B 11 - Wirtschaftsmathematik: Kosten, Erlös, Gewinn — Angewandte Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Kosten- und Erlösfunktion#

BasisB-11.1

Die Wirtschaftsmathematik modelliert betriebliche Entscheidungen mit Funktionen - Kosten, Erlös und Gewinn in Abhängigkeit der produzierten Menge

x

. Den Anfang machen die Kosten- und die Erlösfunktion, aus deren Zusammenspiel sich Gewinnschwelle und Gewinnmaximum ergeben ().

Kostenfunktion mit Fix- und variablen Kosten

Abb. 1Gesamtkosten

K(x) = K_f + k_v \cdot x

; Achsenabschnitt = Fixkosten.

Die Kosten zerfallen in zwei Teile: Fixkosten

K_f

fallen unabhängig von der Stückzahl an (Miete, Maschinen), variable Kosten steigen mit der Produktion. Die lineare Kostenfunktion ist

K(x)=K_f+k_v\cdot x

- der Achsenabschnitt ist genau

K_f

, die Steigung der variable Stückkostensatz

k_v

. Fixkosten als variabel zu behandeln, ist ein klassischer Fehler.

Die Durchschnittskosten (Stückkosten)

\bar k(x)=\tfrac{K(x)}{x}

verteilen die Gesamtkosten auf jede Einheit. Bei Fixkosten sinken sie mit wachsender Stückzahl (Fixkostendegression) - genau das macht Massenproduktion günstiger pro Stück.

Der Erlös (Umsatz) ist

E(x)=p\cdot x

. Bei konstantem Stückpreis

p

ist er eine Ursprungsgerade. Sinkt der Preis hingegen mit der Menge (Preis-Absatz-Funktion

p(x)

), wird

E(x)=p(x)\cdot x

quadratisch - der Erlös steigt zunächst, erreicht ein Maximum und fällt wieder.

In technischen (HTL-)Kontexten treten oft kubische Kostenfunktionen

K(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d

auf, die einen realistischen Verlauf abbilden: zunächst degressiv (sinkende Grenzkosten durch Einarbeitung), dann progressiv (steigende Grenzkosten durch Überlastung). Der Wendepunkt trennt beide Phasen.

In der Matura sind aus einer gegebenen Kostenfunktion die Bestandteile zu deuten (Operator „erläutern": was bedeuten

K_f

und

k_v

?) und Kosten, Erlös sowie Durchschnittskosten zu berechnen. Preis und Stückpreis sauber zu unterscheiden und auf Einheiten zu achten, sichert die Punkte.

K(x)=K_{f}+K_{v}(x),\quad K_{v}(x)=k_{v}\cdot x

Kostenfunktion mit Fix- und variablen Kosten

E(x)=p\cdot x

Linearer Erlös bei konstantem Preis

Musterbeispiel

Lineare Kostenfunktion analysieren

Eine Bezeichnungsmaschine kostet $1\,200\,\mathrm{Euro}$ fix; pro Buch $0{,}45\,\mathrm{Euro}$ variabel.

Funktion
$K(x)=1\,200+0{,}45\,x$ .
K(2000)
$K(2\,000)=1\,200+900=2\,100$ Euro.
Durchschnittskosten
$\bar k(2\,000)=\tfrac{2\,100}{2\,000}=1{,}05$ Euro/Buch.

Ergebnis: $K(2\,000)=2\,100\,\mathrm{Euro}$ , $\bar k=1{,}05\,\mathrm{Euro/Buch}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Die Kostenfunktion zerlegt sich in Fix- und variable Kosten.
Kostenfunktion mit Fix- und variablen Kosten
Abb.Gesamtkosten $K(x) = K_f + k_v \cdot x$ ; Achsenabschnitt = Fixkosten.
2
Erlös ist Preis mal Menge - bei sinkendem Preis quadratisch.
3
Achte auf Einheiten und Achsenabschnitte.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Die Kostenfunktion ist

K(x)=2\,500+18x

. Erläutere die Bedeutung von

2\,500

und

18

im Sachkontext. (HAK)

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Typische Fehler

Fixkosten als variabel behandelt.
Preis und Stückpreis verwechselt.
Erlös bei sinkendem Preis falsch berechnet.

