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Elektromagnetische Induktion und Wechselstrom

Faradaysches Induktionsgesetz, Lenz-Regel, Generator, Transformator und elektromagnetischer Schwingkreis. KMK-Vertiefung des Inhaltsbereichs Felder.

6Abschnitteca. 8Min Lesezeit3KompetenzenNiveauBasis 1 · Standard 4 · Vertiefung 1Stand 05/2026

T·0666 / 10

Prüfungsprofil

S-6 · Induktion und Wechselstrom als Anwendung der Maxwell-Gleichungen verstehenE-7 · Induktionsexperimente quantitativ auswertenB-3 · Energieübertragung in Stromnetzen mit Wirkungsgrad bewerten

Operatoren:herleitenberechnenerläuternbeurteilenanalysieren

grundlegendes Niveau

gA: Induktionsspannung in einfacher Geometrie, idealer Transformator, Effektivwerte.

erhöhtes Niveau

eA: Selbstinduktion, freie und erzwungene Schwingungen im LC-Kreis, Phasenverschiebung in komplexer Wechselstromrechnung.

Tiefe

Schrift

Inhalt · 6 Abschnitte

Elektromagnetische Induktion und Wechselstrom

Faraday und Lenz#

Basisphysik-elektromagnetische-induktion

Lenzsche Regel — Induktion

Abb. 1Ein zunehmender Außenfluss induziert einen Strom, dessen Magnetfeld dem ursprünglichen entgegengerichtet ist.

Induktionsspannung

U_{\text{ind}} = -d\Phi/dt

mit Fluss

\Phi = B\,A\,\cos\alpha

Lenz-Regel: induzierter Strom wirkt seiner Ursache entgegen — Energieerhaltung.

Bei N Windungen verstärkt sich die Induktionsspannung:

U = -N\,d\Phi/dt

Bewegungsinduktion in geradlinig bewegten Leiterstäben:

U = B\,l\,v

Generator als rotierende Spule liefert sinusförmige Wechselspannung.

Wirbelströme entstehen in massiven Leitern und werden in Transformatoren durch lamellierte (geblechte) Eisenkerne minimiert.

U_{\text{ind}} = -\dfrac{d\Phi}{dt},\quad \Phi = B\,A\,\cos\alpha

Faradaysches Induktionsgesetz

Vorzeichen ist Lenz: der induzierte Strom erzeugt einen Fluss, der der Änderung entgegengerichtet ist.

Typische Fehler

Vorzeichen weggelassen — Lenz übersehen.
Windungszahl $N$ in $U_{\text{ind}} = -d\Phi/dt$ vergessen.
Beim bewegten Leiterstab $U = B l v$ als Effektivwert interpretiert.
Wirbelströme als Reibung deklariert ohne Energiehauptsatz.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie qualitativ die Maxwell-Erweiterung des Ampere-Gesetzes — Verschiebungsstrom als Quelle des Magnetfeldes auch ohne bewegte Ladung.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie die Induktionsspannung in einer Spule mit $N = 200$ Windungen und Querschnitt $A = 50\,\text{cm}^2$ , wenn der magnetische Fluss in $20\,\text{ms}$ linear von $\Phi = 0$ auf $\Phi = 1{,}5\cdot 10^{-3}\,\text{Wb}$ anwächst.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Selbstinduktion und Spulen#

Standardphysik-elektromagnetische-induktion

Selbstinduktion einer Spule:

U_{\text{ind}} = -L\,dI/dt

Induktivität

L = \mu_0\mu_r N^2 A/l

einer langen Spule.

In RL-Kreisen klingt Strom mit Zeitkonstante

\tau = L/R

exponentiell ab/an.

Energie im Magnetfeld der Spule:

E_L = \tfrac{1}{2} L I^2

Reihen- und Parallelschaltung von Induktivitäten analog zu Widerständen.

Anwendungen: Drosseln, Funkenstörung, Schaltnetzteile, Hochspannungspulse.

