Notizen · PhysikDE · Abitur

Mechanik 2 — Erhaltungssätze und mechanische Schwingungen

Energie, Arbeit, Leistung sowie Impuls als Erhaltungsgrößen und ihre Anwendung auf Stoßprozesse, Achterbahnen, Federpendel und mathematisches Pendel. Übergang zum Schwingungs-/Wellenmodul.

6Abschnitteca. 10Min Lesezeit3KompetenzenNiveauBasis 2 · Standard 2 · Vertiefung 2Stand 05/2026

T·0222 / 10

Prüfungsprofil

S-2 · Erhaltungsgrößen Energie und Impuls als zentrale physikalische Prinzipien anwendenE-3 · Experimentelle Daten mit Modellen vergleichen und Abweichungen begründenB-1 · Energieerhaltung in technischen und alltäglichen Kontexten bewerten

Operatoren:berechnenanalysierenbeurteilenbegründenerläutern

grundlegendes Niveau

gA: Energieformen identifizieren und Energieerhaltung in einfachen Beispielen anwenden; Periodendauer harmonischer Schwingungen.

erhöhtes Niveau

eA: Energie- und Impulsbilanz simultan bei Stoßprozessen; Differentialgleichung des harmonischen Oszillators mit Anfangsbedingungen.

Tiefe

Schrift

Inhalt · 6 Abschnitte

Mechanik 2 — Erhaltungssätze und mechanische Schwingungen

Arbeit, Energie und Leistung#

Basismechanik

Arbeit

W = \int \vec F \cdot d\vec s

; bei konstanter Kraft längs der Bewegungsrichtung gilt

W = F s

Energie ist Fähigkeit, Arbeit zu verrichten; SI-Einheit

1\,\text{J} = 1\,\text{N}\,\text{m}

Kinetische Energie

E_{\text{kin}} = \tfrac{1}{2} m v^2

; potentielle Energie im Schwerefeld

E_{\text{pot}} = m g h

; Spannenergie der Feder

E_{\text{spann}} = \tfrac{1}{2} D s^2

Leistung

P = dW/dt

; SI-Einheit

1\,\text{W} = 1\,\text{J/s}

Wirkungsgrad

\eta = W_{\text{nutz}}/W_{\text{zu}}

ist stets

\leq 1

Energieerhaltung gilt in abgeschlossenen Systemen; mit Reibung wandelt sich mechanische Energie in Wärme um.

W = \int_{s_1}^{s_2} \vec F\cdot d\vec s = F\,s\cos\alpha\;\text{(F konst.)}

Mechanische Arbeit

E_{\text{kin}} = \tfrac{1}{2}m v^2,\quad E_{\text{pot}} = m g h,\quad E_{\text{spann}} = \tfrac{1}{2}D s^2

Mechanische Energieformen

P = \dfrac{dW}{dt} = F\,v

Mechanische Leistung

Musterlösung

Aufzugleistung und Wirkungsgrad

Aufzug hebt $80\,\text{kg}$ um $9{,}0\,\text{m}$ in $4{,}5\,\text{s}$ ; Motorleistung $2{,}0\,\text{kW}$ .

Hubarbeit
$W = m g h = 80\cdot 9{,}81\cdot 9{,}0 \approx 7063\,\text{J}$ .
Nutzleistung
$P_{\text{nutz}} = W/t = 7063/4{,}5 \approx 1570\,\text{W}$ .
Wirkungsgrad
$\eta = P_{\text{nutz}}/P_{\text{zu}} = 1570/2000 \approx 0{,}79$ .
Interpretieren
$\eta \approx 79\%$ ist realistisch für moderne Seilaufzüge — Verluste in Motor, Getriebe und Reibung.

Ergebnis: Hubarbeit $\approx 7{,}1\,\text{kJ}$ , Wirkungsgrad $\approx 79\%$ .

Typische Fehler

Arbeit als Kraft mal Weg ohne Berücksichtigung des Winkels berechnet.
Reibungsarbeit nicht als negative Arbeit oder Energiedissipation berücksichtigt.
Leistung mit Energie verwechselt — z. B. $\text{kWh}$ als Einheit der Leistung statt der Energie behandelt.
Wirkungsgrad $> 1$ als Ergebnis akzeptiert ohne Plausibilitätscheck.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie aus $P = dW/dt$ und $W = F s$ die Form $P = F v$ für $F = \text{const.}$ her; analysieren Sie ergänzend $P(v)$ bei einem PKW mit Luftwiderstand $F_R \propto v^2$ .