Aktive Wiederholung

Eine Werkstatt hat Fixkosten von $3\,200\,\mathrm{Euro}$ /Monat und variable Kosten von $15\,\mathrm{Euro/Stück}$ . Berechne $K(180)$ und die durchschnittlichen Stückkosten.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

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Break-Even-Analyse#

StandardB-11.3

Die Break-Even-Analyse beantwortet die Existenzfrage jedes Betriebs: Ab welcher Menge deckt der Erlös die Kosten? Der Break-Even-Punkt (Gewinnschwelle) ist erreicht, wenn

K(x)=E(x)

bzw.

G(x)=0

- grafisch der Schnittpunkt von Kosten- und Erlöskurve (, ).

Break-Even-Punkt — Kosten, Erlös, Gewinn

Abb. 2Schnittpunkt von

K(x)

und

E(x)

markiert die Gewinnschwelle.

Erlösgerade

Abb. 3Erlösgerade

E(x)=50\cdot x

; die Kostengerade und der Break-Even siehe Skizze oben.

Bei linearer Kostenstruktur ergibt sich die Schwelle direkt:

x_{BE}=\tfrac{K_f}{p-k_v}

. Anschaulich teilt man die Fixkosten durch das, was jedes Stück zu ihrer Deckung beiträgt.

Dieser Beitrag ist der Stückdeckungsbeitrag

db=p-k_v

- die Differenz aus Verkaufspreis und variablen Stückkosten. Jedes verkaufte Stück trägt

db

zur Deckung der Fixkosten bei; erst wenn alle Fixkosten gedeckt sind, beginnt der Gewinn. Den Deckungsbeitrag nicht mit dem Stückgewinn zu verwechseln, ist hier wichtig.

Voraussetzung für einen Break-Even ist ein positiver Stückdeckungsbeitrag (

p>k_v

): Ist

db\leq 0

, deckt kein noch so großer Absatz die Fixkosten, und es gibt keine Gewinnschwelle. Diese Prüfung gehört an den Anfang jeder Aufgabe.

Über den Break-Even hinaus misst der Sicherheitsabstand die Differenz zwischen tatsächlicher Menge und Gewinnschwelle - der Puffer, bevor der Betrieb in die Verlustzone gerät. Je größer er ist, desto robuster ist das Geschäft gegen Absatzeinbrüche.

In der Matura ist der Break-Even eine häufige Teil-1-Berechnung und als Schwellenwert zu interpretieren („ab

100

Gästen pro Monat keine Verluste"). Häufig wird er auch zum Verfahrensvergleich genutzt - etwa Inhouse-Produktion gegen Outsourcing, wo der Schnittpunkt der beiden Kostenkurven die wirtschaftlichere Option markiert.

K(x_{BE})=E(x_{BE})\;\Longleftrightarrow\;G(x_{BE})=0

Break-Even-Bedingung

x_{BE}=\dfrac{K_{f}}{p-k_{v}}

Break-Even bei linearer Kostenstruktur

Musterbeispiel

Break-Even-Punkt eines Produkts

Eine Firma verkauft Produkt zu $25\,\mathrm{Euro/Stück}$ . Fixkosten $K_{f}=4\,000\,\mathrm{Euro}$ , variable Kosten $k_{v}=15\,\mathrm{Euro/Stück}$ . Bestimme die Gewinnschwelle.

Funktionen
Kosten $K(x)=4\,000+15x$ , Erlös $E(x)=25x$ .
Gleichsetzen
$4\,000+15x=25x \Rightarrow 4\,000=10x \Rightarrow x=400$ .
Interpretation
Ab $400$ Stück arbeitet das Unternehmen profitabel.

