicada por el coeficiente de reducción del eje Y, habitualmente 1/2; las medidas en X y en Z no se reducen.

\Delta x = L_Y^{\text{dibujo}}\cos 45^\circ, \qquad \Delta z = L_Y^{\text{dibujo}}\operatorname{sen} 45^\circ

Componentes del desplazamiento de profundidad sobre el papel

Como el eje Y va a 45°, el segmento de profundidad dibujado se descompone en partes iguales en horizontal y en vertical sobre la lámina.

Ejemplo resuelto

Caballera de un prisma con coeficiente 1/2 a 45°

Representa en perspectiva caballera (Y a 45°, coeficiente 1/2) un prisma de cara frontal 40 × 30 mm y profundidad 50 mm, y calcula el desplazamiento en horizontal y en vertical, sobre la lámina, de cada vértice del fondo respecto del frontal.

1. Dibujar la cara frontal en verdadera magnitud
Sobre los ejes X (horizontal) y Z (vertical) se dibuja el rectángulo frontal de 40 mm de ancho por 30 mm de alto, sin reducir nada.
2. Reducir la profundidad
La profundidad real es 50 mm; con el coeficiente 1/2 se dibuja 50 × 1/2 = 25 mm a lo largo del eje Y.
3. Descomponer el segmento de 25 mm a 45°
Como el eje Y va a 45°, el segmento de 25 mm se proyecta por igual en horizontal y en vertical: 25 × cos45° = 25 × sen45° = 25 × 0,7071 ≈ 17,68 mm.
4. Cerrar la pieza
Desde cada vértice de la cara frontal se traza una recta a 45° y se sitúa el vértice del fondo a 25 mm (17,68 mm a la derecha y 17,68 mm hacia arriba). Se unen los vértices del fondo formando una cara paralela a la frontal y se distinguen aristas vistas y ocultas.

Resultado: La cara frontal va a 40 × 30 mm en verdadera magnitud; la profundidad de 50 mm se dibuja como 25 mm sobre el eje Y a 45°. Cada vértice del fondo se desplaza, respecto del frontal, ≈ 17,68 mm en horizontal y ≈ 17,68 mm en vertical sobre la lámina.

Errores frecuentes

Aplicar el coeficiente de reducción a TODAS las medidas: en caballera solo se reduce la profundidad (eje Y); las medidas paralelas a la cara frontal (X y Z) van en verdadera magnitud.
Olvidar reducir la profundidad y dibujar el eje Y a tamaño real, lo que produce una pieza exageradamente alargada hacia el fondo.
Colocar como frontal una cara poco interesante y dejar las curvas o detalles en una cara lateral, donde habría que deformarlos, perdiendo la principal ventaja del sistema.

Repaso activo

Representa en perspectiva caballera (eje Y a 45°, coeficiente de reducción 1/2) un prisma recto de cara frontal rectangular de 40 mm de ancho por 30 mm de alto y 50 mm de profundidad. Indica el desplazamiento, en horizontal y en vertical sobre el papel, de cada vértice del fondo respecto del vértice frontal correspondiente.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Representación de sólidos a partir de sus vistas diédricas#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Dibujo Técnico II · Bloque 2 · B.2.1 Sistemas de representación (paso de las vistas diédricas a la perspectiva axonométrica de sólidos)

El ejercicio más completo del tema es el paso de las VISTAS DIÉDRICAS (alzado, planta y perfil) a la PERSPECTIVA axonométrica de la pieza. Es la síntesis del bloque de sistemas de representación: las vistas diédricas describen la pieza con verdaderas magnitudes pero de forma fragmentada, y la axonometría las recompone en una única imagen tridimensional. La estrategia general consiste en leer en las vistas las tres dimensiones de cada elemento (su anchura en la planta o el alzado, su altura en el alzado o el perfil, y su profundidad en la planta o el perfil) y trasladar cada punto a la perspectiva por sus tres coordenadas (x, y, z) llevadas sobre los ejes (Fig. 4).

Método del prisma envolvente: de las tres vistas a la perspectiva

El método más seguro y recomendado es el del PRISMA ENVOLVENTE o «caja». Se empieza encajando toda la pieza en un paralelepípedo cuyas dimensiones son la anchura, la altura y la profundidad máximas, leídas en las vistas. Ese prisma se dibuja primero en la perspectiva elegida (isométrica o caballera) con sus coeficientes, y dentro de él se van situando, por coordenadas, los vértices de la pieza real; finalmente se «vacía» o se «recorta» el prisma eliminando lo que sobra (escalones, ranuras, chaflanes), uniendo los puntos ya situados. Trabajar dentro de la caja evita errores de proporción y permite controlar las partes ocultas.

