Notizen · PhysikDE · Abitur

Gravitation, Keplersche Gesetze und Astrophysik (optional)

Newtonsches Gravitationsgesetz, Erhaltungssätze auf Planetenbahnen, Bahnen von Satelliten und Sternen. Verknüpft Mechanik mit dem Wahlbereich Astrophysik.

6Abschnitteca. 8Min Lesezeit3KompetenzenNiveauBasis 1 · Standard 3 · Vertiefung 2Stand 05/2026

T·0333 / 10

Prüfungsprofil

S-3 · Gravitationsgesetz und Keplersche Gesetze als zentrale Konzepte anwendenE-4 · Aus astronomischen Beobachtungen quantitative Aussagen über Massen ableitenK-2 · Astronomische Phänomene mit Begriffen der Mechanik kommunizieren

Operatoren:herleitenberechnenbeurteilenerläuternvergleichen

grundlegendes Niveau

gA: Gravitationsgesetz auf Erdoberfläche und einfache Satellitenbahnen anwenden; Keplersche Gesetze qualitativ.

erhöhtes Niveau

eA: Vollständige Energiebilanz im Gravitationsfeld, Fluchtgeschwindigkeit, Anwendung auf Doppelsterne und HRD.

Tiefe

Schrift

Inhalt · 6 Abschnitte

Gravitation, Keplersche Gesetze und Astrophysik (optional)

Newtonsches Gravitationsgesetz#

Basismechanikphysik-astrophysik

Zwei Punktmassen ziehen sich mit

F_G = G m_1 m_2 / r^2

an;

G = 6{,}674\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2

Kraft entlang der Verbindungslinie; gilt auch für Massenkugeln (Newtonscher Schalensatz).

Erdoberfläche:

g = G M_E/R_E^2 \approx 9{,}81\,\text{m/s}^2

Gravitationsfeldstärke

\vec g = -\nabla \Phi

mit Potential

\Phi(r) = -G M/r

(Bezugspunkt im Unendlichen).

Gravitation ist immer attraktiv und gilt universell — Sterne, Planeten, Alltagsobjekte.

F_G = G\,\dfrac{m_1 m_2}{r^2}

Newtonsches Gravitationsgesetz

$G \approx 6{,}674\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2$ ; Kraftanziehung zweier Punktmassen.

Typische Fehler

$1/r^2$ als $1/r$ verwendet.
Erdoberflächen- $g$ und Gravitationskonstante $G$ vermischt.
Massenmittelpunktsabstand mit Oberflächenabstand verwechselt.
Annahme, dass nur das Erdfeld auf der Erde wirkt — andere Massen werden zur Vernachlässigbarkeit „abgewogen".

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie Cavendish-Versuch mit Torsionswaage zur experimentellen Bestimmung von $G$ und nennen Sie typische relative Messunsicherheiten.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie die Gravitationskraft zwischen zwei je $1{,}0\,\text{t}$ schweren Eisenkugeln in $1{,}0\,\text{m}$ Abstand und beurteilen Sie, ob diese Kraft im Alltag spürbar ist.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Die drei Keplerschen Gesetze#

Standardmechanikphysik-astrophysik

Keplerbahn — Ellipse, Brennpunkt und Flächensatz

Abb. 1Der Planet bewegt sich auf einer Ellipse mit der Sonne in einem Brennpunkt; nach dem 2. Gesetz überstreicht der Fahrstrahl in gleichen Zeiten gleiche Flächen — am Perihel ist die Bahngeschwindigkeit daher am größten.

1. Gesetz: Planeten bewegen sich auf Ellipsen mit der Sonne in einem Brennpunkt.

2. Gesetz (Flächensatz): Der Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen — Folge der Drehimpulserhaltung.

3. Gesetz:

T^2 / a^3 = 4\pi^2/(G M_{\odot}) = \text{const.}

für alle Planeten um dieselbe Sonne.

Bei Kreisbahnen (

a = r

) reduziert sich Kepler 3 zu

T^2 = 4\pi^2 r^3/(G M)

Die Gesetze folgen aus Newtons Gravitationsgesetz plus Energieerhaltung.

Anwendungen: Planetenbahnen, Monde, Doppelsterne (Bestimmung von Sternmassen).

\dfrac{T_1^2}{T_2^2} = \dfrac{a_1^3}{a_2^3}

3. Keplersches Gesetz

Musterlösung

Periodendauer eines Asteroiden

$a_{\text{Asteroid}} = 2{,}5\,\text{AE}$ .