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie die mittlere Leistung eines Aufzugs, der einen $80\,\text{kg}$ schweren Menschen in $4{,}5\,\text{s}$ um $9{,}0\,\text{m}$ hebt, und berechnen Sie ergänzend den Wirkungsgrad, wenn der Motor $2{,}0\,\text{kW}$ verbraucht.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Energieerhaltungssatz#

Basismechanik

Im konservativen Kraftfeld (Schwerkraft, Federkraft) ist die Gesamtenergie

E = E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}}

erhalten.

Reibungskräfte sind nicht konservativ: die mechanische Energie nimmt zu Gunsten thermischer Energie ab.

Im Zustand maximaler Auslenkung ist

v = 0

, in der Ruhelage ist

v

maximal — Energie verteilt sich um.

Bei Achterbahnen, Pendeln, freiem Fall und Loopings ist Energieerhaltung Grundwerkzeug.

Die Energie eines geschlossenen Systems ist im Rahmen der klassischen Physik strikt erhalten (Nöther-Theorem: Folge der Zeitinvarianz).

E_{\text{ges}} = E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}} = \text{const.}

Mechanischer Energieerhaltungssatz

Musterlösung

Achterbahnloop — Mindesthöhe

Ein Wagen rollt reibungsfrei aus der Höhe $h$ in einen Looping mit Radius $r = 12\,\text{m}$ . Berechnen Sie die Mindesthöhe $h$ , damit der Wagen am höchsten Punkt nicht vom Gleis fällt.

Schritt 1 — Bedingung am höchsten Loop-Punkt
Im Grenzfall liefert die Schwerkraft die gesamte Zentripetalkraft: $m g = m v_{\text{oben}}^2 / r$ , also $v_{\text{oben}}^2 = g r$ .
Schritt 2 — Energieerhaltung
Vom Startpunkt zum höchsten Loop-Punkt (Höhe $2r$ ): $m g h = m g (2 r) + \tfrac{1}{2} m v_{\text{oben}}^2$ .
$h = 2 r + \dfrac{v_{\text{oben}}^2}{2 g}$
Schritt 3 — Einsetzen
$h = 2 r + g r/(2 g) = 2 r + r/2 = 2{,}5\,r$ .
Schritt 4 — Zahlenwert
$h = 2{,}5 \cdot 12 = 30\,\text{m}$ .
Schritt 5 — Interpretieren
Die berühmte „ $\tfrac{5}{2}r$ -Regel". Reibung würde die nötige Höhe weiter erhöhen; Sicherheitszuschläge sind in der Praxis Pflicht.

Ergebnis: Mindesthöhe $h = 30\,\text{m}$ (Grenzfall ohne Reibung).

Typische Fehler

Energieerhaltung bei Reibung pauschal angewendet, ohne Reibungsarbeit zu subtrahieren.
Höhenbezug $h$ unklar (Boden, Ausgangspunkt, Tiefster Punkt).
Federspannenergie mit $\tfrac{1}{2} D s$ statt $\tfrac{1}{2} D s^2$ .
Wurzelziehen ohne Vorzeichendiskussion bei symmetrischer Bewegung.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie das Nöther-Theorem qualitativ — welcher Symmetrie entspricht die Energieerhaltung und welche andere Erhaltungsgröße ist Folge der Translationsinvarianz?

Aktive Wiederholung

Ein Skifahrer ( $m = 75\,\text{kg}$ ) startet aus Ruhe an einem Hügel der Höhe $h = 25\,\text{m}$ . Berechnen Sie die Geschwindigkeit am Fuß einmal reibungsfrei und einmal mit einem Reibungsarbeitsverlust von $4{,}0\,\text{kJ}$ .

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Impuls als Erhaltungsgröße im Detail#

Standardmechanik

Zentraler Stoß — Impulserhaltung

Abb. 1Vor und nach dem Stoß bleibt die Vektorsumme der Impulse erhalten:

m_1\vec v_1 + m_2 \vec v_2 = m_1\vec v_1' + m_2 \vec v_2'

Impuls

\vec p = m\vec v

ist im abgeschlossenen System erhalten; Folge der Translationsinvarianz (Nöther).