U_{\text{ind}} = -L\,\dfrac{dI}{dt}

Selbstinduktion

L = \mu_0\mu_r\,\dfrac{N^2\,A}{l}

Induktivität langer Spule

E_L = \tfrac{1}{2}\,L\,I^2

Energie der Spule

Typische Fehler

$L$ in Henry mit Reaktanz $X_L$ in Ohm verwechselt.
Zeitkonstante als $T = L/R$ statt $\tau$ .
Energie $E_L = \tfrac{1}{2} L I$ ohne $I^2$ geschrieben.
Selbst- und Gegeninduktivität vermengt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Lösen Sie die Differentialgleichung des RL-Kreises beim Einschaltvorgang vollständig und bestätigen Sie den exponentiellen Anstieg $I(t) = (U_0/R)(1 - e^{-Rt/L})$ .

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie die im Magnetfeld einer Spule ( $L = 50\,\text{mH}$ , $I = 4{,}0\,\text{A}$ ) gespeicherte Energie und beurteilen Sie die Konsequenz beim plötzlichen Öffnen des Schalters.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Elektromagnetischer Schwingkreis#

Standardphysik-elektromagnetische-induktionschwingungen-und-wellen

Elektromagnetischer Schwingkreis

Abb. 2L und C tauschen Energie aus; Eigenfrequenz

f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})

(Thomson).

LC-Kreis: Energie wandelt sich periodisch zwischen elektrischer Feldenergie im Kondensator und magnetischer Feldenergie in der Spule um.

Eigenfrequenz

f_0 = 1/(2\pi\sqrt{L C})

— Thomsonsche Schwingungsformel.

Gedämpfter Schwingkreis (RLC): Amplitude fällt exponentiell.

Erzwungene Schwingung mit Anregung

f_a

zeigt Resonanz bei

f_a \approx f_0

Hertz-Experimente: Sender-Empfänger-System koppelt EM-Wellen über LC.

Anwendung: Senderfrequenzen abstimmen, Filter, Schwingungserzeugung in Mikrowellen.

f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L\,C}}

Thomsonsche Schwingungsformel

Musterlösung

Thomsonsche Schwingungsformel — Resonanzfrequenz

Berechnen Sie die Resonanzfrequenz eines LC-Schwingkreises mit $L = 1{,}5\,\text{mH}$ und $C = 47\,\text{nF}$ .

Schritt 1 — Formel
$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{L C})$ .
Schritt 2 — LC-Produkt
$L C = 1{,}5\cdot 10^{-3}\cdot 47\cdot 10^{-9} = 7{,}05\cdot 10^{-11}\,\text{s}^2$ .
Schritt 3 — Frequenz
$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{7{,}05\cdot 10^{-11}}) \approx 1{,}9\cdot 10^4\,\text{Hz}$ .
Schritt 4 — Interpretieren
$\approx 19\,\text{kHz}$ liegt im oberen Hörbereich. Im Radio werden $LC$ je nach Sender im kHz- bis MHz-Bereich abgestimmt.

Ergebnis: Resonanzfrequenz $f_0 \approx 19\,\text{kHz}$ .

Typische Fehler

$f_0$ mit Kreisfrequenz $\omega_0$ vertauscht.
Energieerhaltung übersehen — bei gedämpftem Kreis Reibung anwenden.
$L C$ -Produkt in falschen Einheiten.
Energie nur in $C$ oder nur in $L$ berechnet, statt Summe.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Stellen Sie die Differentialgleichung des ungedämpften LC-Kreises auf und zeigen Sie analytisch, dass die Lösung sinusförmig mit $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ schwingt.

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie die Resonanzfrequenz eines Schwingkreises mit $L = 2{,}0\,\text{mH}$ und $C = 100\,\text{nF}$ und ordnen Sie diese spektral ein.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Wechselstromgrößen — Effektivwerte#

Standardphysik-elektromagnetische-induktion

Sinusförmiger Wechselstrom:

i(t) = I_{\max}\sin(\omega t)

; analog

u(t)

Effektivwert

I_{\text{eff}} = I_{\max}/\sqrt{2}

— entspricht dem Gleichstrom mit gleicher Heizleistung.

