B 9 - Schliessende Statistik: Konfidenz und Tests — Angewandte Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Konfidenzintervall für einen Anteil#

StandardB-9.1

Die schließende Statistik schließt von einer Stichprobe auf die unbekannte Grundgesamtheit - vom Anteil der „Ja"-Stimmen in einer Umfrage auf den wahren Anteil aller Wähler. Der Stichprobenanteil

\hat p

ist dabei nur ein Punktschätzer; weil eine andere Stichprobe ein anderes

\hat p

liefern würde, braucht man ein Maß für seine Genauigkeit.

Genau das leistet das Konfidenzintervall: Es gibt einen Bereich um

\hat p

an, der den wahren Anteil mit einer vorgegebenen Sicherheit überdeckt (). Berechnet wird es als

\hat p \pm z\cdot\sqrt{\tfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}

- Schätzer plus/minus dem

z

-fachen des Standardfehlers.

Konfidenzintervall um den Punktschätzer

Abb. 1Der Schätzer

\hat p

liegt mittig; die Fehlergrenze

z\cdot SE

legt die halbe Intervallbreite fest.

Der

z

-Wert legt das Konfidenzniveau fest und stammt aus der Standardnormalverteilung (B 8):

90\,\%

entsprechen

z=1{,}645

,

95\,\%

entsprechen

z=1{,}96

,

99\,\%

entsprechen

z=2{,}576

. Den

z

-Wert zum geforderten Niveau zu wählen, ist der erste Schritt - ein falsches

z

ist ein häufiger Fehler.

Der Standardfehler

\sqrt{\tfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}

hat das

n

im Nenner unter der Wurzel; ihn ohne diese Division durch

n

anzusetzen, verfälscht das Intervall. Voraussetzung für die Normal-Näherung ist eine hinreichend große Stichprobe (

n\hat p\geq 5

und

n(1-\hat p)\geq 5

).

Zwei Stellschrauben bestimmen die Breite: Ein höheres Konfidenzniveau verbreitert das Intervall (mehr Sicherheit kostet Präzision), ein größeres

n

verschmälert es (mehr Daten schärfen die Schätzung). Weil

n

unter der Wurzel steht, muss man

n

vervierfachen, um das Intervall zu halbieren.

Entscheidend ist die korrekte Deutung: „Mit

95\,\%

Sicherheit liegt der wahre Anteil im Bereich

[\dots]

" bezieht sich auf das Verfahren, nicht auf einen Zufallsparameter. Das Intervall ist keine Wahrscheinlichkeitsaussage über den festen, aber unbekannten wahren Anteil - diese Fehldeutung ist der subtilste Fehler des Themas.

\hat p \pm z\cdot\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\quad z_{0{,}95}=1{,}96

Konfidenzintervall für einen Anteil

Musterbeispiel

Konfidenzintervall für einen Anteil

In einer Befragung von $250$ Personen geben $75$ an, das Produkt zu kennen. Berechne ein $95\,\%$ -Konfidenzintervall.

Stichprobenanteil
$\hat p=\tfrac{75}{250}=0{,}30$ .
Standardfehler
$SE=\sqrt{\tfrac{0{,}30\cdot 0{,}70}{250}}\approx 0{,}029$ .
Intervall
$0{,}30\pm 1{,}96\cdot 0{,}029\approx 0{,}30\pm 0{,}057$ , also $[0{,}243; 0{,}357]$ .

Ergebnis: Mit $95\,\%$ Sicherheit liegt der Anteil zwischen $24{,}3\,\%$ und $35{,}7\,\%$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Konfidenzintervall druckt die Unsicherheit deines Punktschätzers aus.
2
Mit dem z-Wert legst du das Sicherheitsniveau fest.
3
Größeres $n$ liefert ein schmaleres Intervall.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Umfrage unter

500

Studierenden zeigt, dass

260

an Online-Veranstaltungen interessiert sind. Berechne ein

95\,\%

-Konfidenzintervall für den Anteil aller Studierenden. (HAK/HUM)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Falsches $z$ verwendet.
Standardfehler ohne $n$ im Nenner.
Konfidenzintervall als Wahrscheinlichkeit für den Parameter interpretiert.

