Apuntes · Dibujo Técnico IIES · Selectividad

Cuerpos y secciones en diédrico

Apunte de repaso de Dibujo Técnico II (materia de modalidad de 2.º de Bachillerato, LOMLOE) sobre la representación de cuerpos geométricos en el sistema diédrico y su corte por planos: los poliedros regulares (tetraedro, hexaedro y octaedro), las superficies radiadas (prismas y pirámides), los cuerpos de revolución rectos (cilindros y conos), las secciones planas de todos ellos y la obtención de la verdadera magnitud de la sección. Este tema aplica los fundamentos del sistema diédrico —pertenencias, intersecciones y métodos de verdadera magnitud (abatimiento y cambio de plano)— a sólidos tridimensionales, cerrando el bloque de Geometría proyectiva. Es contenido plenamente evaluable en la Selectividad / PAU: el ejercicio obligatorio de sistema diédrico suele pedir representar un sólido, situar puntos sobre su superficie, hallar su sección por un plano y obtener la verdadera magnitud de dicha sección.

5seccionesca. 34min de lectura3competenciasNivelBásico 1 · Estándar 2 · Profundización 2Revisado · 06/2026

T·0555 / 10

Perfil de examen

CE3 · Representar la realidad tridimensional sobre la superficie del plano mediante el sistema diédrico: dibujar poliedros regulares, prismas, pirámides, cilindros y conos rectos en proyección diédrica, situando puntos sobre sus superficies.5.3.2 · Representar cuerpos geométricos y de revolución aplicando los fundamentos del sistema diédrico, así como sus secciones planas, determinando la verdadera magnitud de la sección por abatimiento del plano de corte o por cambio de plano.5.3.5 · Valorar el rigor gráfico de las representaciones y la recreación física o digital de los sólidos, en particular de los poliedros platónicos, cuidando la precisión, la claridad y la limpieza del trazado.

Operadores:representadibujahalladeterminaseccionaobtienejustificainterpretarazonarelacionalocalizaabate

nivel básico

Como contenido del sistema diédrico, se exige representar correctamente en proyección horizontal y vertical los cuerpos geométricos básicos (poliedros regulares, prismas, pirámides, cilindros y conos rectos) apoyados en el plano horizontal, y situar sobre sus superficies puntos dados por una de sus proyecciones.

nivel avanzado

La profundización propia de la modalidad consiste en encadenar estas destrezas en problemas completos: cortar un sólido por un plano proyectante u oblicuo, hallar las dos proyecciones de la sección punto a punto sobre las aristas o generatrices, y obtener su verdadera magnitud por abatimiento del plano de corte o por cambio de plano, justificando cada construcción.

Profundidad

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Inhalt · 5 secciones

Cuerpos y secciones en diédrico

Poliedros regulares en diédrico: tetraedro, hexaedro y octaedro#

BasisBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Dibujo Técnico II · Bloque 2 (Geometría proyectiva y normalización) · B.2.1 Sistemas de representación (poliedros: tetraedro, hexaedro y octaedro)

Un poliedro es un cuerpo limitado por caras planas poligonales; los poliedros regulares o «sólidos platónicos» son aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices concurre el mismo número de caras. Solo existen cinco —tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro—, pero el currículo de 2.º de Bachillerato centra su estudio en los tres primeros: el tetraedro (4 caras triangulares), el hexaedro o cubo (6 caras cuadradas) y el octaedro (8 caras triangulares). Representarlos en el sistema diédrico significa obtener sus dos proyecciones —la horizontal sobre el plano horizontal de proyección (PH) y la vertical sobre el plano vertical (PV)— a partir de una posición de partida cómoda, normalmente apoyando una cara o una arista sobre el PH (Fig. 1).

Proyecciones diédricas del cubo, el tetraedro y el octaedro

El HEXAEDRO o cubo es el más sencillo de representar. Apoyado sobre el PH por una de sus caras, su proyección horizontal es un cuadrado (la cara de apoyo y la cara superior se superponen en ella) y su proyección vertical es un rectángulo cuya altura coincide con la arista del cubo. Si en lugar de apoyarse por una cara se apoya por una arista o por un vértice (cubo «en equilibrio» sobre la diagonal), las proyecciones se complican y conviene situarlo primero en la posición simple y aplicar después un giro o un cambio de plano. El cubo es además la referencia para los demás: el octaedro es su poliedro dual (los centros de las caras del cubo son los vértices del octaedro) y el tetraedro puede inscribirse en él uniendo cuatro de sus ocho vértices alternados.

