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Elektrische und magnetische Felder

Modelle elektrischer und magnetischer Felder, Kräfte, Potentialvorstellung, Plattenkondensator, Bewegung geladener Teilchen in Feldern. KMK-Inhaltsbereich Felder (2.6.1).

6Abschnitteca. 9Min Lesezeit3KompetenzenNiveauBasis 1 · Standard 3 · Vertiefung 2Stand 05/2026

T·0555 / 10

Prüfungsprofil

S-5 · Feldmodelle als zentrale Strukturen elektromagnetischer Phänomene anwendenE-6 · Bewegung geladener Teilchen experimentell verfolgen und quantitativ auswertenB-2 · Technische Anwendungen elektrischer und magnetischer Felder bewerten

Operatoren:analysierenberechnenerläuternbegründenbeurteilen

grundlegendes Niveau

gA: Elektrostatik, Plattenkondensator, magnetische Wirkung und Lorentzkraft auf Standardbahnen anwenden.

erhöhtes Niveau

eA: Potentialfunktion, Energieumsatz im Kondensator, Zyklotronfrequenz und gekoppelte E-/B-Felder (Geschwindigkeitsfilter).

Tiefe

Schrift

Inhalt · 6 Abschnitte

Elektrische und magnetische Felder

Elektrostatik — Coulomb-Gesetz und Feldstärke#

Basisfelder

Plattenkondensator — homogenes E-Feld

Abb. 1Zwischen den Platten herrscht ein nahezu homogenes elektrisches Feld

E = U/d

Coulomb-Gesetz:

F_C = q_1 q_2/(4\pi\varepsilon_0 r^2)

— formal analog zur Gravitation, aber Ladungen sind vorzeichenbehaftet.

Elektrische Feldstärke

\vec E = \vec F/q

— Kraft pro Probeladung.

Feldlinien laufen von

+

nach

-

; im Plattenkondensator nahezu homogen.

Im homogenen Feld:

U = E\,d

;

E = U/d

daher gut messbar.

Elementarladung

e = 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\text{C}

; Ladung ist quantisiert.

Superpositionsprinzip: Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

F_C = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q_1 q_2}{r^2}

Coulomb-Gesetz

$\varepsilon_0 = 8{,}854\cdot 10^{-12}\,\text{C}^2/(\text{N}\,\text{m}^2)$ .

\vec E = \dfrac{\vec F}{q},\quad U = E\,d\;\text{(homogen)}

Elektrische Feldstärke

Typische Fehler

$1/r$ statt $1/r^2$ in Coulomb verwendet.
Vorzeichen der Ladungen nicht berücksichtigt — abstossend/anziehend verwechselt.
$E$ und $U$ verwechselt; $U = E\,d$ nur im homogenen Feld.
Skalare statt vektorielle Addition mehrerer Felder.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie das Feld einer punktsymmetrischen Ladungsverteilung — wann gilt das Coulomb-Feld auch ausserhalb einer leitenden Kugel?

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie die Coulomb-Kraft zwischen einem Proton und einem Elektron im Bohrschen Wasserstoffmodell ( $r = 5{,}29\cdot 10^{-11}\,\text{m}$ ) und vergleichen Sie diese mit der Gravitationskraft zwischen denselben Teilchen.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Potential, Spannung und Energie im E-Feld#

Standardfelder

Elektrisches Potential

\varphi(r)

als Bezugsgröße — Spannung

U = \varphi_1 - \varphi_2

Punktladung erzeugt Potential

\varphi(r) = q/(4\pi\varepsilon_0 r)

Energie einer Probeladung:

W = q\,U

Im homogenen Feld: kinetische Energie eines beschleunigten Elektrons

E_{\text{kin}} = e U

— Beschleunigungsspannung.

Elektronenvolt:

1\,\text{eV} = 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\text{J}

Äquipotentialflächen stehen senkrecht zu den Feldlinien.

\varphi(r) = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\,r}

Coulomb-Potential einer Punktladung

E_{\text{kin}} = e\,U

Elektron im Beschleunigungsfeld

Musterlösung

Beschleunigungsspannung im Elektronenstrahl

$U = 400\,\text{V}$ , Elektronenmasse $m_e = 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\text{kg}$ .

Energieansatz
$e U = \tfrac{1}{2} m_e v^2$ .
Geschwindigkeit
$v = \sqrt{2 e U/m_e} = \sqrt{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 400/9{,}11\cdot 10^{-31}} \approx 1{,}19\cdot 10^7\,\text{m/s}$ .
Relativistisch?
$v/c \approx 0{,}040$ — klassische Näherung ist mit Fehler $< 0{,}1\%$ ausreichend.

Ergebnis: Endgeschwindigkeit $\approx 1{,}19\cdot 10^7\,\text{m/s}$ — klassische Behandlung in Ordnung.

