Mechanik 2 - Energie, Impuls, Schwingungen und Wellen — Physik · Matura-Zusammenfassung

Arbeit, Energie und Leistung#

BasisPHY-Mech-2.1

Energie ist die Fähigkeit eines Systems, Arbeit zu verrichten, und Arbeit ist die Übertragung von Energie von einem System auf ein anderes. Dieses Begriffspaar macht die gesamte Mechanik bilanzierbar: Statt jede Kraft über die Zeit zu verfolgen, vergleicht man nur den Anfangs- und den Endzustand der Energie.

Mechanische Arbeit ist das Skalarprodukt

W=\vec F\cdot\vec s

, also das Produkt aus der Kraftkomponente in Wegrichtung und dem Weg. Steht die Kraft senkrecht zum Weg, wird keine Arbeit verrichtet - wer eine Last waagrecht trägt, leistet im physikalischen Sinn keine Arbeit. Bei veränderlicher Kraft ist die Arbeit die Fläche unter der

F

-

s

-Kurve.

Mechanische Energie tritt in mehreren Formen auf: als kinetische Energie

E_{\text{kin}}=\tfrac{1}{2}mv^{2}

der Bewegung, als potentielle Höhenenergie

E_{\text{pot}}=mgh

im Schwerefeld und als Spannenergie

E_{\text{Sp}}=\tfrac{1}{2}Ds^{2}

einer gespannten Feder. Arbeit überführt die eine Form in die andere.

In abgeschlossenen, reibungsfreien Systemen gilt der Energieerhaltungssatz

E_{\text{ges}}=E_{\text{kin}}+E_{\text{pot}}=\text{const}

. Beim freien Fall wandelt sich Lageenergie vollständig in Bewegungsenergie um, während die Summe konstant bleibt (). Das erlaubt es, Endgeschwindigkeiten ohne Kenntnis des zeitlichen Ablaufs zu berechnen, etwa

v=\sqrt{2gh}

.

Energieumwandlung beim freien Fall

Abb. 1Lageenergie wandelt sich vollständig in Bewegungsenergie um; die Gesamtenergie bleibt konstant.

Reibung verletzt die Energieerhaltung nicht, sie wandelt nur einen Teil der mechanischen Energie in innere Energie (Wärme) um:

W_{\text{Reib}}=F_{R}\cdot s

längs des tatsächlich zurückgelegten Weges. In der Bilanz erscheint dieser Betrag als Verlustposten, der die mechanische Endenergie verringert.

Die Leistung

P=\dfrac{W}{t}=\vec F\cdot\vec v

gibt an, wie schnell Arbeit verrichtet wird; ihre SI-Einheit ist das Watt (

1

W

=1

J/s). Zwei Motoren können dieselbe Arbeit leisten, aber bei unterschiedlicher Leistung - der stärkere ist schneller fertig.

Kein realer Energiewandler ist perfekt: Der Wirkungsgrad

\eta=\dfrac{W_{\text{nutz}}}{W_{\text{ges}}}\leq 1

misst, welcher Anteil der zugeführten Energie als Nutzarbeit herauskommt. Ein Wirkungsgrad über

1

wäre ein Perpetuum mobile und widerspricht dem Energiesatz.

E_{\text{kin}}=\tfrac{1}{2}mv^{2},\quad E_{\text{pot}}=mgh,\quad E_{\text{spann}}=\tfrac{1}{2}D s^{2}

Energieformen in der Mechanik

W=\int_{s_{1}}^{s_{2}} F(s)\,ds = F\cdot s\cdot\cos\alpha\;\text{(F konst.)}

Arbeit einer Kraft

P=\dfrac{W}{t}=F\cdot v

Mechanische Leistung

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Musterbeispiel

Achterbahnloop - Mindestgeschwindigkeit

Ein Wagen rollt reibungsfrei von Höhe $h$ in einen Looping mit Radius $r=10$ m. Wie hoch muss $h$ mindestens sein, damit der Wagen am höchsten Punkt nicht herunterfällt?