El TETRAEDRO regular tiene cuatro vértices, cuatro caras triangulares equiláteras y seis aristas iguales. Una forma clásica de representarlo es apoyarlo sobre el PH por una de sus caras: en proyección horizontal se ve esa cara como un triángulo equilátero en verdadera magnitud, con el cuarto vértice proyectándose en su baricentro (centro), y en proyección vertical se ve su altura. La altura del tetraedro de arista a vale h = a·√(2/3); el pie del cuarto vértice cae sobre el baricentro de la cara de apoyo, que dista 1/3 de la altura del triángulo desde cada lado. Una alternativa muy usada es inscribirlo en un cubo de arista igual a a/√2, lo que facilita situar sus vértices a partir de los del cubo.

El OCTAEDRO regular tiene seis vértices, ocho caras triangulares equiláteras y doce aristas. Su posición más cómoda es apoyado por un vértice con su diagonal principal vertical (eje vertical): entonces sus dos vértices polares quedan en la vertical y los cuatro vértices ecuatoriales forman un cuadrado en un plano horizontal, de modo que la proyección horizontal es ese cuadrado con sus diagonales (las aristas que van a los polos se proyectan sobre ellas) y la vertical es un rombo. Como dual del cubo, también puede obtenerse uniendo los centros de las seis caras de un hexaedro. Conviene recordar que en estas posiciones simétricas hay aristas vistas y aristas ocultas: las ocultas se representan con línea de trazos.

En todas estas representaciones rige el convenio de visibilidad del sistema diédrico: las aristas y caras vistas desde la dirección de cada proyección se dibujan con línea continua y las ocultas con línea discontinua (de trazos). El criterio práctico es que, para la proyección horizontal, es visible lo que está «más arriba» (mayor cota) y, para la vertical, lo que está «más adelante» (mayor alejamiento del PV). El currículo subraya además el valor de construir físicamente o modelar virtualmente estos poliedros platónicos como recurso de comprensión espacial, lo que ayuda a anticipar qué aristas quedan vistas y cuáles ocultas antes de delinear.

h_{\text{tetraedro}} = a\,\sqrt{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}

Altura del tetraedro regular de arista a

Distancia del cuarto vértice al plano de la cara de apoyo. Para a = 60 mm da h = 60·√6/3 ≈ 48,99 mm.

h_{\text{cara}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}, \qquad d_{\text{baricentro}} = \dfrac{1}{3}\,h_{\text{cara}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}

Altura de la cara equilátera y posición del baricentro

El baricentro de la cara de apoyo —pie del cuarto vértice— dista del lado un tercio de la altura de la cara triangular.

a_{\text{tetraedro}} = a_{\text{cubo}}\,\sqrt{2}

Arista del tetraedro inscrito en un cubo

La arista del tetraedro inscrito (uniendo cuatro vértices alternos del cubo) es la diagonal de una cara del cubo, es decir, la arista del cubo por raíz de dos.

Ejemplo resuelto

Altura y baricentro de un tetraedro apoyado por una cara

Un tetraedro regular de arista a = 60 mm se apoya en el plano horizontal por una de sus caras. Calcula la altura del sólido (cota del cuarto vértice) y la distancia del pie de ese vértice a cada lado de la cara de apoyo.

1. Altura de la cara equilátera
La cara de apoyo es un triángulo equilátero de lado 60 mm. Su altura es h_cara = 60·√3/2 ≈ 51,96 mm.
2. Posición del baricentro (pie del 4.º vértice)
El cuarto vértice se proyecta sobre el baricentro de la cara, que dista de cada lado un tercio de la altura de la cara: d = 51,96/3 ≈ 17,32 mm.
3. Altura del sólido
La altura del tetraedro es la cota del cuarto vértice sobre el plano de apoyo: h = a·√(2/3).

Resultado: La altura del tetraedro es h = 60·√6/3 ≈ 48,99 mm y el pie del cuarto vértice (baricentro de la cara) dista ≈ 17,32 mm de cada lado. En diédrico, la proyección horizontal del cuarto vértice cae en ese baricentro y su proyección vertical sube a la cota ≈ 48,99 mm.

Errores frecuentes

Confundir el baricentro de la cara con su circuncentro al situar el cuarto vértice del tetraedro: en un triángulo equilátero coinciden, pero el alumnado a veces lo coloca a media altura del triángulo en lugar de a 1/3, falseando la altura del sólido.
Olvidar las aristas ocultas o dibujarlas con línea continua: en un poliedro siempre hay caras y aristas que la proyección no ve, y deben representarse con línea de trazos.
Tomar como altura del tetraedro la altura de su cara triangular (a·√3/2) en lugar de la altura del cuerpo (a·√(2/3)), confundiendo una magnitud plana con una espacial.

