B 10 - Finanzmathematik — Angewandte Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Zinseszins und Sparrechnung#

BasisB-10.1

Die Finanzmathematik beschreibt, wie sich Kapital über die Zeit verändert - die Grundlage von Sparen, Krediten und Investitionen. Der entscheidende Unterschied ist der zwischen einfachem Zins (Zinsen wachsen linear, jedes Jahr derselbe Betrag) und Zinseszins (Zinsen werden mitverzinst, das Kapital wächst exponentiell, ).

Kapitalentwicklung bei Zinseszins (K₀=10 000, i=4 \%)

Abb. 1Exponentielles Wachstum - nach 18 Jahren bereits über 20 000 EUR.

Beim Zinseszins gilt das Endkapital

K_n=K_0\cdot q^{n}

mit dem Zinsfaktor

q=1+i

. Diese Formel ist exponentielles Wachstum (B 4) in Reinform: Über

20

Jahre macht der Zinseszins gegenüber dem einfachen Zins einen erheblichen Unterschied - der wahre Vorteil zeigt sich erst über lange Laufzeiten.

Stellt man die Formel um, beantwortet man die typischen Fragen: den Barwert

K_0=\tfrac{K_n}{q^{n}}

(Abzinsen - was ist eine zukünftige Summe heute wert?) und die Laufzeit über den Logarithmus

n=\tfrac{\ln(K_n/K_0)}{\ln q}

. Die Verdopplungszeit ist der Sonderfall

t=\tfrac{\ln 2}{\ln q}

.

Die Inflation

\pi

mindert die Kaufkraft und muss vom Nominalzins getrennt werden: Der reale Zins ist

i_r=\tfrac{1+i}{1+\pi}-1

. Bei

3\,\%

Nominalzins und

2\,\%

Inflation bleibt real nur etwa

1\,\%

- Nominal- und Realzins gleichzusetzen, ist ein häufiger Denkfehler.

Bei unterjähriger Verzinsung (monatlich, quartalsweise) wird der nominelle Jahreszins auf die Perioden verteilt: Pro Periode gilt der Zins

\tfrac{i_{\text{nom}}}{m}

bei

m

Perioden im Jahr. Wegen des Zinseszinseffekts innerhalb des Jahres ist der effektive Jahreszins dann höher als der nominelle (siehe Abschnitt Effektivzins).

In der Matura sind Endkapital, Barwert und Laufzeit sicher zu berechnen und die Verzinsungsdauer korrekt zu zählen (Anzahl der vollen Jahre/Perioden). Bei „wann erreicht?"-Fragen wird auf ganze Perioden aufgerundet, da Zinsen meist erst am Periodenende gutgeschrieben werden.

K_{n}=K_{0}\cdot \left(1+i\right)^{n},\quad q=1+i

Zinseszinsformel (jährliche Verzinsung)

K_{n}=K_{0}\cdot \left(1+\tfrac{i_{\text{nom}}}{m}\right)^{mn},\quad i_{\text{eff}}=\left(1+\tfrac{i_{\text{nom}}}{m}\right)^{m}-1

Unterjährige Verzinsung und effektiver Zinssatz

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Endkapital bei jährlicher Verzinsung

Eine Anlage von $K_{0}=15\,000\,\mathrm{Euro}$ wird $7$ Jahre lang mit $3{,}25\,\%$ jährlich verzinst. Bestimme das Endkapital.

Zinsfaktor
$q=1+\tfrac{3{,}25}{100}=1{,}0325$ .
Potenz
$q^{7}=1{,}0325^{7}\approx 1{,}2509$ .
Endkapital
$K_{7}=15\,000\cdot 1{,}0325^{7}\approx 15\,000\cdot 1{,}2509\approx 18\,763{,}84$ Euro.
Zinsertrag
Der Zinsgewinn beträgt $K_{7}-K_{0}\approx 18\,763{,}84-15\,000=3\,763{,}84$ Euro.

Ergebnis: Endkapital ca. $18\,763{,}84\,\mathrm{Euro}$ .

Musterbeispiel

Abzinsen: Barwert einer einzelnen Zahlung

Welcher Betrag muss heute bei $3\,\%$ jährlicher Verzinsung angelegt werden, damit in $8$ Jahren genau $10\,000\,\mathrm{Euro}$ zur Verfügung stehen?