Bedingung oben
Mindestens $F_{g}=F_{z}$ : $m g=m v_{\text{oben}}^{2}/r\Rightarrow v_{\text{oben}}^{2}=g r$ .
Energieerhaltung
$m g h = m g (2r) + \tfrac{1}{2}m v_{\text{oben}}^{2}$ .
Auflösen
$h=2r+\tfrac{r}{2}=\tfrac{5r}{2}$ .
Einsetzen
$h=2{,}5\cdot 10=25$ m.

Ergebnis: Startshoehe mindestens $25$ m (5/2-Regel für Looping).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Arbeit ist Kraft mal Weg in Wegrichtung; sie verändert die Energie des Systems.
2
Bei Energieerhaltung wandelt sich nur die Form, die Summe bleibt konstant.
3
Reibung erscheint als Verlustposten, der mechanische Energie in innere Energie umwandelt.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erläutere den Energieerhaltungssatz an einem reibungsfreien Pendel und an einer realen Achterbahn. Berechne für einen Pendelausschlag von

30^{\circ}

bei Fadenlänge

1{,}5

m die maximale Geschwindigkeit im tiefsten Punkt.

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Typische Fehler

Bei schiefer Ebene Reibungsarbeit als $F_{R}\cdot h$ statt $F_{R}\cdot s$ berechnet.
Energie und Leistung in Einheiten verwechselt (J vs. W).
Wirkungsgrad über $1$ angegeben (verstößt gegen 2. Hauptsatz).

Aktive Wiederholung

Eine Skifahrerin (Masse $65$ kg) fährt eine $1{,}5$ km lange Piste mit konstanter Geschwindigkeit ab. Höhenunterschied $300$ m, durch Reibung und Luftwiderstand wird die gesamte freigesetzte Höhenenergie aufgezehrt. Berechne die mittlere Reibungs-/Widerstandsleistung, wenn die Fahrt $4{,}5$ Minuten dauert.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Work, Energy (OpenStax)

Impuls und Stossprozesse#

StandardPHY-Mech-2.2

Der Impuls ist das Maß für den „Schwung" eines Körpers und die zweite große Erhaltungsgröße der Mechanik neben der Energie. Seine Erhaltung folgt direkt aus dem 3. Newtonschen Gesetz: Wirken zwei Körper aufeinander, sind ihre Kraftstöße entgegengesetzt gleich, sodass sich der Gesamtimpuls nicht ändert.

Der Impuls

\vec p=m\vec v

ist eine vektorielle Größe mit der Einheit kg

\cdot

m/s (gleich Ns); seine Richtung ist immer die der Geschwindigkeit. Deshalb muss man vor jeder Stoßrechnung eine positive Richtung festlegen und Geschwindigkeiten mit Vorzeichen einsetzen.

Impulserhaltung: In einem abgeschlossenen System ohne äußere Kräfte bleibt der Gesamtimpuls konstant - die Vektorsumme aller Einzelimpulse vor dem Stoß ist gleich der nach dem Stoß (). Das gilt unabhängig davon, ob beim Stoß Energie verloren geht.

Impulserhaltung beim Stoß

Abb. 2Vor und nach dem Stoß ist der Gesamtimpuls gleich:

m_{1}v_{1}=(m_{1}+m_{2})v\,'

(vollkommen inelastisch).

Beim elastischen Stoß bleiben Impuls und kinetische Energie erhalten. Für den zentralen Stoß liefern beide Erhaltungssätze zusammen die Geschwindigkeiten danach, etwa

v_{1}'=\dfrac{(m_{1}-m_{2})v_{1}+2 m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}

. Im Sonderfall gleicher Massen tauschen die Körper ihre Geschwindigkeiten - das sieht man am Stoßpendel (Newton-Wiege).