Cada punto característico de la pieza —vértices, centros de agujeros, extremos de aristas— se traslada por sus TRES COORDENADAS. Se elige un origen común en las vistas y en la perspectiva (por ejemplo, un vértice de la caja); se mide en las vistas la coordenada x (sobre el eje de anchura), la y (profundidad) y la z (altura) de cada punto y se llevan esas tres medidas sucesivamente sobre los ejes axonométricos correspondientes (afectadas del coeficiente de reducción que toque). El punto de la perspectiva es el extremo de ese recorrido. Repetido para todos los puntos clave, queda definida la pieza; las aristas se obtienen uniendo puntos por paralelas a los ejes o por unión directa de extremos.

Las aristas y caras que en la pieza son paralelas a los planos coordenados se dibujan con paralelas a los ejes y son fáciles; las caras y aristas OBLICUAS (planos inclinados, chaflanes a 45°, biseles) exigen más cuidado: no se miden directamente, sino que se obtienen situando primero sus vértices por coordenadas y uniéndolos después. Conviene apoyarse en líneas auxiliares dentro de la caja (paralelas a los ejes que «llevan» cada coordenada) y no borrarlas, porque en la PAU las construcciones auxiliares forman parte de la solución y se valoran. La distinción entre aristas vistas (línea llena gruesa) y ocultas (línea de trazos) completa la lectura del sólido.

Antes de empezar conviene elegir bien el sistema y la orientación. Si la pieza tiene una cara frontal con curvas o muchos detalles, la perspectiva caballera ahorra trabajo (esa cara se dibuja sin deformar); si interesa una imagen equilibrada de las tres caras, la isométrica es preferible. También hay que decidir qué cara mira al observador y el sentido de los ejes para que las partes importantes queden vistas y no ocultas. Una buena lectura previa de las tres vistas —comprobando coincidencias y alineaciones entre alzado, planta y perfil— evita los errores más graves de interpretación de la pieza.

Ejemplo resuelto

De las vistas a la isométrica de una pieza en «L»

Una pieza tiene como alzado una «L» (rectángulo de 40 × 40 mm al que se le ha quitado un cuadrado de 20 × 20 mm en la esquina superior derecha) y profundidad constante 30 mm (planta de 40 × 30 mm). Representa su perspectiva isométrica a escala 1:1 por el método del prisma envolvente.

1. Leer las tres dimensiones
De las vistas se obtienen las dimensiones máximas: anchura X = 40 mm (alzado/planta), altura Z = 40 mm (alzado) y profundidad Y = 30 mm (planta). La escotadura es un cuadrado de 20 × 20 mm en la esquina superior derecha del alzado.
2. Dibujar el prisma envolvente
Sobre los ejes isométricos (Z vertical; X, Y a 30°) se construye, a escala 1:1, el prisma envolvente de 40 (X) × 30 (Y) × 40 (Z) mm, dentro del cual cabe toda la pieza.
3. Situar los vértices del perfil en «L»
En la cara frontal del prisma se sitúan los seis vértices de la «L» por sus coordenadas (x, z): A(0,0), B(40,0), C(40,20), D(20,20), E(20,40) y F(0,40). La escotadura es la esquina que va de C a D a E.
4. Arrastrar la profundidad y vaciar
Desde cada vértice del perfil se trazan paralelas al eje Y de 30 mm para obtener la cara trasera; se unen los vértices homólogos. Se elimina (vacía) el bloque de 20 × 20 × 30 mm de la escotadura y se distinguen aristas vistas (línea llena) y ocultas (trazos).

Resultado: La pieza en «L» queda representada en isométrica: un prisma envolvente de 40 × 30 × 40 mm del que se ha vaciado un bloque de 20 × 20 × 30 mm en la esquina superior; sus aristas se obtienen uniendo los seis vértices del perfil arrastrados 30 mm en profundidad, distinguiendo las vistas de las ocultas.

