Notizen · PhysikAT · Matura

Mechanik 1 - Kinematik und Newtonsche Dynamik

Beschreibung von Bewegungen mit Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung sowie Erklärung durch Kräfte. Grundlage aller weiteren Themen der klassischen Mechanik.

6Abschnitteca. 19Min Lesezeit3KompetenzenNiveauBasis 2 · Standard 3 · Vertiefung 1Stand 06/2026

T·0111 / 11

Prüfungsprofil

W-1 · Wissen über Bewegung, Kraft und Energie strukturiert wiedergebenE-1 · Bewegungsdiagramme messen, auswerten und interpretierenS-1 · Physikalische Modelle auf Verkehr, Sport und Technik anwenden

Tiefe

Schrift

Inhalt · 6 Abschnitte

Mechanik 1 - Kinematik und Newtonsche Dynamik

Kinematik - Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung#

BasisPHY-Mech-1.1

v(t) bei a = 2 \mathrm{m/s²}

Abb. 2Lineare Zunahme:

v(t) = a\,t

Die Kinematik beschreibt Bewegungen rein geometrisch: Sie sagt, wo ein Körper wann ist und wie schnell er sich bewegt, ohne nach den Ursachen (den Kräften) zu fragen. Dazu genügen drei Größen, die durch Ableiten auseinander hervorgehen - der Ort

s(t)

, die Geschwindigkeit

v(t)

als seine zeitliche Änderung und die Beschleunigung

a(t)

als Änderung der Geschwindigkeit. Wer diese Kette aus Ort, erster und zweiter Ableitung verstanden hat, kann jede geradlinige Bewegung vollständig analysieren.

Man unterscheidet streng zwischen mittlerer und momentaner Geschwindigkeit. Die mittlere Geschwindigkeit

\bar v=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}

ist der Quotient aus zurückgelegtem Weg und benötigter Zeit - im

s

t

-Diagramm die Steigung der Sekante zwischen Anfangs- und Endpunkt. Lässt man das Zeitintervall immer kleiner werden (

\Delta t\to 0

), geht die Sekante in die Tangente über, und man erhält die momentane Geschwindigkeit

v(t)=\dfrac{ds}{dt}

. Wer

100

m in

10

s läuft, hat zwar

\bar v=10

m/s, kann zwischendurch aber deutlich schneller oder langsamer gewesen sein.

Die Beschleunigung

a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^{2}s}{dt^{2}}

misst, wie rasch sich die Geschwindigkeit ändert; sie ist die Ableitung von

v

und damit die zweite Ableitung des Ortes. Entscheidend ist ihr Vorzeichen relativ zur Bewegungsrichtung: Zeigt

a

in Bewegungsrichtung, wird der Körper schneller, zeigt es entgegen, wird er langsamer (Bremsen). Ein Auto, das in

8{,}0

s aus dem Stand auf

28

m/s kommt, hat

a=28/8{,}0=3{,}5

m/s

^{2}

- in jeder Sekunde nimmt

v

3{,}5

m/s zu.

Ist die Beschleunigung konstant, lassen sich die beiden zentralen Bewegungsgleichungen

v=v_{0}+at

und

s=s_{0}+v_{0}t+\tfrac{1}{2}at^{2}

unmittelbar durch Integration aus den Ableitungen zurückgewinnen. Die erste ist eine Gerade im

v

t

-Diagramm, die zweite eine nach oben geöffnete Parabel im

s

t

-Diagramm. Wichtigster Spezialfall ist der freie Fall mit

a=g\approx 9{,}81

m/s

^{2}

: Aus der Ruhe gilt dann

v=gt

und

s=\tfrac{1}{2}gt^{2}

v

t

-Diagramm () lassen sich beide Kerngrößen direkt ablesen: Die Steigung des Graphen ist die Beschleunigung, die Fläche zwischen Graph und Zeitachse der zurückgelegte Weg. Das ist kein Zufall, sondern die geometrische Form der Integration

s=\int v\,dt

. Bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung ist diese Fläche ein Dreieck oder Trapez, sodass man

s

ohne Einsetzen in eine Formel allein aus dem Diagramm bestimmen kann - eine in der Matura häufig verlangte Auswertung.

v-t-Diagramm - gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Abb. 1Steigung gleich Beschleunigung a, Fläche unter Graph gleich zurückgelegter Weg s.

Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung sind gerichtete (vektorielle) Größen; bei geradliniger Bewegung genügt ein Vorzeichen zur Angabe der Richtung. Eine beliebte Falle:

a=0

bedeutet nicht

v=0

, sondern nur konstante Geschwindigkeit (gleichförmige Bewegung). Umgekehrt ist im höchsten Punkt eines senkrechten Wurfs

v=0

, während

a=g

unverändert weiterwirkt. Zusammengesetzte Bewegungen (beschleunigen - gleichförmig - bremsen) behandelt man abschnittsweise und setzt die Teilwege am Ende zusammen.

Konsequente SI-Einheiten sind Pflicht:

[s]=

[v]=

m/s,

[a]=

m/s

^{2}

. Geschwindigkeiten in km/h rechnet man durch Division mit

3{,}6

in m/s um, also

72

km/h

=20

m/s. Vor dem Anschreiben eines Ergebnisses lohnt stets ein Größenordnungs- und Plausibilitätscheck: Eine Fußgängergeschwindigkeit von

50

m/s oder eine Bremsbeschleunigung von

500

m/s

^{2}

ist physikalisch unsinnig und verrät einen Rechenfehler.

v(t)=v_{0}+at,\quad s(t)=s_{0}+v_{0}t+\tfrac{1}{2}at^{2}

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

s(t) beim freien Fall

Abb. 3s(t) = 0.5 g t^2 mit g = 9.81 m/s^2.

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Höhenberechnung beim freien Fall

Ein Stein wird aus Ruhe fallen gelassen und schlägt nach $t=2{,}5$ s auf. Wie hoch war der Abwurfpunkt? Luftwiderstand vernachlässigbar, $g=9{,}81$ m/s $^{2}$ .

Modell
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit $v_{0}=0$ , $a=g$ .
Formel
$h=\tfrac{1}{2}gt^{2}$ .
Einsetzen
$h=\tfrac{1}{2}\cdot 9{,}81\cdot (2{,}5)^{2}=30{,}66$ m.
Auftreffgeschwindigkeit
$v=g t=9{,}81\cdot 2{,}5\approx 24{,}5$ m/s.

Ergebnis: Abwurfhöhe etwa $30{,}7$ m; Auftreffgeschwindigkeit etwa $24{,}5$ m/s.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Bewegung beschreibt sich am einfachsten über Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung als zeitliche Ableitungen voneinander.
v-t-Diagramm - gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Abb.Steigung gleich Beschleunigung a, Fläche unter Graph gleich zurückgelegter Weg s.
2
Im v-t-Diagramm steht die Steigung für die Beschleunigung und die Fläche unter dem Graphen für den zurückgelegten Weg.
3
Prüfe Einheiten und Vorzeichen, bevor du eine Geschwindigkeit als Endergebnis ablieferst.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Beschreibe anhand eines selbst gewählten Beispiels die Begriffe Geschwindigkeit und Beschleunigung. Skizziere ein v-t-Diagramm für eine zweistufige Bewegung (Beschleunigung und anschliessende gleichförmige Fahrt) und erläutere, was die Fläche unter dem Graphen beschreibt.

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Typische Fehler

Mittlere Geschwindigkeit als Mittel der Endwerte berechnet statt $\Delta s/\Delta t$ .
Beschleunigung mit Geschwindigkeit verwechselt; $a=0$ heisst nicht $v=0$ .
Vorzeichen der Beschleunigung beim Bremsen vergessen.

Aktive Wiederholung

Ein Auto fährt $30$ s lang mit konstanten $54$ km/h, beschleunigt dann in $10$ s auf $90$ km/h und bremst in $5$ s zum Stillstand. Skizziere $v(t)$ und berechne den gesamten zurückgelegten Weg.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Kinematics (OpenStax) · Demtröder Experimentalphysik 1 - Mechanik (Springer)

Newtonsche Gesetze#

BasisPHY-Mech-1.2

Die drei Newtonschen Gesetze verbinden die Beschreibung einer Bewegung mit ihrer Ursache und bilden das Fundament der gesamten klassischen Dynamik. Sie beantworten die Frage, warum Körper beschleunigen - nämlich genau dann, wenn eine resultierende Kraft auf sie wirkt.