Repaso activo

Representa en sistema diédrico (proyecciones horizontal y vertical) un tetraedro regular de arista 60 mm apoyado en el plano horizontal por una de sus caras, con un lado de la cara de apoyo paralelo a la línea de tierra. Sitúa la proyección del cuarto vértice y obtén la altura del sólido. Indica con línea de trazos las aristas ocultas.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Prismas y pirámides: representación y puntos sobre la superficie#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Dibujo Técnico II · Bloque 2 (Geometría proyectiva y normalización) · B.2.1 Sistemas de representación (superficies radiadas: pirámides y prismas; situación de puntos en sus superficies)

Prismas y pirámides son «superficies radiadas» de caras planas: el prisma está engendrado por una recta (generatriz) que se mueve paralelamente a sí misma apoyándose en un polígono (la directriz), mientras que en la pirámide todas las aristas laterales pasan por un punto fijo, el vértice o ápice. Un prisma recto tiene las aristas laterales perpendiculares a las bases (que son polígonos iguales y paralelos); una pirámide recta tiene su vértice sobre la perpendicular al plano de la base que pasa por el centro de esta. Representar uno de estos cuerpos en diédrico consiste en dibujar primero su base —habitualmente apoyada en el PH y, por tanto, en verdadera magnitud en proyección horizontal— y elevar después las aristas laterales hasta la altura correspondiente (Fig. 2).

Pirámide recta de base cuadrada en diédrico y recta auxiliar para situar un punto

Para un PRISMA RECTO apoyado en el PH, la proyección horizontal es el polígono de la base (la base superior se superpone exactamente a la inferior) y la proyección vertical es un conjunto de rectángulos: cada arista lateral, al ser vertical, se proyecta en el PH como un punto y en el PV como un segmento vertical de longitud igual a la altura del prisma. La base superior se proyecta en el PV como un segmento horizontal a la cota de la altura. El dibujo se completa decidiendo qué aristas son vistas y cuáles ocultas según el convenio de visibilidad.

Para una PIRÁMIDE RECTA apoyada en el PH, la proyección horizontal vuelve a ser el polígono de la base, pero ahora las aristas laterales se proyectan como segmentos que van de cada vértice de la base al centro del polígono, donde se proyecta el vértice de la pirámide; en proyección vertical, el vértice sube a su cota (la altura de la pirámide) sobre la vertical del centro de la base. La altura de la pirámide es un dato distinto de la apotema de sus caras: la apotema lateral (altura de una cara triangular) se obtiene como hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos la altura de la pirámide y la apotema de la base.

La operación más característica de este apartado es SITUAR UN PUNTO sobre la superficie del cuerpo cuando se da una sola de sus proyecciones. El método universal es el de las «líneas auxiliares» contenidas en la superficie: por el punto se traza una recta que pertenezca a la cara o a la superficie del sólido, se hallan sus dos proyecciones y sobre ella se ubica el punto. En un prisma, esa recta auxiliar suele ser una generatriz (paralela a las aristas) o una horizontal de la cara; en una pirámide, lo más cómodo es trazar la recta que une el vértice con el punto y prolongarla hasta cortar la base, o bien una sección horizontal (paralela a la base) que pasa por el punto.

Para hallar la proyección que falta de un punto P sobre una cara de la pirámide, una técnica fiable es la de la recta «que pasa por el vértice»: se une la proyección conocida de P con la proyección del vértice y se prolonga hasta cortar el lado de la base; ese corte está sobre la base (cota cero o alejamiento conocido), de modo que se obtiene su otra proyección de inmediato; la recta vértice-punto-base es ya una recta de la cara, con sus dos proyecciones, y sobre ella se traslada P por correspondencia entre proyecciones (líneas de referencia perpendiculares a la línea de tierra). Hay que decidir además si el punto está en una cara vista u oculta para representarlo en consecuencia.

a_l = \sqrt{h^2 + a_b^2}

Apotema lateral de la pirámide recta

La apotema de una cara (a_l) es la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos la altura de la pirámide (h) y la apotema de la base (a_b); permite hallar la verdadera magnitud de las caras laterales.