Beim inelastischen Stoß bleibt nur der Impuls erhalten; ein Teil der kinetischen Energie geht in Verformung und Wärme über. Im Grenzfall des vollkommen inelastischen Stoßes kleben die Körper zusammen und bewegen sich mit der gemeinsamen Geschwindigkeit

v'=\dfrac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}

weiter.

Der Kraftstoß

\vec F\,\Delta t=\Delta\vec p

zeigt: Dieselbe Impulsänderung lässt sich durch eine kleine Kraft über lange Zeit oder eine große Kraft über kurze Zeit erreichen. Knautschzone, Airbag und gebeugte Knie beim Landen verlängern

\Delta t

und verkleinern damit die wirkende Kraft - das rettet Leben.

Auch der Rückstoß folgt aus der Impulserhaltung: Stößt ein anfangs ruhendes System Masse in eine Richtung aus, bewegt sich der Rest mit entgegengesetztem Impuls. Das treibt Gewehr (Rückschlag), Tintenfisch und Rakete an - Letztere funktioniert deshalb auch im luftleeren Raum.

\vec p=m\vec v;\quad \sum \vec p_{\text{vor}}=\sum \vec p_{\text{nach}}

Impulserhaltung im abgeschlossenen System

v_{1}'=\dfrac{(m_{1}-m_{2})v_{1}+2 m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}

Geschwindigkeit nach elastischem zentralem Stoss

Musterbeispiel

Elastischer Stoss zweier Kugeln

Kugel $A$ ( $m_{A}=2$ kg, $v_{A}=4$ m/s) stößt elastisch zentral auf ruhende Kugel $B$ ( $m_{B}=3$ kg). Geschwindigkeiten nach dem Stoss?

Erhaltungssätze
Impuls: $m_{A} v_{A}=m_{A} v_{A}'+m_{B} v_{B}'$ ; Energie: $\tfrac{1}{2}m_{A}v_{A}^{2}=\tfrac{1}{2}m_{A}v_{A}'^{2}+\tfrac{1}{2}m_{B}v_{B}'^{2}$ .
Standardformel
$v_{A}'=\dfrac{m_{A}-m_{B}}{m_{A}+m_{B}}v_{A}$ ; $v_{B}'=\dfrac{2 m_{A}}{m_{A}+m_{B}}v_{A}$ .
Einsetzen
$v_{A}'=\dfrac{-1}{5}\cdot 4=-0{,}8$ m/s; $v_{B}'=\dfrac{4}{5}\cdot 4=3{,}2$ m/s.

Ergebnis: Kugel $A$ kehrt mit $0{,}8$ m/s zurück, Kugel $B$ rollt mit $3{,}2$ m/s vorwärts.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Impuls ist Masse mal Geschwindigkeit und richtet sich nach der Bewegungsrichtung.
2
In abgeschlossenen Systemen bleibt der Gesamtimpuls erhalten - das gilt auch bei Stößen.
3
Bei elastischen Stößen bleibt zusätzlich die kinetische Energie erhalten.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erläutere die Begriffe Impuls und Impulserhaltung. Berechne für eine

80

kg schwere Person, die mit

5

m/s auf einen leerstehenden Einkaufswagen (

20

kg) springt und mit diesem zusammen weiterrollt, die resultierende Geschwindigkeit. Diskutiere die Energiebilanz.

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Typische Fehler

Energie als erhalten angenommen, obwohl Stoss inelastisch ist.
Vorzeichen der Geschwindigkeiten falsch (Vektoren!).
Beim Kraftstoss Einheiten nicht beachtet (Ns = kg m/s).

Aktive Wiederholung

Eine $10$ -g-Patrone trifft mit $400$ m/s einen $4{,}0$ kg schweren Holzklotz auf horizontaler Unterlage und bleibt stecken. Berechne die gemeinsame Geschwindigkeit nach dem Stoss und die in Wärme umgewandelte Energie.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: MIT OCW 8.01 - Momentum and Collisions (MIT OpenCourseWare)

Harmonische Schwingungen#

StandardPHY-Mech-2.3

Harmonische Welle y(t) = A\sin(ωt)

Abb. 5

A = 1

,

\omega = 2\pi / T

mit

T = 2\,\mathrm{s}

.