1. Newton (Trägheitsgesetz): Ohne resultierende Kraft verharrt ein Körper in Ruhe oder bewegt sich gleichförmig geradlinig weiter. Trägheit ist also kein „Kraftverbrauch", sondern der Normalzustand - ein Eishockey-Puck gleitet nahezu kräftefrei fast unbeschleunigt weiter. Das Gesetz gilt nur in Inertialsystemen, also in unbeschleunigten Bezugssystemen.

2. Newton (Aktionsprinzip): Die resultierende Kraft erzeugt eine zu ihr gleichgerichtete Beschleunigung, die der Kraft proportional und der Masse umgekehrt proportional ist:

\vec F=m\vec a

. Die Masse

m

ist dabei das Maß für die Trägheit - dieselbe Kraft beschleunigt einen schweren Körper weniger stark. Aus

F=ma

folgt unmittelbar die SI-Einheit

1

=1

\cdot

m/s

^{2}

3. Newton (Wechselwirkungsprinzip, actio = reactio): Zu jeder Kraft gehört eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete Gegenkraft - entscheidend ist, dass beide Kräfte an verschiedenen Körpern angreifen. Der Fuß drückt nach hinten gegen den Boden, der Boden treibt den Läufer nach vorn; das Triebwerk stößt Gas aus, das Gas schiebt die Rakete an. Weil die Partnerkräfte an unterschiedlichen Körpern wirken, heben sie einander nie auf.

Auf der Erdoberfläche ist die wichtigste Kraft die Gewichtskraft

F_{g}=mg

mit dem Ortsfaktor

g\approx 9{,}81

m/s

^{2}

. Sie ist von der trägen Masse begrifflich zu trennen, auch wenn beide proportional sind: Die Masse bleibt überall gleich, das Gewicht hängt vom Ort ab (auf dem Mond rund ein Sechstel).

Wirken mehrere Kräfte, zählt stets ihre Vektorsumme, die resultierende Kraft. Deshalb beginnt jede Dynamik-Aufgabe mit dem Freikörperbild (): Man zeichnet den Körper frei und trägt alle angreifenden Kräfte als Pfeile ein - Gewichtskraft, Normalkraft, Reibung, Seil- oder Antriebskraft. Erst danach zerlegt man in geeignete Richtungen und wendet

\vec F=m\vec a

komponentenweise an.

Freikörperbild - Block auf schiefer Ebene

Abb. 4Gewichtskraft in Hangabtriebs- und Normalkomponente zerlegt; Reibung wirkt der Bewegung entgegen.

\vec{F}_{\text{res}}=m\,\vec{a}

2. Newtonsches Gesetz

F_{g}=m\,g

Gewichtskraft

Musterbeispiel

Kraft an einem fahrenden Wagen

Ein $1500$ kg schwerer PKW beschleunigt in $8{,}0$ s aus dem Stand auf $100$ km/h. Welche Antriebskraft wirkt im Mittel?

Geschwindigkeit umrechnen
$v=100/3{,}6\approx 27{,}78$ m/s.
Beschleunigung
$a=\Delta v/\Delta t=27{,}78/8{,}0\approx 3{,}47$ m/s $^{2}$ .
Newton 2
$F=ma=1500\cdot 3{,}47\approx 5{,}21\cdot 10^{3}$ N.

Ergebnis: Mittlere Antriebskraft etwa $5{,}2$ kN.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Das 1. Newton-Gesetz beschreibt die Trägheit: ohne resultierende Kraft bleibt die Geschwindigkeit unverändert.
2
Das 2. Gesetz gibt die quantitative Beziehung F = m a; im Freikörperbild werden alle Kräfte eingezeichnet.
Freikörperbild - Block auf schiefer Ebene
Abb.Gewichtskraft in Hangabtriebs- und Normalkomponente zerlegt; Reibung wirkt der Bewegung entgegen.
3
Das 3. Gesetz besagt, dass Kräfte immer paarweise an verschiedenen Körpern auftreten.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erläutere die drei Newtonschen Gesetze und veranschauliche das 2. und 3. Gesetz jeweils an einem Alltagsbeispiel (z. B. Sicherheitsgurt im Auto, Raketenantrieb). Berechne ergänzend die mittlere Bremskraft, die ein Sicherheitsgurt auf einen

75

kg schweren Insassen ausübt, wenn dieser bei einem Aufprall in

0{,}10

s von

50

km/h auf null abgebremst wird.

