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Schwingungen und Wellen — Mechanische und elektromagnetische Wellen

Modellierung mechanischer und elektromagnetischer Wellen, Interferenz, Beugung, stehende Wellen sowie der Doppler-Effekt. KMK-Inhaltsbereich Schwingungen und Wellen (2.6.2).

6Abschnitteca. 8Min Lesezeit3KompetenzenNiveauBasis 1 · Standard 4 · Vertiefung 1Stand 05/2026

T·0444 / 10

Prüfungsprofil

S-4 · Wellenmodell auf mechanische und elektromagnetische Phänomene anwendenE-5 · Interferenz- und Beugungsexperimente quantitativ auswertenK-3 · Wellenphänomene mit Skizzen und Formeln präzise kommunizieren

Operatoren:analysierenberechnenerläuternbegründenbeurteilen

grundlegendes Niveau

gA: Wellengrundgleichung anwenden, Interferenzbedingungen bei Doppelspalt qualitativ und in Standardformeln einsetzen.

erhöhtes Niveau

eA: Quantitative Behandlung stehender Wellen, vollständige Doppler-Formel inkl. mediumgebundener Annahmen, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit.

Tiefe

Schrift

Inhalt · 6 Abschnitte

Schwingungen und Wellen — Mechanische und elektromagnetische Wellen

Wellengrundgleichung und Wellenkenngrößen#

Basisschwingungen-und-wellen

Welle = räumlich-zeitliche Ausbreitung einer Störung; Energie wird transportiert, Materie schwingt vor Ort.

Wellenlänge

\lambda

, Frequenz

f

, Phasengeschwindigkeit

c = \lambda f

Transversal: Schwingung senkrecht zur Ausbreitung (Saiten, Licht); longitudinal: parallel zur Ausbreitung (Schall in Luft).

Wellengleichung

y(x,t) = A\sin(\omega t - k x + \varphi)

mit

k = 2\pi/\lambda

\omega = 2\pi f

Intensität

I = P/A

einer Kugelwelle fällt wie

1/r^2

Schallgeschwindigkeit in Luft

c \approx 343\,\text{m/s}

bei

20^\circ\text{C}

; im Wasser

\approx 1480\,\text{m/s}

y(x, t) = A\sin\!\left(\omega t - k x + \varphi_0\right)

Harmonische Welle (Ausbreitung in +x-Richtung)

Wellenzahl $k = 2\pi/\lambda$ , Kreisfrequenz $\omega = 2\pi f$ ; Phasengeschwindigkeit $c = \omega/k = \lambda f$ .

Harmonische Schwingung y(t) = A\sin(ωt)

Abb. 1Periodendauer T, Amplitude A = 1. Phasenverlauf einer ungedämpften Schwingung.

Typische Fehler

$c = f/\lambda$ statt $c = f\lambda$ .
Geschwindigkeit der Welle mit Geschwindigkeit eines Teilchens (Schnelle) verwechselt.
Intensitätsabfall $1/r$ statt $1/r^2$ .
Phasenkonstante $\varphi$ vergessen, obwohl Anfangsbedingung gegeben.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie den Unterschied zwischen Phasen- und Gruppengeschwindigkeit anhand der Dispersionsbeziehung $\omega(k)$ einer Wasserwelle.

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie für eine Wasserwelle der Wellenlänge $1{,}5\,\text{m}$ und Frequenz $0{,}8\,\text{Hz}$ die Phasengeschwindigkeit und beurteilen Sie das Modell „Tiefwasserwelle" anhand der Beziehung $c = \sqrt{g\lambda/(2\pi)}$ .

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Interferenz und Doppelspalt-Experiment#

Standardschwingungen-und-wellen

Doppelspalt — Interferenz

Abb. 2Zwei kohärente Wellen erzeugen Interferenzmaxima im Abstand

\Delta y = \lambda L / d

auf dem Schirm.

Superposition: Zwei Wellen

y_1

und

y_2

überlagern sich linear zu

y = y_1 + y_2

Konstruktive Interferenz bei Gangunterschied

\Delta s = m\lambda

(

m \in \mathbb{Z}

); destruktiv bei

\Delta s = (m+\tfrac{1}{2})\lambda

Doppelspalt (Young): Hauptmaxima im Abstand

\Delta y = \lambda L/d

auf dem Schirm.

Kohärenz: konstante Phasenbeziehung erforderlich — meist via einer Quelle und Strahlteilung.

Bei breitem Doppelspalt entsteht das Beugungsbild eines Einzelspaltes als Einhüllende der Interferenzmaxima.