Mittlere Leistung am ohmschen Widerstand

P = U_{\text{eff}} I_{\text{eff}} = U_{\text{eff}}^2/R

Phasenverschiebung zwischen

u

und

i

am induktiven/kapazitiven Verbraucher:

\pi/2

voraus/nach.

Komplexe Impedanz

\underline{Z} = R + j(\omega L - 1/(\omega C))

; Resonanz bei rein reellem

Z

Wirkleistung

P = U I \cos\varphi

, Blindleistung

Q = U I \sin\varphi

I_{\text{eff}} = \dfrac{I_{\max}}{\sqrt{2}}

Effektivwert (Sinus)

P = U_{\text{eff}}\,I_{\text{eff}}\,\cos\varphi

Wirkleistung

Typische Fehler

Effektivwert mit Mittelwert verwechselt — der lineare Mittelwert ist null.
$\cos\varphi = 1$ pauschal angenommen.
Phasendifferenz beim Kondensator falsch herum.
Blindleistung als verloren bewertet — sie pendelt nur zwischen Quelle und Last.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Lösen Sie die RLC-Reihenschaltung in der komplexen Wechselstromrechnung — Resonanzfrequenz und Güte.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie die mittlere Leistung am Heizwiderstand $R = 22\,\Omega$ , wenn die Wechselspannung mit Effektivwert $230\,\text{V}$ anliegt, und benennen Sie die Bedeutung der Phase ( $\cos\varphi = 1$ rein ohmsch).

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Transformator und Energieübertragung#

Standardphysik-elektromagnetische-induktion

Idealer Trafo:

U_2/U_1 = N_2/N_1

und

I_2/I_1 = N_1/N_2

; Leistung

U_1 I_1 = U_2 I_2

erhalten.

Realer Trafo: Kupfer- und Eisenverluste; Wirkungsgrad meist >

95\%

bei Netztrafos.

Eisenkern verstärkt magnetischen Fluss und reduziert Streufeld.

Hochspannungs-Übertragung minimiert ohmsche Verluste

P_V = I^2 R

uber lange Leitungen.

Trafos bilden Grundlage des Energieversorgungsnetzes (Umspannwerke).

Schaltnetzteile arbeiten bei höheren Frequenzen, daher kleinere Trafos.

\dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{N_2}{N_1},\quad \dfrac{I_2}{I_1} = \dfrac{N_1}{N_2}\;\text{(idealer Trafo)}

Transformator-Verhältnisgleichungen

Musterlösung

Induktionsspannung in einer rotierenden Spule

Eine Rechteckspule (Fläche $A = 200\,\text{cm}^2$ , $N = 500$ Windungen) rotiert mit $50\,\text{Hz}$ in einem homogenen Magnetfeld $B = 0{,}30\,\text{T}$ . Berechnen Sie die maximale Induktionsspannung.

Schritt 1 — Fluss ausschreiben
$\Phi(t) = B A \cos(\omega t)$ mit $\omega = 2\pi f = 314{,}16\,\text{rad/s}$ .
Schritt 2 — Differenzieren
$U_{\text{ind}}(t) = -N\,d\Phi/dt = N B A \omega\sin(\omega t)$ .
$U_{\max} = N\,B\,A\,\omega$
Schritt 3 — Zahlenwerte
$U_{\max} = 500\cdot 0{,}30\cdot 0{,}020\cdot 314{,}16 \approx 942\,\text{V}$ .
Schritt 4 — Effektivwert
$U_{\text{eff}} = U_{\max}/\sqrt{2} \approx 666\,\text{V}$ .
Schritt 5 — Interpretieren
Das Modell beschreibt einen typischen Wechselstromgenerator. Realistische Werte für Kraftwerksgeneratoren liegen je nach Wicklung im kV-Bereich.

Ergebnis: $U_{\max} \approx 942\,\text{V}$ , $U_{\text{eff}} \approx 666\,\text{V}$ .