V_{\text{prisma}} = A_b \cdot h, \qquad V_{\text{piramide}} = \dfrac{1}{3}\,A_b \cdot h

Volumen del prisma y de la pirámide

Relación métrica útil de comprobación: A_b es el área de la base y h la altura del cuerpo; el volumen de la pirámide es un tercio del prisma de igual base y altura.

Ejemplo resuelto

Apotema lateral de una pirámide recta de base cuadrada

Una pirámide recta de base cuadrada de 50 mm de lado tiene una altura de 70 mm. Calcula la apotema de la base y la apotema lateral (altura de una cara triangular), magnitud necesaria para dibujar las caras en verdadera magnitud.

1. Apotema de la base
En un cuadrado, la apotema (distancia del centro al punto medio de un lado) es la mitad del lado: a_b = 50/2 = 25 mm.
2. Triángulo rectángulo altura-apotema
La apotema lateral es la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos la altura de la pirámide (70 mm) y la apotema de la base (25 mm).
3. Cálculo
Sumamos los cuadrados y extraemos la raíz: 4900 + 625 = 5525; √5525 ≈ 74,33 mm.

Resultado: La apotema de la base es 25 mm y la apotema lateral es a_l ≈ 74,33 mm. Esa apotema lateral es la altura real de cada cara triangular y es la magnitud que hay que llevar al abatir una cara para dibujarla en verdadera magnitud.

Errores frecuentes

Confundir la altura de la pirámide con la apotema de sus caras (la altura de un triángulo lateral): son magnitudes distintas relacionadas por un triángulo rectángulo en el que interviene la apotema de la base.
Situar un punto sobre la superficie «a ojo», sin trazar una recta auxiliar contenida en la cara: el punto debe pertenecer a una recta del sólido cuyas dos proyecciones se conozcan.
No distinguir si el punto está en una cara vista u oculta, representándolo siempre como visible y omitiendo el cambio de tipo de línea o el carácter oculto de su proyección.

Repaso activo

Una pirámide recta de base cuadrada (lado 50 mm) apoyada en el plano horizontal tiene 70 mm de altura, con dos lados de la base paralelos a la línea de tierra. Representa sus dos proyecciones y, dado un punto P del que se conoce su proyección horizontal sobre una de las caras laterales, halla su proyección vertical mediante la recta que une el vértice con P.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Cilindros y conos rectos: representación y generatrices#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Dibujo Técnico II · Bloque 2 (Geometría proyectiva y normalización) · B.2.1 Sistemas de representación (cuerpos de revolución rectos: conos y cilindros; situación de puntos en sus superficies)

Los cuerpos de revolución se engendran al girar una línea (la generatriz) alrededor de un eje. El cilindro recto resulta de girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados —o, equivalentemente, de mover una recta paralela al eje apoyándose en una circunferencia directriz—, de modo que sus generatrices son todas paralelas al eje e iguales entre sí. El cono recto resulta de girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos —o de mover una recta que pasa por un vértice fijo apoyándose en una circunferencia—, de modo que todas sus generatrices concurren en el vértice. En ambos, el eje es perpendicular a la base y pasa por su centro; esta es la condición de «recto» (Fig. 3).

Cilindro y cono rectos en proyección diédrica

Para representar un CILINDRO RECTO apoyado en el PH por su base, la proyección horizontal es la circunferencia de la base (la base superior se superpone) y la proyección vertical es un rectángulo: las dos generatrices del contorno aparente vertical son los lados verticales de ese rectángulo, separados por el diámetro, y las dos bases son los lados horizontales, a cota cero y a la altura del cilindro. El contorno aparente —lo que delimita la silueta en cada proyección— está formado precisamente por las generatrices extremas en el alzado y por la circunferencia en la planta.

Para un CONO RECTO apoyado en el PH por su base, la proyección horizontal es de nuevo la circunferencia de la base, con el vértice proyectándose en su centro; la proyección vertical es un triángulo isósceles cuyos lados son las dos generatrices del contorno aparente y cuya base es el diámetro a cota cero, con el vértice a la altura del cono. La generatriz del cono (lado del triángulo en alzado) es la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos la altura y el radio de la base: g = √(h² + r²), magnitud clave porque es la verdadera longitud de cualquier generatriz y la que se usa para desarrollar la superficie.