Anwendungen: Mach-Zehnder-Interferometer, Antireflexschichten, optische Gitter.

\Delta s = m\lambda\;\text{(konstruktiv)},\quad \Delta s = (m+\tfrac{1}{2})\lambda\;\text{(destruktiv)}

Bedingungen für Interferenz

Musterlösung

Wellenlänge aus Doppelspalt-Muster

$d = 0{,}10\,\text{mm}$ , $L = 2{,}0\,\text{m}$ , $\Delta y = 1{,}3\,\text{cm}$ .

Formel
$\lambda = \Delta y\cdot d/L$ .
Einsetzen
$\lambda = 0{,}013 \cdot 1{,}0\cdot 10^{-4}/2{,}0 = 6{,}5\cdot 10^{-7}\,\text{m} = 650\,\text{nm}$ .
Interpretieren
$650\,\text{nm}$ entspricht rotem Licht — typische Wellenlänge eines HeNe- bzw. roten Laserpointers.

Ergebnis: Wellenlänge $\lambda \approx 650\,\text{nm}$ (Rotlicht).

Typische Fehler

Falsche Formel für Maxima — Sinus mit Tangens vermischt.
Spaltabstand $d$ und Schirmabstand $L$ vertauscht.
Bei Aufgaben mit Brechung: Wellenlänge in Medium ( $\lambda_n = \lambda_0/n$ ) vergessen.
Annahme, dass nicht-kohärente Lichtquellen am Doppelspalt Interferenz erzeugen.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie quantitativ, wie eine Phasenverschiebung des einen Strahls um $\pi/2$ das Interferenzmuster verändert.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie die Wellenlänge eines Lasers, wenn am Doppelspalt mit $d = 0{,}10\,\text{mm}$ im Abstand $L = 2{,}0\,\text{m}$ die ersten Maxima im Abstand $\Delta y = 1{,}3\,\text{cm}$ erscheinen.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Beugung am Gitter und an einzelner Öffnung#

Standardschwingungen-und-wellen

Gitterbeugung

Abb. 3Hauptmaxima beim Beugungsgitter bei

\sin\alpha_k = k\lambda/g

mit Gitterkonstante

g

und Ordnung

k

Beugung = Abweichung von geradliniger Ausbreitung an Hindernissen, deren Größe vergleichbar zur Wellenlänge ist.

Optisches Gitter: Hauptmaxima bei

\sin\alpha_k = k\lambda/g

(Gitterkonstante

g

, Ordnung

k

Auflösungsvermögen des Gitters

R = \lambda/\Delta\lambda = N\cdot k

(

N

: beleuchtete Striche).

Einzelspalt: Minima bei

\sin\alpha = m\lambda/b

(

b

: Spaltbreite,

m \neq 0

Babinet-Theorem: Beugungsmuster eines Hindernisses und seines Komplements sind ausserhalb des direkten Strahls identisch.

Anwendungen: Spektrometer, CD/DVD-Rillen als Reflexionsgitter.

\sin\alpha_k = k\,\dfrac{\lambda}{g}

Gitter-Hauptmaxima

\sin\alpha_m = m\,\dfrac{\lambda}{b}

Einzelspalt-Minima

Typische Fehler

Sinus mit Tangens verwechselt — bei kleinen Winkeln verzeihlich, bei grossen Winkeln Fehler.
Gitterkonstante $g$ mit Spaltbreite $b$ verwechselt.
Beugung am Einzelspalt mit Doppelspalt-Formel berechnet.
Auflösungsvermögen ohne Faktor $N\cdot k$ angegeben.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie das Beugungsmuster eines $N$ -fach-Gitters in Abhängigkeit von $N$ — wie verändern sich Schärfe der Maxima und Nebenmaxima?

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie die Wellenlänge des ersten Maximums (Ordnung 1) eines Spektrums, das bei $\alpha_1 = 19{,}5^\circ$ an einem Gitter mit $g = 1{,}67\,\mu\text{m}$ entsteht, und ordnen Sie diese Wellenlänge einer Spektralfarbe zu.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Stehende Wellen und Resonanz#

Standardschwingungen-und-wellen

Stehende Welle = Überlagerung gleichfrequenter Wellen entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung.

Knoten: Punkte mit

A = 0

(immer); Bäuche: Punkte maximaler Amplitude.

Beidseitig fester Saite:

L = n\lambda/2

— Grundton plus harmonische Obertöne.