Ergebnis: Gewinnschwelle bei $400$ Stück.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Break-Even ist die Schwelle, ab der Erlös die Kosten deckt.
Break-Even-Punkt — Kosten, Erlös, Gewinn
Abb.Schnittpunkt von $K(x)$ und $E(x)$ markiert die Gewinnschwelle.
2
Bei linearen Funktionen ist es eine einfache Division durch den Stückdeckungsbeitrag.
3
Prüfe, ob Deckungsbeitrag positiv ist - sonst gibt es keinen Break-Even.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Catering-Service hat Fixkosten von

1\,800\,\mathrm{Euro}

/Monat und variable Kosten von

12\,\mathrm{Euro/Person}

. Der Preis pro Person beträgt

30\,\mathrm{Euro}

. Bestimme die Mindestanzahl an Gästen pro Monat, um keine Verluste zu machen. (HUM)

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Typische Fehler

Stückdeckungsbeitrag wird verwechselt mit Stückgewinn.
Break-Even mit Maximum verwechselt.
Negativer Deckungsbeitrag übersehen (nie Break-Even).

Aktive Wiederholung

Fixkosten $9\,000\,\mathrm{Euro}$ , variable Stückkosten $8\,\mathrm{Euro}$ , Verkaufspreis $14\,\mathrm{Euro}$ . Bestimme die Gewinnschwelle.

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Gewinnmaximierung mit Preis-Absatz#

VertiefungB-11.4

Die Gewinnmaximierung ist die zentrale unternehmerische Optimierungsaufgabe und verbindet Wirtschaft mit der Differentialrechnung (B 5). Sie nutzt aus, dass auf einem realen Markt der Preis mit der Absatzmenge fällt - was die Mengenwahl überhaupt erst zu einer Entscheidung macht.

Diesen Zusammenhang beschreibt die Preis-Absatz-Funktion

p(x)

(meist linear fallend). Aus ihr folgt die Erlösfunktion

E(x)=p(x)\cdot x

, die quadratisch wird, und mit den Kosten die Gewinnfunktion

G(x)=E(x)-K(x)

. Den Erlös nicht aus

p(x)\cdot x

aufzustellen, ist der häufigste Anfangsfehler.

Das Gewinnmaximum findet man wie jedes Extremum (B 5):

G'(x)=0

liefert die kritische Stelle, die hinreichende Bedingung

G''(x)<0

sichert das Maximum. Bei linearen Bausteinen ist

G(x)

eine nach unten geöffnete Parabel, deren Scheitel das Maximum ist ().

Gewinnfunktion: Schwelle, Maximum, Grenze

Abb. 4Die Gewinnfunktion

G(x)=E(x)-K(x)

ist (bei linearer Kostenstruktur und linearer Preis-Absatz-Funktion) eine nach unten geöffnete Parabel: Nullstelle = Gewinnschwelle, Scheitel = Gewinnmaximum.

Ökonomisch gedeutet ist die Bedingung

G'(x)=0

gleichbedeutend mit

E'(x)=K'(x)

- Grenzerlös gleich Grenzkosten. Solange eine zusätzliche Einheit mehr Erlös als Kosten bringt, lohnt die Ausweitung; im Optimum halten sich beide gerade die Waage.

Aus der optimalen Menge

x^{*}

ergeben sich die vollständigen Antworten: der optimale Preis

p(x^{*})

(in die Preis-Absatz-Funktion einsetzen!) und der Maximalgewinn

G(x^{*})

. Den optimalen Preis nicht anzugeben, ist ein typischer Punkteverlust.

Stets ist die Plausibilität zu prüfen (positive Stückzahl, Preis über den Stückkosten) und zu bedenken, dass das Gewinnmaximum auch durch Randpunkte begrenzt sein kann - etwa eine Kapazitätsgrenze oder Marktsättigung. In der Matura ist dies eine häufige Teil-2-Aufgabe der HAK.