Errores frecuentes

Confundir qué vista aporta cada dimensión (anchura, altura, profundidad) y trasladar una medida al eje equivocado, deformando la pieza.
Olvidar aplicar el coeficiente de reducción a la coordenada de profundidad en caballera (o a las tres en la isométrica exacta), mezclando criterios de medida.
Borrar las líneas auxiliares y el prisma envolvente, o no diferenciar aristas vistas (línea llena) de ocultas (trazos), lo que penaliza el rigor gráfico exigido en la corrección.

Repaso activo

Una pieza queda definida por estas vistas: el alzado es una «L» (un rectángulo de 40 mm de ancho y 40 mm de alto al que se le ha quitado un cuadrado de 20 × 20 mm en la esquina superior derecha) y la planta es un rectángulo de 40 mm de ancho por 30 mm de profundidad (la pieza es un prisma de profundidad constante 30 mm). Representa la pieza en perspectiva isométrica a escala 1:1 por el método del prisma envolvente, situando los seis vértices del perfil en «L» por sus coordenadas.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Representación de sólidos con curvas: circunferencias en isometría#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Dibujo Técnico II · Bloque 2 · B.2.1 Sistemas de representación (representación de sólidos con curvas; circunferencias como elipses en isometría)

Cuando un sólido tiene caras circulares —cilindros, conos, taladros, redondeos— surge la dificultad de representar circunferencias en perspectiva. La regla general es que, salvo que la circunferencia esté en un plano paralelo al cuadro, su proyección axonométrica es una ELIPSE. En perspectiva ISOMÉTRICA, como ninguna de las tres caras del cubo es paralela al cuadro, toda circunferencia situada en una cara del objeto se proyecta como una elipse; saber dibujar esas elipses con rigor es lo que distingue una buena representación de sólidos con curvas (Fig. 5).

Circunferencias en las tres caras de un cubo isométrico: tres elipses

Lo primero es conocer la ORIENTACIÓN de la elipse en cada una de las tres caras isométricas. El eje MAYOR de la elipse es siempre perpendicular al eje isométrico que no está contenido en el plano de la cara (es decir, perpendicular al eje «que sale» de esa cara), y el eje MENOR es paralelo a dicho eje. Así, la elipse de la cara superior tiene su eje menor vertical (paralelo a Z), y las elipses de las dos caras laterales tienen sus ejes menores según las direcciones de los ejes inclinados. Esta orientación, junto a las dimensiones de los ejes, define por completo cada elipse.

En cuanto al tamaño, para una circunferencia de diámetro real d, la elipse isométrica tiene (en la axonometría exacta) eje mayor igual a d y eje menor igual a 0,577·d (aproximadamente d/√3). Si se trabaja a ESCALA 1:1 (lo más habitual), todo se amplía en el factor 1,2247, de modo que el eje mayor pasa a valer aproximadamente 1,225·d y el eje menor 0,707·d. Conocer estos valores permite comprobar que la elipse trazada es correcta y dimensionar bien los redondeos y agujeros del sólido.

El método práctico de trazado más usado es la elipse aproximada por CUATRO CENTROS, que sustituye la elipse verdadera por cuatro arcos de circunferencia tangentes entre sí (es la base del clásico óvalo isométrico). Se parte del rombo isométrico en el que se inscribe la elipse (la proyección del cuadrado circunscrito a la circunferencia, de lado igual al diámetro): los dos vértices obtusos del rombo son los centros de los dos arcos grandes, y los dos centros de los arcos pequeños se obtienen como intersección de las rectas que unen esos vértices obtusos con los puntos medios de los lados opuestos. Trazando los cuatro arcos tangentes se obtiene el óvalo. Es una aproximación admitida en la PAU por su rapidez, aunque la elipse exacta se puede construir por puntos (afinidad/homología) cuando se exige precisión.

Con las elipses dominadas, los sólidos de revolución se representan encajándolos también en su prisma envolvente: un CILINDRO recto se dibuja como dos elipses iguales (las bases) unidas por las dos generatrices de contorno tangentes a ambas; un CONO, como una elipse (la base) y dos generatrices que van del contorno de la base al vértice; una esfera se proyecta siempre como una circunferencia (su contorno aparente). Para taladros y redondeos se dibujan las elipses correspondientes en cada cara y se recorta el material. Conviene recordar que los puntos de tangencia de las generatrices con las elipses NO coinciden con los extremos de los ejes de la elipse, sino que se obtienen por construcción, lo que es fuente de errores si se traza «a ojo».

