AG 4 - Trigonometrie im Dreieck und am Einheitskreis — Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Rechtwinkliges Dreieck - sin, cos, tan#

BasisAG-4.1

Viele praktische Fragen laufen darauf hinaus, in einem rechtwinkligen Dreieck eine fehlende Seite oder einen fehlenden Winkel zu bestimmen - etwa die Höhe eines Turms aus Entfernung und Blickwinkel. Die Trigonometrie löst das, indem sie jedem spitzen Winkel ein festes Verhältnis zweier Seiten zuordnet, das wegen der Ähnlichkeit aller gleichwinkeligen Dreiecke nicht von der Größe des Dreiecks abhängt.

Bezogen auf den spitzen Winkel

\alpha

heißt die gegenüberliegende Seite Gegenkathete, die anliegende Ankathete und die dem rechten Winkel gegenüberliegende längste Seite Hypotenuse. Damit gelten

\sin\alpha=\tfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}

,

\cos\alpha=\tfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}

und

\tan\alpha=\tfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}

; die Merkhilfe SOH-CAH-TOA fasst genau diese drei Brüche zusammen.

Die Hypotenuse ist immer die längste Seite und liegt stets dem rechten Winkel gegenüber - in einer schief gezeichneten Skizze also nicht zwangsläufig „unten" (). Welche Kathete Gegen- und welche Ankathete ist, hängt dagegen vom betrachteten Winkel ab: Wechselt man zum zweiten spitzen Winkel, vertauschen beide ihre Rollen, weshalb der Sinus des einen gleich dem Cosinus des anderen ist.

Rechtwinkliges Dreieck - Gegen/Ankathete/Hypotenuse

Abb. 1Beziehungen

\sin

,

\cos

,

\tan

in Bezug auf Winkel

\alpha

am rechten Winkel.

Sind zwei der drei Bestimmungsstücke bekannt - zwei Seiten oder eine Seite und ein Winkel -, lassen sich alle übrigen berechnen. Die drei Seiten verknüpft zusätzlich der Satz des Pythagoras

a^{2}+b^{2}=c^{2}

mit der Hypotenuse

c

. Einen unbekannten Winkel gewinnt man aus einem bekannten Verhältnis über die Umkehrtasten

\sin^{-1}

,

\cos^{-1}

bzw.

\tan^{-1}

des Taschenrechners.

Ein Zahlenbeispiel macht das Vorgehen greifbar: Bei Hypotenuse

c=10

und

\alpha=30^{\circ}

liefert

\sin 30^{\circ}=\tfrac{a}{10}

die Gegenkathete

a=10\cdot\sin 30^{\circ}=5

, und

\cos 30^{\circ}

ergibt die Ankathete

b=10\cdot\cos 30^{\circ}\approx 8{,}66

. Die Probe mit dem Pythagoras bestätigt

5^{2}+8{,}66^{2}\approx 100=10^{2}

.

Anwendungen reichen von Vermessungs- und Höhenaufgaben bis zur Mechanik, wo eine schräg wirkende Kraft über

\sin

und

\cos

in ihre waagrechte und senkrechte Komponente zerlegt wird - dieselbe Komponentenzerlegung, die der Vektorrechnung in Thema AG 3 zugrunde liegt. Besitzt ein Dreieck keinen rechten Winkel mehr, versagen diese einfachen Verhältnisse; dann übernehmen der Sinus- und der Cosinussatz der nächsten Sektion.

\sin\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}},\;\cos\alpha=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}},\;\tan\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}

Trigonometrische Verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck

Musterbeispiel

Höhe eines Baumes mit Theodolit

Aus $40$ m Entfernung wird die Spitze eines Baumes unter $28^{\circ}$ anvisiert. Wie hoch ist der Baum (Augenhöhe $1{,}6$ m)?

Trigonometrische Beziehung
$\tan 28^{\circ}=\dfrac{h-1{,}6}{40}$ .
Umformen
$h-1{,}6=40\cdot\tan 28^{\circ}\approx 21{,}27$ .
Auswerten
$h\approx 22{,}9$ m.