Formel umstellen
Aus $K_{n}=K_{0}\cdot q^{n}$ folgt der Barwert $K_{0}=\tfrac{K_{n}}{q^{n}}$ (Abzinsen).
Zinsfaktor
$q=1{,}03$ , $q^{8}=1{,}03^{8}\approx 1{,}26677$ .
Barwert berechnen
$K_{0}=\tfrac{10\,000}{1{,}26677}\approx 7\,894{,}09$ Euro.
Kontrolle
Aufzinsen: $7\,894{,}09\cdot 1{,}03^{8}\approx 10\,000$ Euro - passt.

Ergebnis: Es sind heute rund $7\,894{,}09\,\mathrm{Euro}$ anzulegen.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Zinseszins ist exponentielles Wachstum mit Faktor $q=1+i$ pro Periode.
Kapitalentwicklung bei Zinseszins (K₀=10 000, i=4 \%)
Abb.Exponentielles Wachstum - nach 18 Jahren bereits über 20 000 EUR.
2
Bei unterjähriger Verzinsung Periode anpassen und den nominellen Zinssatz teilen.
3
Mit höherem Zinssatz wird die Verdopplungszeit deutlich kürzer.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Sparbuch mit

8\,000\,\mathrm{Euro}

Anfangskapital wird mit

2\,\%

p.a. verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach

10

Jahren? (HAK/HUM)

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Typische Fehler

Einfachen Zins mit Zinseszins verwechselt.
Inflation und Nominalzins gleichgesetzt.
Verzinsungsdauer falsch (Anzahl Jahre).

Aktive Wiederholung

Eine Spareinlage von $5\,000\,\mathrm{Euro}$ wird mit $2{,}8\,\%$ p.a. verzinst. Wann ist sie auf $7\,500\,\mathrm{Euro}$ angewachsen?

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Renten- und Sparrechnung#

StandardB-10.2

Eine Rente ist eine Folge regelmäßiger Zahlungen gleicher Höhe

R

über mehrere Perioden - ein Sparplan, eine Pensionsauszahlung, eine Leibrente. Statt jede Zahlung einzeln zu verzinsen, fasst die Rentenrechnung die ganze Folge in einer Formel zusammen ().

Renten-Zeitlinie - vorschüssig vs. nachschüssig

Abb. 2Vorschüssig: Zahlungen am Periodenanfang; nachschüssig: am Ende.

Der erste Schritt ist immer, den Zahlungszeitpunkt zu klären: nachschüssig (am Periodenende) oder vorschüssig (am Periodenanfang). Bei vorschüssigen Zahlungen wird jede Rate eine Periode länger verzinst - das erklärt den zusätzlichen Faktor

q

in den Formeln.

Der Endwert (Rentenendwert) summiert alle Zahlungen mit Zinsen auf das Laufzeitende auf: nachschüssig

E=R\cdot \tfrac{q^{n}-1}{q-1}

, vorschüssig zusätzlich

\cdot q

. Er beantwortet „wie viel habe ich am Ende angespart?".

Der Barwert diskontiert dieselben Zahlungen auf heute: nachschüssig

B=R\cdot \tfrac{q^{n}-1}{q^{n}(q-1)}

. Er beantwortet „welcher Einmalbetrag heute ist gleichwertig zur ganzen Zahlungsreihe?". Bar- und Endwert nicht zu vertauschen, ist hier zentral - der eine bezieht sich auf das Ende, der andere auf den Anfang.

Der Spezialfall der ewigen Rente (unendliche Laufzeit) vereinfacht sich zu

B=\tfrac{R}{i}

- relevant etwa bei Stiftungen, die nur die Zinsen ausschütten und das Kapital erhalten. Hier reicht der jährliche Zinsertrag genau für die ewige Auszahlung.

Häufige Fehler sind das Vergessen des Faktors

q

bei vorschüssigen Renten und eine falsche Anzahl der Zahlungen (bei monatlicher Rente über

15

Jahre sind es

n=180

, nicht

15

). In der Matura sind die Anwendungen Pensionsvorsorge, Sparplan und Auszahlplan - stets mit klarer Zuordnung von

R

,

n

und dem Periodenzins.