Elastischer Stoß:

E_{\text{kin}}

und

\vec p

erhalten — geeignete Modellsituationen sind Gasteilchen, Billardkugeln in erster Näherung.

Vollkommen inelastischer Stoß: nur

\vec p

erhalten,

E_{\text{kin}}

verringert sich um Verformungs- und Wärmeenergie.

Standardformeln zentral-elastisch:

v_1' = \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 + \dfrac{2 m_2}{m_1 + m_2} v_2

usw.

Kraftstoß

\vec J = \int \vec F\,dt = \Delta \vec p

— Stoßdauer und mittlere Kraft.

\vec p = m\vec v

Impuls

\vec J = \int \vec F\,dt = \Delta \vec p

Kraftstoß-Theorem

Musterlösung

Mittlere Stoßkraft beim Airbag

Insasse $m = 70\,\text{kg}$ , $v_0 = 14\,\text{m/s}$ , Bremsdauer $\Delta t = 0{,}080\,\text{s}$ .

Impulsänderung
$\Delta p = m\,\Delta v = 70 \cdot 14 = 980\,\text{kg}\,\text{m/s}$ .
Mittlere Kraft
$\bar F = \Delta p/\Delta t = 980/0{,}080 = 12\,250\,\text{N}$ .
Vergleich Gurt allein
Mit $\Delta t = 0{,}020\,\text{s}$ : $\bar F = 980/0{,}020 = 49\,000\,\text{N}$ — viermal so groß.
Interpretieren
Airbag verlängert Stoßdauer und reduziert Spitzenkräfte um Faktor 4 — entscheidend für Überlebensrate.

Ergebnis: Mit Airbag $\bar F \approx 12{,}3\,\text{kN}$ , ohne Airbag $\approx 49\,\text{kN}$ — Risiko massiver Verletzungen.

Typische Fehler

Energiebilanz bei inelastischem Stoß angewandt.
Vorzeichen bei entgegengesetzt bewegten Körpern vergessen.
Stoßformeln pauschal verwendet, obwohl $v_2 \neq 0$ .
Kraftstoß als Mittelwert über die Zeit interpretiert, ohne Integration zu prüfen.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Lösen Sie das Stoßproblem zweier Kugeln in 2D vollständig aus Impuls- und Energieerhaltung — bestimmen Sie Winkel und Geschwindigkeiten nach dem Stoß bei elastischem Treffer.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie die mittlere Bremskraft, die ein Airbag auf einen $70\,\text{kg}$ schweren Insassen ausübt, der bei einem Aufprall in $0{,}080\,\text{s}$ von $14\,\text{m/s}$ auf Null abgebremst wird, und vergleichen Sie das Ergebnis mit der Bremskraft ohne Airbag (nur Anschnallgurt, $0{,}020\,\text{s}$ Bremsdauer).

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Harmonische Schwingungen — Modellbildung#

Standardmechanikschwingungen-und-wellen

Pendel — Phasendiagramm

Abb. 2Im Auslenkungs-Geschwindigkeits-Diagramm beschreibt das ungedämpfte Pendel eine Ellipse; gedämpft entsteht eine Spirale.

Harmonische Schwingung: lineare Rückstellkraft

F = -D x

führt zu

\ddot x = -\omega_0^2 x

mit

\omega_0 = \sqrt{D/m}

Lösung

x(t) = A\sin(\omega_0 t + \varphi_0)

mit Amplitude

A

, Phasenkonstante

\varphi_0

Federpendel:

T = 2\pi\sqrt{m/D}

; mathematisches Pendel für kleine Auslenkungen:

T = 2\pi\sqrt{l/g}

Energieausgleich: kinetische und potenzielle Energie wandeln sich periodisch ineinander, Gesamtenergie

E = \tfrac{1}{2} D A^2

Phasenraumdiagramm

(x, v)

liefert eine Ellipse für ungedämpfte Bewegung.

Bei gedämpften Schwingungen

\ddot x + 2\gamma\dot x + \omega_0^2 x = 0

: Amplitude fällt exponentiell ab.

T_{\text{Feder}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}},\quad T_{\text{Pendel}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}

Periodendauer harmonischer Schwingungen

Harmonische Schwingung y(t) = A\sin(ωt)

Abb. 3Periodendauer T, Amplitude A = 1. Phasenverlauf einer ungedämpften Schwingung.