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Typische Fehler

Aktion und Reaktion als Kraftpaar am gleichen Körper interpretiert.
Reibungskraft vergessen oder Vorzeichen falsch.
Im Aufzug $F_{N}$ mit $F_{g}$ verwechselt.

Aktive Wiederholung

Ein Block auf einer schiefen Ebene mit Neigungswinkel $20^{\circ}$ und Reibungskoeffizient $\mu=0{,}25$ wird losgelassen. Bestimme die Beschleunigung des Blocks.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: MIT OCW 8.01 Classical Mechanics Lectures 4-6 (MIT OpenCourseWare) · OpenStax College Physics - Newton Laws (OpenStax)

Wurfbewegung und Superposition#

StandardPHY-Mech-1.3

Nach dem Abwurf wirkt auf einen Wurfkörper nur noch die Schwerkraft. Der Schlüssel zur Analyse ist das Superpositionsprinzip: Die Bewegung lässt sich in zwei voneinander unabhängige Teilbewegungen zerlegen, die gleichzeitig und ungestört nebeneinander ablaufen und sich erst in der Bahnkurve überlagern.

Horizontal liegt eine gleichförmige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit

v_{x}=v_{0}\cos\theta

vor, weil in dieser Richtung keine Kraft wirkt. Vertikal handelt es sich um einen freien Fall mit

v_{y}=v_{0}\sin\theta-g t

: Die Anfangsgeschwindigkeit nach oben wird von der Schwerkraft gleichmäßig abgebaut, kehrt sich um und wächst nach unten wieder an.

Die Überlagerung beider Komponenten ergibt die Bahnkurve

y(x)=x\tan\theta-\dfrac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}

- eine nach unten geöffnete Parabel (). Dass die Wurfbahn parabelförmig ist, war eine der ersten großen Erkenntnisse Galileis und folgt zwingend aus der Unabhängigkeit der beiden Komponenten.

Schiefer Wurf - Bahnkurve

Abb. 5Wurfweite und Steighöhe bei Startwinkel

\theta

; Bahn ist Parabel.

Die maximale Steighöhe erreicht der Körper, wenn

v_{y}=0

wird:

h=\dfrac{(v_{0}\sin\theta)^{2}}{2g}

. Die gesamte Flugdauer bis zur Ausgangshöhe beträgt

t_{ges}=\dfrac{2 v_{0}\sin\theta}{g}

, also die doppelte Steigzeit, da Auf- und Abstieg symmetrisch verlaufen.

Die größte Wurfweite bei gegebener Anfangsgeschwindigkeit ergibt sich für den Abwurfwinkel

\theta=45^{\circ}

- allerdings nur, wenn Abwurf- und Auftreffhöhe gleich sind. Bei einem Wurf von einer Klippe oder aus Schulterhöhe verschiebt sich der optimale Winkel zu einem etwas kleineren Wert; die Flugzeit bestimmt man dann aus einer quadratischen Gleichung in

t

All das gilt im idealisierten Modell ohne Luftwiderstand. Realer Luftwiderstand wächst mit der Geschwindigkeit, krümmt die Bahn unsymmetrisch (der Abstieg wird steiler) und verkürzt die Wurfweite spürbar - bei einem scharf geschossenen Ball erheblich, bei einem langsam geworfenen Stein kaum merklich.

W=\dfrac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}

Wurfweite (Abwurf-/Auftrefflänge auf gleicher Höhe)

h=\dfrac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g}

Steighöhe

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Schiefer Wurf - Maximalweite

Ein Ball wird mit $v_{0}=20$ m/s unter $\theta=30^{\circ}$ gegen die Horizontale geworfen. Berechne Steighöhe, Flugdauer und Wurfweite.

Komponenten
$v_{x}=v_{0}\cos\theta=20\cdot\cos 30^{\circ}\approx 17{,}32$ m/s; $v_{y0}=20\cdot\sin 30^{\circ}=10$ m/s.
Steigzeit
$t_{s}=v_{y0}/g=10/9{,}81\approx 1{,}02$ s.
Steighöhe
$h=v_{y0}^{2}/(2g)=100/19{,}62\approx 5{,}10$ m.
Wurfweite
$W=v_{0}^{2}\sin(2\theta)/g=400\cdot\sin 60^{\circ}/9{,}81\approx 35{,}3$ m.