E_{n}=R\cdot \dfrac{q^{n}-1}{q-1},\quad q=1+i

Endwert einer nachschüssigen Rente

B=R\cdot \dfrac{q^{n}-1}{q^{n}\cdot (q-1)},\quad q=1+i

Barwert einer nachschüssigen Rente

E_{n}^{\text{vor}}=R\cdot q\cdot \dfrac{q^{n}-1}{q-1}

Endwert vorschüssige Rente

Musterbeispiel

Endwert einer nachschüssigen Rente

Anlage $1\,200\,\mathrm{Euro}$ /Jahr nachschüssig, $10$ Jahre, $i=3{,}5\,\%$ .

Zinsfaktor
$q=1{,}035$ , $q^{10}\approx 1{,}4106$ .
Endwert
$E=1\,200\cdot \tfrac{1{,}4106-1}{0{,}035}\approx 1\,200\cdot 11{,}73\approx 14\,076$ Euro.

Ergebnis: Endwert ca. $14\,076\,\mathrm{Euro}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Erkenne, ob Zahlung am Periodenanfang (vorschüssig) oder -ende (nachschüssig) erfolgt.
Renten-Zeitlinie - vorschüssig vs. nachschüssig
Abb.Vorschüssig: Zahlungen am Periodenanfang; nachschüssig: am Ende.
2
Endwert summiert alle Zahlungen mit Zinsen, Barwert diskontiert sie auf heute.
3
Praktische Anwendung: Sparpläne, Pensionsmodelle, Auszahlpläne.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Sparrate von

200\,\mathrm{Euro}

/Monat wird nachschüssig

15

Jahre lang bei

0{,}25\,\%

/Monat angelegt. Berechne den Endwert. (HAK)

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Typische Fehler

Faktor $q$ vergessen bei vorschüssigen Renten.
Falsche Anzahl der Zahlungen.
Bar- und Endwert vertauscht.

Aktive Wiederholung

Es werden $10$ Jahre lang am Jahresende je $1\,200\,\mathrm{Euro}$ angelegt ( $i=3{,}5\,\%$ ). Bestimme den Endwert.

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Tilgungsplan und Annuität#

VertiefungB-10.3

Die Tilgungsrechnung ist die Umkehrung der Sparrechnung: Ein heute aufgenommener Kredit

K_0

wird durch regelmäßige Zahlungen über die Laufzeit zurückgeführt. Beim Annuitätenkredit - dem Standardfall - ist diese Zahlung konstant und heißt Annuität

A

.

Die Annuität setzt sich in jeder Periode aus zwei Teilen zusammen: dem Zinsanteil (Zinsen auf die aktuelle Restschuld) und dem Tilgungsanteil (der eigentlichen Schuldrückführung). Die Annuität ist der Barwert-Kehrwert:

A=K_0\cdot \tfrac{q^{n}(q-1)}{q^{n}-1}

.

Der Tilgungsplan macht den Verlauf transparent - Zeile für Zeile mit Restschuld, Zinsen, Tilgung und Annuität (). Die Reihenfolge ist entscheidend: Die Zinsen werden stets aus der Restschuld zu Periodenbeginn berechnet, erst dann ergibt sich aus

A-\text{Zinsen}

die Tilgung.

Tilgungsplan - Annuität, Zinsen, Tilgung

Abb. 3Annuität bleibt konstant; Zinsanteil sinkt, Tilgungsanteil steigt.

Obwohl die Annuität konstant bleibt, verschiebt sich ihre Zusammensetzung systematisch: Der Zinsanteil sinkt von Jahr zu Jahr (die Restschuld schrumpft), während der Tilgungsanteil entsprechend steigt. Am Anfang zahlt man also überwiegend Zinsen, am Ende überwiegend Tilgung.

Das gesamte Zinsvolumen ergibt sich als Differenz

n\cdot A-K_0

- die Summe aller Annuitäten minus der ursprünglichen Schuld. Über lange Laufzeiten kann dieser Betrag beträchtlich sein und macht den Unterschied zwischen Laufzeiten anschaulich.