G(x)=E(x)-K(x),\quad G'(x)=0\Rightarrow E'(x)=K'(x)

Gewinnfunktion und Grenzerlös = Grenzkosten

E'(x)=K'(x)

Notwendige Bedingung Gewinnmaximum

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Maximaler Gewinn bei linearer Preis-Absatz-Funktion

Preis-Absatz-Funktion $p(x)=200-2x$ ( $x$ in Hundert Stück), Kosten $K(x)=100+50x$ . Bestimme den gewinnoptimalen Absatz.

Erlös
$E(x)=p\cdot x=(200-2x)\cdot x=200x-2x^{2}$ .
Gewinn
$G(x)=E(x)-K(x)=200x-2x^{2}-100-50x=-2x^{2}+150x-100$ .
Ableitung
$G'(x)=-4x+150=0 \Rightarrow x=37{,}5$ .
Maximalgewinn
$G(37{,}5)=-2\cdot 1406{,}25+150\cdot 37{,}5-100=-2812{,}5+5625-100=2712{,}5$ .

Ergebnis: Optimum bei $x=37{,}5$ Hundert Stück, Maximalgewinn $2\,712{,}50\,\mathrm{Euro}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Erlösfunktion ergibt sich aus Preis mal Menge.
2
Gewinnmaximum: Grenzerlös gleich Grenzkosten.
3
Prüfe Hinreichendbedingung und interpretiere Ergebnis.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Firma hat die Kostenfunktion

K(x)=0{,}01x^{3}-0{,}6x^{2}+15x+200

und Preis-Absatz

p(x)=50-0{,}1x

. Bestimme das gewinnoptimale

x

und den Maximalgewinn (gerundet). (HAK)

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Typische Fehler

$E(x)$ nicht aus $p(x)\cdot x$ aufgestellt.
Hinreichende Bedingung vergessen.
Optimaler Preis nicht angegeben.

Aktive Wiederholung

Preis-Absatz $p(x)=120-0{,}5x$ , Kostenfunktion $K(x)=300+30x$ . Bestimme optimalen Absatz und Gewinn.

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Deckungsbeitrag und Sortimentsentscheidung#

StandardB-11.2

Die Deckungsbeitragsrechnung ist das wichtigste Werkzeug der kurzfristigen Sortiments- und Produktionsplanung. Ihr Kern ist der Stückdeckungsbeitrag

db=p-k_v

: der Betrag, den jeder verkaufte Artikel nach Abzug seiner variablen Kosten zur Deckung der Fixkosten und zum Gewinn beiträgt.

Sie beruht auf der Teilkostenrechnung - im Gegensatz zur Vollkostenrechnung werden die Fixkosten nicht auf einzelne Produkte umgelegt, da sie ohnehin anfallen. Diese beiden Sichtweisen zu vermischen, ist ein häufiger Fehler; für kurzfristige Entscheidungen zählt der Deckungsbeitrag.

Bei knappen Ressourcen (Maschinenzeit, Material) genügt der Stückdeckungsbeitrag allein nicht: Entscheidend ist der relative Deckungsbeitrag je beanspruchter Engpasseinheit,

\tfrac{db_j}{r_j}

. Man priorisiert die Produkte mit dem höchsten Wert () - so erzielt der Engpass den größten Gesamtdeckungsbeitrag.

Engpasspriorisierung nach Deckungsbeitrag je Stunde

Abb. 5Bei knapper Maschinenzeit zählt nicht der Stückdeckungsbeitrag, sondern der Deckungsbeitrag je Engpassstunde (

db/r

): Produkt A führt vor B vor C.