Para SITUAR PUNTOS sobre estas superficies se emplea de nuevo el método de las rectas (o curvas) auxiliares contenidas en la superficie. En el cilindro, por el punto se traza la GENERATRIZ que pasa por él (paralela al eje): su proyección horizontal es un punto sobre la circunferencia de la base y su proyección vertical es un segmento vertical; el punto se ubica en correspondencia sobre esa generatriz. Alternativamente, puede usarse una sección circular paralela a la base. En el cono, lo natural es trazar la GENERATRIZ que une el vértice con el punto: en planta es un radio de la circunferencia de la base prolongado hasta el centro, y en alzado va del vértice a la base; el punto se sitúa por correspondencia sobre ella. También sirve un paralelo (circunferencia horizontal del cono a una cota dada).

El convenio de visibilidad en los cuerpos de revolución se aplica respecto del contorno aparente: en el alzado del cilindro o del cono, los puntos situados en la mitad «delantera» de la superficie (mayor alejamiento) son vistos y los de la mitad «trasera» son ocultos, separados por las generatrices del contorno aparente. Conviene recordar que el contorno aparente NO está formado por puntos materiales fijos del sólido, sino que cambia con la dirección de proyección: las generatrices que dibujan la silueta en el alzado no son las mismas que la dibujan en la planta. Este matiz es esencial para no confundir el contorno con aristas reales.

g = \sqrt{h^2 + r^2}

Generatriz del cono recto

Verdadera longitud de cualquier generatriz del cono, hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos la altura h y el radio r de la base. Para h = 80 y r = 30 da g ≈ 85,44 mm.

\alpha_{\text{desarrollo}} = \dfrac{r}{g}\cdot 360^\circ

Ángulo del sector en el desarrollo del cono

Al desarrollar la superficie lateral del cono recto se obtiene un sector circular de radio g; su ángulo se halla con la razón entre el radio de la base y la generatriz (complemento de desarrollo, cuando proceda).

Ejemplo resuelto

Generatriz y desarrollo de un cono recto

Un cono recto de revolución tiene una base de radio r = 30 mm y una altura h = 80 mm. Calcula la verdadera longitud de la generatriz y el ángulo del sector circular que se obtiene al desarrollar su superficie lateral.

1. Generatriz como hipotenusa
La generatriz es la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos h = 80 mm y r = 30 mm.
2. Cálculo de g
Sumamos los cuadrados y extraemos la raíz: 6400 + 900 = 7300; √7300 ≈ 85,44 mm.
3. Ángulo del sector del desarrollo
El desarrollo lateral es un sector circular de radio g; su ángulo es (r/g)·360°.

Resultado: La generatriz vale g ≈ 85,44 mm y el desarrollo de la superficie lateral es un sector circular de radio 85,44 mm y ángulo ≈ 126,4°. En el alzado del cono, esa generatriz es la verdadera longitud de los lados del triángulo isósceles del contorno.

Errores frecuentes

Tomar la generatriz del cono como igual a la altura: la generatriz es la hipotenusa g = √(h² + r²), siempre mayor que la altura y que el radio.
Creer que el contorno aparente está formado siempre por las mismas generatrices: el contorno cambia con la dirección de proyección, por lo que las generatrices del contorno en planta y en alzado son distintas.
Situar un punto del cilindro o del cono sin apoyarlo en una generatriz o en un paralelo de la superficie, perdiendo la correspondencia correcta entre proyecciones.

Repaso activo

Un cono recto de revolución con base de radio 30 mm apoyada en el plano horizontal tiene 80 mm de altura. Representa sus dos proyecciones, calcula la verdadera longitud de la generatriz y sitúa sobre su superficie un punto P del que se conoce su proyección horizontal, trazando la generatriz que une el vértice con P.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Secciones planas de cuerpos poliédricos y de revolución#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Dibujo Técnico II · Bloque 2 (Geometría proyectiva y normalización) · B.2.1 Sistemas de representación (secciones planas de cuerpos; secciones cónicas como sección del cono)

Secciones cónicas: el cono cortado por planos de distinta inclinación

Seccionar un cuerpo por un plano es cortarlo con ese plano y hallar la figura plana que resulta: la sección. La sección de un poliedro por un plano es un polígono cuyos vértices son los puntos en que el plano corta a las aristas del sólido y cuyos lados son los segmentos en que el plano corta a las caras. La sección de un cilindro o de un cono por un plano es una curva (en general, una cónica), salvo casos particulares. El procedimiento general en diédrico es el mismo en todos los cuerpos: se halla la intersección del plano de corte con cada arista, generatriz o cara, punto a punto, y se unen los puntos obtenidos respetando el orden en que el plano recorre la superficie (Fig. 5).