Sondertilgungen verkürzen die Laufzeit und senken das Zinsvolumen, variable Annuitäten erlauben Flexibilität. In der Matura sind die Annuität sicher zu berechnen, ein Tilgungsplan für kurze Laufzeiten manuell aufzustellen und die Anteile zu interpretieren - der häufigste Fehler ist, die Zinsen aus der Restschuld nach statt vor der Annuität zu berechnen.

A=K_{0}\cdot \dfrac{q^{n}\cdot(q-1)}{q^{n}-1}

Annuität bei Kreditrückzahlung

Musterbeispiel

Annuität eines Kredits

Ein Kredit von $100\,000\,\mathrm{Euro}$ wird mit $3{,}5\,\%$ jährlich verzinst und über $15$ Jahre in nachschüssigen Annuitäten getilgt. Bestimme die jährliche Annuität.

Zinsfaktor
$q=1{,}035$ , $q^{15}\approx 1{,}6753$ .
Annuitätenformel
$A=100\,000\cdot \tfrac{1{,}6753\cdot 0{,}035}{0{,}6753}\approx 100\,000\cdot 0{,}08683\approx 8\,683$ Euro.

Ergebnis: Jährliche Annuität rund $8\,683\,\mathrm{Euro}$ .

Musterbeispiel

Tilgungsplan für 3 Jahre

Kredit $10\,000\,\mathrm{Euro}$ , $5\,\%$ p.a., Laufzeit 3 Jahre.

Annuität
$q=1{,}05$ , $q^{3}=1{,}1576$ . $A=10\,000\cdot \tfrac{1{,}1576\cdot 0{,}05}{0{,}1576}\approx 3\,672$ Euro.
Jahr 1
Restschuld 10000, Zinsen 500, Tilgung 3172, neue Restschuld $6\,828$ .
Jahr 2
Restschuld 6828, Zinsen 341,40, Tilgung 3330,60, Restschuld $3\,497{,}40$ .
Jahr 3
Restschuld 3497,40, Zinsen 174,87, Tilgung 3497,13, Restschuld $\approx 0$ .

Ergebnis: Annuität $3\,672$ Euro; Gesamtzinsen ca. $1\,016$ Euro.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Annuität bleibt konstant, aber Zins- und Tilgungsanteil verändern sich.
Tilgungsplan - Annuität, Zinsen, Tilgung
Abb.Annuität bleibt konstant; Zinsanteil sinkt, Tilgungsanteil steigt.
2
Annuitätenformel ist standardisiert; nur Kapital, Zinssatz und Laufzeit einsetzen.
3
Mit zunehmender Laufzeit sinkt der Zinsanteil, die Tilgung steigt.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Familie nimmt einen Kredit von

200\,000\,\mathrm{Euro}

zu

2{,}9\,\%

p.a. für

25

Jahre auf. Bestimme die jährliche Annuität und das gesamte Zinsvolumen. (HAK)

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Typische Fehler

Annuitätenformel mit falschem Vorzeichen.
Zinsen aus Restschuld nach Annuität statt vorher berechnet.
Verwechslung Annuität vor- vs. nachschüssig.

Aktive Wiederholung

Ein Kredit von $50\,000\,\mathrm{Euro}$ wird mit $4\,\%$ p.a. über $8$ Jahre getilgt. Bestimme die jährliche Annuität und das gesamte Zinsvolumen.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Investitionsrechnung und Kapitalwert#

VertiefungB-10.4

Die Investitionsrechnung beurteilt, ob sich eine Anlage - eine Maschine, ein Projekt - finanziell lohnt. Das Grundproblem: Eine heutige Investition steht künftigen Erträgen gegenüber, und Geld zu verschiedenen Zeitpunkten ist nicht direkt vergleichbar. Die Lösung ist das Abzinsen aller Zahlungen auf einen gemeinsamen Stichtag (Äquivalenzprinzip).

Der Kapitalwert (Net Present Value)

NPV=-I_0+\sum_{t=1}^{n}\tfrac{C_t}{q^{t}}

summiert die auf heute abgezinsten Cashflows und subtrahiert die Anfangsinvestition. Wichtig:

I_0

wird negativ angesetzt (es ist eine Auszahlung), und jeder Cashflow wird mit

\tfrac{1}{q^{t}}

diskontiert () - spätere Zahlungen wiegen weniger.