Aktive Wiederholung

In einer Stichprobe von $400$ Befragten antworten $96$ mit "Ja". Berechne ein $99\,\%$ -Konfidenzintervall.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Konfidenzintervall für den Mittelwert#

StandardB-9.1

Analog zum Anteil schätzt man auch einen unbekannten Mittelwert

\mu

aus einer Stichprobe und gibt die Genauigkeit als Konfidenzintervall an (). Der Punktschätzer ist das Stichprobenmittel

\bar x

, die Unsicherheit steckt im Standardfehler des Mittels.

Konfidenzintervall um den Punktschätzer

Abb. 2Der Schätzer

\hat p

liegt mittig; die Fehlergrenze

z\cdot SE

legt die halbe Intervallbreite fest.

Bei bekannter Populationsstreuung

\sigma

lautet das Intervall

\bar x \pm z\cdot \tfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

. Der Standardfehler

\tfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

enthält die Wurzel von

n

- diese zu vergessen, ist der häufigste Rechenfehler.

Ist

\sigma

unbekannt und die Stichprobe klein, ersetzt man die Normal- durch die t-Verteilung mit

n-1

Freiheitsgraden und der Stichprobenstandardabweichung

s

. Die t-Verteilung ist etwas breiter als die Normalverteilung und trägt so der zusätzlichen Unsicherheit Rechnung.

Bei großen Stichproben (

n\geq 30

) liegen t- und Normalverteilung praktisch übereinander, sodass die Normal-Approximation auch mit der Stichproben-

s

tragbar ist. Wichtig ist, die Streuung der Daten nicht mit dem Standardfehler des Mittels zu verwechseln.

Die Stichprobenplanung kehrt die Formel um: Soll das Intervall höchstens die halbe Breite

E

haben, braucht man

n=\left(\tfrac{z\cdot \sigma}{E}\right)^{2}

Messungen - das Ergebnis wird stets aufgerundet. Wegen des Quadrats erfordert doppelte Genauigkeit den vierfachen Aufwand.

In der Praxis sind Konfidenzintervalle und Stichprobengröße im CAS direkt berechenbar (zTest, tTest). In der Matura tritt die Stichprobenplanung typisch als Teil-2-Aufgabe auf, die Berechnung des Intervalls als Standardanwendung in Marktforschung (HAK/HUM) oder Prozesskontrolle (HTL).

\bar x \pm z\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\quad z_{0{,}99}=2{,}576

Konfidenzintervall für den Mittelwert (σbekannt)

Musterbeispiel

Stichprobengröße berechnen

Wie viele Messungen sind nötig, damit das $95\,\%$ -Konfidenzintervall für den Mittelwert höchstens $0{,}5\,\mathrm{mm}$ breit ist, wenn $\sigma=2\,\mathrm{mm}$ ?

Halbe Breite
$E=0{,}25\,\mathrm{mm}$ .
Formel
$n=\left(\tfrac{1{,}96\cdot 2}{0{,}25}\right)^{2}=\left(15{,}68\right)^{2}\approx 245{,}9$ .
Aufrunden
$n=246$ Messungen erforderlich.

Ergebnis: Mindestens 246 Messungen erforderlich.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Standardfehler $\sigma/\sqrt{n}$ misst die Streuung des Stichprobenmittels.
2
Mit höherem Niveau (z-Wert) wird das Intervall breiter.
3
Stichprobengröße skaliert quadratisch mit der gewünschten Genauigkeit.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Bei einer Qualitätskontrolle wurden 50 Bauteile mit einem Mittelwert von

25{,}4\,\mathrm{mm}

vermessen (

\sigma=0{,}8\,\mathrm{mm}

). Bestimme ein

99\,\%

-Konfidenzintervall. (HTL)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Standardabweichung der Stichprobe statt der Population verwendet.
Quadratwurzel von $n$ vergessen.
Intervall mit Variabel statt Schätzer berechnet.

Aktive Wiederholung

Eine Stichprobe von $36$ Werkstücken hat $\bar x=82{,}1\,\mathrm{mm}$ bei $\sigma=1{,}5\,\mathrm{mm}$ . Bestimme ein $95\,\%$ -Konfidenzintervall für den Mittelwert.

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Hypothesentests und Fehlerarten#

VertiefungB-9.2B-9.3

Ein Hypothesentest prüft eine Behauptung über die Grundgesamtheit anhand einer Stichprobe - „weicht der Mittelwert vom Sollwert ab?", „ist der Ausschussanteil zu hoch?". Er ist das Entscheidungsverfahren der schließenden Statistik und folgt einem festen Ablauf.