Eine harmonische Schwingung entsteht immer dann, wenn eine rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung wirkt und stets zur Ruhelage zeigt. Genau diese lineare Rückstellung ist der Grund dafür, dass die Bewegung sinusförmig verläuft und ihre Periodendauer nicht von der Amplitude abhängt.

Mathematisch beschreibt man sie durch

y(t)=A\sin(\omega t+\varphi)

mit der Amplitude

A

, der Kreisfrequenz

\omega=2\pi/T=2\pi f

und der Phase

\varphi

(). Geschwindigkeit und Beschleunigung sind dazu phasenverschobene Sinusfunktionen: Im Umkehrpunkt ist

v=0

und

a

maximal, in der Ruhelage ist es umgekehrt.

Harmonische Schwingung - Auslenkung gegen Zeit

Abb. 3

y(t) = A\sin(\omega t + \varphi)

; Periode

T

, Amplitude

A

.

Das Federpendel hat die rücktreibende Kraft

F=-Ds

(Hookesches Gesetz) und damit die Periodendauer

T=2\pi\sqrt{m/D}

. Eine größere Masse schwingt langsamer, eine steifere Feder schneller; die Amplitude geht bei einer idealen Feder nicht in die Periode ein.

Das mathematische Pendel schwingt mit

T=2\pi\sqrt{l/g}

- bemerkenswerterweise unabhängig von der Masse (). Diese Formel gilt nur in der Kleinwinkelnäherung

\sin\varphi\approx\varphi

; bei großen Auslenkungen wird die Periode merklich länger als der Wert der Formel.

Federpendel und mathematisches Pendel

Abb. 4Federpendel mit

T = 2\pi\sqrt{m/D}

; Fadenpendel mit

T = 2\pi\sqrt{l/g}

.

Während der Schwingung pendelt die Energie ständig zwischen kinetischer und potentieller Form hin und her, ihre Summe bleibt aber konstant:

E_{\text{ges}}=\tfrac{1}{2}D A^{2}=\tfrac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}

. Die Gesamtenergie wächst also quadratisch mit der Amplitude - doppelte Amplitude bedeutet vierfache Energie.

Reale Schwingungen sind stets gedämpft, ihre Amplitude nimmt mit der Zeit ab; bei periodischer Anregung in der Nähe der Eigenfrequenz tritt Resonanz auf. Koppelt man zwei gleiche Pendel, tauschen sie rhythmisch Energie aus, und es entstehen Schwebungen und charakteristische Eigenmoden (vertieft im Abschnitt Dämpfung und Resonanz).

T_{Feder}=2\pi\sqrt{\tfrac{m}{D}},\quad T_{Pendel}=2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}

Periodendauer harmonischer Schwingungen

E_{\text{ges}}=\tfrac{1}{2}D A^{2}=\tfrac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}

Gesamtenergie der harmonischen Schwingung

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Musterbeispiel

Periodendauer eines Federpendels

An einer Feder mit $D=120$ N/m hängt eine Masse von $0{,}50$ kg. Berechne die Periodendauer und die Eigenfrequenz.

Formel
$T=2\pi\sqrt{m/D}$ .
Einsetzen
$T=2\pi\sqrt{0{,}5/120}=2\pi\cdot 0{,}0645\approx 0{,}406$ s.
Frequenz
$f=1/T\approx 2{,}46$ Hz.