Barwerte der Cashflows einer Investition

Abb. 4Vier Cashflows von je

25\,000

Euro, auf heute abgezinst (

6\,\%

): Spätere Zahlungen sind weniger wert; ihre Summe (

\approx 86\,628

) übersteigt die Investition von

80\,000

.

Die Entscheidungsregel ist einfach: Ist

NPV>0

, übersteigen die abgezinsten Erträge die Investition, das Projekt lohnt sich; ist

NPV<0

, lohnt es nicht. Der NPV misst also den heutigen „Mehrwert" der Investition über die geforderte Verzinsung hinaus.

Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Kalkulationszinssatz, bei dem genau

NPV=0

wird - die „Rendite" des Projekts. Übersteigt der IRR den geforderten Zinssatz, ist die Investition vorteilhaft. IRR und Kalkulationszinssatz sind dabei sauber zu trennen.

Der Kalkulationszinssatz wirkt stark auf das Ergebnis: Ein niedriger Zinssatz zinst künftige Cashflows weniger stark ab und erhöht damit den NPV; ein hoher Zinssatz kann ein Projekt unrentabel erscheinen lassen. Die Amortisationszeit ergänzt die Analyse - der Zeitpunkt, ab dem die kumulierten Cashflows die Investition decken.

Konkurrierende Projekte vergleicht man über NPV oder IRR. In der Matura ist der NPV mit gegebenen (oft konstanten) Cashflows zu berechnen - hier hilft die Rentenbarwertformel - und die Investition zu beurteilen; der häufigste Fehler ist, die Diskontierung ganz zu vergessen oder

I_0

positiv anzusetzen.

NPV=-I_{0}+\sum_{t=1}^{n}\dfrac{C_{t}}{q^{t}}

Kapitalwert (NPV)

Musterbeispiel

Kapitalwert eines Investitionsprojekts

Investition $80\,000$ Euro, vier jährliche Cashflows je $25\,000$ Euro, Kalkulationszinssatz $6\,\%$ .

Diskontfaktoren
$\tfrac{1}{1{,}06^{t}}$ für $t=1,...,4$ .
Barwert
$25\,000\cdot \tfrac{1-1{,}06^{-4}}{0{,}06}\approx 25\,000\cdot 3{,}4651\approx 86\,628$ Euro.
NPV
$NPV=-80\,000+86\,628\approx 6\,628$ Euro.

Ergebnis: NPV ca. $6\,628\,\mathrm{Euro}$ - Investition lohnt sich.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Diskontiere alle zukünftigen Cashflows auf den Anfangszeitpunkt.
2
Subtrahiere die Investition; ist NPV positiv, lohnt sich das Projekt.
3
IRR ist die Verzinsung, bei der NPV gleich Null ist.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Maschine kostet

50\,000\,\mathrm{Euro}

und liefert in den nächsten 5 Jahren je

14\,000\,\mathrm{Euro}

Cashflow. Bestimme den Kapitalwert bei

5\,\%

und beurteile die Investition. (HAK)

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Typische Fehler

Diskontierung nicht angewendet.
Investitionssumme nicht negativ angesetzt.
Interner Zinsfuss mit Zinssatz verwechselt.

Aktive Wiederholung

Eine Investition von $80\,000\,\mathrm{Euro}$ liefert in den nächsten 4 Jahren je $25\,000\,\mathrm{Euro}$ . Berechne den Kapitalwert bei einem Kalkulationszinssatz von $6\,\%$ .

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Effektiver Jahreszins und Äquivalenzprinzip#

VertiefungB-10.1

Das Äquivalenzprinzip ist das Fundament der gesamten Finanzmathematik: Zwei Zahlungen sind nur dann vergleichbar, wenn man sie auf denselben Stichtag (Bezugszeitpunkt) auf- oder abzinst. Geldbeträge zu verschiedenen Zeitpunkten ohne diese Umrechnung direkt zu vergleichen, ist der grundlegende Fehler - sie müssen erst „auf einen Nenner" gebracht werden.

