Raumbezogene Methoden

In einer topographischen Karte 1:25.000 wird zwischen zwei Orten eine Strecke von 4,8 cm gemessen; ein Waldstück bedeckt 8 cm². Berechnen Sie die reale Entfernung und die reale Waldfläche.

1. 01Schritt 1 — Maßstabsfaktor festhalten

   Bei 1:25.000 entspricht 1 cm Karte 25.000 cm Gelände = 250 m. Die Maßstabszahl ist M = 25.000.

   $$1\ \mathrm{cm} \rightarrow 25\,000\ \mathrm{cm} = 250\ \mathrm{m}$$
2. 02Schritt 2 — Strecke umrechnen

   s_Gelände = 4,8 cm · 250 m/cm = 1200 m = 1,2 km.

   $$s = 4{,}8\ \mathrm{cm}\cdot 250\ \mathrm{m/cm} = 1200\ \mathrm{m} = 1{,}2\ \mathrm{km}$$
3. 03Schritt 3 — Fläche umrechnen

   Beim Flächenmaßstab wird die Maßstabszahl quadriert: 1 cm² = (250 m)² = 62.500 m² = 6,25 ha. Daher 8 cm² · 6,25 ha/cm² = 50 ha.

   $$A = 8\ \mathrm{cm^2}\cdot 6{,}25\ \mathrm{ha/cm^2} = 50\ \mathrm{ha}$$
4. 04Schritt 4 — Interpretation

   Der häufigste Fehler ist, beim Flächenmaß den Maßstab nicht zu quadrieren (sonst käme fälschlich 8 cm² · 250 m = falsche Einheit heraus). Längen skalieren linear mit M, Flächen quadratisch mit M². Die Ergebnisse (1,2 km; 50 ha) lassen sich anschließend in Sachzusammenhänge einordnen, etwa zur Abschätzung von Schutzgebietsgrößen.

Ergebnis: Reale Entfernung 1,2 km; reale Waldfläche 50 ha. Längen skalieren mit M, Flächen mit M².

Für sieben Kreise einer Region sind die Arbeitslosenquoten (in %) erhoben: 4, 6, 6, 8, 10, 12, 17. Bestimmen Sie arithmetisches Mittel, Median und Modus sowie die Standardabweichung und beurteilen Sie, welches Lagemaß die Verteilung am besten beschreibt.

1. 01Schritt 1 — Daten ordnen und Lagemaße ablesen

   Die Werte sind bereits aufsteigend sortiert (n = 7). Der Median ist der mittlere (4.) Wert = 8 %. Der Modus (häufigster Wert) ist 6 % (zweimal vertreten).

2. 02Schritt 2 — Arithmetisches Mittel

   Summe = 4 + 6 + 6 + 8 + 10 + 12 + 17 = 63; arithmetisches Mittel = 63 / 7 = 9,0 %.

   $$\bar{x} = \frac{63}{7} = 9{,}0\ \%$$
3. 03Schritt 3 — Standardabweichung

   Abweichungen vom Mittel (9,0): −5, −3, −3, −1, +1, +3, +8. Quadrate: 25, 9, 9, 1, 1, 9, 64; Summe = 118. Varianz (Division durch n = 7) = 118 / 7 ≈ 16,86; Standardabweichung = √16,86 ≈ 4,1 Prozentpunkte.

   $$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^2} = \sqrt{\frac{118}{7}} \approx 4{,}1$$
4. 04Schritt 4 — Interpretation

   Das arithmetische Mittel (9,0 %) liegt deutlich über dem Median (8 %), weil der hohe Ausreißer (17 %) das Mittel nach oben zieht. Bei rechtsschiefen Verteilungen mit Ausreißern beschreibt der robuste Median das „typische" Niveau besser als das ausreißerempfindliche Mittel. Die Standardabweichung (≈ 4,1) quantifiziert die räumliche Streuung der Arbeitslosenquoten. (Wird stattdessen die Stichprobenvarianz mit Division durch n − 1 = 6 verwendet, ergibt sich σ ≈ 4,4 — die Abituraufgabe gibt vor, welche Konvention gilt.)

Ergebnis: Mittel 9,0 %, Median 8 %, Modus 6 %, Standardabweichung ≈ 4,1 Prozentpunkte; wegen des Ausreißers (17 %) ist der Median das robustere Lagemaß.