Ergebnis: $h\approx 5{,}1$ m, $t_{ges}\approx 2{,}04$ s, $W\approx 35{,}3$ m.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Beim schiefen Wurf zerlegt sich die Bewegung in eine horizontale gleichförmige und eine vertikale beschleunigte Komponente.
Schiefer Wurf - Bahnkurve
Abb.Wurfweite und Steighöhe bei Startwinkel $\theta$ ; Bahn ist Parabel.
2
Beide Komponenten überlagern sich zur parabelförmigen Bahn.
3
Die maximale Wurfweite ergibt sich bei 45 Grad - sofern Abwurf- und Aufschlaghöhe gleich sind.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erkläre das Superpositionsprinzip am Beispiel des waagrechten Wurfs. Ein Stein wird aus

25

m Höhe horizontal mit

12

m/s abgeworfen. Bestimme die Flugzeit und die Reichweite. Diskutiere kurz, wie sich Luftwiderstand qualitativ auswirken würde.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Annahme $g$ wirkt auch horizontal -> Bahn wäre keine Parabel.
Verwechslung Wurfweite/Wurfhöhe.
Bei $\theta=45^{\circ}$ Maximalwert nur für gleiche Höhe gültig.

Aktive Wiederholung

Ein Fussballer schiesst den Ball aus $1{,}0$ m Höhe mit $v_{0}=25$ m/s unter $40^{\circ}$ . Bestimme den Auftreffpunkt am Boden und die Auftreffgeschwindigkeit.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Projectile Motion (OpenStax)

Gleichförmige Kreisbewegung#

StandardPHY-Mech-1.4

Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist der Betrag der Geschwindigkeit konstant, ihre Richtung ändert sich aber ständig. Da die Geschwindigkeit eine vektorielle Größe ist, bedeutet schon die Richtungsänderung eine Beschleunigung - und das, obwohl der Tacho die ganze Zeit denselben Wert anzeigt.

Zur Beschreibung dient die Winkelgeschwindigkeit

\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f

, also der pro Sekunde überstrichene Winkel im Bogenmaß. Bahn- und Winkelgeschwindigkeit hängen über den Radius zusammen:

v=\omega r

. Weiter außen liegende Punkte einer rotierenden Scheibe sind demnach schneller, obwohl alle dieselbe Winkelgeschwindigkeit besitzen.

Die ständige Richtungsänderung ist eine zum Mittelpunkt gerichtete Zentripetalbeschleunigung

a_{z}=\dfrac{v^{2}}{r}=\omega^{2} r

. Sie steht stets senkrecht auf der Bahngeschwindigkeit und ändert deshalb nur deren Richtung, nicht ihren Betrag ().

Kreisbewegung - Geschwindigkeit und Zentripetalkraft

Abb. 6v tangential, F_z zum Zentrum gerichtet; betragsmäßig konstant bei gleichförmiger Bahn.

Nach

F=ma

erfordert diese Beschleunigung eine zum Mittelpunkt gerichtete Zentripetalkraft

F_{z}=\dfrac{m v^{2}}{r}

. Entscheidend: Sie ist keine neue, eigenständige Kraftart, sondern die Rolle, die eine bereits vorhandene resultierende Kraft übernimmt - die Haftreibung bei der Kurvenfahrt, die Seilkraft beim Kettenkarussell, die Gravitation beim Satelliten.

Periodendauer

T

und Drehzahl

n

sind zueinander reziprok (

n=1/T

); eine in Umdrehungen pro Minute gegebene Drehzahl muss vor jeder Rechnung in Umdrehungen pro Sekunde umgerechnet werden. Aus der Kurvenbedingung

\mu m g\geq \dfrac{m v^{2}}{r}

folgt etwa die größtmögliche kurvensichere Geschwindigkeit auf ebener Strecke.

Die häufig genannte Zentrifugalkraft ist keine reale Kraft im Inertialsystem, sondern eine Scheinkraft, die nur im mitrotierenden (beschleunigten) Bezugssystem auftritt. Wer von außen zusieht, braucht sie nicht - er erkennt allein die nach innen gerichtete Zentripetalkraft, die den Körper auf der Bahn hält.

a_{z}=\dfrac{v^{2}}{r}=\omega^{2}r

Zentripetalbeschleunigung

F_{z}=\dfrac{m v^{2}}{r}

Zentripetalkraft

Musterbeispiel

Mindestreibung in der Kurve

Auto mit $v=72$ km/h, $r=80$ m; bestimme $\mu_{\min}$ .