Daraus erwächst die Notwendigkeit, Zinssätze fair zu vergleichen. Der nominelle Jahreszins

i_{\text{nom}}

ist der angeschriebene Satz, der die unterjährige Verzinsung ignoriert; der effektive Jahreszins

i_{\text{eff}}

berücksichtigt den Zinseszinseffekt innerhalb des Jahres und gibt die tatsächliche jährliche Verzinsung an.

Bei

m

-facher unterjähriger Verzinsung gilt

i_{\text{eff}}=\left(1+\tfrac{i_{\text{nom}}}{m}\right)^{m}-1

. Der Periodenzins

\tfrac{i_{\text{nom}}}{m}

wird also mit

m

potenziert, nicht durch

m

geteilt - dieser Exponent ist die häufigste Fehlerquelle. Der Effektivzins ist dadurch stets mindestens so groß wie der Nominalzins.

Je häufiger verzinst wird (größeres

m

), desto höher der Effektivzins - allerdings mit abnehmendem Zuwachs (). Im Grenzfall

m\to\infty

(stetige Verzinsung) strebt er gegen

\mathrm{e}^{i_{\text{nom}}}-1

; bei

6\,\%

nominal sind das nur rund

6{,}18\,\%

, also kaum mehr als bei monatlicher Verzinsung.

Effektivzins nach Verzinsungshäufigkeit

Abb. 5Bei

6\,\%

Nominalzins steigt der Effektivzins mit der Verzinsungshäufigkeit

m

und nähert sich der stetigen Verzinsung (

\mathrm{e}^{0{,}06}-1\approx 6{,}18\,\%

).

Der praktische Nutzen ist die Vergleichbarkeit: Erst der Effektivzins macht Spar- oder Kreditangebote mit unterschiedlichen Verzinsungsperioden direkt vergleichbar und ist daher die zentrale Entscheidungsgröße - in Österreich für Kredite gesetzlich anzugeben.

In der Matura ist der Effektivzins aus Nominalzins und Verzinsungshäufigkeit zu berechnen und konkurrierende Angebote darüber zu vergleichen; beim Auf- und Abzinsen ist der Bezugszeitpunkt stets ausdrücklich festzulegen, damit der Vergleich dem Äquivalenzprinzip genügt.

i_{\text{eff}}=\left(1+\dfrac{i_{\text{nom}}}{m}\right)^{m}-1

Effektiver Jahreszins

Musterbeispiel

Effektivzins bei monatlicher Verzinsung

Nominalzins $6\,\%$ , monatliche Verzinsung ( $m=12$ ). Bestimme den Effektivzins.

Schritt 1 - Periodenzins
Monatszins $\tfrac{0{,}06}{12}=0{,}005$ .
Schritt 2 - Aufzinsen
$i_{\text{eff}}=(1+0{,}005)^{12}-1=1{,}005^{12}-1$ .
Schritt 3 - Auswerten und Deuten
$1{,}005^{12}\approx 1{,}06168$ , also $i_{\text{eff}}\approx 6{,}17\,\%$ - rund $0{,}17$ Prozentpunkte über dem Nominalzins.

Ergebnis: Effektivzins $\approx 6{,}17\,\%$ .

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Kredit hat einen Nominalzins von

8\,\%

bei vierteljährlicher Verzinsung. Berechne den effektiven Jahreszins. (HAK)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Nominal- und Effektivzins gleichgesetzt.
Den Exponenten $m$ in $\left(1+\tfrac{i_{\text{nom}}}{m}\right)^{m}$ vergessen oder durch $m$ geteilt statt potenziert.
Zahlungen unterschiedlicher Zeitpunkte ohne Auf-/Abzinsen direkt verglichen.

Aktive Wiederholung

Eine Bank wirbt mit $6\,\%$ nominellem Jahreszins bei monatlicher Verzinsung. Berechne den effektiven Jahreszins und beurteile den Unterschied.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Abschreibung: linear und degressiv#

StandardB-10.1

Anlagegüter - Maschinen, Fahrzeuge, Gebäude - verlieren über die Jahre an Wert. Die Abschreibung (AfA) verteilt die Anschaffungskosten buchhalterisch über die Nutzungsdauer und hält den jeweiligen Buchwert fest. Zwei Methoden sind zu kennen, deren Verläufe sich deutlich unterscheiden ().

