Hypothesentests und Konfidenzintervalle

Ein Hersteller behauptet, dass mindestens 80 % seiner Produkte fehlerfrei sind. In einer Stichprobe von 100 Produkten finden sich 72 fehlerfrei. Testen Sie auf dem Niveau $\alpha = 0{,}05$ linksseitig.

1. 01Schritt 1 — Hypothesen

   $H_{0}: p \geq 0{,}8$ (Herstellerbehauptung); $H_{1}: p < 0{,}8$.

2. 02Schritt 2 — Testverteilung

   Unter $H_{0}$: $X \sim B(100; 0{,}8)$ mit $E(X) = 80$, $\sigma = \sqrt{16} = 4$.

3. 03Schritt 3 — Kritischer Wert

   Suche das größte $k$ mit $P(X \leq k\mid p = 0{,}8) \leq 0{,}05$. Per Tabelle/GTR: $k = 72$ liefert $P(X \leq 72) \approx 0{,}034 \leq 0{,}05$.

4. 04Schritt 4 — Entscheidung

   Beobachtet: $X = 72 \leq 72$, also $H_{0}$ wird abgelehnt — Behauptung ist auf 5 %-Niveau widerlegt.

   $$X_{\text{beob}} = 72 \in [0; 72] = \text{Ablehnungsbereich}$$

Ergebnis: Auf Signifikanzniveau $\alpha = 0{,}05$ ist die Herstellerbehauptung statistisch nicht haltbar.

In einer Umfrage stimmen 360 von 600 Befragten einer These zu. Berechnen Sie ein 95 %-Konfidenzintervall für den wahren Anteil $p$ und interpretieren Sie das Ergebnis.

1. 01Schritt 1 — Punktschätzer

   Relative Häufigkeit $\hat{p}=\tfrac{360}{600}=0{,}6$.

2. 02Schritt 2 — Standardfehler

   $\sqrt{\tfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\tfrac{0{,}6\cdot 0{,}4}{600}}=\sqrt{0{,}0004}=0{,}02$.

   $$\sigma_{\hat{p}}=\sqrt{\dfrac{0{,}6\cdot 0{,}4}{600}}=0{,}02$$
3. 03Schritt 3 — Intervall

   Mit $z_{0{,}975}\approx 1{,}96$: $0{,}6\pm 1{,}96\cdot 0{,}02 = 0{,}6\pm 0{,}0392$.

   $$KI_{0{,}95}=[0{,}561;\,0{,}639]$$
4. 04Schritt 4 — Interpretieren

   Die Schätzmethode liefert in 95 % der Stichproben ein Intervall, das den wahren Anteil enthält; hier liegt $p$ vermutlich zwischen rund 56 % und 64 %.

Ergebnis: Das 95 %-Konfidenzintervall ist etwa $[0{,}561;\,0{,}639]$ — der wahre Zustimmungsanteil liegt mit hoher Sicherheit zwischen 56 % und 64 %.

Ein rechtsseitiger Test mit $n=50$, $p_{0}=0{,}5$ lehnt $H_{0}$ ab, falls $X\geq 32$. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art, wenn in Wahrheit $p_{1}=0{,}7$ gilt.

1. 01Schritt 1 — Annahmebereich festlegen

   Der Annahmebereich von $H_{0}$ ist $\overline{A}=\{0,1,\dots,31\}$, also $X\leq 31$.

2. 02Schritt 2 — Fehler 2. Art definieren

   Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn $H_{0}$ angenommen wird ($X\leq 31$), obwohl tatsächlich $p_{1}=0{,}7$ gilt: $\beta=P_{p_{1}}(X\leq 31)$.

3. 03Schritt 3 — Verteilung unter p₁

   Unter $p_{1}=0{,}7$ ist $X\sim B(50;0{,}7)$ mit $E(X)=35$. Per GTR/Tabelle: $P(X\leq 31)\approx 0{,}141$.

   $$\beta = P_{0{,}7}(X\leq 31)\approx 0{,}141$$
4. 04Schritt 4 — Güte berechnen

   Die Güte (Trennschärfe) ist $1-\beta\approx 0{,}859$: der Test erkennt die Abweichung $p=0{,}7$ mit rund 86 % Wahrscheinlichkeit.