Typische Fehler

Potential und Spannung gleichgesetzt.
Elektron mit $-e$ statt $|e|$ in $E_{\text{kin}} = e U$ berücksichtigt — Vorzeichen-Fehler.
Im freien Raum Bezugsniveau im Endlichen statt im Unendlichen gewählt.
Energieeinheit eV mit J vermischt ohne Umrechnung.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie das Potential einer Hohlkugel mit Oberflächenladung — innen konstantes Potential, aussen Coulomb-Form.

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie die Geschwindigkeit eines Elektrons, das durch eine Beschleunigungsspannung von $400\,\text{V}$ aus der Ruhe heraus beschleunigt wird, und beurteilen Sie, ob relativistische Korrekturen nötig sind.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Kondensator und Energiespeicher#

Standardfelder

RC-Entladung — exponentieller Verlauf

Abb. 2Spannung am Kondensator fällt nach

U(t) = U_0 e^{-t/(RC)}

; nach

\tau = RC

ist

U

auf

36{,}8\%

abgefallen.

Kapazität

C = Q/U

; SI-Einheit Farad:

1\,\text{F} = 1\,\text{C/V}

Plattenkondensator:

C = \varepsilon_0\varepsilon_r A/d

; Dielektrikum erhöht

C

um Faktor

\varepsilon_r

Energie:

E_C = \tfrac{1}{2} C U^2 = \tfrac{1}{2} Q U = \tfrac{Q^2}{2 C}

Energiedichte im Feld:

w = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0\varepsilon_r E^2

Reihenschaltung:

1/C_{\text{ges}} = \sum 1/C_i

; Parallel:

C_{\text{ges}} = \sum C_i

Aufladung an RC:

U_C(t) = U_0(1 - e^{-t/(RC)})

, Entladung:

U_C(t) = U_0 e^{-t/(RC)}

C = \dfrac{Q}{U},\quad C_{\text{Platte}} = \varepsilon_0\varepsilon_r\dfrac{A}{d}

Kapazität eines Kondensators

U_C(t) = U_0\,e^{-t/(RC)}

Entladung am RC-Glied

Spannungsverlauf U(t) = U₀ e⁻t/(RC) am Kondensator

Abb. 3Nach einer Zeitkonstanten \tau = RC ist U(t) auf 1/e ≈36,8\% gefallen.

Typische Fehler

$E_C = \tfrac{1}{2} Q U$ und $E_C = Q U$ vermischt.
Reihen- und Parallelschaltungsformeln vertauscht.
Dielektrikum vergessen, obwohl gegeben.
Zeitkonstante $\tau$ als „Aufladezeit" $T$ interpretiert — nach $\tau$ ist erst $63\%$ erreicht.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie qualitativ und quantitativ den Energieumsatz beim Einschieben eines Dielektrikums bei (a) konstanter Spannung und (b) konstanter Ladung.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie die gespeicherte Energie eines Plattenkondensators ( $A = 200\,\text{cm}^2$ , $d = 1{,}0\,\text{mm}$ , $U = 200\,\text{V}$ ) ohne Dielektrikum und beurteilen Sie, wie sich die Energie ändert, wenn ein Dielektrikum mit $\varepsilon_r = 4{,}0$ bei konstanter Spannung eingeschoben wird.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Magnetfelder und Lorentz-Kraft#

Standardfelder

Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule

Abb. 4Im Inneren homogen, außen wie ein Stabmagnet; Rechte-Faust-Regel zur Orientierung.

Magnetfeld

\vec B

— Einheit Tesla (

1\,\text{T} = 1\,\text{V}\,\text{s}/\text{m}^2

Felder erzeugt durch bewegte Ladungen / Ströme; um geraden Leiter:

B = \mu_0 I/(2\pi r)

Lange Spule:

B = \mu_0\,N\,I/L

— homogen im Inneren.

Lorentz-Kraft auf geladenes Teilchen:

\vec F_L = q\vec v\times\vec B

; senkrecht zu

\vec v

und

\vec B

Kreisbahn im B-Feld:

r = m v/(q B)

, Zyklotronfrequenz

f_c = q B/(2\pi m)

Anwendungen: Massenspektrometer, Zyklotron, Hall-Effekt, Lautsprecher.

\vec F_L = q\,(\vec E + \vec v\times\vec B)

Lorentz-Kraft

r = \dfrac{m\,v}{q\,B}

Bahnradius im Magnetfeld

Musterlösung

Millikan-Versuch — Ladung eines Öltröpfchens

Ein geladenes Öltröpfchen schwebt im Plattenkondensator zwischen Platten im Abstand $d = 6{,}0\,\text{mm}$ bei einer Spannung $U = 250\,\text{V}$ . Bestimmen Sie die Ladung des Tröpfchens, wenn dessen Masse $m = 2{,}4\cdot 10^{-15}\,\text{kg}$ beträgt.