Ergebnis: $T\approx 0{,}41$ s, $f\approx 2{,}5$ Hz.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Eine harmonische Schwingung wird durch eine rueckstellende Kraft erzeugt, die proportional zur Auslenkung ist.
Harmonische Schwingung - Auslenkung gegen Zeit
Abb. $y(t) = A\sin(\omega t + \varphi)$ ; Periode $T$ , Amplitude $A$ .
2
Federpendel und mathematisches Pendel haben ähnliche Formeln, unterscheiden sich aber in der Modellgrundlage.
3
Bei Resonanz wird ein schwingungsfähiges System mit seiner Eigenfrequenz angeregt - das kann Brücken zerstören.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Beschreibe das mathematische Pendel als Modell einer harmonischen Schwingung. Berechne die Periodendauer eines Sekundenpendels (Halbperiode

1

s, also

T=2

s). Welche Voraussetzungen muss die Pendelbewegung erfüllen, damit das Modell zutrifft?

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Typische Fehler

Kreisfrequenz $\omega$ mit Frequenz $f$ verwechselt ( $\omega=2\pi f$ ).
Bei grossen Auslenkungen Kleinwinkelnäherung blind verwendet.
Dämpfung vergessen, obwohl im Experiment immer vorhanden.

Aktive Wiederholung

Eine Glocke mit Pendellänge $2{,}5$ m schlägt. Berechne ihre Periodendauer und Frequenz. Wie verändert sich die Periode bei Verdopplung der Pendellänge?

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Demtröder Experimentalphysik 1 - Schwingungen (Springer)

Wellenausbreitung, Akustik, Doppler#

StandardPHY-Mech-2.4

Harmonische Welle y(t) = A\sin(ωt)

Abb. 7

A = 1

,

\omega = 2\pi / T

mit

T = 2\,\mathrm{s}

.

Eine Welle ist eine sich im Raum ausbreitende Schwingung: Jedes Teilchen schwingt um seine Ruhelage und gibt die Schwingung zeitversetzt an seinen Nachbarn weiter. Dabei werden Energie und Information transportiert, nicht aber Materie - der Korken auf dem Wasser wandert nicht mit der Welle mit, er hebt und senkt sich nur.

Die zentralen Größen sind die Wellenlänge

\lambda

(räumliche Periode), die Frequenz

f

(zeitliche Periode) und die Phasengeschwindigkeit; sie hängen über die Wellengleichung

c=\lambda f

zusammen. Eine höhere Frequenz bei gleicher Ausbreitungsgeschwindigkeit bedeutet daher eine kürzere Wellenlänge.

Man unterscheidet Transversalwellen, bei denen die Teilchen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung schwingen (Saite, elektromagnetische Wellen), und Longitudinalwellen, bei denen sie längs schwingen (Schall als Dichteschwankung der Luft). Schall breitet sich in Luft bei

20^{\circ}

C mit ca.

343

m/s aus, in Wasser mit ca.

1480

m/s - in dichteren, steiferen Medien also schneller.

Alle Wellen zeigen Reflexion, Brechung und Beugung; erklären lässt sich das mit dem Huygensschen Prinzip, nach dem jeder Punkt einer Wellenfront Ausgangspunkt einer neuen Elementarwelle ist. Beugung - das Ausbreiten hinter Hindernissen und Spalten - ist umso ausgeprägter, je näher die Spaltbreite der Wellenlänge kommt.

Treffen zwei Wellen zusammen, überlagern sie sich ungestört (Superposition): Bei einem Gangunterschied von

n\lambda

verstärken sie sich (konstruktive Interferenz), bei

(n+\tfrac{1}{2})\lambda

löschen sie sich aus (destruktive Interferenz). Das ist die Grundlage für Schwebungen, aktive Geräuschunterdrückung und optische Interferenzmuster.

Der Doppler-Effekt verschiebt die wahrgenommene Frequenz, wenn sich Quelle oder Beobachter bewegen: Bei Annäherung werden die Wellenfronten gestaucht und die Frequenz steigt, beim Entfernen sinkt sie (). Allgemein gilt

f'=f\dfrac{c\pm v_{B}}{c\mp v_{Q}}

. Genutzt wird das in der Doppler-Sonografie der Medizin und bei der Rotverschiebung in der Astronomie.