Geschwindigkeit
$v=72/3{,}6=20$ m/s.
Bedingung
Haftkraft $F_{R}=\mu m g$ muss Zentripetalkraft $F_{z}=m v^{2}/r$ liefern.
Auflösen
$\mu=\dfrac{v^{2}}{r g}=\dfrac{400}{80\cdot 9{,}81}\approx 0{,}51$ .

Ergebnis: Minimaler Haftreibungskoeffizient ca. $0{,}51$ (trockener Asphalt erfüllt das gerade noch).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Bei gleichförmiger Kreisbewegung ändert sich der Geschwindigkeitsvektor ständig in der Richtung.
Kreisbewegung - Geschwindigkeit und Zentripetalkraft
Abb.v tangential, F_z zum Zentrum gerichtet; betragsmäßig konstant bei gleichförmiger Bahn.
2
Die Zentripetalbeschleunigung zeigt zum Mittelpunkt und beträgt v Quadrat durch r.
3
In der Kurve liefern Reibung oder Seilkraft genau diese resultierende Zentripetalkraft.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Beschreibe Größen und Gesetze der gleichförmigen Kreisbewegung. Erläutere am Beispiel eines Kettenkarussells (Armlänge

4{,}0

20

Umdrehungen pro Minute), wie sich die Seilkraft und der Auslenkwinkel ergeben.

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Typische Fehler

Zentrifugalkraft als reale Kraft im Inertialsystem addiert.
Bahngeschwindigkeit $v$ mit Winkelgeschwindigkeit $\omega$ verwechselt.
Periode $T$ in Minuten statt Sekunden eingesetzt.

Aktive Wiederholung

Ein Auto fährt mit $72$ km/h durch eine ebene Kurve mit Radius $80$ m. Welcher minimale Haftreibungskoeffizient zwischen Reifen und Strasse ist nötig?

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Demtröder Experimentalphysik 1 - Kreisbewegung (Springer)

Reibung und schiefe Ebene#

StandardPHY-Mech-1.5

Reibung ist die Kraft, die der Relativbewegung zweier sich berührender Flächen entgegenwirkt. Mikroskopisch entsteht sie durch das Verzahnen und kurzzeitige Verkleben der nie perfekt glatten Oberflächen; makroskopisch fasst man all das in einem dimensionslosen Reibungskoeffizienten

\mu

zusammen.

Man unterscheidet Haft- und Gleitreibung. Die Haftreibung

F_{H}\leq\mu_{H}F_{N}

ist eine Grenzkraft: Sie passt sich der angreifenden Kraft an, bis der Körper beim Erreichen von

\mu_{H}F_{N}

losbricht. Danach wirkt die meist kleinere Gleitreibung

F_{G}=\mu_{G}F_{N}

mit

\mu_{G}<\mu_{H}

- deshalb ruckt ein schwerer Kasten beim Anschieben zunächst und gleitet anschließend leichter.

Beide Reibungskräfte hängen von der Normalkraft

F_{N}

ab, nicht aber von der Größe der Berührfläche - ein zunächst überraschendes Ergebnis, das man im Experiment gut bestätigen kann. Die Rollreibung (Rad, Kugellager) ist nochmals deutlich kleiner als die Gleitreibung; das ist letztlich der physikalische Grund für die Erfindung des Rades.

Auf der schiefen Ebene zerlegt man die Gewichtskraft in zwei Komponenten (): den Hangabtrieb

F_{HA}=m g\sin\alpha

parallel zur Ebene und die Normalkraft

F_{N}=m g\cos\alpha

senkrecht dazu. Nur die Normalkraft drückt die Flächen zusammen und bestimmt damit die Reibung - mit steilerem Winkel sinkt

F_{N}

und damit die Reibung, während der Hangabtrieb wächst.

Freikörperbild - Block auf schiefer Ebene

Abb. 7Gewichtskraft in Hangabtriebs- und Normalkomponente zerlegt; Reibung wirkt der Bewegung entgegen.