Ergebnis: Der Baum ist rund $22{,}9$ m hoch.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse, Kosinus ist Ankathete durch Hypotenuse, Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete.
2
In einer Anwendungsaufgabe zeichnest du zuerst ein klares rechtwinkliges Dreieck.
3
Prüfe am Ende immer, ob der berechnete Wert realistisch ist.

Typische Fehler

Gegen- und Ankathete vertauscht.
Hypotenuse mit der Kathete verwechselt.
Bei Anwendungsaufgaben Einheiten nicht mitgenommen.

Aktive Wiederholung

Ein Hang steigt unter $25^{\circ}$ an. Wie lang ist die Strecke entlang des Hanges, wenn der Höhenunterschied $80$ m beträgt?

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: BMBWF Formelheft (BMBWF)

Sinus- und Cosinussatz#

StandardAG-4.2

Sobald ein Dreieck keinen rechten Winkel mehr hat, greifen die einfachen Seitenverhältnisse nicht mehr. Zwei allgemeine Sätze schließen diese Lücke und erlauben es, aus drei gegebenen Bestimmungsstücken die fehlenden zu berechnen: der Sinussatz und der Cosinussatz. Welcher der beiden passt, entscheidet allein die Kombination der gegebenen Stücke.

Der Sinussatz gilt in jedem Dreieck und verbindet jede Seite mit dem Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels:

\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2R

, wobei

R

der Umkreisradius ist. Längere Seiten liegen also größeren Winkeln gegenüber. Man setzt ihn ein, wenn ein Winkel und die ihm gegenüberliegende Seite bekannt sind, wie in WSW- und SWW-Konfigurationen.

Der Cosinussatz

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma

verallgemeinert den Satz des Pythagoras auf beliebige Dreiecke: Der Korrekturterm

-2ab\cos\gamma

misst, wie stark der Winkel

\gamma

vom rechten Winkel abweicht. Für

\gamma=90^{\circ}

ist

\cos\gamma=0

, und die Formel geht in

c^{2}=a^{2}+b^{2}

über. Er greift, wenn drei Seiten (SSS) oder zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel (SWS) bekannt sind.

Faustregel zur Wahl: Ist ein vollständiges Paar aus Seite und gegenüberliegendem Winkel bekannt, führt der Sinussatz am schnellsten zum Ziel; fehlt ein solches Paar, beginnt man mit dem Cosinussatz. Für

a=5

,

b=7

und eingeschlossenem Winkel

\gamma=60^{\circ}

etwa ergibt sich

c^{2}=5^{2}+7^{2}-2\cdot 5\cdot 7\cdot\cos 60^{\circ}=74-35=39

, also

c\approx 6{,}24

.

Vorsicht ist beim Sinussatz geboten, wenn zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegeben sind (SsW): Hier kann es zwei Lösungen geben, denn zu einem Sinuswert gehören zwei Winkel,

\alpha

und

180^{\circ}-\alpha

. Man muss prüfen, ob auch der zweite, stumpfe Winkel mit der Winkelsumme

180^{\circ}

im Dreieck verträglich ist - dieser mehrdeutige Fall wird in der Matura gern übersehen.

Bei stumpfen Winkeln ist

\cos\gamma

negativ, sodass der Korrekturterm im Cosinussatz die Seite

c

vergrößert - ein Vorzeichenfehler an dieser Stelle ist eine häufige Fehlerquelle. Beide Sätze sind die zentralen Werkzeuge der Vermessung und bilden die Grundlage der Anwendungsaufgaben in der übernächsten Sektion; eine Skizze mit beschrifteten Seiten und Winkeln sichert die richtige Zuordnung.

\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2R

Sinussatz (R = Umkreisradius)

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma

Cosinussatz (Verallgemeinerung des Pythagoras)

Musterbeispiel

Vermessungsaufgabe mit Cosinussatz

Drei Punkte $A$ , $B$ , $C$ bilden ein Dreieck mit $|AB|=120$ m, $|AC|=85$ m und Winkel bei $A=72^{\circ}$ . Wie weit sind $B$ und $C$ voneinander entfernt?