Musterlösung

Periodendauer und Maximalgeschwindigkeit eines Federpendels

An einer Feder mit $D = 80\,\text{N/m}$ hängt eine Masse von $0{,}40\,\text{kg}$ . Sie wird um $5{,}0\,\text{cm}$ ausgelenkt und losgelassen.

Schritt 1 — Periodendauer
$T = 2\pi\sqrt{m/D} = 2\pi\sqrt{0{,}40/80} = 2\pi\sqrt{0{,}005}\approx 0{,}444\,\text{s}$ .
Schritt 2 — Kreisfrequenz
$\omega = \sqrt{D/m} = \sqrt{200}\approx 14{,}14\,\text{rad/s}$ .
Schritt 3 — Maximalgeschwindigkeit
$v_{\max} = \omega A = 14{,}14 \cdot 0{,}05 \approx 0{,}71\,\text{m/s}$ .
$v_{\max} = \omega A$
Schritt 4 — Energiekontrolle
$E = \tfrac{1}{2} D A^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 80 \cdot 0{,}0025 = 0{,}10\,\text{J}$ ; passt zu $E = \tfrac{1}{2} m v_{\max}^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}40\cdot 0{,}50 \approx 0{,}10\,\text{J}$ .

Ergebnis: $T \approx 0{,}44\,\text{s}$ , $v_{\max} \approx 0{,}71\,\text{m/s}$ , $E \approx 0{,}10\,\text{J}$ .

Typische Fehler

Kreisfrequenz $\omega$ mit Frequenz $f$ verwechselt — $\omega = 2\pi f$ .
Pendel mit großem Auslenkwinkel als harmonisch behandelt.
Anfangsbedingungen für $\varphi_0$ ignoriert.
Periodendauer und Eigenfrequenz $f_0$ nicht klar getrennt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Lösen Sie die gedämpfte Schwingungsgleichung $\ddot x + 2\gamma\dot x + \omega_0^2 x = 0$ vollständig (schwach gedämpft) und zeigen Sie, dass die Amplitude wie $A_0 e^{-\gamma t}$ abklingt.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie für ein mathematisches Pendel ( $l = 1{,}20\,\text{m}$ ) die Periodendauer und die maximale Geschwindigkeit bei einer Auslenkung von $5{,}0^\circ$ . Begründen Sie, ob die Kleinwinkelnäherung zulässig ist.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Gedämpfte und erzwungene Schwingungen#

Vertiefungschwingungen-und-wellen

Resonanzkurve — Amplitude bei erzwungener Schwingung

Abb. 4Stationäre Amplitude

A(\Omega)

über der Erregerfrequenz. Maximum nahe

\omega_0

; geringe Dämpfung

\gamma

ergibt schmale, hohe Spitze.

Schwache Dämpfung: Amplitude klingt wie

A(t) = A_0 e^{-\gamma t}

, Schwingfrequenz

\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}

Kritische Dämpfung

\gamma = \omega_0

— schnellster aperiodischer Übergang.

Überdämpfte Schwingung: keine echte Periode, exponentielle Annäherung an Ruhelage.

Erzwungene Schwingung mit Anregung

F_0\cos(\Omega t)

: Amplitude im stationären Zustand

A(\Omega) = \dfrac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4\gamma^2\Omega^2}}

Resonanz bei

\Omega \approx \omega_0

; bei kleiner Dämpfung kann die Amplitude dramatisch wachsen (Tacoma Bridge).

Phasendifferenz zwischen Anregung und Schwingung wechselt durch Resonanz von

0

über

\pi/2

\pi

\ddot x + 2\gamma\dot x + \omega_0^2 x = 0

Gedämpfte Schwingung

A(\Omega) = \dfrac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4\gamma^2\Omega^2}}

Resonanzkurve

Typische Fehler

Resonanzfrequenz mit Eigenfrequenz gleichgesetzt — Dämpfung verschiebt geringfügig.
Im Resonanzfall Amplitude als unendlich behauptet.
Phasenverschiebung als Verzögerung in Sekunden statt in Grad/Radiant angegeben.
Energiebilanz vernachlässigt — bei stationärer erzwungener Schwingung ist Energiezufuhr gleich Dissipation.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Zeigen Sie analytisch, dass die Halbwertsbreite einer Lorentz-Resonanzkurve $\Delta\Omega = 2\gamma$ beträgt und definieren Sie die Güte $Q = \omega_0/(2\gamma)$ .