Ein Flug startet in Berlin (13° E, MEZ = UTC+1) um 10:00 Uhr Ortszeit und dauert 11 Stunden bis Los Angeles (118° W, Pacific Time = UTC−8). Bestimmen Sie die Längendifferenz, den Zeitunterschied und die Ankunfts-Ortszeit.

1. 01Schritt 1 — Längendifferenz

   Berlin 13° E und Los Angeles 118° W liegen auf verschiedenen Seiten des Nullmeridians: Δλ = 13° + 118° = 131°.

   $$\Delta\lambda = 13^\circ\,\mathrm{E} + 118^\circ\,\mathrm{W} = 131^\circ$$
2. 02Schritt 2 — Zeitunterschied der Zonenzeiten

   Die Zonen sind UTC+1 (Berlin) und UTC−8 (Los Angeles). Differenz = 1 − (−8) = 9 Stunden. Los Angeles ist Berlin um 9 Stunden „nach" (westlich = früher am Tag).

   $$\Delta t = (+1) - (-8) = 9\ \mathrm{h}$$
3. 03Schritt 3 — Ortszeit bei Abflug umrechnen

   Abflug 10:00 Uhr MEZ entspricht 10:00 − 9 h = 01:00 Uhr Ortszeit in Los Angeles am selben Tag.

4. 04Schritt 4 — Ankunftszeit und Interpretation

   Flugdauer 11 h auf die LA-Ortszeit des Abflugs addieren: 01:00 + 11 h = 12:00 Uhr LA-Ortszeit. Der Reisende „gewinnt" durch die Westrichtung scheinbar Zeit (kommt nach 11 h Flug nur 2 h nach Abflugsortszeit an). Die rechnerische Trennung von Zonenzeit (15°/h) und Flugdauer verhindert den klassischen Vorzeichenfehler.

Ergebnis: Längendifferenz 131°, Zeitunterschied 9 h; Ankunft um 12:00 Uhr Ortszeit in Los Angeles.

Für ein Land sind die Einkommensanteile der fünf Bevölkerungsquintile (ärmstes → reichstes) gegeben: 8 %, 12 %, 16 %, 22 %, 42 %. Zeichnen Sie gedanklich die Lorenz-Kurve und berechnen Sie den Gini-Koeffizienten mit der Trapezmethode.

1. 01Schritt 1 — Kumulierte Anteile bilden

   Kumulierte Einkommensanteile y: 8 %, 20 %, 36 %, 58 %, 100 %. Die kumulierten Bevölkerungsanteile x sind 20 %, 40 %, 60 %, 80 %, 100 % (jedes Quintil = 20 %).

2. 02Schritt 2 — Fläche B unter der Lorenz-Kurve

   B als Summe von 5 Trapezen mit Breite Δx = 0,2: B = 0,2 · [(0+0,08)/2 + (0,08+0,20)/2 + (0,20+0,36)/2 + (0,36+0,58)/2 + (0,58+1,0)/2] = 0,2 · 1,72 = 0,344.

   $$B = 0{,}2\cdot\big(0{,}04+0{,}14+0{,}28+0{,}47+0{,}79\big) = 0{,}344$$
3. 03Schritt 3 — Gini berechnen

   Die Gesamtfläche unter der Diagonale beträgt 0,5. Es gilt G = A/(A+B) mit A+B = 0,5 → G = (0,5 − B)/0,5 = 1 − 2B = 1 − 2·0,344 = 0,312.

   $$G = 1 - 2B = 1 - 2\cdot 0{,}344 = 0{,}312$$
4. 04Schritt 4 — Interpretation

   Ein Gini von 0,31 entspricht einer moderaten Einkommensungleichheit, vergleichbar mit Deutschland (≈ 0,30). Werte um 0,25 (Norwegen) sind sehr gleich, Werte über 0,60 (Südafrika) extrem ungleich. Der Gini fasst die gesamte Lorenz-Kurve in einer Kennzahl zusammen, verliert aber Information über die Form der Verteilung (zwei Länder können gleichen Gini bei unterschiedlicher Kurvenform haben).

Ergebnis: Gini ≈ 0,31 — moderate Einkommensungleichheit (etwa auf DE-Niveau); G = 1 − 2B aus der Lorenz-Kurve.