Cosinussatz
$|BC|^{2}=120^{2}+85^{2}-2\cdot 120\cdot 85\cdot\cos 72^{\circ}$ .
Auswerten
$|BC|^{2}=14400+7225-20400\cdot 0{,}309\approx 21625-6304=15321$ .
Wurzel
$|BC|\approx 123{,}8$ m.

Ergebnis: Die Strecke $|BC|$ beträgt rund $123{,}8$ m.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Sinussatz: Seiten verhalten sich wie die Sinus ihrer Gegenwinkel.
Sinussatz (R = Umkreisradius)
$\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2R$
2
Cosinussatz: nutze ihn bei drei Seiten oder bei zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel.
Cosinussatz (Verallgemeinerung des Pythagoras)
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma$
3
Prüfe die Lösung im Kontext - Winkelsumme im Dreieck ist $180^{\circ}$ .

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

In einem Dreieck ist die Seite

a=12

cm, der gegenüberliegende Winkel

\alpha=40^{\circ}

und

\beta=70^{\circ}

. Berechne die Seite

b

.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Falschen Winkel im Cosinussatz eingesetzt - der Winkel muss gegenüber der berechneten Seite liegen.
Mehrdeutigen Fall des Sinussatzes übersehen.
Sinus oder Cosinus eines Winkels größer als $90^{\circ}$ falsch interpretiert.

Aktive Wiederholung

Im Dreieck gilt $a=8$ , $b=10$ , $\gamma=60^{\circ}$ . Berechne Seite $c$ .

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Mathago Sinussatz (Mathago)

Einheitskreis und Bogenmass#

StandardAG-4.2

Die Verhältnisse am rechtwinkligen Dreieck erklären Sinus und Cosinus nur für spitze Winkel zwischen

0^{\circ}

und

90^{\circ}

. Der Einheitskreis hebt diese Beschränkung auf: Er definiert

\sin

und

\cos

für jeden beliebigen Winkel und macht sie damit zur Grundlage der späteren Winkel- und Schwingungsfunktionen (Thema FA 3).

Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt im Ursprung und den Radius

1

. Trägt man einen Winkel

\varphi

von der positiven

x

-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn ab, so trifft der zweite Schenkel den Kreis in genau einem Punkt

P(\cos\varphi\,|\,\sin\varphi)

(). Der Cosinus ist also die

x

-Koordinate, der Sinus die

y

-Koordinate dieses Punktes.

Einheitskreis — Sinus und Kosinus

Abb. 2Punkt

P(\cos\varphi \mid \sin\varphi)

auf dem Einheitskreis;

\varphi

im Bogenmaß.

Aus dieser Deutung liest man die Vorzeichen direkt ab: Im ersten Quadranten sind beide positiv, im zweiten ist nur der Sinus positiv (der Cosinus negativ), im dritten beide negativ, im vierten nur der Cosinus. Weil

P

stets auf dem Kreis mit Radius

1

liegt, gilt nach Pythagoras für jeden Winkel

\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=1

.

Neben dem Gradmaß misst man Winkel im Bogenmaß über die Länge des zugehörigen Kreisbogens am Einheitskreis. Ein voller Umlauf entspricht dem Umfang

2\pi

, also

2\pi

rad

=360^{\circ}

; daraus folgt

1\,\text{rad}=\tfrac{180^{\circ}}{\pi}\approx 57{,}3^{\circ}

. Umgerechnet wird mit

\varphi_{\text{rad}}=\varphi_{\text{deg}}\cdot\dfrac{\pi}{180}

, sodass etwa

90^{\circ}

dem Wert

\tfrac{\pi}{2}

entsprechen.

Weil zu jedem reellen Argument ein Kreispunkt gehört, sind

\sin

und

\cos

nun für beliebige reelle Zahlen definiert - auch für Winkel über

360^{\circ}

oder negative Winkel. Da sich der Punkt

P

nach einem vollen Umlauf wiederholt, sind

\sin

und

\cos

periodisch mit der Periode

2\pi

; der Tangens als Quotient hat die kürzere Periode

\pi

.

