Folgen und Reihen

Berechnen Sie den Wert der unendlichen geometrischen Reihe $\sum_{n=0}^{\infty} \tfrac{1}{2^{n}}$.

1. 01Schritt 1 — Konvergenzbedingung

   Quotient $q = \tfrac{1}{2}$ mit $|q| < 1$, also konvergent.

2. 02Schritt 2 — Formel anwenden

   Grenzwert: $S = \tfrac{a_{0}}{1-q} = \tfrac{1}{1-1/2} = 2$.

   $$S = \dfrac{1}{1-q} = 2$$

Ergebnis: Reihenwert $S = 2$ — Standardbeispiel für konvergente geometrische Reihe.

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass $\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}$ für alle $n\in\mathbb{N}^{*}$ gilt.

1. 01Schritt 1 — Induktionsanfang

   Für $n=1$: linke Seite $=2\cdot 1-1=1$, rechte Seite $=1^{2}=1$. Die Aussage gilt für $n=1$.

2. 02Schritt 2 — Induktionsvoraussetzung

   Es gelte für ein $n\in\mathbb{N}^{*}$: $\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}$.

3. 03Schritt 3 — Induktionsschritt

   Addiere das nächste ungerade Glied $2(n+1)-1=2n+1$ und nutze die Voraussetzung.

   $$\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1) = n^{2} + (2n+1) = (n+1)^{2}$$
4. 04Schritt 4 — Schluss

   Die Aussage gilt auch für $n+1$, nach dem Induktionsprinzip also für alle $n\in\mathbb{N}^{*}$.

Ergebnis: Die Summe der ersten $n$ ungeraden Zahlen ist stets $n^{2}$ — vollständig bewiesen.

Untersuchen Sie die Folge $a_{n}=\dfrac{3n}{n+2}$ auf Monotonie und Beschränktheit und begründen Sie damit die Konvergenz.

1. 01Schritt 1 — Differenz bilden

   Bestimme $a_{n+1}-a_{n}=\dfrac{3(n+1)}{n+3}-\dfrac{3n}{n+2}$. Auf den Hauptnenner $(n+3)(n+2)$ gebracht ergibt der Zähler $3(n+1)(n+2)-3n(n+3)=3\,[\,(n^{2}+3n+2)-(n^{2}+3n)\,]=6$.

   $$a_{n+1}-a_{n}=\dfrac{6}{(n+3)(n+2)}>0$$
2. 02Schritt 2 — Monotonie folgern

   Der Zähler 6 ist positiv und der Nenner für alle $n\in\mathbb{N}$ positiv, also $a_{n+1}-a_{n}>0$: die Folge ist streng monoton wachsend.

3. 03Schritt 3 — Schranke bestimmen

   Wegen $a_{n}=\dfrac{3n}{n+2}=3-\dfrac{6}{n+2}<3$ ist die Folge nach oben durch $3$ beschränkt; sie ist nach unten durch $a_{1}=1$ beschränkt.

4. 04Schritt 4 — Konvergenz schließen

   Eine monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge konvergiert (Monotoniekriterium); der Grenzwert ist die kleinste obere Schranke $g=3$.

Ergebnis: Die Folge ist streng monoton wachsend und durch $3$ beschränkt; nach dem Monotoniekriterium konvergiert sie gegen $g=3$.

Die Folge sei rekursiv durch $a_{1}=2$ und $a_{n+1}=\tfrac{1}{2}\bigl(a_{n}+\tfrac{2}{a_{n}}\bigr)$ (Heron-Verfahren für $\sqrt{2}$) definiert. Bestimmen Sie den Grenzwert unter der Annahme der Konvergenz.

1. 01Schritt 1 — Erste Glieder berechnen

   $a_{2}=\tfrac{1}{2}(2+1)=1{,}5$; $a_{3}=\tfrac{1}{2}(1{,}5+\tfrac{2}{1{,}5})\approx 1{,}4167$; die Glieder nähern sich rasch einem Wert.

2. 02Schritt 2 — Fixpunktgleichung ansetzen

   Konvergiert $(a_{n})$ gegen $g>0$, so gilt im Grenzwert $g=\tfrac{1}{2}\bigl(g+\tfrac{2}{g}\bigr)$, da $a_{n}$ und $a_{n+1}$ denselben Grenzwert haben.

   $$g=\tfrac{1}{2}\Bigl(g+\tfrac{2}{g}\Bigr)$$
3. 03Schritt 3 — Gleichung lösen

   Multiplikation mit $2g$: $2g^{2}=g^{2}+2$, also $g^{2}=2$ und damit $g=\sqrt{2}$ (negative Lösung entfällt wegen $a_{n}>0$).

4. 04Schritt 4 — Plausibilität prüfen

   $\sqrt{2}\approx 1{,}41421$ stimmt mit dem Trend der berechneten Glieder überein; das Verfahren konvergiert quadratisch.

Ergebnis: Der Grenzwert der rekursiven Folge ist $g=\sqrt{2}$; die Fixpunktgleichung $g=g(g)$ liefert den Wert nur unter vorausgesetzter Konvergenz.

Begründen Sie, warum die Reihe $\sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{n}{2n+1}$ divergiert, und ordnen Sie die harmonische Reihe $\sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{1}{n}$ ein.

1. 01Schritt 1 — Notwendiges Kriterium nennen

   Eine Reihe $\sum a_{n}$ kann nur konvergieren, wenn die Gliederfolge eine Nullfolge ist: $\lim_{n\to\infty} a_{n}=0$. Andernfalls liegt Divergenz vor.

2. 02Schritt 2 — Gliederfolge der ersten Reihe

   Hier ist $a_{n}=\tfrac{n}{2n+1}\to \tfrac{1}{2}\neq 0$ für $n\to\infty$.

   $$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}\neq 0$$
3. 03Schritt 3 — Divergenz folgern

   Da die Glieder nicht gegen $0$ streben, ist das notwendige Kriterium verletzt; die Reihe divergiert.

4. 04Schritt 4 — Harmonische Reihe abgrenzen

   Bei $\tfrac{1}{n}$ gilt zwar $\tfrac{1}{n}\to 0$, doch das notwendige Kriterium ist nicht hinreichend: die harmonische Reihe divergiert dennoch (langsam). Eine Nullfolge der Glieder garantiert also keine Konvergenz der Reihe.

Ergebnis: Die erste Reihe divergiert, weil $a_{n}\to\tfrac{1}{2}\neq 0$. Die harmonische Reihe zeigt, dass $a_{n}\to 0$ nur notwendig, nicht hinreichend für Konvergenz ist.