Mechanik 1 — Kinematik und Newtonsche Dynamik

Berechne die Fallzeit und Auftreffgeschwindigkeit eines Steins, der reibungsfrei aus einer Höhe von $h = 45\,\text{m}$ fallengelassen wird ($g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$).

1. 01Schritt 1 — Bewegungsgleichung aufstellen

   Aus $h = \tfrac{1}{2}g t^{2}$ folgt $t = \sqrt{2h/g}$.

   $$t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$$
2. 02Schritt 2 — Zahlenwerte einsetzen

   $t = \sqrt{2\cdot 45 / 9{,}81} = \sqrt{9{,}174}\,\text{s} \approx 3{,}03\,\text{s}$.

3. 03Schritt 3 — Auftreffgeschwindigkeit

   Aus $v = g t$ folgt $v = 9{,}81 \cdot 3{,}03 \approx 29{,}7\,\text{m/s}$.

   $$v=g\,t$$
4. 04Schritt 4 — Interpretieren

   $29{,}7\,\text{m/s} \approx 107\,\text{km/h}$ — etwa Autobahnrichtgeschwindigkeit. Luftwiderstand würde den Wert deutlich reduzieren.

Ergebnis: Fallzeit $t \approx 3{,}03\,\text{s}$, Auftreffgeschwindigkeit $v \approx 29{,}7\,\text{m/s}$.

Bestimme die Beschleunigung eines Blocks der Masse $m = 5\,\text{kg}$ auf einer schiefen Ebene mit Neigungswinkel $\alpha = 25^\circ$ und Gleitreibungskoeffizient $\mu = 0{,}20$.

1. 01Schritt 1 — Kräfte zerlegen

   Hangabtrieb $F_H = m g \sin\alpha$, Normalkraft $F_N = m g \cos\alpha$, Reibung $F_R = \mu F_N = \mu m g \cos\alpha$.

2. 02Schritt 2 — Newton 2 anwenden

   $m a = F_H - F_R = m g (\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$.

   $$a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$$
3. 03Schritt 3 — Zahlenwerte einsetzen

   $a = 9{,}81\,(\sin 25^\circ - 0{,}20\cdot\cos 25^\circ) = 9{,}81\,(0{,}4226 - 0{,}1813) \approx 2{,}37\,\text{m/s}^2$.

4. 04Schritt 4 — Interpretieren

   Der Block rutscht beschleunigt nach unten ($a > 0$). Ohne Reibung wäre $a = g\sin\alpha \approx 4{,}15\,\text{m/s}^2$; die Reibung verringert die Beschleunigung um rund $43\,\%$ (auf etwas mehr als die Hälfte).

Ergebnis: Beschleunigung $a \approx 2{,}37\,\text{m/s}^2$ entlang der Ebene nach unten.

Ein Ball wird vom Boden mit $v_0 = 20\,\text{m/s}$ unter $\theta = 35^\circ$ abgeschossen. Bestimme die maximale Wurfhöhe, die Flugzeit und die Wurfweite (Luftwiderstand vernachlässigt; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$).

1. 01Schritt 1 — Geschwindigkeitskomponenten

   $v_{0x} = v_0\cos\theta = 20 \cdot \cos 35^\circ \approx 16{,}38\,\text{m/s}$; $v_{0y} = v_0\sin\theta = 20 \cdot \sin 35^\circ \approx 11{,}47\,\text{m/s}$.

2. 02Schritt 2 — Maximale Steighöhe

   $h_{\max} = v_{0y}^{2}/(2g) = (11{,}47)^{2}/19{,}62 \approx 6{,}71\,\text{m}$.

   $$h_{\max}=\dfrac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g}$$
3. 03Schritt 3 — Flugzeit

   $t_{\text{ges}} = 2 v_{0y}/g = 2 \cdot 11{,}47/9{,}81 \approx 2{,}34\,\text{s}$.

4. 04Schritt 4 — Wurfweite

   $W = v_{0x} \cdot t_{\text{ges}} \approx 16{,}38 \cdot 2{,}34 \approx 38{,}3\,\text{m}$.

   $$W=\dfrac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}$$
5. 05Schritt 5 — Interpretieren

   Bei $\theta = 45^\circ$ wäre die Weite maximal ($W_{\max} = v_0^2/g \approx 40{,}8\,\text{m}$); 35° liegen knapp darunter — geringer Verlust.

Ergebnis: $h_{\max} \approx 6{,}71\,\text{m}$, Flugzeit $\approx 2{,}34\,\text{s}$, Wurfweite $\approx 38{,}3\,\text{m}$.

PKW mit $v = 72\,\text{km/h}$, Kurvenradius $r = 80\,\text{m}$; bestimmen Sie $\mu_{\min}$.

1. 01Geschwindigkeit umrechnen

   $v = 72/3{,}6 = 20\,\text{m/s}$.

2. 02Bedingung formulieren

   Haftreibung muss Zentripetalkraft liefern: $\mu m g \geq m v^2/r$.

3. 03Auflösen

   $\mu \geq v^2/(r g) = 400/(80\cdot 9{,}81) \approx 0{,}51$.

   $$\mu_{\min} = \dfrac{v^2}{r g}$$
4. 04Interpretieren

   Trockener Asphalt erreicht $\mu \approx 0{,}8$, nasser etwa $0{,}5$ — der Wert liegt am Rand der Sicherheit.

Ergebnis: $\mu_{\min} \approx 0{,}51$ — auf nasser Fahrbahn ($\mu \approx 0{,}5$) gerade nicht mehr sicher gewährleistet, also grenzwertig.

Zwei Wagen ($m_1 = 0{,}8\,\text{kg}$ mit $v_1 = 2{,}5\,\text{m/s}$, $m_2 = 1{,}2\,\text{kg}$ ruhend) stoßen vollkommen inelastisch zusammen.

1. 01Impulserhaltung

   $m_1 v_1 + m_2 \cdot 0 = (m_1 + m_2) v'$.

2. 02Auflösen

   $v' = m_1 v_1/(m_1+m_2) = 0{,}8\cdot 2{,}5/2{,}0 = 1{,}0\,\text{m/s}$.

3. 03Energiebilanz

   $E_{\text{vor}} = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}8\cdot 6{,}25 = 2{,}5\,\text{J}$; $E_{\text{nach}} = \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot 1 = 1{,}0\,\text{J}$.

4. 04Interpretieren

   Energieverlust $\Delta E = 1{,}5\,\text{J}$ ($60\%$) wird in Verformung und Wärme dissipiert; Impuls bleibt strikt erhalten.

Ergebnis: Gemeinsame Endgeschwindigkeit $1{,}0\,\text{m/s}$, $60\%$ Energieverlust.