Kepler 3 in astronomischen Einheiten
$T/\text{a} = (a/\text{AE})^{3/2}$ .
Einsetzen
$T = (2{,}5)^{1{,}5}\approx 3{,}95\,\text{a}$ .
Vergleich Mars
$T_{\text{Mars}} = (1{,}52)^{1{,}5}\approx 1{,}87\,\text{a}$ — passt zum tabellierten Wert.

Ergebnis: Asteroid umrundet die Sonne in etwa $3{,}95$ Jahren — passender Asteroidengürtel-Wert.

Typische Fehler

Halbachse $a$ mit Umlaufradius $r$ verwechselt — bei Ellipse unterschiedlich.
$T$ und $a$ vertauscht in Kepler 3 — falsche Exponenten.
Drehimpulserhaltung nicht als Begründung des Flächensatzes erkannt.
Kepler-Gesetze auf nicht-elliptische Bahnen pauschal angewendet.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie das 3. Keplersche Gesetz allgemein für eine Ellipse aus dem Erhaltungssatz der Energie und des Drehimpulses her.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie die Periodendauer eines Asteroiden mit grosser Halbachse $a = 2{,}5\,\text{AE}$ und vergleichen Sie diese mit dem Marsjahr ( $a_{\text{Mars}} = 1{,}52\,\text{AE}$ , $T_{\text{Mars}} = 1{,}88\,\text{a}$ ).

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Kreisbahnen, geostationäre Satelliten#

Standardmechanik

Auf Kreisbahn liefert Gravitation die Zentripetalkraft:

G M m/r^2 = m v^2/r

Bahngeschwindigkeit

v = \sqrt{G M/r}

; Umlaufzeit

T = 2\pi\sqrt{r^3/(G M)}

Geostationärer Satellit (GEO):

T = T_{\text{sid}} \approx 23\,\text{h}\,56\,\text{min}

; Bahnhöhe

\approx 35\,800\,\text{km}

LEO (Low Earth Orbit) bei

\approx 300\text{–}500\,\text{km}

Höhe, Umlaufzeit

\approx 90\,\text{min}

(ISS).

Energie im Orbit

E = -G M m/(2 r)

— negativ heisst gebunden.

v_{\text{Orbit}} = \sqrt{\dfrac{G M}{r}},\quad T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{G M}}

Kreisbahn um Zentralkörper Masse M

Musterlösung

Bahnradius eines geostationären Satelliten

Bestimmen Sie den Bahnradius eines geostationären Satelliten und die Bahngeschwindigkeit. Erdmasse $M_E = 5{,}972\cdot 10^{24}\,\text{kg}$ , Periodendauer $T = 86\,164\,\text{s}$ (siderischer Tag).

Schritt 1 — Bewegungsgleichung
Gravitationskraft liefert Zentripetalkraft: $G M_E/r^2 = \omega^2 r$ mit $\omega = 2\pi/T$ .
Schritt 2 — Auflösen nach r
$r = \sqrt[3]{G M_E T^2/(4\pi^2)}$ .
$r = \sqrt[3]{\dfrac{G M_E T^2}{4\pi^2}}$
Schritt 3 — Zahlenwerte einsetzen
$r = \sqrt[3]{6{,}674\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}972\cdot 10^{24}\cdot (86\,164)^2/39{,}48} \approx 4{,}22\cdot 10^7\,\text{m}$ .
Schritt 4 — Bahngeschwindigkeit
$v = 2\pi r/T \approx 2\pi\cdot 4{,}22\cdot 10^7/86\,164 \approx 3{,}07\cdot 10^3\,\text{m/s}$ .
Schritt 5 — Interpretieren
Bahnhöhe $\approx 35\,800\,\text{km}$ über Äquator — entspricht dem klassischen GEO-Orbit für Telekommunikationssatelliten.

Ergebnis: $r \approx 4{,}22\cdot 10^7\,\text{m}$ (Höhe $\approx 35\,800\,\text{km}$ ), $v \approx 3{,}07\,\text{km/s}$ .