Zuerst formuliert man zwei einander ausschließende Hypothesen: die Nullhypothese

H_0

(der Status quo, „keine Abweichung") und die Alternative

H_1

(der zu belegende Effekt). Dazu legt man das Signifikanzniveau

\alpha

fest - das tolerierte Risiko,

H_0

fälschlich zu verwerfen.

Die Richtung von

H_1

bestimmt die Testart: Ein zweiseitiger Test (

H_1:\mu\neq\mu_0

) verteilt

\alpha

auf beide Verteilungsenden (), ein einseitiger Test (

H_1:\mu>\mu_0

oder

<\mu_0

) konzentriert es auf eine Seite. Die Testart an der Fragestellung falsch zu wählen, ist ein typischer Fehler.

Zweiseitiger Test: Annahme- und Verwerfungsbereich

Abb. 3Liegt die Prüfgröße in einem der getönten Randbereiche, wird

H_{0}

verworfen.

Dann berechnet man die standardisierte Prüfgröße - etwa

z=\tfrac{\bar x-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}

- und vergleicht sie mit dem kritischen Wert (oder den p-Wert mit

\alpha

). Liegt die Prüfgröße im Verwerfungsbereich, wird

H_0

verworfen, sonst beibehalten. Die Prüfgröße muss standardisiert sein, sonst ist der Vergleich sinnlos.

Jede Entscheidung kann irren: Der Fehler 1. Art verwirft

H_0

, obwohl sie zutrifft (Wahrscheinlichkeit

\alpha

), der Fehler 2. Art behält

H_0

, obwohl sie falsch ist (Wahrscheinlichkeit

\beta

). Diese beiden nicht zu vertauschen, ist zentral; die Teststärke (Power)

1-\beta

misst die Chance, einen echten Effekt aufzudecken, und wächst mit

n

.

Bei der Interpretation ist Sorgfalt gefragt: Ein Verwerfen von

H_0

heißt „statistisch signifikant", nicht „bewiesen wahr"; ein Beibehalten heißt „nicht genug Evidenz", nicht „

H_0

ist wahr". In der Matura sind die Hypothesen im Sachkontext zu formulieren und die Entscheidung entsprechend vorsichtig zu deuten.

z=\dfrac{\bar x-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}

Prüfgröße beim z-Test für den Mittelwert

Musterbeispiel

Hypothesentest für einen Mittelwert

Eine Limonadenflasche soll $500\,\mathrm{mL}$ enthalten. In einer Stichprobe von $25$ Flaschen wurde $\bar x=497\,\mathrm{mL}$ ( $\sigma=4\,\mathrm{mL}$ ) gemessen. Teste auf dem $5\,\%$ -Niveau, ob die Maschine unterfüllt.

Hypothesen
$H_{0}: \mu=500$ , $H_{1}: \mu<500$ (einseitig).
Prüfgröße
$z=\tfrac{497-500}{4/\sqrt{25}}=\tfrac{-3}{0{,}8}=-3{,}75$ .
Kritischer Wert
$z_{0{,}05}=-1{,}645$ .
Entscheidung
$-3{,}75<-1{,}645$ -> $H_{0}$ verwerfen.

Ergebnis: Die Stichprobe spricht statistisch signifikant gegen die Soll-Füllmenge.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Formuliere klare Hypothesen und wähle ein Niveau.
2
Prüfgröße berechnen und mit kritischem Wert oder p-Wert vergleichen.
3
Interpretiere die Entscheidung im Sachkontext - "signifikant", nicht "wahr".

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Tablettenproduktion soll im Mittel

250\,\mathrm{mg}

Wirkstoff enthalten (

\sigma=4\,\mathrm{mg}

). Eine Stichprobe von

25

Tabletten ergibt

\bar x=252\,\mathrm{mg}

. Teste auf dem

5\,\%

-Niveau, ob der Mittelwert vom Sollwert abweicht. (HTL)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Falsche Richtung von $H_{1}$ (one- vs. two-sided).
Prüfgröße mit unstandardisierten Werten.
$\alpha$ - und $\beta$ -Fehler vertauscht.

Aktive Wiederholung

Ein Hersteller behauptet, dass weniger als $5\,\%$ seiner Produkte fehlerhaft sind. In einer Stichprobe von $200$ Produkten waren $15$ defekt. Teste die Behauptung auf dem $5\,\%$ -Niveau.