In der Analysis ist das Bogenmaß Standard: Schreibt man

\sin x

, ist

x

im Bogenmaß gemeint. Wer den Taschenrechner im Gradmodus belässt, erhält dort falsche Werte - die Moduskontrolle (DEG/RAD) ist daher Pflicht. Periodische Vorgänge wie Gezeiten oder Schwingungen modelliert man genau über diese kreisförmige Bewegung, indem man Frequenz und Phase anpasst.

\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1

Trigonometrischer Pythagoras

\varphi_{\text{rad}}=\varphi_{\text{deg}}\cdot\dfrac{\pi}{180}

Umrechnung Grad in Bogenmass

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Punkt auf dem Einheitskreis und Bogenmaß

Bestimme zum Winkel $\varphi=120^{\circ}$ den zugehörigen Punkt $P(\cos\varphi\,|\,\sin\varphi)$ auf dem Einheitskreis und gib $\varphi$ im Bogenmaß an.

Bogenmaß
$\varphi=120^{\circ}\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{2\pi}{3}$ .
Quadrant
$120^{\circ}$ liegt im zweiten Quadranten, also ist der Cosinus negativ und der Sinus positiv.
Koordinaten
$\cos 120^{\circ}=-\tfrac{1}{2}$ und $\sin 120^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}87$ .

Ergebnis: Der Punkt ist $P=(-\tfrac{1}{2}\,|\,\tfrac{\sqrt{3}}{2})\approx(-0{,}5\,|\,0{,}87)$ bei $\varphi=\tfrac{2\pi}{3}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Auf dem Einheitskreis liest du Sinus an der senkrechten Achse und Cosinus an der waagrechten Achse ab.
Einheitskreis — Sinus und Kosinus
Abb.Punkt $P(\cos\varphi \mid \sin\varphi)$ auf dem Einheitskreis; $\varphi$ im Bogenmaß.
2
Bogenmass misst den zurückgelegten Weg auf dem Kreis - $2\pi$ ist eine ganze Runde.
3
Die Periodizität erlaubt es dir, jeden Winkel auf $[0,\,2\pi)$ zurückzuführen.

Typische Fehler

Wechsel Grad/Bogenmass am Taschenrechner nicht eingestellt.
Quadrantenzugehörigkeit nicht beachtet (z.B. Winkel im 2. Quadranten).
Pythagoreischer trigonometrischer Satz nicht angewandt, obwohl er hilfreich wäre.

Aktive Wiederholung

Berechne $\cos\varphi$ , wenn $\sin\varphi=\tfrac{3}{5}$ und $\varphi$ im zweiten Quadranten liegt.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Bogenmaß und Einheitskreis (IQS)

Anwendungen aus Geometrie und Vermessung#

StandardAG-4.1AG-4.2

Trigonometrie entfaltet ihren Nutzen erst in Anwendungen: Entfernungen, die man nicht direkt messen kann, Höhen unzugänglicher Punkte oder Flächen unregelmäßiger Grundstücke werden über Winkel und wenige messbare Strecken erschlossen. Der Schlüssel ist stets, die Realsituation in ein oder mehrere Dreiecke zu übersetzen.

Vermessungsaufgaben verbinden den Sinus- und den Cosinussatz mit der Maßstabsübersetzung und einer sorgfältigen Einheitenkontrolle. Eine beschriftete Skizze, in der jede gegebene Strecke und jeder Winkel eingetragen ist, verhindert die meisten Folgefehler und macht sichtbar, welcher Satz auf welches Dreieck anzuwenden ist.

Höhenbestimmungen über zwei Standpunkte sind der Klassiker: Von zwei Punkten mit bekanntem Abstand wird dieselbe Spitze unter verschiedenen Winkeln anvisiert. Im so entstehenden Hilfsdreieck berechnet man mit dem Sinussatz zunächst eine Sichtstrecke und daraus über den Sinus die gesuchte Höhe.