Typische Fehler

Bahnradius $r$ gleich Höhe gesetzt — $r$ ist Abstand zum Erdmittelpunkt, also $R_E + h$ .
Siderischen und Sonnen-Tag verwechselt — siderisch $\approx 86\,164\,\text{s}$ .
Negative Bindungsenergie unkommentiert positiv interpretiert.
In Aufgaben mit Bahnwechsel Energieerhaltung übersehen.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie den Hohmann-Transfer zwischen zwei Kreisbahnen — wann ist diese Transferellipse energetisch optimal?

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie die Bahngeschwindigkeit der ISS in $400\,\text{km}$ Höhe und vergleichen Sie diese mit der Bahngeschwindigkeit eines geostationären Satelliten. Beurteilen Sie die Konsequenz für die Sichtbarkeitsdauer am Himmel.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Energie im Gravitationsfeld und Fluchtgeschwindigkeit#

Vertiefungmechanik

Gravitationspotentialtopf — E(r) im Zentralfeld

Abb. 2Potentielle Energie

E_{\text{pot}}(r) = -GMm/r

steigt von

-\infty

monoton gegen

0

. Eine gebundene Bahn (Gesamtenergie

E < 0

) ist im Topf gefangen; für die Fluchtsituation gilt

E \geq 0

Potentielle Energie im Gravitationsfeld

E_{\text{pot}}(r) = -G M m / r

mit Bezugspunkt im Unendlichen.

Gesamtenergie auf Kreisbahn:

E = E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}} = -G M m/(2 r)

Fluchtgeschwindigkeit (2. kosmische Geschwindigkeit):

v_{\text{esc}} = \sqrt{2 G M/R}

Erdoberfläche:

v_{\text{esc}} \approx 11{,}2\,\text{km/s}

; aus Sonnenoberfläche

\approx 617\,\text{km/s}

Schwarzes Loch:

v_{\text{esc}} = c

definiert den Schwarzschild-Radius

r_s = 2 G M/c^2

E_{\text{pot}}(r) = -\dfrac{G M m}{r}

Gravitationspotentielle Energie

v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2 G M}{R}}

Fluchtgeschwindigkeit

Musterlösung

Fluchtgeschwindigkeit von der Erdoberfläche

Berechnen Sie die zweite kosmische Geschwindigkeit (Fluchtgeschwindigkeit) von der Erdoberfläche aus Energieerhaltung. Erdradius $R_E = 6{,}371\cdot 10^6\,\text{m}$ .

Schritt 1 — Energiebilanz
Mindestenergie: $\tfrac{1}{2} m v^2 = G M_E m/R_E$ (kinetische Energie deckt potentielle Energie an der Oberfläche, Geschwindigkeit im Unendlichen Null).
Schritt 2 — Auflösen
$v_{\text{esc}} = \sqrt{2 G M_E/R_E}$ .
$v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2 G M}{R}}$
Schritt 3 — Zahlenwerte
$v_{\text{esc}} = \sqrt{2\cdot 6{,}674\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}972\cdot 10^{24}/6{,}371\cdot 10^6} \approx 1{,}12\cdot 10^4\,\text{m/s}$ .
Schritt 4 — Interpretieren
$v_{\text{esc}} \approx 11{,}2\,\text{km/s}$ ist genau Faktor $\sqrt{2}$ größer als die erste kosmische Geschwindigkeit ( $7{,}9\,\text{km/s}$ ).

Ergebnis: Fluchtgeschwindigkeit $v_{\text{esc}} \approx 11{,}2\,\text{km/s}$ .

Typische Fehler

Vorzeichen von $E_{\text{pot}}$ vergessen — positive Energie wäre ungebunden.
Fluchtgeschwindigkeit als „Bahn-" statt „radialen Wurf" interpretiert.
Schwarzschildradius mit klassischem Radius verwechselt.
Erdmasse statt Sonnenmasse bei Fluchtgeschwindigkeit vom Sonnensystem benutzt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Skizzieren Sie den Verlauf von $E_{\text{pot}}(r)$ , $E_{\text{kin}}(r)$ und $E_{\text{ges}}(r)$ für gebundene Bahnen und für die Fluchtsituation in einem gemeinsamen Diagramm.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie den Schwarzschildradius der Sonne ( $M_\odot = 1{,}989\cdot 10^{30}\,\text{kg}$ ) und vergleichen Sie diesen mit dem tatsächlichen Sonnenradius.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Gravitationsfeld, Schwerelosigkeit und Gezeiten#