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Stichprobenverteilung und zentraler Grenzwertsatz#

StandardB-9.1

Die Stichprobenverteilung ist das theoretische Fundament hinter Konfidenzintervallen und Tests: Sie erklärt, warum die Formeln dieses Kompetenzbereichs überhaupt gelten. Ausgangspunkt ist die Einsicht, dass das Stichprobenmittel

\bar X

selbst eine Zufallsgröße ist - jede Stichprobe liefert ein anderes

\bar x

.

Die Verteilung dieser möglichen Stichprobenmittel hat zwei zentrale Eigenschaften. Erstens ist sie erwartungstreu:

E(\bar X)=\mu

- im Mittel trifft das Stichprobenmittel den wahren Wert. Zweitens streut sie weniger als die Einzelwerte.

Der Standardfehler des Mittels ist

\sigma_{\bar X}=\tfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

- die Streuung des Mittels sinkt mit der Wurzel des Umfangs, nicht linear. Anschaulich mitteln sich Ausreißer in größeren Stichproben stärker heraus; um den Standardfehler zu halbieren, muss man

n

vervierfachen, nicht verdoppeln.

Der zentrale Grenzwertsatz ist das eigentliche Wunder: Für hinreichend großes

n

(Faustregel

n\geq 30

) ist

\bar X

näherungsweise normalverteilt () - und zwar unabhängig davon, wie die Grundgesamtheit selbst verteilt ist. Selbst aus einer schiefen Verteilung wird das Mittel glockenförmig.

Normalverteilung - 68-95-99,7-Regel

Abb. 4Anteile innerhalb 1, 2 und 3 Standardabweichungen um den Mittelwert.

Genau deshalb darf man

\bar X

standardisieren und mit der Normalverteilung rechnen:

z=\tfrac{\bar x-\mu}{\sigma/\sqrt n}

. Bei stark schiefen Grundgesamtheiten und kleinem

n

greift der Satz allerdings noch nicht - dann ist Vorsicht geboten.

Auch der Stichprobenanteil

\hat p

ist für große

n

näherungsweise normalverteilt, mit Standardfehler

\sigma_{\hat p}=\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}

. Damit schließt sich der Kreis: Die Stichprobenverteilung begründet sowohl die Konfidenzintervall- als auch die Testformeln dieses Bereichs. Die häufigste Verwechslung ist die zwischen der Streuung

\sigma

der Einzelwerte und dem Standardfehler

\sigma/\sqrt n

des Mittels.

\sigma_{\bar X}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\quad E(\bar X)=\mu

Standardfehler des Stichprobenmittels

Musterbeispiel

Wahrscheinlichkeit für das Stichprobenmittel

Mit $\mu=1000$ , $\sigma=12$ , $n=36$ : Wahrscheinlichkeit, dass $\bar X<996$ .

Schritt 1 - Standardfehler
$\sigma_{\bar X}=\tfrac{12}{\sqrt{36}}=\tfrac{12}{6}=2\,\mathrm{mL}$ .
Schritt 2 - Standardisieren
$z=\tfrac{996-1000}{2}=-2$ .
Schritt 3 - Tabelle/CAS
$P(Z<-2)\approx 0{,}0228$ .

Ergebnis: Mit rund $2{,}3\,\%$ Wahrscheinlichkeit liegt das Mittel der 36 Packungen unter $996\,\mathrm{mL}$ .

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Stichprobe vom Umfang

n=100

wird auf

n=400

vervierfacht. Erkläre, wie sich der Standardfehler des Mittels verändert. (Alle Cluster)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Standardabweichung $\sigma$ der Einzelwerte mit dem Standardfehler $\sigma/\sqrt{n}$ verwechselt.
Den zentralen Grenzwertsatz auf zu kleine Stichproben angewendet, obwohl die Grundgesamtheit stark schief ist.
Verdopplung statt Vervierfachung des Umfangs angesetzt, um den Standardfehler zu halbieren (richtig: $n$ vervierfachen).