Schritt 1 — Gleichgewichtsbedingung
Im Schwebezustand kompensieren sich Gewichtskraft und elektrische Kraft: $q E = m g$ .
Schritt 2 — Feldstärke
$E = U/d = 250/0{,}006 \approx 4{,}17\cdot 10^4\,\text{V/m}$ .
Schritt 3 — Ladung berechnen
$q = m g/E = 2{,}4\cdot 10^{-15}\cdot 9{,}81/(4{,}17\cdot 10^4) \approx 5{,}65\cdot 10^{-19}\,\text{C}$ .
$q = \dfrac{m\,g}{E}$
Schritt 4 — Interpretieren
$q \approx 5{,}65\cdot 10^{-19}\,\text{C}$ entspricht etwa $3{,}5\,e$ (mit $e = 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\text{C}$ ) und liegt damit zwischen $3\,e$ und $4\,e$ . Reale Millikan-Datensätze ergeben stets ganzzahlige Vielfache der Elementarladung — Indiz für Ladungsquantisierung; ein einzelner Zwischenwert spiegelt nur die Messunsicherheit wider.

Ergebnis: Ladung $q \approx 5{,}65\cdot 10^{-19}\,\text{C} \approx 3{,}5\,e$ — im Idealfall ergäbe sich ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung.

Musterlösung

Kreisbahn eines Elektrons im Magnetfeld

Ein Elektron tritt mit $v = 2{,}0\cdot 10^7\,\text{m/s}$ senkrecht in ein homogenes Magnetfeld $B = 5{,}0\,\text{mT}$ ein. Berechnen Sie Bahnradius und Umlauffrequenz.

Schritt 1 — Kraftansatz
Lorentz-Kraft = Zentripetalkraft: $e v B = m_e v^2/r$ .
$r = \dfrac{m_e\,v}{e\,B}$
Schritt 2 — Zahlenwerte
$r = 9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot 2{,}0\cdot 10^7/(1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 5{,}0\cdot 10^{-3}) \approx 2{,}28\cdot 10^{-2}\,\text{m}$ .
Schritt 3 — Zyklotronfrequenz
$f_c = e B/(2\pi m_e) = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 5{,}0\cdot 10^{-3}/(2\pi\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}) \approx 1{,}40\cdot 10^8\,\text{Hz}$ .
$f_c = \dfrac{e\,B}{2\pi\,m_e}$
Schritt 4 — Interpretieren
Bahnradius $\approx 2{,}3\,\text{cm}$ ist typisch für Massenspektrometer; Zyklotronfrequenz $\sim 140\,\text{MHz}$ liegt im UKW-Bereich.

Ergebnis: Bahnradius $r \approx 2{,}3\,\text{cm}$ , Zyklotronfrequenz $f_c \approx 140\,\text{MHz}$ .

Typische Fehler

Lorentz-Kraft parallel zu $\vec v$ angesetzt — die Kraft steht senkrecht.
Rechte-Hand-Regel für negative Ladungen falsch herum.
Magnetische Feldstärke $H$ mit Flussdichte $B$ vermischt.
In der Zyklotronfrequenz $\omega = qB/m$ statt $f = qB/(2\pi m)$ falsch zugeordnet.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie aus der Lorentz-Kraft die Funktionsweise des Geschwindigkeitsfilters her und zeigen Sie, dass nur Teilchen der Geschwindigkeit $v = E/B$ geradlinig durchfliegen.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie den Bahnradius und die Frequenz eines Protons, das mit $1{,}5\cdot 10^6\,\text{m/s}$ in ein homogenes Magnetfeld $B = 0{,}50\,\text{T}$ senkrecht eintritt.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Geladene Teilchen in gekreuzten Feldern#

Vertiefungfelder

Wien-Filter: gekreuzte

\vec E

- und

\vec B

-Felder; nur Teilchen mit

v = E/B

passieren geradlinig.

Massenspektrometer: nach Wien-Filter folgt ein homogenes B-Feld zur Massentrennung.

Hall-Effekt: in stromdurchflossenem Leiter im Magnetfeld baut sich Querspannung

U_H = I B/(n q d)

auf.

Quantenmechanischer Hall-Effekt liefert universelles Widerstandsnormal.

