B 8 - Wahrscheinlichkeit und Verteilungen — Angewandte Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Wahrscheinlichkeitsbegriff und Pfadregeln#

BasisB-8.1

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung quantifiziert den Zufall - von der Qualitätskontrolle über das Versicherungswesen bis zur Risikoabschätzung. Eine Wahrscheinlichkeit ist stets eine Zahl zwischen

0

(unmöglich) und

1

(sicher); der erste Schritt jeder Aufgabe ist die klare Definition von Ergebnisraum und interessierendem Ereignis.

Beim Laplace-Versuch sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, und es gilt

P(A)=\tfrac{\text{Anzahl günstiger Fälle}}{\text{Anzahl aller Fälle}}

. Das setzt Symmetrie voraus (fairer Würfel, gut gemischte Karten) - bei verfälschten Versuchen ist diese Formel nicht anwendbar.

Das Gegenereignis ist oft der schnellste Weg:

P(A^{c})=1-P(A)

. Gerade Aufgaben vom Typ „mindestens einmal" löst man elegant über das Gegenereignis „kein einziges Mal" - statt vieler Pfade nur einen zu berechnen.

Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten ist das Baumdiagramm das Werkzeug der Wahl (). Es gelten zwei Pfadregeln: Entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert (Produktregel), und über alle Pfade, die zum Ereignis gehören, werden sie addiert (Summenregel).

Baumdiagramm - zweistufiges Experiment

Abb. 1Pfadwahrscheinlichkeiten multiplizieren, Pfade einer Bedingung addieren.

Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

gilt - der Eintritt des einen ändert die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht. Unabhängigkeit darf nicht unbegründet angenommen werden; beim Ziehen ohne Zurücklegen etwa sind die Stufen gerade nicht unabhängig.

Für die Vereinigung gilt allgemein

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

; nur bei disjunkten (unvereinbaren) Ereignissen entfällt der Schnittterm und es bleibt

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

. Den Schnitt zu vergessen, zählt Überschneidungen doppelt - ein häufiger Fehler.

P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|},\quad P(A^{c})=1-P(A)

Laplace-Wahrscheinlichkeit und Gegenereignis

Musterbeispiel

Baumdiagramm und Pfadwahrscheinlichkeit

Aus einer Urne mit 3 roten und 5 blauen Kugeln wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, beide rote Kugeln zu ziehen?

1. Ziehung
$P(\text{rot}_{1})=\tfrac{3}{8}$ .
2. Ziehung (bedingt)
Nach rot zur 1: $P(\text{rot}_{2}\mid \text{rot}_{1})=\tfrac{2}{7}$ .
Pfadwahrscheinlichkeit
$P(RR)=\tfrac{3}{8}\cdot \tfrac{2}{7}=\tfrac{6}{56}=\tfrac{3}{28}\approx 0{,}107$ .

Ergebnis: $P(RR)\approx 0{,}107$ bzw. ca. $10{,}7\,\%$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Beginne mit klarer Definition des Ergebnisraums und des interessierenden Ereignisses.
2
Bei mehrstufigen Experimenten ist ein Baumdiagramm das Werkzeug der Wahl.
Baumdiagramm - zweistufiges Experiment
Abb.Pfadwahrscheinlichkeiten multiplizieren, Pfade einer Bedingung addieren.
3
Gegenereignis ist oft der schnellste Weg, besonders bei "mindestens einmal".

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank1 Punkte

Aufgabenstellung

In einer Urne befinden sich 6 weisse und 4 schwarze Kugeln. Es wird eine Kugel zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen. (Alle Cluster)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Pfade addiert, obwohl sie nicht alle Fälle eines Ereignisses abdecken.
Unabhängigkeit ohne Begründung angenommen.
Gegenereignis falsch formuliert.

Aktive Wiederholung

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, beim sechsmaligen Würfeln mindestens eine 6 zu bekommen?

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Bayes#

StandardB-8.2

Häufig liegt bereits eine Information vor, die die Wahrscheinlichkeit verändert - „Das Bauteil ist defekt; aus welchem Werk stammt es?". Die bedingte Wahrscheinlichkeit

P(A\mid B)=\tfrac{P(A\cap B)}{P(B)}

beschreibt die Wahrscheinlichkeit von

A

unter der Voraussetzung, dass

B

eingetreten ist - der Ergebnisraum wird auf

B

eingeschränkt.