Den Flächeninhalt eines Dreiecks erhält man aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel über

A=\tfrac{1}{2}ab\sin\gamma

. Diese Formel ist nichts anderes als „halbe Grundlinie mal Höhe", denn

b\sin\gamma

ist genau die zur Seite

a

gehörende Höhe. Für

a=6

,

b=8

und

\gamma=30^{\circ}

ergibt sich

A=\tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot\sin 30^{\circ}=12

.

Auch Volumsberechnungen in regelmäßigen Vielecken und Prismen bauen auf diesen trigonometrischen Grundlagen auf, etwa wenn man ein regelmäßiges Vieleck in gleiche Bestimmungsdreiecke zerlegt. Bei zusammengesetzten Figuren empfiehlt sich generell eine schrittweise Zerlegung in rechtwinklige Dreiecke, deren Teilergebnisse man am Ende zusammensetzt.

Typische Fehlerquellen sind ein vergessener Maßstab, doppelt gezählte Teilflächen bei zusammengesetzten Figuren und ein Vorzeichenfehler beim Cosinus eines stumpfen Winkels. In der Matura sollte man Einheiten und die gewählte Genauigkeit am Ende ausdrücklich dokumentieren und prüfen, ob das Ergebnis im Sachzusammenhang plausibel ist.

A_{\triangle}=\tfrac{1}{2}ab\sin\gamma

Dreiecksfläche aus zwei Seiten und eingeschlossenem Winkel

Musterbeispiel

Zwei-Standpunkte-Aufgabe

Standpunkte $A$ , $B$ liegen $200$ m voneinander entfernt; Sichtwinkel zur Spitze $\alpha=32^{\circ}$ bzw. $\beta=43^{\circ}$ . Berechne die Berghöhe.

Innenwinkel im Hilfsdreieck
$\gamma=180^{\circ}-32^{\circ}-43^{\circ}=105^{\circ}$ .
Sinussatz
Distanz von $A$ zur Spitze: $d_{A}=\dfrac{200\sin 43^{\circ}}{\sin 105^{\circ}}\approx 141{,}2$ m.
Höhe
$h=d_{A}\cdot\sin 32^{\circ}\approx 141{,}2\cdot 0{,}530\approx 74{,}9$ m.

Ergebnis: Der Berg ist rund $74{,}9$ m hoch.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
In Anwendungsaufgaben startest du mit einer beschrifteten Skizze.
2
Identifiziere den passenden Satz - Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck, Sinus- oder Cosinussatz sonst.
3
Prüfe am Schluss Einheiten und ob das Ergebnis im Sachzusammenhang sinnvoll ist.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Rampe mit Länge

4

m hat einen Höhenunterschied von

0{,}6

m. Berechne den Neigungswinkel der Rampe und die horizontale Strecke.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Massstab vergessen.
Bei zusammengesetzten Figuren Doppel- oder Mehrfachflächen gezählt.
Cosinussatz mit Vorzeichenfehler beim Cosinus eines stumpfen Winkels.

Aktive Wiederholung

Aus zwei Standorten $A$ und $B$ ( $|AB|=200$ m) wird die Spitze eines Berges anvisiert: $\alpha=32^{\circ}$ (von $A$ aus), $\beta=43^{\circ}$ (von $B$ aus). Bestimme die Höhe des Berges.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Mathago Anwendungsaufgaben (Mathago)

Trigonometrische Grundbeziehungen#

StandardAG-4.1

Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels sind nicht unabhängig voneinander - wenige Grundbeziehungen verknüpfen sie so eng, dass aus einem Wert die übrigen folgen. Diese Identitäten sind das Werkzeug, um trigonometrische Ausdrücke umzuformen und Gleichungen zu lösen.

Die wichtigste ist der trigonometrische Pythagoras

\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1

, der für jeden Winkel gilt. Er ist die unmittelbare Folge des Satzes von Pythagoras am Einheitskreis, wo

\cos\alpha

und

\sin\alpha

die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hypotenuse

1

sind. Aus ihm lässt sich jeder der beiden Werte aus dem anderen gewinnen.