Sección de un prisma por un plano proyectante: método punto a punto

Cuando el PLANO DE CORTE es PROYECTANTE (perpendicular a uno de los planos de proyección), el problema se simplifica enormemente: en la proyección en la que el plano se ve «de canto» (como una recta), la sección queda determinada de inmediato, porque todos sus puntos están sobre esa traza; basta entonces hallar la otra proyección de cada punto de corte por correspondencia, llevándolo a la arista o generatriz correspondiente. La mayoría de los ejercicios de PAU plantean el plano de corte como proyectante (frecuentemente perpendicular al PV, dado por su traza vertical inclinada), precisamente por esta comodidad.

En un POLIEDRO (prisma o pirámide), se localizan los puntos en que la traza del plano proyectante corta a cada arista lateral en la proyección de canto; cada uno de esos puntos se traslada por línea de referencia a la otra proyección de la misma arista. Uniendo ordenadamente los puntos (siguiendo el contorno de cara en cara) se obtiene el polígono sección en esa proyección. En un PRISMA cortado por un plano oblicuo se obtiene un polígono del mismo número de lados que la base; en una PIRÁMIDE, un polígono que puede tener tantos lados como caras corte el plano.

En un CONO, la naturaleza de la sección depende de la inclinación del plano respecto del eje y de las generatrices, y reproduce exactamente las CURVAS CÓNICAS: un plano perpendicular al eje da una circunferencia; un plano oblicuo que corta a todas las generatrices da una elipse; un plano paralelo a una sola generatriz da una parábola; y un plano paralelo a dos generatrices (o al eje) da una hipérbola. Esta es la razón histórica del nombre «secciones cónicas». La construcción en diédrico se hace por puntos: por varios paralelos (circunferencias horizontales del cono) o por varias generatrices se halla su corte con el plano, obteniendo puntos de la curva que luego se unen con plantilla de curvas.

En un CILINDRO, la sección por un plano perpendicular al eje es una circunferencia (igual a la base); por un plano oblicuo que corta a todas las generatrices es una ELIPSE; y por un plano paralelo al eje son dos rectas (dos generatrices) o una sola, según el plano sea secante o tangente a la superficie. También aquí la construcción se hace por puntos sobre generatrices o paralelos. En todos los casos conviene determinar primero los puntos NOTABLES de la sección —los del contorno aparente, los extremos de los ejes de la elipse, los de mayor y menor cota— y después puntos intermedios suficientes para trazar la curva con suavidad.

\text{Cono} \;\Rightarrow\; \begin{cases} \bot\ \text{eje} & \to\ \text{circunferencia} \\ \text{corta todas las generatrices} & \to\ \text{elipse} \\ \parallel\ \text{a una generatriz} & \to\ \text{parabola} \\ \parallel\ \text{a dos generatrices o al eje} & \to\ \text{hiperbola} \end{cases}

Tipo de sección cónica según el plano de corte

La sección de un cono recto reproduce las curvas cónicas; el tipo depende de la posición del plano respecto del eje y de las generatrices.

\text{Cilindro} \;\Rightarrow\; \begin{cases} \bot\ \text{eje} & \to\ \text{circunferencia} \\ \text{oblicuo a todas las generatrices} & \to\ \text{elipse} \\ \parallel\ \text{al eje} & \to\ \text{dos rectas o tangente} \end{cases}

Sección de un cilindro recto según el plano

Un plano perpendicular al eje da una circunferencia, uno oblicuo una elipse y uno paralelo al eje dos generatrices (o una sola si es tangente).

Ejemplo resuelto

Sección de un cilindro recto por un plano oblicuo: la elipse

Un cilindro recto de radio r = 30 mm se corta por un plano que forma 45° con el eje (oblicuo, cortando a todas las generatrices). Determina el tipo de sección y calcula la longitud de sus ejes mayor y menor.

1. Tipo de sección
Un plano oblicuo que corta a todas las generatrices de un cilindro recto produce una ELIPSE.
2. Eje menor de la elipse
El eje menor de la elipse es igual al diámetro del cilindro, porque en la dirección perpendicular al plano de inclinación la sección conserva el ancho de la base: 2b = 2r = 60 mm.
3. Eje mayor de la elipse
El eje mayor se obtiene al dividir el diámetro entre el coseno del ángulo que forma el plano con la sección recta. Si el plano forma 45° con el eje, forma 45° con la sección perpendicular, y 2a = 2r/cos 45° = 60/(√2/2).

Resultado: La sección es una elipse de eje menor 2b = 60 mm (igual al diámetro del cilindro) y eje mayor 2a = 60·√2 ≈ 84,85 mm. La verdadera magnitud de esta elipse se obtendría abatiendo el plano de corte sobre uno de proyección, como se ve en el siguiente apartado.