Einseitig offene Pfeife:

L = (2n-1)\lambda/4

— nur ungerade Obertöne.

Beidseitig offene Pfeife:

L = n\lambda/2

, also

f_n = n\,c/(2L)

— alle Obertöne, gleiche Frequenzformel wie die beidseitig feste Saite; nur die einseitig offene Pfeife weicht ab.

Anwendungen: Musikinstrumente, Mikrowellenresonatoren.

f_n = \dfrac{n\,c}{2 L}\;\text{(beidseitig fest)}

Eigenfrequenzen Saite

f_n = \dfrac{(2n-1)\,c}{4 L}\;\text{(einseitig offen)}

Eigenfrequenzen geschlossene Pfeife

Musterlösung

Eigenfrequenzen einer beidseitig eingespannten Saite

Berechnen Sie die ersten drei Eigenfrequenzen einer beidseitig eingespannten Gitarrensaite (Länge $L = 65\,\text{cm}$ , Wellengeschwindigkeit $c = 300\,\text{m/s}$ ).

Schritt 1 — Resonanzbedingung
Bei beidseitig fest eingespannter Saite müssen Knoten an den Enden sitzen: $L = n\,\lambda/2$ .
Schritt 2 — Wellenlängen
$\lambda_n = 2 L/n$ für $n = 1, 2, 3, \dots$ ergibt $\lambda_1 = 1{,}30\,\text{m}$ , $\lambda_2 = 0{,}65\,\text{m}$ , $\lambda_3 = 0{,}433\,\text{m}$ .
$\lambda_n = \dfrac{2 L}{n}$
Schritt 3 — Frequenzen
$f_n = c/\lambda_n = n c/(2 L) = n\cdot 230{,}8\,\text{Hz}$ .
Schritt 4 — Resultat
$f_1 \approx 231\,\text{Hz}$ , $f_2 \approx 462\,\text{Hz}$ , $f_3 \approx 692\,\text{Hz}$ .
Schritt 5 — Interpretieren
Grundfrequenz $\approx 231\,\text{Hz}$ entspricht etwa der A-Saite einer Gitarre; Obertöne sind ganzzahlige Vielfache.

Ergebnis: Eigenfrequenzen $231\,\text{Hz}$ , $462\,\text{Hz}$ , $692\,\text{Hz}$ — harmonische Reihe.

Typische Fehler

Bei geschlossener Pfeife $L = n\lambda/2$ verwendet (gilt nur für offene).
Schallgeschwindigkeit für falsche Temperatur eingesetzt.
Knoten und Bäuche vertauscht.
Eigenfrequenzen als äquidistant in Hertz angenommen, obwohl sie ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Zeigen Sie über die Superposition zweier Wanderwellen $y_1 = A\sin(\omega t - k x)$ und $y_2 = A\sin(\omega t + k x)$ analytisch, dass eine stehende Welle entsteht.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie die Grundfrequenz und den ersten Oberton einer einseitig geschlossenen Orgelpfeife der Länge $32\,\text{cm}$ ( $c = 343\,\text{m/s}$ ).

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Doppler-Effekt — akustisch und optisch#

Standardschwingungen-und-wellen

Akustischer Doppler-Effekt:

f_B = f_Q\,(c \pm v_B)/(c \mp v_Q)

— Vorzeichen je nach Bewegungsrichtung.

Es zählen Relativgeschwindigkeiten zum Medium (Luft), nicht zum Beobachter.

Schallmauer entsteht bei

v_Q = c

— Stosswelle mit charakteristischem Knall.

Optischer Doppler-Effekt (relativistisch, radiale Bewegung): bei Entfernung (Rotverschiebung)

f_B = f_Q\sqrt{(c-v)/(c+v)}

, bei Annäherung (Blauverschiebung)

f_B = f_Q\sqrt{(c+v)/(c-v)}

(

v

als Betrag der Radialgeschwindigkeit).

Rotverschiebung in der Astrophysik:

z = \Delta\lambda/\lambda_0 = v/c

(nicht-relativistisch).

Anwendungen: Radarpistolen, Sonografie, Sterngeschwindigkeiten.

f_{B} = f_Q\,\dfrac{c \pm v_B}{c \mp v_Q}

Doppler-Effekt (akustisch)

Obere Vorzeichen: Beobachter/Quelle bewegen sich aufeinander zu; untere Vorzeichen: voneinander weg.