Genau hier liegt die zentrale Einsicht: Ein Produkt mit hohem Stückdeckungsbeitrag, das aber viel Engpasszeit bindet, kann unattraktiver sein als eines mit kleinerem

db

, das den Engpass sparsam nutzt. Den Engpass nicht zu erkennen, führt zu falscher Priorisierung.

Bei mehreren Produkten arbeitet man mit einer Mischkalkulation über den gewichteten Durchschnittsdeckungsbeitrag. Hat ein Produkt einen negativen Deckungsbeitrag (

db<0

), deckt es nicht einmal seine variablen Kosten und sollte kurzfristig aus dem Sortiment fallen.

Langfristig sind allerdings strategische Aspekte abzuwägen - Imagewirkung, Sortimentsverbund, Kundenbindung -, sodass ein kurzfristig unrentables Produkt im Programm bleiben kann. In der Matura ist daher die kurzfristige von der langfristigen Sicht zu trennen und der Engpass korrekt zu identifizieren.

db = p - k_{v},\quad \text{Engpassrang} = \dfrac{db}{r_{\text{Engpass}}}

Deckungsbeitrag und Engpasspriorisierung

Musterbeispiel

Engpasskalkulation drei Produkte

A: $db=25$ Euro, $2$ h. B: $db=18$ Euro, $1{,}5$ h. C: $db=32$ Euro, $3$ h.

Rang berechnen
A: $25/2=12{,}5$ Euro/h. B: $18/1{,}5=12$ Euro/h. C: $32/3\approx 10{,}7$ Euro/h.
Priorisierung
Höchster Wert: A vor B vor C.

Ergebnis: Reihenfolge A > B > C bei knapper Maschinenzeit.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Deckungsbeitrag misst, was nach Abzug der variablen Kosten an Fixkosten + Gewinn übrig bleibt.
2
Bei knappen Ressourcen Engpasspriorisierung beachten.
3
Negativen Deckungsbeitrag kurzfristig vermeiden.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Produkt wird zu

45\,\mathrm{Euro/Stück}

verkauft, variable Kosten

28\,\mathrm{Euro}

. Berechne Stückdeckungsbeitrag und Deckungsbeitragsquote. (HAK)

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Typische Fehler

Vollkosten- und Teilkostenrechnung vermischt.
Engpass nicht erkannt - falsche Priorisierung.
Strategische Aspekte ignoriert (Imagewirkung).

Aktive Wiederholung

Drei Produkte A, B, C haben Deckungsbeiträge $25, 18, 32\,\mathrm{Euro/Stück}$ und benötigen $2, 1{,}5, 3\,\mathrm{h}$ Maschinenzeit. Welches sollte priorisiert werden, wenn Maschinenzeit der Engpass ist?

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Stückkosten und Betriebsoptimum#

VertiefungB-11.1B-11.3

Die Stückkostenfunktion (Durchschnittskosten)

\bar K(x)=\tfrac{K(x)}{x}

gibt die Gesamtkosten je produzierter Einheit an. Bei Fixkosten ist ihr Verlauf typischerweise U-förmig: Erst sinken die Stückkosten (Fixkosten verteilen sich auf mehr Stücke), dann steigen sie wieder (variable Kosten dominieren) - der Tiefpunkt ist betriebswirtschaftlich besonders bedeutsam ().

Betriebsoptimum: Stückkosten und Grenzkosten

Abb. 6Die Stückkosten

\bar K(x)=x+\tfrac{100}{x}

haben ihr Minimum (Betriebsoptimum) genau dort, wo die Grenzkosten

K'(x)

sie schneiden - bei

x=10

mit

\bar K=20

.

Dieser Tiefpunkt ist das Betriebsoptimum: die Menge mit den minimalen Stückkosten. Man findet es wie jedes Minimum über

\bar K'(x)=0

und sichert es mit

\bar K''(x)>0

ab - der Operator „bestimmen" verlangt genau diese beiden Schritte.