Buchwertverlauf: linear vs. degressiv

Abb. 6Die lineare Abschreibung lässt den Buchwert als Gerade fallen (konstanter Betrag), die degressive als Exponentialkurve mit anfangs höheren, später kleineren Abschreibungsbeträgen.

Die lineare Abschreibung verteilt den abzuschreibenden Betrag gleichmäßig: Der jährliche Betrag ist

d_{\text{lin}}=\tfrac{A-R}{n}

(Anschaffungswert

A

, Restwert

R

, Nutzungsdauer

n

). Wichtig ist, zuerst den Restwert abzuziehen - nur die Differenz

A-R

wird abgeschrieben. Der Buchwert fällt als Gerade.

Die degressive (geometrische) Abschreibung nimmt einen konstanten Prozentsatz

p

vom jeweiligen Restbuchwert:

B_k=A\cdot(1-p)^{k}

. Der Prozentsatz wirkt also stets auf den aktuellen Buchwert, nicht auf den Anschaffungswert - dies zu verwechseln, ist der typische Fehler. Der Buchwert fällt als Exponentialkurve.

Der Unterschied im Verlauf ist der Kern des Themas: Linear schreibt jedes Jahr denselben Betrag ab; degressiv schreibt am Anfang viel mehr ab (hoher Restbuchwert) und gegen Ende immer weniger. Degressiv bildet den realen Wertverlust vieler Güter - etwa eines Neuwagens - besser ab.

Eine technische Eigenheit: Die rein degressive Abschreibung erreicht den Wert null nie exakt (Exponentialkurve), weshalb in der Praxis gegen Ende der Nutzungsdauer oft auf die lineare Methode gewechselt wird. Der Buchwert sinkt zudem nie unter den vereinbarten Restwert.

In der Matura ist der Buchwert nach

k

Jahren bei beiden Methoden zu berechnen und ihr Verlauf zu vergleichen; Anschaffungswert, Restwert und Nutzungsdauer müssen sauber zugeordnet werden. Die degressive Formel ist wieder exponentieller Zerfall (B 4) - dieselbe Mathematik wie beim radioaktiven Zerfall, nur im kaufmännischen Kontext.

d_{\text{lin}}=\dfrac{A-R}{n},\quad B_{k}=A\cdot(1-p)^{k}\;(\text{degressiv})

Lineare und degressive Abschreibung

Musterbeispiel

Lineare Abschreibung und Buchwert

Maschine $A=24\,000$ , Restwert $R=4\,000$ , $n=5$ Jahre. Bestimme jährliche AfA und Buchwert nach 3 Jahren.

Schritt 1 - Jährliche AfA
$d=\tfrac{24\,000-4\,000}{5}=\tfrac{20\,000}{5}=4\,000\,\mathrm{Euro}$ pro Jahr.
Schritt 2 - Buchwert nach 3 Jahren
$B_{3}=24\,000-3\cdot 4\,000=24\,000-12\,000=12\,000\,\mathrm{Euro}$ .
Schritt 3 - Deuten
Nach 3 Jahren beträgt der Buchwert $12\,000\,\mathrm{Euro}$ ; nach 5 Jahren ist der Restwert $4\,000\,\mathrm{Euro}$ erreicht.

Ergebnis: Jährliche Abschreibung $4\,000\,\mathrm{Euro}$ , Buchwert nach 3 Jahren $12\,000\,\mathrm{Euro}$ .

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Fahrzeug (

A=30\,000\,\mathrm{Euro}

) wird degressiv mit

20\,\%

pro Jahr abgeschrieben. Berechne den Buchwert nach 2 Jahren. (HAK)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Bei linearer Abschreibung den Restwert nicht vom Anschaffungswert abgezogen.
Bei degressiver Abschreibung den Prozentsatz auf den Anschaffungswert statt auf den Restbuchwert angewendet.
Buchwert unter den Restwert sinken lassen.

Aktive Wiederholung

Eine Maschine kostet $24\,000\,\mathrm{Euro}$ , Restwert $4\,000\,\mathrm{Euro}$ , Nutzungsdauer 5 Jahre. Berechne die lineare jährliche Abschreibung und den Buchwert nach 3 Jahren.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)