Typische Fehler

$N_1$ und $N_2$ in Stromverhältnis nicht reziprok.
Verluste auf Gleichstrom-Trafos angewandt — Trafos brauchen Wechselstrom.
Wirkungsgrad als $>1$ herauskommen lassen.
Leistung an Sekundärseite größer als Primär berechnet.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie das Konzept der Hochspannungs-Gleichstromübertragung (HGÜ) und nennen Sie technische Gründe für ihren Einsatz in modernen Stromnetzen.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie die Verluste in einer Übertragungsleitung mit $R = 5{,}0\,\Omega$ , wenn $P = 100\,\text{kW}$ einmal mit $U = 230\,\text{V}$ und einmal mit $U = 20\,\text{kV}$ übertragen werden, und beurteilen Sie das Resultat.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Hertzscher Dipol und Abstrahlung elektromagnetischer Wellen#

Vertiefungphysik-elektromagnetische-induktionschwingungen-und-wellen

Elektromagnetische Welle

Abb. 3Elektrisches Feld

E

(vertikal) und magnetisches Feld

B

(horizontal) schwingen senkrecht zueinander und zur Ausbreitungsrichtung.

Vom geschlossenen LC-Kreis zum offenen Schwingkreis: durch Aufbiegen der Platten und Strecken der Spule entsteht der Hertzsche Dipol, dessen Felder in den Raum reichen.

Der Dipol besitzt eine Grundresonanz, wenn seine Länge etwa der halben Wellenlänge entspricht:

\ell \approx \lambda/2

(Antennenbedingung).

Beschleunigte Ladungen strahlen elektromagnetische Wellen ab; die abgestrahlte Leistung wächst stark mit der Frequenz.

Im Nahfeld dominieren die quasistatischen Felder, erst im Fernfeld (

r \gg \lambda

) löst sich die transversale Welle mit

\vec E \perp \vec B \perp \vec c

ab.

Die Abstrahlung ist richtungsabhängig (Dipolcharakteristik): maximal senkrecht zur Dipolachse, null in Achsenrichtung.

Heinrich Hertz wies 1886–1888 mit Sender- und Empfängerdipol die Existenz elektromagnetischer Wellen und ihre Wesensgleichheit mit Licht nach.

\ell \approx \dfrac{\lambda}{2},\quad f = \dfrac{c}{\lambda}

Antennenresonanz des Halbwellendipols

Musterlösung

Sendefrequenz eines Halbwellendipols

Halbwellendipol der Länge $\ell = 1{,}5\,\text{m}$ .

Antennenbedingung
Grundresonanz bei $\ell = \lambda/2$ , also $\lambda = 2\ell = 3{,}0\,\text{m}$ .
Frequenz berechnen
$f = c/\lambda = 3{,}0\cdot 10^8 / 3{,}0 = 1{,}0\cdot 10^8\,\text{Hz} = 100\,\text{MHz}$ .
$f = \dfrac{c}{2\ell}$
Spektrale Einordnung
$100\,\text{MHz}$ liegt im UKW-Bereich — genau das Band des terrestrischen Rundfunks.
Interpretieren
Reale UKW-Antennen werden daher rund $1{,}5\,\text{m}$ lang ausgelegt — die Dipollänge folgt direkt aus der gewünschten Sendefrequenz.

Ergebnis: Resonanzfrequenz $f \approx 100\,\text{MHz}$ (UKW-Rundfunkband).

Typische Fehler

Antennenlänge gleich der vollen Wellenlänge statt der halben gesetzt.
Nah- und Fernfeld nicht unterschieden — die transversale Welle entsteht erst im Fernfeld.
Abstrahlung als richtungsunabhängig (isotrop) angenommen statt mit Dipolcharakteristik.
Behauptung, ein konstanter Gleichstrom in der Antenne strahle Wellen ab — nur beschleunigte Ladungen tun das.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Erläutern Sie qualitativ den Energietransport im Fernfeld über den Poynting-Vektor $\vec S = \vec E \times \vec B / \mu_0$ und begründen Sie die $1/r^2$ -Abnahme der Intensität.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie die Grundresonanzfrequenz eines $\lambda/2$ -Dipols der Länge $\ell = 1{,}5\,\text{m}$ und ordnen Sie das Ergebnis dem elektromagnetischen Spektrum zu.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.