Aktive Wiederholung

Die Füllmenge von Saftpackungen ist normalverteilt mit $\mu=1000\,\mathrm{mL}$ und $\sigma=12\,\mathrm{mL}$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Mittel von $36$ Packungen unter $996\,\mathrm{mL}$ liegt.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

p-Wert-Methode und Testentscheidung#

VertiefungB-9.2

Die p-Wert-Methode ist die moderne, von Software und CAS bevorzugte Variante der Testentscheidung. Statt einen kritischen Wert nachzuschlagen, misst sie direkt, wie ungewöhnlich die beobachteten Daten unter der Nullhypothese sind, und liefert dieselbe Entscheidung auf einem feineren Maßstab.

Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, unter Gültigkeit von

H_0

einen mindestens so extremen Stichprobenwert wie den beobachteten zu erhalten (). Anschaulich ist es die Randfläche jenseits der Prüfgröße - je kleiner sie ist, desto schlechter passt

H_0

zu den Daten.

Zweiseitiger Test: Annahme- und Verwerfungsbereich

Abb. 5Liegt die Prüfgröße in einem der getönten Randbereiche, wird

H_{0}

verworfen.

Die Entscheidungsregel ist einfach: Ist

p\leq \alpha

, wird

H_0

verworfen (die Daten sind signifikant); ist

p>\alpha

, wird

H_0

beibehalten. Diese Richtung darf nicht vertauscht werden - ein kleiner p-Wert spricht gegen

H_0

, nicht für sie.

Bei der Berechnung ist die Testart zu beachten: Beim einseitigen Test ist

p=P(Z\geq z)

, beim zweiseitigen wird die Randfläche verdoppelt,

p=2\cdot P(Z\geq |z|)

, weil eine Abweichung in beide Richtungen zählt. Die Verdopplung beim zweiseitigen Test zu vergessen, ist der häufigste Fehler.

Der p-Wert quantifiziert die Evidenz feiner als die bloße Annahme/Verwerfen-Aussage des kritischen-Wert-Verfahrens, führt aber zur identischen Entscheidung - er ist nur eine andere Sprache für dasselbe. Ein p-Wert von

0{,}046

etwa heißt „knapp signifikant auf dem

5\,\%

-Niveau".

Die wichtigste Warnung betrifft die Deutung: Der p-Wert ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass

H_0

wahr ist. Er ist eine Aussage über die Daten unter der Annahme

H_0

, nicht über die Hypothese selbst - diese Fehldeutung ist in der Statistik berüchtigt und wird in der Matura gezielt geprüft.

p_{\text{einseitig}}=P(Z\geq z),\quad p_{\text{zweiseitig}}=2\,P(Z\geq |z|)

p-Wert aus der Prüfgröße

Musterbeispiel

p-Wert bei einem zweiseitigen Test

Eine Maschine soll im Mittel $250\,\mathrm{g}$ abfüllen ( $\sigma=5\,\mathrm{g}$ ). Stichprobe $n=25$ , $\bar x=252\,\mathrm{g}$ . Berechne den p-Wert (zweiseitig) und entscheide bei $\alpha=0{,}05$ .

Schritt 1 - Prüfgröße
$z=\tfrac{252-250}{5/\sqrt{25}}=\tfrac{2}{1}=2{,}0$ .
Schritt 2 - Randfläche
$P(Z\geq 2{,}0)\approx 0{,}0228$ .
Schritt 3 - Verdoppeln (zweiseitig)
$p=2\cdot 0{,}0228=0{,}0456$ .
Schritt 4 - Entscheiden
$p=0{,}0456<0{,}05=\alpha\Rightarrow H_{0}$ verwerfen: signifikante Abweichung.

Ergebnis: p-Wert $\approx 0{,}046<0{,}05$ ; die Abweichung vom Sollwert ist statistisch signifikant.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Ein einseitiger Test ergibt die Prüfgröße

z=2{,}33

. Berechne den p-Wert und beurteile die Evidenz gegen die Nullhypothese auf dem

1\,\%

-Niveau. (HAK)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

p-Wert als Wahrscheinlichkeit interpretiert, dass die Nullhypothese stimmt.
Bei zweiseitigem Test die Randwahrscheinlichkeit nicht verdoppelt.
Entscheidungsrichtung umgekehrt ( $H_{0}$ bei kleinem p-Wert beibehalten).