Anwendungen: Hall-Sensoren in Smartphones, magnetische Strommessung.

v_{\text{Wien}} = \dfrac{E}{B}

Wien-Filter Geschwindigkeit

U_H = \dfrac{I\,B}{n\,q\,d}

Hall-Spannung

Typische Fehler

Wien-Filter-Geschwindigkeit als $v = B/E$ statt $E/B$ .
Hall-Spannung mit Strom- und Magnetfeldrichtung vertauscht.
Massenspektrometer ohne Geschwindigkeitsfilter angewendet — uneindeutiger Bahnradius.
Quantenmechanischen Hall-Effekt mit klassischem verwechselt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie qualitativ den ganzzahligen Quanten-Hall-Effekt und seine Bedeutung als Widerstandsnormal $R_K = h/e^2$ .

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie die Bahnradien zweier Ionen ( $\text{Ar}^+$ , $m = 40\,u$ ; $\text{Kr}^+$ , $m = 84\,u$ ) in einem Massenspektrometer mit $B = 0{,}30\,\text{T}$ nach Beschleunigung durch $U = 2{,}0\,\text{kV}$ und beurteilen Sie die Auflösung.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Geladene Teilchen im transversalen E-Feld — Ablenkröhre#

Vertiefungfelder

Plattenkondensator — homogenes E-Feld

Abb. 5Zwischen den Platten herrscht ein nahezu homogenes elektrisches Feld

E = U/d

Tritt ein Elektron mit

v_x

quer in ein homogenes Feld

E

zwischen Ablenkplatten der Länge

\ell

, wirkt nur eine konstante Querkraft

F = eE

— Analogon zum waagerechten Wurf.

Längs der Platten: gleichförmige Bewegung

x = v_x t

; quer dazu: gleichmäßig beschleunigt

y = \tfrac{1}{2}(eE/m_e)\,t^2

— die Bahn ist eine Parabel.

Querablenkung am Plattenende:

y = \dfrac{e E \ell^2}{2 m_e v_x^2}

; danach fliegt das Elektron geradlinig zum Schirm weiter.

Die Eintrittsgeschwindigkeit

v_x

stammt aus einer Beschleunigungsspannung

U_B

via

\tfrac{1}{2} m_e v_x^2 = e U_B

Auf dem Schirm im Abstand

L

ergibt sich die Gesamtauslenkung näherungsweise proportional zur Ablenkspannung

U_y

— Grundlage des Oszilloskops.

Im kombinierten Längs- und Querfeld lässt sich die spezifische Ladung

e/m_e

aus den Geometrie- und Spannungswerten bestimmen.

y = \dfrac{e\,E\,\ell^2}{2\,m_e\,v_x^2} = \dfrac{U_y\,\ell^2}{4\,d\,U_B}

Querablenkung am Plattenende

Musterlösung

Ablenkung im Plattenkondensator

$U_B = 2{,}0\,\text{kV}$ , $\ell = 6{,}0\,\text{cm}$ , $d = 2{,}0\,\text{cm}$ , $U_y = 300\,\text{V}$ .

Ansatz
Mit $\tfrac{1}{2}m_e v_x^2 = e U_B$ und $E = U_y/d$ folgt die kompakte Form $y = U_y\ell^2/(4 d U_B)$ .
Zahlenwerte einsetzen
$y = 300 \cdot (0{,}06)^2 / (4 \cdot 0{,}02 \cdot 2000) = 300 \cdot 3{,}6\cdot 10^{-3} / 160$ .
Ergebnis
$y = 1{,}08 / 160 \approx 6{,}75\cdot 10^{-3}\,\text{m} \approx 6{,}8\,\text{mm}$ .
Interpretieren
Die Auslenkung $6{,}8\,\text{mm}$ bleibt unter dem halben Plattenabstand ( $10\,\text{mm}$ ) — das Elektron verlässt die Platten gerade nicht und trifft den Schirm.

Ergebnis: Querablenkung am Plattenende $y \approx 6{,}8\,\text{mm}$ ; das Elektron passiert die Platten.

Typische Fehler

Querbewegung als gleichförmig statt gleichmäßig beschleunigt behandelt.
Beschleunigungs- und Ablenkspannung verwechselt.
Bahn nach dem Plattenende noch als Parabel statt als Gerade fortgesetzt.
Plattenlänge $\ell$ und Schirmabstand $L$ in der Auslenkungsformel vertauscht.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie eine Bestimmungsgleichung für die spezifische Ladung $e/m_e$ aus den messbaren Größen $U_B$ , $U_y$ , $\ell$ , $d$ und der Schirmauslenkung her.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie die Querablenkung eines mit $U_B = 2{,}0\,\text{kV}$ beschleunigten Elektrons am Ende eines $\ell = 6{,}0\,\text{cm}$ langen Plattenpaares (Plattenabstand $d = 2{,}0\,\text{cm}$ , Ablenkspannung $U_y = 300\,\text{V}$ ) und beurteilen Sie, ob das Elektron die Platten verlässt.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.