Errores frecuentes

Unir los puntos de corte en un orden incorrecto: hay que recorrerlos siguiendo la secuencia de aristas o generatrices de la superficie, no por cercanía aparente en el dibujo.
Olvidar los puntos notables de la sección (los del contorno aparente, los extremos de los ejes de la elipse, los de máxima y mínima cota), trazando una curva imprecisa o un polígono incompleto.
Asignar mal el tipo de cónica en la sección del cono: confundir parábola (plano paralelo a UNA generatriz) con hipérbola (plano paralelo a DOS generatrices o al eje), o suponer que toda sección oblicua es elipse.

Repaso activo

Un prisma recto hexagonal regular (lado de la base 30 mm, altura 80 mm) apoyado en el plano horizontal se corta por un plano proyectante vertical (perpendicular al plano vertical) que forma 45° con la línea de tierra y pasa por la mitad de la altura del prisma. Halla las dos proyecciones de la sección, indicando el corte del plano con cada arista lateral.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Verdadera magnitud de la sección por abatimiento o cambio de plano#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Dibujo Técnico II · Bloque 2 (Geometría proyectiva y normalización) · B.2.1 Sistemas de representación (verdadera magnitud de la sección por abatimiento del plano de corte o cambio de plano)

Los tres métodos de verdadera magnitud aplicados a la sección

La sección de un sólido por un plano oblicuo se proyecta DEFORMADA en las proyecciones diédricas: las longitudes y los ángulos del polígono o de la curva sección no se ven en su valor real, porque el plano de corte está inclinado respecto de los planos de proyección. Para conocer la forma y las dimensiones reales de la sección hay que llevarla a una posición en la que se vea sin deformación, es decir, paralela a un plano de proyección. Esto se consigue con los métodos de verdadera magnitud del sistema diédrico: el abatimiento y el cambio de plano (el giro es un tercer método válido, aunque menos cómodo aquí). Obtener la verdadera magnitud de la sección es la culminación de casi todos los problemas de PAU sobre cuerpos seccionados (Fig. 6).

Verdadera magnitud de la sección por abatimiento sobre la charnela

El ABATIMIENTO consiste en girar el plano de corte alrededor de una de sus trazas (la charnela o eje de giro) hasta hacerlo coincidir con un plano de proyección; al quedar el plano «tumbado» sobre el de proyección, todo lo contenido en él —la sección incluida— se ve en verdadera magnitud. En la práctica, se elige como charnela la traza del plano de corte sobre el PH o el PV, y se abate cada punto de la sección describiendo un arco perpendicular a la charnela; la distancia de cada punto a la charnela en el abatimiento es su verdadera distancia (que se obtiene con la cota o el alejamiento del punto). El conjunto de puntos abatidos dibuja la sección en su forma real.

El CAMBIO DE PLANO consiste en sustituir uno de los planos de proyección por otro nuevo, elegido paralelo al plano de corte (o de modo que el plano de corte sea proyectante respecto del nuevo sistema y, en un segundo cambio, frontal). Las cotas (o alejamientos) de los puntos se conservan del sistema antiguo al nuevo, mientras que la otra coordenada se mide sobre la nueva línea de tierra. Tras el cambio adecuado, la sección queda paralela a un plano de proyección y se proyecta en verdadera magnitud. Para un plano oblicuo general suelen hacer falta dos cambios sucesivos; para un plano proyectante, basta uno bien elegido.

Ambos métodos son REVERSIBLES e intercambiables: dan exactamente la misma figura real, y la elección entre uno y otro depende de la comodidad en cada caso. El abatimiento es muy directo cuando el plano de corte viene dado por sus trazas; el cambio de plano es preferible cuando se quiere mantener una de las proyecciones intacta o cuando se encadena con otras operaciones. Una buena estrategia de examen es resolver por el método indicado en el enunciado y, si hay tiempo, comprobar una distancia clave con el otro: como ambos dan la verdadera magnitud, deben coincidir.

Un detalle decisivo es que la verdadera magnitud SOLO se aplica a la SECCIÓN (la figura contenida en el plano de corte), no a todo el sólido. Por eso, antes de abatir o cambiar de plano, hay que tener ya las dos proyecciones de la sección (apartado anterior). En el abatimiento, cada punto de la sección conserva su distancia a la charnela; en el polígono sección de un poliedro, basta abatir sus vértices y unirlos; en una sección cónica (elipse del cilindro o del cono), se abaten varios puntos —siempre los notables, como los extremos de los ejes— y se traza la curva con plantilla. El resultado es la figura que se obtendría si se «levantara» físicamente la tapa cortada del sólido y se mirara de frente.