Musterlösung

Akustischer Doppler-Effekt — vorbeifahrendes Auto

Ein Krankenwagen sendet einen Ton der Frequenz $800\,\text{Hz}$ und fährt mit $25\,\text{m/s}$ an einem stehenden Beobachter vorbei. Bestimmen Sie die wahrgenommene Frequenz vor und nach dem Vorbeifahren ( $c = 343\,\text{m/s}$ ).

Schritt 1 — Bewegung zum Beobachter
$f_B = f_Q\,c/(c - v_Q) = 800\cdot 343/(343-25) = 800\cdot 1{,}0786 \approx 863\,\text{Hz}$ .
Schritt 2 — Bewegung weg vom Beobachter
$f_B = f_Q\,c/(c + v_Q) = 800\cdot 343/(343+25) = 800\cdot 0{,}9321 \approx 746\,\text{Hz}$ .
Schritt 3 — Frequenzsprung
Beim Vorbeifahren springt die wahrgenommene Frequenz von $\approx 863$ auf $\approx 746\,\text{Hz}$ — Differenz $\approx 117\,\text{Hz}$ .
Schritt 4 — Interpretieren
Das menschliche Gehör wandelt diese rund $2{,}5\,\text{Halbtöne}$ Tonhöhenänderung (aus $12\,\log_2(863/746) \approx 2{,}5$ ) in den typischen „Sirenenhuscher" beim Vorbeifahren.

Ergebnis: Hin: $863\,\text{Hz}$ , weg: $746\,\text{Hz}$ — Sprung von rund $117\,\text{Hz}$ .

Typische Fehler

Vorzeichen-Konvention der Doppler-Formel falsch herum angewendet.
Akustische Formel für relativistische Geschwindigkeiten benutzt.
Beobachter- und Quellengeschwindigkeit vertauscht.
Rotverschiebung $z$ mit Geschwindigkeit verwechselt — bei grossen $z$ keine Linearität.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie aus der Lorentz-Transformation die relativistische Doppler-Formel her und vergleichen Sie diese mit dem akustischen Pendant.

Aktive Wiederholung

Vergleichen Sie die wahrgenommene Frequenz einer $1000\,\text{Hz}$ -Sirene, wenn das emittierende Fahrzeug einmal $20\,\text{m/s}$ auf den Beobachter zu und einmal $20\,\text{m/s}$ vom Beobachter weg fährt.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Elektromagnetische Wellen und Spektrum#

Vertiefungschwingungen-und-wellen

Elektromagnetische Welle

Abb. 4Elektrisches Feld

E

(vertikal) und magnetisches Feld

B

(horizontal) schwingen senkrecht zueinander und zur Ausbreitungsrichtung.

Elektromagnetische Wellen: transversale Schwingung von

\vec E

- und

\vec B

-Feldern senkrecht zueinander und zur Ausbreitungsrichtung.

Vakuum-Lichtgeschwindigkeit

c = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0} \approx 2{,}998\cdot 10^8\,\text{m/s}

Spektrum: Radio (>1 m), Mikrowellen, Infrarot, Sichtbar (

\approx 400\text{–}750\,\text{nm}

), UV, Röntgen, Gammastrahlung.

Energiestromdichte (Poynting-Vektor):

\vec S = \vec E \times \vec B/\mu_0

Polarisation: linear, zirkulär; nur transversale Wellen lassen sich polarisieren.

Anwendungen: Hertz-Experimente, Funktechnik, Mobilfunk, EM-Spektroskopie.

c = \dfrac{1}{\sqrt{\mu_0\,\varepsilon_0}}

Lichtgeschwindigkeit aus Vakuumkonstanten

c = \lambda\,f

Wellenausbreitung im Vakuum

Elektromagnetisches Spektrum

Abb. 5Wellenlängenskala von Radiowellen bis Gammastrahlung; sichtbares Licht belegt nur einen schmalen Ausschnitt um

400\text{–}750\,\text{nm}

Typische Fehler

Lichtgeschwindigkeit in Medium gleich Vakuum-Wert gesetzt.
$E$ - und $B$ -Feld als zueinander parallel skizziert.
Polarisation auf longitudinale Wellen angewendet.
Spektrumbereiche in Wellenlänge und Frequenz vertauscht.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Skizzieren Sie das vollständige elektromagnetische Spektrum mit Frequenz- und Wellenlängengrenzen und nennen Sie je eine typische Anwendung pro Bereich.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie die Frequenz und beurteilen Sie die spektrale Einordnung einer Welle mit Vakuumwellenlänge $\lambda = 0{,}21\,\text{m}$ (Wasserstoff-Linie der Radioastronomie).

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.