Doppler-Effekt - Wellenfronten einer bewegten Quelle

Abb. 6Vor der Quelle werden die Wellenfronten gestaucht (höhere Frequenz), dahinter gedehnt (tiefere Frequenz).

c=\lambda\cdot f

Wellengleichung

f'=f\cdot\dfrac{c\pm v_{B}}{c\mp v_{Q}}

Doppler-Effekt (allgemein)

Musterbeispiel

Doppler-Verschiebung bei Polizeisirene

Polizeiauto nähert sich mit $90$ km/h und sendet $f=750$ Hz. Welche Frequenz hört der Beobachter? Schallgeschwindigkeit $343$ m/s.

Geschwindigkeit
$v_{Q}=25$ m/s.
Formel
$f'=f\dfrac{c}{c-v_{Q}}=750\cdot\dfrac{343}{318}$ .
Auswertung
$f'\approx 809$ Hz.

Ergebnis: Beobachter hört $\approx 809$ Hz; beim Vorbeifahren fällt die Frequenz auf $\approx 699$ Hz ab.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Wellen transportieren Energie und Information, aber keine Materie.
2
Transversal- und Longitudinalwellen unterscheiden sich in der Schwingungsrichtung relativ zur Ausbreitung.
3
Der Doppler-Effekt verschiebt die wahrgenommene Frequenz - in der Astronomie nutzt man das zur Bestimmung von Sternbewegungen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erkläre den Doppler-Effekt und zeige seine Bedeutung in Medizin (Doppler-Sonografie) und Astronomie (Rotverschiebung). Berechne die Frequenzänderung, wenn eine Krankenwagensirene mit

700

Hz bei

50

km/h auf einen ruhenden Beobachter zufährt.

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Typische Fehler

Phasengeschwindigkeit mit Teilchengeschwindigkeit verwechselt.
Bei Doppler-Effekt Quelle/Beobachter vertauscht.
Akustische Schwebung als Resonanz interpretiert.

Aktive Wiederholung

Ein stehendes Auto hupt mit $f=440$ Hz. Ein Fahrzeug nähert sich der ruhenden Quelle mit $108$ km/h. Welche Frequenz hört der Fahrer (Schallgeschwindigkeit $343$ m/s)?

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Sound and Waves (OpenStax)

Stehende Wellen, Saiten und Pfeifen#

VertiefungPHY-Mech-2.5

Harmonische Schwingung - Auslenkung gegen Zeit

Abb. 9

y(t) = A\sin(\omega t + \varphi)

; Periode

T

, Amplitude

A

.

Eine stehende Welle entsteht, wenn sich zwei gegenläufige Wellen gleicher Frequenz und Amplitude überlagern - typischerweise eine hinlaufende Welle und ihre am festen Ende reflektierte Rücklaufwelle. Im Gegensatz zur laufenden Welle wandert hier kein Wellenberg; das Schwingungsmuster bleibt ortsfest stehen.

Es bilden sich feste Knoten (Orte ohne Auslenkung) und Bäuche (Orte maximaler Auslenkung). Benachbarte Knoten haben stets den Abstand

\lambda/2

(). Aus dieser Bedingung und den Randbedingungen (festes oder offenes Ende) ergeben sich die erlaubten Eigenfrequenzen eines Instruments.

Stehende Welle - Grundschwingung einer beidseitig festen Saite

Abb. 8Knoten an den festen Enden, Bauch in der Mitte; die Saitenlänge entspricht

\lambda/2

.

Eine beidseitig fest eingespannte Saite trägt Knoten an beiden Enden; das liefert die Eigenfrequenzen

f_{n}=n\dfrac{c}{2L}

mit

n=1,2,3,\dots

- den Grundton und alle ganzzahligen Obertöne. Hier ist

c

die Wellengeschwindigkeit auf der Saite (abhängig von Spannung und Masse), nicht die Schallgeschwindigkeit in Luft.