\text{V.M.}: \quad \text{abatir el plano de corte sobre su traza (charnela)} \to \text{seccion sin deformacion}

Idea del abatimiento

Girando el plano de corte alrededor de una de sus trazas hasta tumbarlo sobre un plano de proyección, la sección queda contenida en ese plano y se ve en verdadera magnitud.

\text{Cambio de plano}: \quad \text{conservar cota (o alejamiento) y elegir nueva LT} \parallel \text{plano de corte}

Idea del cambio de plano

Se introduce un nuevo plano de proyección paralelo (en el sistema adecuado) al plano de corte; conservando la coordenada que no cambia, la sección se proyecta en verdadera magnitud.

Ejemplo resuelto

Verdadera magnitud de la sección triangular de una pirámide

Una pirámide recta de base cuadrada (lado 60 mm) y 90 mm de altura, apoyada en el plano horizontal, se corta por un plano proyectante vertical que pasa por dos aristas laterales opuestas y por el vértice, dando una sección triangular. Razona el procedimiento para obtener su verdadera magnitud por abatimiento y calcula la base y la altura reales del triángulo sección.

1. Identificar la sección
El plano pasa por el vértice V y por la diagonal de la base, cortando la pirámide en un triángulo cuya base es la diagonal del cuadrado y cuyo vértice superior es V.
2. Base real del triángulo (diagonal del cuadrado)
La diagonal del cuadrado de lado 60 mm es d = 60·√2 ≈ 84,85 mm; es la verdadera magnitud de la base del triángulo porque está contenida en el PH.
3. Altura real del triángulo (apotema sobre la diagonal)
La altura del triángulo sección va del vértice V al punto medio de la diagonal; es la hipotenusa del triángulo de catetos la altura de la pirámide (90 mm) y la mitad de la diagonal (84,85/2 ≈ 42,43 mm).
4. Abatimiento
Se abate el plano de corte sobre su traza horizontal (la diagonal de la base, charnela): la base se conserva (ya está en el PH) y el vértice V se abate describiendo un arco perpendicular a la charnela hasta una distancia igual a h_s. El triángulo abatido es la verdadera magnitud.

Resultado: La sección es un triángulo isósceles de base 60·√2 ≈ 84,85 mm (la diagonal de la base) y altura real ≈ 99,50 mm, obtenida al abatir el vértice de la pirámide sobre la charnela; ese triángulo abatido es la verdadera magnitud de la sección.

Errores frecuentes

Aplicar la verdadera magnitud a todo el sólido en lugar de solo a la sección: únicamente la figura contenida en el plano de corte se abate o se cambia de plano.
Equivocar la charnela (eje de giro) en el abatimiento: debe ser una traza del plano de corte, y la distancia de cada punto abatido a la charnela ha de ser su verdadera distancia, no la proyectada.
En el cambio de plano, no conservar la coordenada que se mantiene (la cota si se cambia el PV, el alejamiento si se cambia el PH), trasladando mal los puntos al nuevo sistema.

Repaso activo

Un cono recto de base radio 30 mm y altura 80 mm, apoyado en el plano horizontal, se corta por un plano proyectante vertical que corta a todas sus generatrices (sección elíptica). Halla las dos proyecciones de la elipse sección y, por abatimiento del plano de corte sobre su traza horizontal, obtén la verdadera magnitud de la elipse, abatiendo al menos los extremos de sus ejes y cuatro puntos intermedios.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Cuerpos y secciones en diédrico

Puntos clave

Altura y baricentro de un tetraedro apoyado por una cara

Puntos clave

Apotema lateral de una pirámide recta de base cuadrada

Puntos clave

Generatriz y desarrollo de un cono recto

Puntos clave

Sección de un cilindro recto por un plano oblicuo: la elipse

Puntos clave

Verdadera magnitud de la sección triangular de una pirámide

Fuentes

Cuerpos y secciones en diédrico

Puntos clave

Altura y baricentro de un tetraedro apoyado por una cara

Puntos clave

Apotema lateral de una pirámide recta de base cuadrada

Puntos clave

Generatriz y desarrollo de un cono recto

Puntos clave

Sección de un cilindro recto por un plano oblicuo: la elipse

Puntos clave

Verdadera magnitud de la sección triangular de una pirámide

Fuentes