Ob ein Körper überhaupt losgleitet, entscheidet der Vergleich von Hangabtrieb und maximaler Haftkraft: Erst bei

\tan\alpha>\mu_{H}

rutscht er. Gleitet er, beträgt die Beschleunigung

a=g(\sin\alpha-\mu_{G}\cos\alpha)

- die Differenz aus antreibendem Hangabtrieb und bremsender Reibung, geteilt durch die Masse.

Reibung ist keine „verlorene", sondern in Wärme umgewandelte mechanische Energie: Längs des Weges

s

wird

W_{\text{Reib}}=F_{R}\cdot s

dissipiert. Genau deshalb werden Bremsscheiben heiß und Hände beim aneinander Reiben warm - die Energiebilanz schließt erst, wenn man diese Wärme mitzählt.

F_{R}=\mu\,F_{N}

Reibungskraft

a=g(\sin\alpha-\mu_{G}\cos\alpha)

Beschleunigung auf der schiefen Ebene

Musterbeispiel

Abgleiten auf der schiefen Ebene

Block, $\alpha=20^{\circ}$ , $\mu_{G}=0{,}25$ ; Beschleunigung beim Abgleiten?

Losbrech-Check
$\tan 20^{\circ}=0{,}364>\mu$ , der Block gleitet (bei $\mu_{H}\approx 0{,}3$ ).
Formel
$a=g(\sin\alpha-\mu_{G}\cos\alpha)$ .
Einsetzen
$a=9{,}81(\sin 20^{\circ}-0{,}25\cos 20^{\circ})=9{,}81(0{,}342-0{,}235)$ .
Auswertung
$a=9{,}81\cdot 0{,}107\approx 1{,}05$ m/s $^{2}$ .

Ergebnis: Der Block gleitet mit etwa $1{,}05$ m/s $^{2}$ abwärts - der Hangabtrieb übersteigt die Reibung.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Haftreibung hält einen Körper fest, bis der Hangabtrieb die maximale Haftkraft übersteigt.
Freikörperbild - Block auf schiefer Ebene
Abb.Gewichtskraft in Hangabtriebs- und Normalkomponente zerlegt; Reibung wirkt der Bewegung entgegen.
2
Auf der schiefen Ebene zerlegt sich die Gewichtskraft in Hangabtrieb und Normalkraft.
3
Reibung wandelt mechanische Energie in Wärme um - daher werden Bremsen heiss.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erläutere den Unterschied zwischen Haft-, Gleit- und Rollreibung. Berechne, ab welchem Neigungswinkel ein Körper mit Haftreibungskoeffizient

\mu_{H}=0{,}50

auf einer schiefen Ebene zu rutschen beginnt.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Reibungskraft von der Auflagefläche abhängig gemacht.
Normalkraft auf der schiefen Ebene als $m g$ statt $m g\cos\alpha$ angesetzt.
Haft- statt Gleitreibungskoeffizient (oder umgekehrt) verwendet.

Aktive Wiederholung

Ein Block auf einer um $25^{\circ}$ geneigten Ebene hat einen Gleitreibungskoeffizienten $\mu_{G}=0{,}30$ . Bestimme die Beschleunigung beim Abgleiten und prüfe, ob der Block überhaupt von selbst losgleitet ( $\mu_{H}=0{,}40$ ).

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Friction (OpenStax)

Rotation, Drehmoment und Drehimpuls#

VertiefungPHY-Mech-1.6

Für Drehbewegungen gibt es zu jeder Größe der Translation ein Rotationsanalogon: Die Kraft wird zum Drehmoment, die Masse zum Trägheitsmoment, der Impuls zum Drehimpuls. Diese Entsprechung macht die gesamte Drehmechanik aus den schon bekannten Gesetzen ableitbar.

Das Drehmoment

M=F\,r\,\sin\varphi

beschreibt die Drehwirkung einer Kraft (Einheit N

\cdot

m). Maßgeblich ist nicht der Kraftbetrag allein, sondern der Hebelarm - der senkrechte Abstand der Wirkungslinie vom Drehpunkt. Eine Türklinke ganz außen anzufassen ist müheloser, weil derselbe Kraftbetrag dort ein größeres Drehmoment erzeugt.