Aktive Wiederholung

Ein einseitiger Test liefert die Prüfgröße $z=1{,}80$ . Berechne den p-Wert und entscheide auf dem $5\,\%$ -Niveau.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Fehler 2. Art und Teststärke#

VertiefungB-9.3

Jede Testentscheidung kann auf zwei Arten danebenliegen, und beide Fehler haben in der Praxis sehr unterschiedliche Folgen. Diesen Abschnitt verstehen heißt, die Qualität eines Tests beurteilen zu können - nicht nur seine Entscheidung, sondern sein Risiko ().

Fehler 1. und 2. Art

Abb. 6Zwei Verteilungen - unter

H_{0}

und unter

H_{1}

: rechts vom kritischen Wert liegt die Fehler-1.-Art-Fläche

\alpha

(unter

H_{0}

), links davon die Fehler-2.-Art-Fläche

\beta

(unter

H_{1}

).

Der Fehler 1. Art (

\alpha

) verwirft

H_0

, obwohl sie zutrifft - ein „Fehlalarm". Seine Wahrscheinlichkeit steuert man direkt über das Signifikanzniveau

\alpha

; sie ist die Fläche der Prüfgröße im Verwerfungsbereich unter

H_0

.

Der Fehler 2. Art (

\beta

) behält

H_0

bei, obwohl sie falsch ist - ein „übersehener Effekt". Anders als

\alpha

lässt sich

\beta

nicht frei wählen: Er hängt vom wahren Parameter (der Effektgröße), vom Stichprobenumfang

n

und von

\alpha

ab.

Die Teststärke (Power) ist

1-\beta

- die Wahrscheinlichkeit, eine tatsächlich vorhandene Abweichung auch aufzudecken. Ein nicht signifikantes Ergebnis bei geringer Power beweist daher nicht, dass

H_0

gilt; es kann auch heißen, dass der Test zu schwach war.

Bei festem

n

stehen die beiden Fehler im Konflikt: Senkt man

\alpha

(strengere Schwelle gegen Fehlalarme), steigt zwangsläufig

\beta

, und umgekehrt - man verschiebt nur den kritischen Wert.

\alpha

und

\beta

zu verwechseln oder beide gleichzusetzen, ist der häufigste Fehler.

Beide Fehler lassen sich nur gemeinsam senken, indem man

n

vergrößert: Mehr Daten verkleinern den Standardfehler, die beiden Verteilungen überlappen weniger, und bei festem

\alpha

sinkt

\beta

- die Power steigt. Welcher Fehler schwerer wiegt, entscheidet der Kontext: In der Sicherheits- und Medizintechnik priorisiert man eine kleine Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art (kein übersehener Brand, keine übersehene Krankheit).

\text{Power}=1-\beta

Teststärke

Musterbeispiel

Fehlerarten im Kontext zuordnen

Ein Rauchmelder testet $H_{0}$ : "kein Brand". Ordne die beiden Fehlerarten und ihre Folgen zu.

Schritt 1 - Fehler 1. Art
Der Melder schlägt Alarm, obwohl kein Brand vorliegt ( $H_{0}$ verworfen, obwohl wahr) - Fehlalarm.
Schritt 2 - Fehler 2. Art
Der Melder bleibt stumm, obwohl ein Brand vorliegt ( $H_{0}$ beibehalten, obwohl falsch) - verpasster Brand.
Schritt 3 - Beurteilen
Der Fehler 2. Art ist sicherheitskritisch; man senkt $\beta$ bewusst, indem man die Empfindlichkeit (und damit $\alpha$ , also Fehlalarme) erhöht.

Ergebnis: Fehler 1. Art = Fehlalarm; Fehler 2. Art = unentdeckter Brand. Sicherheitstechnik priorisiert eine kleine Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Qualitätsprüfung testet

H_{0}

: "Ausschussanteil höchstens

2\,\%

". Beschreibe Fehler 1. und 2. Art und beurteile, wie eine Vergrößerung der Stichprobe die Fehlerwahrscheinlichkeiten beeinflusst. (HTL)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

$\alpha$ und $\beta$ vertauscht oder beide mit demselben Wert angesetzt.
Annahme, ein nicht signifikantes Ergebnis beweise die Gültigkeit von $H_{0}$ .
Power mit dem Signifikanzniveau gleichgesetzt statt mit $1-\beta$ .

Aktive Wiederholung

Bei einer Eingangskontrolle bedeutet $H_{0}$ "Charge in Ordnung". Ordne Fehler 1. und 2. Art den realen Folgen zu und beurteile, welcher Fehler für einen Pharmahersteller schwerer wiegt.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)