Die einseitig geschlossene (gedackte) Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten, am offenen einen Bauch. Daraus folgt

f_{n}=(2n-1)\dfrac{c}{4L}

- es treten nur ungerade Vielfache des Grundtons auf, und der Grundton liegt eine Oktave tiefer als bei der gleich langen offenen Pfeife.

Die beidseitig offene Pfeife trägt an beiden Enden einen Bauch und schwingt wie die Saite mit

f_{n}=n\dfrac{c}{2L}

, also mit allen Obertönen. Der Vergleich der drei Fälle - Saite, gedackte und offene Pfeife - ist eine klassische Matura-Argumentation.

Das Verhältnis der Obertöne und ihrer Stärken bildet das Obertonspektrum, das die Klangfarbe bestimmt: Geige und Flöte klingen bei gleicher Grundfrequenz verschieden, weil ihre Obertöne unterschiedlich stark ausgeprägt sind. Genau das unterscheidet einen reinen Sinuston vom Klang eines Instruments.

f_{n}=n\dfrac{c}{2L}

Eigenfrequenzen beidseitig fester Saite

f_{n}=(2n-1)\dfrac{c}{4L}

Eigenfrequenzen gedackter Pfeife

Musterbeispiel

Grundton und Oberton einer Saite

Beidseitig feste Saite, $L=0{,}80$ m, $c=200$ m/s.

Grundfrequenz
$f_{1}=\dfrac{c}{2L}=\dfrac{200}{1{,}60}=125$ Hz.
3. Oberschwingung
Das ist die 4. Harmonische ( $n=4$ ): $f_{4}=4\cdot 125=500$ Hz.
Wellenlänge
$\lambda_{4}=\dfrac{2L}{4}=\dfrac{1{,}60}{4}=0{,}40$ m.

Ergebnis: Grundfrequenz $125$ Hz; die 3. Oberschwingung hat $\lambda=0{,}40$ m (Frequenz $500$ Hz).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Stehende Wellen entstehen, wenn eine Welle reflektiert wird und sich mit sich selbst überlagert.
Harmonische Schwingung - Auslenkung gegen Zeit
Abb. $y(t) = A\sin(\omega t + \varphi)$ ; Periode $T$ , Amplitude $A$ .
2
Knoten und Bäuche liegen fest; benachbarte Knoten sind eine halbe Wellenlänge voneinander entfernt.
3
Offene und gedackte Pfeifen unterscheiden sich im Obertonspektrum und damit in der Klangfarbe.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erkläre die Entstehung stehender Wellen und den Unterschied im Obertonspektrum zwischen einer offenen und einer gedackten Pfeife. Berechne die Grundfrequenz einer gedackten Pfeife der Länge

0{,}50

m (Schallgeschwindigkeit

343

m/s).

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Bei der gedackten Pfeife gerade Obertöne fälschlich zugelassen.
Knotenabstand als $\lambda$ statt $\lambda/2$ angesetzt.
Wellengeschwindigkeit auf der Saite mit der Schallgeschwindigkeit verwechselt.

Aktive Wiederholung

Eine beidseitig eingespannte Saite ( $L=0{,}80$ m) hat die Wellengeschwindigkeit $c=200$ m/s. Berechne die Grundfrequenz und die Wellenlänge der 3. Oberschwingung.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Standing Waves and Resonance (OpenStax)

Dämpfung, Resonanz und gekoppelte Schwingungen#

StandardPHY-Mech-2.6

Jede reale Schwingung verliert durch Reibung und Luftwiderstand Energie und ist daher gedämpft. Im häufigen Fall schwacher Dämpfung klingt die Amplitude exponentiell ab:

A(t)=A_{0}e^{-\delta t}

mit der Abklingkonstante

\delta

(). Die Frequenz der Schwingung bleibt dabei nahezu unverändert.