\text{eje mayor} = d, \qquad \text{eje menor} = \dfrac{d}{\sqrt{3}} \approx 0.577\,d \quad (\text{isometr. exacta})

Ejes de la elipse isométrica (axonometría exacta)

En la isometría con coeficiente teórico, la circunferencia de diámetro d se proyecta como una elipse de eje mayor d y eje menor 0,577·d.

\text{eje mayor} \approx 1.225\,d, \qquad \text{eje menor} \approx 0.707\,d \quad (\text{escala } 1{:}1)

Ejes de la elipse isométrica a escala 1:1

Al dibujar a escala 1:1 todo se amplía en el factor 1,225; el eje mayor pasa a 1,225·d y el eje menor a 0,707·d. La relación entre ambos ejes (≈ 0,577) se mantiene.

Ejemplo resuelto

Elipse isométrica de una circunferencia de 50 mm

Una circunferencia de 50 mm de diámetro está inscrita en la cara superior de un cubo. Calcula los ejes de su elipse isométrica a escala 1:1, indica su orientación y describe la construcción por cuatro centros.

1. Dimensión de los ejes a escala 1:1
El diámetro real es d = 50 mm. A escala 1:1 el eje mayor de la elipse vale 1,225·d y el eje menor 0,707·d.
2. Orientación en la cara superior
En la cara superior del cubo, el eje que «sale» de la cara es el Z (vertical). Por tanto, el eje MENOR de la elipse es vertical (paralelo a Z) y el eje MAYOR es horizontal, perpendicular a él.
3. Construir el rombo isométrico
Se dibuja el rombo isométrico en que se inscribe la elipse: es la proyección del cuadrado de lado 50 mm circunscrito a la circunferencia, con sus lados paralelos a los ejes X e Y de la cara.
4. Cuatro centros y arcos tangentes
Los dos vértices obtusos del rombo son los centros de los dos arcos grandes; uniendo cada vértice obtuso con los puntos medios de los dos lados opuestos se obtienen, por intersección, los centros de los dos arcos pequeños. Trazando los cuatro arcos tangentes en los puntos medios de los lados del rombo se cierra el óvalo.

Resultado: La elipse isométrica tiene eje mayor ≈ 61,2 mm (horizontal) y eje menor ≈ 35,4 mm (vertical, paralelo a Z); se traza de forma aproximada con cuatro arcos: dos grandes centrados en los vértices obtusos del rombo isométrico y dos pequeños cuyos centros se obtienen por intersección, todos tangentes en los puntos medios de los lados del rombo.

Errores frecuentes

Dibujar la circunferencia de una cara isométrica como una circunferencia y no como una elipse: salvo en planos paralelos al cuadro, en isometría toda circunferencia se proyecta como elipse.
Orientar mal la elipse: el eje menor es paralelo al eje isométrico que sale de la cara y el eje mayor es perpendicular a él; intercambiarlos produce una elipse «girada» 90° respecto de la correcta.
Trazar las generatrices del cilindro tangentes a las elipses por los extremos de sus ejes; los puntos de tangencia se obtienen por construcción y no coinciden con dichos extremos.

Repaso activo

Una circunferencia de 50 mm de diámetro está inscrita en la cara superior de un cubo. Representa su elipse isométrica a escala 1:1: calcula las longitudes de sus ejes mayor y menor, indica la orientación de cada eje y describe cómo trazar la elipse aproximada por el método de los cuatro centros a partir del rombo isométrico.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Sistema axonométrico

Puntos clave

Clasificación de tres axonometrías por sus ejes y coeficientes

Puntos clave

Prisma en isometría a escala 1:1 y conversión al coeficiente teórico

Puntos clave

Caballera de un prisma con coeficiente 1/2 a 45°

Puntos clave

De las vistas a la isométrica de una pieza en «L»

Puntos clave

Elipse isométrica de una circunferencia de 50 mm

Fuentes

Sistema axonométrico

Puntos clave

Clasificación de tres axonometrías por sus ejes y coeficientes

Puntos clave

Prisma en isometría a escala 1:1 y conversión al coeficiente teórico

Puntos clave

Caballera de un prisma con coeficiente 1/2 a 45°

Puntos clave

De las vistas a la isométrica de una pieza en «L»

Puntos clave

Elipse isométrica de una circunferencia de 50 mm

Fuentes