Der Tangens ist als Quotient definiert:

\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

, gültig nur für

\cos\alpha\neq 0

. An den Stellen

\alpha=90^{\circ}

und

\alpha=270^{\circ}

, wo der Cosinus verschwindet, ist der Tangens daher nicht definiert - dort besitzt seine Funktion senkrechte Asymptoten.

Aus einem bekannten Funktionswert und der Quadrantenlage lassen sich die übrigen Werte bestimmen. Ist etwa

\sin\alpha

gegeben, liefert

\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}

den Betrag des Cosinus; das richtige Vorzeichen entscheidet der Quadrant. Anschließend folgt der Tangens als Quotient der beiden Werte.

Komplementbeziehungen wie

\sin(90^{\circ}-\alpha)=\cos\alpha

folgen direkt aus dem rechtwinkligen Dreieck, in dem sich die beiden spitzen Winkel zu

90^{\circ}

ergänzen. Ein Beispiel zum Verfahren: Ist

\cos\alpha=0{,}6

und liegt

\alpha

im vierten Quadranten, so ist

\sin\alpha=-\sqrt{1-0{,}36}=-0{,}8

und

\tan\alpha=\tfrac{-0{,}8}{0{,}6}=-\tfrac{4}{3}

.

Das Vorzeichen von Sinus, Cosinus und Tangens hängt vom Quadranten ab und muss bei jeder Umkehrung beachtet werden - der häufigste Fehler ist, beim Wurzelziehen das negative Vorzeichen zu unterschlagen. Wer die Vorzeichen je Quadrant sicher beherrscht und den trigonometrischen Pythagoras als Umformungswerkzeug einsetzt, löst die zugehörigen Typ-1-Aufgaben zuverlässig.

\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1,\quad \tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Trigonometrische Grundbeziehungen

Musterbeispiel

Fehlende Werte aus dem Pythagoras

Es gilt $\sin\alpha=0{,}6$ und $\alpha$ liegt im zweiten Quadranten. Bestimme $\cos\alpha$ .

Pythagoras
$\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha=1-0{,}36=0{,}64$ .
Wurzel
$\cos\alpha=\pm 0{,}8$ .
Quadrant
Im zweiten Quadranten ist der Kosinus negativ, also $\cos\alpha=-0{,}8$ .

Ergebnis: $\cos\alpha=-0{,}8$ und damit $\tan\alpha=\dfrac{0{,}6}{-0{,}8}=-0{,}75$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Der trigonometrische Pythagoras verknüpft Sinus und Kosinus eines Winkels zu einer festen Gleichung.
2
Aus einem Funktionswert folgt der zweite über diese Gleichung, das Vorzeichen liefert der Quadrant.
3
Der Tangens ergibt sich anschliessend als Quotient von Sinus und Kosinus.

Typische Fehler

Beim Wurzelziehen das negative Vorzeichen je nach Quadrant vergessen.
Tangens für $\cos\alpha=0$ als definiert angenommen.
Grad- und Bogenmass in derselben Rechnung gemischt.

Aktive Wiederholung

Gegeben ist $\sin\alpha=0{,}6$ mit $\alpha$ im zweiten Quadranten. Bestimme $\cos\alpha$ und $\tan\alpha$ .

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Trigonometrie AHS (IQS)

Bogenmass und Polarkoordinaten#

StandardAG-4.2

Das Bogenmaß misst einen Winkel nicht in Grad, sondern über die Länge des Bogens, den er am Einheitskreis ausschneidet. Weil der Umfang des Einheitskreises

2\pi

beträgt, entspricht ein voller Umlauf dem Wert

2\pi

. Dieses natürliche Maß ist die Standardeinheit der Analysis.