Bemerkenswert ist die ökonomische Gesetzmäßigkeit dahinter: Im Betriebsoptimum schneiden sich die Grenzkosten

K'(x)

und die Stückkosten

\bar K(x)

(). Solange die Grenzkosten unter den Stückkosten liegen, ziehen sie den Durchschnitt nach unten; sobald sie ihn übersteigen, steigt er - der Schnittpunkt ist genau das Minimum.

Der Wert der Stückkosten im Betriebsoptimum ist die langfristige Preisuntergrenze: Sinkt der Marktpreis dauerhaft darunter, kann der Betrieb nicht einmal seine Vollkosten decken und macht auf Dauer Verluste. Diese Interpretation ist der Kern der Aufgabe.

Davon zu unterscheiden ist das Betriebsminimum - die Menge mit minimalen variablen Stückkosten und damit die kurzfristige Preisuntergrenze. Solange der Preis wenigstens die variablen Kosten deckt, lohnt die Weiterproduktion kurzfristig; es liegt unterhalb des Betriebsoptimums.

Die wichtigste Abgrenzung lautet: Betriebsoptimum (minimale Stückkosten) und Gewinnmaximum (maximaler Gewinn) sind verschiedene Mengen - die kostengünstigste Menge ist nicht die gewinnträchtigste. Ebenso sind Stückkosten

\bar K(x)=\tfrac{K(x)}{x}

und Grenzkosten

K'(x)

sauber zu trennen.

\bar K(x)=\dfrac{K(x)}{x},\quad \bar K'(x)=0\;\Rightarrow\;\text{Betriebsoptimum}

Stückkosten und Betriebsoptimum

Musterbeispiel

Betriebsoptimum bestimmen

Kostenfunktion $K(x)=x^{2}+100$ . Bestimme Betriebsoptimum und minimale Stückkosten.

Schritt 1 - Stückkosten
$\bar K(x)=\tfrac{x^{2}+100}{x}=x+\tfrac{100}{x}$ .
Schritt 2 - Ableiten und null setzen
$\bar K'(x)=1-\tfrac{100}{x^{2}}=0\Rightarrow x^{2}=100\Rightarrow x=10$ (positiv).
Schritt 3 - Minimum und Wert
$\bar K''(x)=\tfrac{200}{x^{3}}>0$ , also Minimum. $\bar K(10)=10+\tfrac{100}{10}=20$ .

Ergebnis: Betriebsoptimum bei $x=10$ Stück; minimale Stückkosten $20\,\mathrm{Euro/Stück}$ (= langfristige Preisuntergrenze).

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Kostenfunktion lautet

K(x)=0{,}5x^{2}+8x+200

. Bestimme das Betriebsoptimum (minimale Stückkosten) und interpretiere es als Preisuntergrenze. (HAK)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Stückkosten mit Grenzkosten verwechselt ( $\bar K(x)=\tfrac{K(x)}{x}$ vs. $K'(x)$ ).
Hinreichende Bedingung für das Minimum nicht geprüft.
Betriebsoptimum (Stückkosten) und Gewinnmaximum (Gewinn) gleichgesetzt.

Aktive Wiederholung

Bestimme das Betriebsoptimum der Kostenfunktion $K(x)=x^{2}+100$ und gib die minimalen Stückkosten an.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Preiselastizität der Nachfrage#

VertiefungB-11.4

Die Preiselastizität der Nachfrage misst, wie empfindlich die nachgefragte Menge auf Preisänderungen reagiert - die zentrale Kennzahl jeder Preispolitik. Sie beantwortet die Frage „Wenn ich den Preis ändere, wie stark ändert sich der Absatz, und was passiert mit dem Erlös?".

Definiert ist sie als Verhältnis relativer Änderungen (Bogenelastizität):

\varepsilon=\dfrac{\Delta x/x}{\Delta p/p}

. Entscheidend ist „relativ" - es werden prozentuale, nicht absolute Änderungen ins Verhältnis gesetzt, und im Zähler steht die Menge, im Nenner der Preis. Beides zu vertauschen oder absolute Werte einzusetzen, sind die häufigsten Fehler.