Aktive Wiederholung

Beurteilen Sie anhand einer Resonanzkurve, warum schwingungstechnisch ausgelegte Hochhäuser massive Pendel-Tilger im obersten Stockwerk benötigen, und geben Sie die Resonanzbedingung formal an.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Drehbewegung und Drehimpulserhaltung#

Vertiefungmechanik

Rotationskinematik: Winkelgeschwindigkeit

\omega = \dot\varphi

, Winkelbeschleunigung

\alpha = \dot\omega

— analog zur Translation.

Trägheitsmoment

J = \sum m_i r_i^2

ist das Rotationsanalogon der Masse und hängt von der Massenverteilung relativ zur Drehachse ab.

Drehmoment

\vec M = \vec r \times \vec F

; das 2. Newton-Gesetz der Rotation lautet

\vec M = J\,\vec\alpha

Drehimpuls

\vec L = J\,\vec\omega

; in einem System ohne äußeres Drehmoment ist

\vec L

erhalten (Drehimpulserhaltung).

Rotationsenergie

E_{\text{rot}} = \tfrac{1}{2} J\,\omega^2

; ein rollender Körper trägt

E_{\text{kin}} + E_{\text{rot}}

Anwendungen: Pirouette der Eiskunstläuferin (

J

klein

\Rightarrow \omega

groß), Kreiselstabilisierung, 2. Kepler-Gesetz als Drehimpulserhaltung.

\vec M = J\,\vec\alpha,\quad \vec L = J\,\vec\omega

Grundgleichungen der Rotation

E_{\text{rot}} = \tfrac{1}{2}\,J\,\omega^2

Rotationsenergie

Musterlösung

Rollender Vollzylinder auf der schiefen Ebene

Vollzylinder ( $J = \tfrac{1}{2}mR^2$ ) rollt ohne zu gleiten (reines Rollen, die statische Haftreibung verrichtet keine Arbeit) aus der Höhe $h = 1{,}5\,\text{m}$ hinab.

Energiebilanz
Lageenergie wird in Translations- und Rotationsenergie umgesetzt: $m g h = \tfrac{1}{2} m v^2 + \tfrac{1}{2} J \omega^2$ mit $\omega = v/R$ .
Trägheitsmoment einsetzen
$m g h = \tfrac{1}{2} m v^2 + \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}mR^2\cdot v^2/R^2 = \tfrac{3}{4} m v^2$ .
$m g h = \tfrac{3}{4} m v^2$
Nach v auflösen
$v = \sqrt{\tfrac{4}{3} g h} = \sqrt{\tfrac{4}{3}\cdot 9{,}81\cdot 1{,}5} \approx 4{,}43\,\text{m/s}$ .
Vergleich gleitender Klotz
Ohne Rotation: $v = \sqrt{2 g h} \approx 5{,}42\,\text{m/s}$ — der rollende Zylinder ist langsamer, da ein Teil der Energie in die Rotation fließt.

Ergebnis: Rollender Zylinder $v \approx 4{,}43\,\text{m/s}$ gegenüber $\approx 5{,}42\,\text{m/s}$ beim Gleiten.

Typische Fehler

Translationsformeln direkt auf die Rotation übertragen, ohne $m \to J$ und $F \to M$ zu ersetzen.
Trägheitsmoment als achsenunabhängige Konstante behandelt — es hängt von der Wahl der Drehachse ab.
Rotationsenergie eines rollenden Körpers vergessen — nur $\tfrac{1}{2}mv^2$ bilanziert.
Drehimpulserhaltung trotz wirkendem äußeren Drehmoment angewendet.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie das Trägheitsmoment eines Vollzylinders um die Symmetrieachse durch Integration $J = \int r^2\,dm$ her und wenden Sie den Satz von Steiner für eine verschobene Drehachse an.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie die Endgeschwindigkeit eines Vollzylinders ( $J = \tfrac{1}{2}mR^2$ ), der aus der Höhe $h = 1{,}5\,\text{m}$ ohne zu gleiten eine schiefe Ebene hinabrollt (Rollreibung vernachlässigbar), und vergleichen Sie sie mit der eines gleitenden Klotzes.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.