Umgerechnet wird über

\text{Bogenmaß}=\text{Gradmaß}\cdot\dfrac{\pi}{180^{\circ}}

. Die wichtigsten Werte sollte man auswendig kennen:

30^{\circ}=\tfrac{\pi}{6}

,

45^{\circ}=\tfrac{\pi}{4}

,

60^{\circ}=\tfrac{\pi}{3}

und

90^{\circ}=\tfrac{\pi}{2}

. Der Faktor wird leicht falsch herum verwendet - merke: von Grad zu Bogenmaß wird mit

\tfrac{\pi}{180}

multipliziert, in die Gegenrichtung mit

\tfrac{180}{\pi}

.

Der Grund für diese Vorliebe liegt in der Differentialrechnung: Die Ableitung von

\sin x

ist nur dann das vertraute

\cos x

, wenn das Argument

x

im Bogenmaß steht; im Gradmaß träte ein störender Faktor

\tfrac{\pi}{180}

auf. Schreibt man in der Analysis

\sin x

, ist daher stets das Bogenmaß gemeint.

Polarkoordinaten beschreiben einen Punkt nicht durch seine kartesischen Koordinaten

x

und

y

, sondern durch den Abstand

r

vom Ursprung und den Winkel

\varphi

, den die Verbindungslinie mit der positiven

x

-Achse einschließt. Diese Darstellung ist überall dort natürlich, wo eine Drehung oder ein Kreis im Spiel ist.

Die Umrechnung in kartesische Koordinaten folgt direkt aus dem Einheitskreis, skaliert mit

r

:

x=r\cos\varphi

und

y=r\sin\varphi

. Für

r=3

und

\varphi=\tfrac{\pi}{2}

etwa ergibt sich

x=3\cos\tfrac{\pi}{2}=0

und

y=3\sin\tfrac{\pi}{2}=3

, also der Punkt

(0\,|\,3)

. Der Cosinus liefert stets die

x

-, der Sinus die

y

-Koordinate.

Trägt man

\sin x

über dem im Bogenmaß gemessenen

x

auf, entsteht die charakteristische Wellenlinie mit Periode

2\pi

und Nullstellen bei

0

,

\pi

und

2\pi

() - sie ist der Übergang zu den Winkelfunktionen des Themas FA 3. In der Matura sind sicheres Umrechnen zwischen Grad- und Bogenmaß sowie die konsequente Verwendung des Bogenmaßes in Analysis-Aufgaben gefragt.

Sinusfunktion y=\sin x im Bogenmaß

Abb. 3Eine volle Periode über

[0,\,2\pi]

mit Nullstellen bei

0

,

\pi

und

2\pi

.

\text{Bogenmass}=\text{Grad}\cdot\dfrac{\pi}{180^{\circ}},\quad x=r\cos\varphi,\;y=r\sin\varphi

Bogenmass und Polarkoordinaten

Musterbeispiel

Polar in kartesisch umrechnen

Gegeben sind $r=2$ und $\varphi=\tfrac{\pi}{3}$ . Bestimme die kartesischen Koordinaten.

x-Koordinate
$x=2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot 0{,}5=1$ .
y-Koordinate
$y=2\sin\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\approx 1{,}73$ .
Punkt
Der Punkt hat die Koordinaten $x=1$ und $y\approx 1{,}73$ .

Ergebnis: Kartesisch: $P=(1\,|\,\sqrt{3})\approx (1\,|\,1{,}73)$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Im Bogenmass entspricht ein voller Kreis dem Wert zwei Pi statt dreihundertsechzig Grad.
2
Mit dem Faktor Pi durch hundertachtzig rechnest du Grad in Bogenmass um.
3
Polarkoordinaten beschreiben einen Punkt über Abstand und Winkel; Kosinus liefert die x-, Sinus die y-Koordinate.

Typische Fehler

Umrechnungsfaktor $\tfrac{\pi}{180}$ falsch herum verwendet.
Taschenrechner im Gradmodus belassen, obwohl Bogenmass gefragt ist.
Bei Polarkoordinaten Sinus und Kosinus vertauscht.

Aktive Wiederholung

Wandle den Punkt mit $r=2$ und $\varphi=\tfrac{\pi}{3}$ in kartesische Koordinaten um.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: BMBWF Formelheft Mathematik AHS (BMBWF)