Da die Nachfrage bei steigendem Preis fällt, ist

\varepsilon

in der Regel negativ; meist betrachtet man den Betrag

|\varepsilon|

. Aus dem negativen Vorzeichen auf einen Rechenfehler zu schließen, ist verfehlt - es ist die Regel, nicht die Ausnahme.

Der Betrag teilt die Nachfrage in zwei Regime: elastisch bei

|\varepsilon|>1

(die Menge reagiert überproportional stark - Luxusgüter, gut ersetzbare Produkte) und unelastisch bei

|\varepsilon|<1

(die Menge reagiert schwach - lebensnotwendige Güter ohne Ersatz). Bei

|\varepsilon|=1

spricht man von Einheitselastizität.

Die praktische Konsequenz ist die Erlöswirkung: Bei elastischer Nachfrage senkt eine Preiserhöhung den Erlös (der Mengenrückgang überwiegt), bei unelastischer Nachfrage erhöht sie ihn (der Mengenrückgang ist gering). Genau das macht die Elastizität zur Schlüsselgröße der Preisentscheidung.

Anschaulich ändert sich die Elastizität sogar entlang einer geraden Nachfragekurve: Die obere Hälfte (hoher Preis, kleine Menge) ist elastisch, die untere unelastisch, im Mittelpunkt gilt

|\varepsilon|=1

(). In der Matura ist die Bogenelastizität aus zwei Preis-Mengen-Paaren zu berechnen und daraus eine Preisstrategie zu begründen.

Preiselastizität entlang der Nachfragekurve

Abb. 7Auf einer linearen Nachfragekurve ist die obere Hälfte (hoher Preis) elastisch (

|\varepsilon|>1

), die untere unelastisch (

|\varepsilon|<1

); im Mittelpunkt gilt

|\varepsilon|=1

.

\varepsilon=\dfrac{\Delta x/x}{\Delta p/p}

Bogenelastizitaet der Nachfrage

Musterbeispiel

Preiselastizität beurteilen

Preis $20\to 18\,\mathrm{Euro}$ , Menge $500\to 560$ . Bestimme $\varepsilon$ und beurteile.

Schritt 1 - Relative Mengenänderung
$\tfrac{\Delta x}{x}=\tfrac{560-500}{500}=\tfrac{60}{500}=0{,}12$ .
Schritt 2 - Relative Preisänderung
$\tfrac{\Delta p}{p}=\tfrac{18-20}{20}=\tfrac{-2}{20}=-0{,}10$ .
Schritt 3 - Elastizität und Urteil
$\varepsilon=\tfrac{0{,}12}{-0{,}10}=-1{,}2$ ; da $|\varepsilon|=1{,}2>1$ , ist die Nachfrage elastisch - eine Preissenkung steigert hier den Erlös.

Ergebnis: Elastizität $\varepsilon=-1{,}2$ ; die Nachfrage ist elastisch.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Bei einer Preiserhöhung von

50\,\mathrm{Euro}

auf

55\,\mathrm{Euro}

sinkt die Nachfrage von

200

auf

190

Stück. Berechne die Preiselastizität und beurteile die Reaktion. (HAK)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Absolute statt relative Änderungen in den Quotienten eingesetzt.
Zähler und Nenner vertauscht (Preis und Menge verwechselt).
Aus dem negativen Vorzeichen fälschlich auf einen Rechenfehler geschlossen.

Aktive Wiederholung

Sinkt der Preis von $20\,\mathrm{Euro}$ auf $18\,\mathrm{Euro}$ , steigt die nachgefragte Menge von $500$ auf $560$ . Berechne die Preiselastizität und beurteile, ob die Nachfrage elastisch ist.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)