Ein starrer Körper ist im Drehgleichgewicht, wenn die Summe aller Drehmomente verschwindet:

\sum M=0

. Für die zweiseitige Balkenwaage führt das auf das Hebelgesetz

m_{1}g\,r_{1}=m_{2}g\,r_{2}

() - eine kleine Masse mit großem Hebelarm hält einer großen Masse mit kleinem Hebelarm das Gleichgewicht.

Hebelgesetz - Drehmomentgleichgewicht am Balken

Abb. 8Im Gleichgewicht heben sich die Drehmomente auf:

m_{1}g\,r_{1}=m_{2}g\,r_{2}

Das Trägheitsmoment

J=\sum m_{i}r_{i}^{2}

ist das Rotationsanalogon zur Masse; es misst, wie schwer ein Körper in Drehung zu versetzen ist. Anders als die Masse hängt

J

von der Massenverteilung ab: Weiter außen liegende Masse zählt quadratisch stärker - ein Ring ist schwerer in Drehung zu bringen als eine gleich schwere Vollscheibe.

Die Rotationsgrundgleichung

M=J\,\alpha

ist das Drehpendant zu

F=m a

: Das resultierende Drehmoment erzeugt eine Winkelbeschleunigung

\alpha

, die zum Trägheitsmoment umgekehrt proportional ist.

Der Drehimpuls

L=J\,\omega

ist in einem abgeschlossenen System (ohne äußeres Drehmoment) erhalten. Das erklärt die Pirouette: Zieht die Eiskunstläuferin die Arme an, sinkt

J

; da

L

konstant bleibt, muss

\omega

steigen - sie dreht schneller. Hinzu kommt die Rotationsenergie

E_{rot}=\tfrac{1}{2}J\,\omega^{2}

, die bei rollenden Körpern zusätzlich zur Translationsenergie zu bilanzieren ist.

M=F\,r\,\sin\varphi,\quad M=J\,\alpha

Drehmoment und Rotationsgrundgleichung

L=J\,\omega,\quad E_{rot}=\tfrac{1}{2}J\,\omega^{2}

Drehimpuls und Rotationsenergie

Musterbeispiel

Hebelgleichgewicht am Balken

Links $m_{1}=3{,}0$ kg bei $r_{1}=0{,}40$ m; rechts $m_{2}=2{,}0$ kg bei $r_{2}=?$ .

Hebelgesetz
Gleichgewicht: $m_{1}g\,r_{1}=m_{2}g\,r_{2}$ , also $m_{1}r_{1}=m_{2}r_{2}$ .
Auflösen
$r_{2}=\dfrac{m_{1}r_{1}}{m_{2}}=\dfrac{3{,}0\cdot 0{,}40}{2{,}0}$ .
Auswertung
$r_{2}=0{,}60$ m.

Ergebnis: Die $2{,}0$ -kg-Masse muss $0{,}60$ m rechts vom Drehpunkt hängen - die Drehmomente heben sich auf.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Das Drehmoment ist das Produkt aus Kraft und Hebelarm und entscheidet über die Drehwirkung.
2
Das Trägheitsmoment ist das Rotationspendant zur Masse und hängt von der Massenverteilung ab.
3
Die Drehimpulserhaltung erklärt, warum eine Eiskunstläuferin schneller dreht, wenn sie die Arme anzieht.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erläutere Drehmoment, Trägheitsmoment und Drehimpuls als Rotationsanaloga zur Translation. Erkläre die Pirouette einer Eiskunstläuferin mit der Drehimpulserhaltung.

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Typische Fehler

Hebelarm als Kraftbetrag statt als senkrechten Abstand verwendet.
Trägheitsmoment als reine Masse behandelt (Massenverteilung ignoriert).
Rotationsenergie beim Rollen vergessen.

Aktive Wiederholung

An einem Balken im Gleichgewicht hängt links im Abstand $0{,}40$ m eine Masse von $3{,}0$ kg. In welchem Abstand rechts muss eine $2{,}0$ -kg-Masse hängen? Begründe mit dem Hebelgesetz.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: MIT OCW 8.01 - Rotational Dynamics (MIT OpenCourseWare)

Belege & Quellen

Quellen

OpenStax

OpenStax College Physics - Kinematics

Springer

Demtröder Experimentalphysik 1 - Mechanik

MIT OpenCourseWare

MIT OCW 8.01 Classical Mechanics Lectures 4-6