Standardmechanikphysik-astrophysik

Gravitationspotentialtopf — E(r) im Zentralfeld

Abb. 3Potentielle Energie

E_{\text{pot}}(r) = -GMm/r

steigt von

-\infty

monoton gegen

0

. Eine gebundene Bahn (Gesamtenergie

E < 0

) ist im Topf gefangen; für die Fluchtsituation gilt

E \geq 0

Gravitationsfeldstärke

\vec g(r) = -GM/r^2\,\hat r

ist die Kraft pro Probemasse; an der Erdoberfläche

g \approx 9{,}81\,\text{m/s}^2

Im Inneren einer homogenen Vollkugel wächst

g(r)

linear mit

r

(nur die innerhalb von

r

eingeschlossene Masse

M(r) = M\,(r/R)^3

trägt bei; die äußeren Kugelschalen heben sich nach dem Newtonschen Schalentheorem weg), außen fällt es mit

1/r^2

Scheinbare Schwerelosigkeit im Orbit ist freier Fall: Satellit und Insassen werden gleich beschleunigt, daher keine Normalkraft — nicht Abwesenheit von Gravitation.

Im rotierenden Bezugssystem überlagert sich der Gravitation eine Zentrifugalkraft; am Äquator ist die effektive Fallbeschleunigung daher etwas kleiner als an den Polen.

Gezeitenkraft entsteht durch den Gradienten des Mondfeldes: die erdzugewandte Seite wird stärker angezogen als der Erdmittelpunkt, die abgewandte schwächer — zwei Flutberge.

Das Gewicht

F_g = m\,g

ist ortsabhängig (Höhe, geografische Breite), die Masse

m

ist eine Invariante.

\vec g(r) = -\dfrac{G M}{r^2}\,\hat r

Gravitationsfeldstärke im Außenraum

g_{\text{eff}} = g - \omega^2 R\cos^2\varphi

Effektive Fallbeschleunigung (Breite \varphi)

Typische Fehler

Schwerelosigkeit als „keine Schwerkraft" statt als freien Fall interpretiert.
Masse und Gewicht gleichgesetzt — das Gewicht ist ortsabhängig, die Masse nicht.
Im Kugelinneren weiter mit $1/r^2$ statt mit linearem Anstieg gerechnet.
Nur einen Flutberg erwartet — der Feldgradient erzeugt zwei.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie die Gezeitenbeschleunigung als Differenz der Mondanziehung an erdzugewandter und abgewandter Seite her und zeigen Sie, dass sie näherungsweise wie $1/r^3$ vom Abstand abhängt.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie den Unterschied der effektiven Fallbeschleunigung zwischen Pol und Äquator allein aus der Erdrotation ( $R_E = 6{,}371\cdot 10^6\,\text{m}$ , Tagdauer $T = 86\,400\,\text{s}$ ) und beurteilen Sie die Größenordnung.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Astrophysik (Wahlbereich) — Hertzsprung-Russell-Diagramm#

Vertiefungphysik-astrophysik

Sterne werden im HRD nach Leuchtkraft (y-Achse) und Effektivtemperatur (x-Achse, invertiert) klassifiziert.

Hauptreihe enthält

\sim 90\%

aller Sterne (Wasserstoffbrennen).

Riesen und Überriesen oben rechts; Weisse Zwerge unten links.

Stefan-Boltzmann-Gesetz

L = 4\pi R^2 \sigma T^4

verbindet Leuchtkraft mit Radius und Temperatur.

Hubble-Beziehung

v = H_0 d

beschreibt Kosmologische Expansion;

H_0 \approx 70\,\text{km/s/Mpc}

L = 4\pi R^2 \sigma T^4

Stefan-Boltzmann-Gesetz

v = H_0\,d

Hubble-Beziehung

Typische Fehler

HRD-Achse Temperatur falsch herum gelesen (sie zeigt nach links zu höheren Werten).
Stefan-Boltzmann mit $T$ statt $T^4$ verwendet.
Hubble-Konstante in falscher Einheit interpretiert.
Sternklassen O-B-A-F-G-K-M in falscher Reihenfolge zitiert.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie qualitativ die Lebenszyklen massearmer und massereicher Sterne und nennen Sie Endstadien (Weisser Zwerg, Neutronenstern, Schwarzes Loch).

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie aus Leuchtkraft $L = 10\,L_\odot$ und Effektivtemperatur $T = 6500\,\text{K}$ den Radius eines Sterns in Sonnenradien und klassifizieren Sie ihn im HRD.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.