Harmonische Welle y(t) = A\sin(ωt)

Abb. 10

A = 1

,

\omega = 2\pi / T

mit

T = 2\,\mathrm{s}

.

Jedes schwingungsfähige System besitzt eine Eigenfrequenz, mit der es nach einem einmaligen Anstoß frei schwingt; für das Federpendel ist sie

f_{0}=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{D/m}

. Sie ergibt sich allein aus den Systemgrößen Steifigkeit und Masse, nicht aus der Art der Anregung.

Regt man das System periodisch von außen an, wächst die Amplitude besonders stark, wenn die Erregerfrequenz die Eigenfrequenz trifft - das ist die Resonanz. Bei geringer Dämpfung kann die Resonanzamplitude ein Vielfaches der Anregungsamplitude erreichen.

Diese Resonanzüberhöhung kann nützlich sein (Schaukel anschwingen, Musikinstrument, Abstimmen eines Radios) oder gefährlich: Die Resonanzkatastrophe zerstörte die Tacoma-Narrows-Brücke und kann Bauwerke bei Erdbeben einstürzen lassen. Ingenieure stimmen Bauwerke deshalb bewusst von kritischen Erregerfrequenzen weg.

Die Dämpfung steuert die Schärfe der Resonanz: Starke Dämpfung senkt und verbreitert die Resonanzkurve und verhindert die gefährliche Überhöhung, schwache Dämpfung erzeugt eine hohe, scharfe Resonanzspitze. Schwingungstilger und Stoßdämpfer nutzen genau dieses Prinzip.

Werden zwei gleichartige Schwinger gekoppelt, tauschen sie rhythmisch Energie aus: Es entstehen Schwebungen - ein langsames An- und Abschwellen - sowie zwei Eigenmoden mit gegen- und gleichphasiger Bewegung. Das ist das einfachste Modell für die Schwingungen vieler gekoppelter Teilchen, etwa der Atome in einem Festkörper.

f_{0}=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{D}{m}}

Eigenfrequenz des Federpendels

A(t)=A_{0}\,e^{-\delta t}

Gedämpfte Amplitude

Musterbeispiel

Resonanzfrequenz eines Federpendels

$D=200$ N/m, $m=0{,}50$ kg.

Eigenfrequenz
$f_{0}=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{D/m}=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{200/0{,}50}$ .
Auswertung
$f_{0}=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{400}=\dfrac{20}{6{,}283}\approx 3{,}18$ Hz.
Resonanz
Bei Anregung mit $\approx 3{,}18$ Hz wächst die Amplitude stark an; geringe Dämpfung verstärkt den Effekt.

Ergebnis: Resonanz tritt bei $f_{0}\approx 3{,}2$ Hz auf; bei geringer Dämpfung kann die Amplitude gefährlich gross werden.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Reale Schwingungen sind gedämpft - ihre Amplitude nimmt exponentiell ab.
2
Trifft die Erregerfrequenz die Eigenfrequenz, kommt es zur Resonanz mit grosser Amplitude.
3
Ausreichende Dämpfung schützt vor der Resonanzkatastrophe.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erkläre Dämpfung und Resonanz an einem schwingungsfähigen System. Nenne ein Beispiel für eine nützliche und eine gefährliche Resonanz und beschreibe, wie Dämpfung die Resonanzkurve verändert.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Resonanz mit Schwebung verwechselt.
Eigenfrequenz $f_{0}=\tfrac{1}{2\pi}\sqrt{D/m}$ mit der Periode verwechselt.
Dämpfung als amplitudenunabhängig angenommen.

Aktive Wiederholung

Ein Federpendel ( $D=200$ N/m, $m=0{,}50$ kg) wird periodisch angeregt. Bei welcher Erregerfrequenz tritt Resonanz auf, und was passiert mit der Amplitude bei geringer Dämpfung?

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Demtröder Experimentalphysik 1 - Resonanz (Springer)