Ergebnis: Fehler 2. Art $\beta\approx 14{,}1\,\%$; die Gütefunktion liefert hier eine Trennschärfe von rund 86 %.

Eine Münze wird $100$-mal geworfen und zeigt $61$-mal Kopf. Prüfen Sie zweiseitig auf $\alpha=0{,}05$, ob die Münze fair ist ($p_{0}=0{,}5$).

1. 01Schritt 1 — Hypothesen

   $H_{0}: p=0{,}5$ (fair) gegen $H_{1}: p\neq 0{,}5$. Der Ablehnungsbereich liegt an beiden Rändern mit je $\tfrac{\alpha}{2}=0{,}025$.

2. 02Schritt 2 — Verteilung und Streuung

   Unter $H_{0}$: $X\sim B(100;0{,}5)$, $E(X)=50$, $\sigma=\sqrt{100\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5}=5$.

3. 03Schritt 3 — Kritische Grenzen (exakte Binomialverteilung)

   Gesucht sind die Grenzen mit Randwahrscheinlichkeit je $\leq 0{,}025$. Per Tabelle/GTR: $P(X\leq 39)\approx 0{,}018$ und $P(X\geq 61)\approx 0{,}018$, während $P(X\leq 40)\approx 0{,}028>0{,}025$. Annahmebereich ist also $[40;60]$, Ablehnung bei $X\leq 39$ oder $X\geq 61$.

   $$A_{\text{ann}} = [40;\,60],\quad X\leq 39 \;\lor\; X\geq 61 \Rightarrow \text{Ablehnung}$$
4. 04Schritt 4 — Entscheidung

   Beobachtet: $X=61\geq 61$ liegt im rechten Ablehnungsbereich; $H_{0}$ wird verworfen — die Münze gilt auf 5 %-Niveau als nicht fair. (Die $1{,}96\sigma$-Faustregel $50\pm 9{,}8$ liefert eine gute, aber etwas engere Näherung.)

Ergebnis: Bei $X=61$ wird $H_{0}: p=0{,}5$ im zweiseitigen Test auf $\alpha=0{,}05$ abgelehnt; die Münze ist statistisch auffällig kopflastig.

In $400$ Stichproben tritt ein Merkmal $176$-mal auf. Testen Sie rechtsseitig auf $\alpha=0{,}05$ die Hypothese $H_{0}: p\leq 0{,}4$ mithilfe der Normalapproximation.

1. 01Schritt 1 — Approximationsbedingung prüfen

   $n p_{0}(1-p_{0})=400\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6=96>9$ — die Normalapproximation ist zulässig.

2. 02Schritt 2 — Erwartungswert und Streuung

   Unter $H_{0}$ am Rand $p_{0}=0{,}4$: $E(X)=160$, $\sigma=\sqrt{96}\approx 9{,}80$.

3. 03Schritt 3 — Standardisieren

   Testgröße $z=\dfrac{176-160}{9{,}80}\approx 1{,}63$. Kritischer Wert beim rechtsseitigen Test: $z_{0{,}95}=1{,}645$.

   $$z=\dfrac{176-160}{\sqrt{96}}\approx 1{,}63 < 1{,}645$$
4. 04Schritt 4 — Entscheidung

   Da $z\approx 1{,}63 < 1{,}645$ liegt der Wert knapp im Annahmebereich; $H_{0}$ kann auf 5 %-Niveau nicht verworfen werden.

Ergebnis: Mit $z\approx 1{,}63<1{,}645$ wird $H_{0}: p\leq 0{,}4$ nicht abgelehnt — der beobachtete Anteil von 44 % reicht knapp nicht für Signifikanz.