Aus der Definition folgt unmittelbar der Multiplikationssatz

P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)

- genau die Pfadregel im Baumdiagramm (): Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang seiner Äste.

Baumdiagramm zum Satz von Bayes

Abb. 2Zweistufiges Baumdiagramm (Werk

\to

Qualität): Entlang eines Pfades multiplizieren, über die Pfade „defekt" addieren - so entsteht die totale Wahrscheinlichkeit für Bayes.

Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

P(A)=\sum_i P(A\mid B_i)\cdot P(B_i)

summiert über alle Wege, die zu

A

führen. Für die Ausschusswahrscheinlichkeit etwa addiert man die Pfade über alle Werke - alle Pfade, nicht nur einen, zu berücksichtigen, ist hier entscheidend.

Das Bayes-Theorem

P(B\mid A)=\tfrac{P(A\mid B)\cdot P(B)}{P(A)}

kehrt die Bedingung um: Es schließt von der Wirkung auf die Ursache - vom Symptom auf die Krankheit, vom Defekt auf das Werk. Der Nenner

P(A)

wird dabei über die totale Wahrscheinlichkeit berechnet.

Zentral ist,

P(A\mid B)

und

P(B\mid A)

nicht zu verwechseln - sie sind im Allgemeinen verschieden. „Test positiv, wenn krank" ist nicht dasselbe wie „krank, wenn Test positiv"; das Bayes-Theorem ist genau die Brücke zwischen beiden.

Das erklärt das berühmte, kontraintuitive Ergebnis medizinischer Tests: Selbst bei hoher Sensitivität kann der positive Vorhersagewert

P(\text{krank}\mid +)

klein sein, wenn die Prävalenz niedrig ist - bei

1\,\%

Kranken sind oft nur rund

20\,\%

der positiv Getesteten tatsächlich krank. Die Prävalenz darf nie ignoriert werden.

P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Multiplikationssatz

P(B\mid A)=\dfrac{P(A\mid B)\cdot P(B)}{P(A)}

Bayes-Theorem

Musterbeispiel

Bayes-Theorem für einen medizinischen Test

Prävalenz $1\,\%$ , Sensitivität $95\,\%$ , Spezifität $96\,\%$ . Berechne $P(K\mid +)$ .

Annahmen
$P(K)=0{,}01$ , $P(+\mid K)=0{,}95$ , $P(+\mid K^{c})=0{,}04$ .
Gesamtwahrscheinlichkeit positiv
$P(+)=0{,}95\cdot 0{,}01+0{,}04\cdot 0{,}99=0{,}0095+0{,}0396=0{,}0491$ .
Bayes
$P(K\mid +)=\tfrac{0{,}95\cdot 0{,}01}{0{,}0491}\approx 0{,}194$ .

Ergebnis: Nur ca. $19{,}4\,\%$ der positiv Getesteten sind tatsächlich krank.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Bedingte Wahrscheinlichkeit beschränkt das Universum auf das gegebene Ereignis.
2
Bayes-Theorem kehrt die Bedingung um - wichtig, wenn man von Symptom auf Ursache schliesst.
3
Achte auf die Prävalenz - sie verändert das Ergebnis dramatisch.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

In einem Betrieb stammen

60\,\%

aller Bauteile aus Werk A und

40\,\%

aus Werk B. Werk A liefert

2\,\%

Ausschuss, Werk B liefert

5\,\%

Ausschuss. Ein zufällig gewähltes Bauteil ist defekt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es aus Werk B stammt? (HTL)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

$P(A\mid B)$ und $P(B\mid A)$ verwechselt.
Prävalenz nicht berücksichtigt.
Bei totaler Wahrscheinlichkeit nur einzelne Pfade summiert.

Aktive Wiederholung

Ein Test erkennt eine Krankheit zu $95\,\%$ richtig; bei Gesunden ist er zu $4\,\%$ fälschlich positiv. $1\,\%$ der Bevölkerung ist krank. Wie hoch ist $P(\text{krank}\mid \text{positiv})$ ?

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Binomialverteilung#

StandardB-8.3

Die Binomialverteilung ist das Standardmodell für „Zählen von Erfolgen in einer festen Anzahl von Versuchen" - defekte Stücke in einer Stichprobe, Treffer in einer Serie, Zusagen unter Angefragten. Grundlage ist die Bernoulli-Kette:

n

unabhängige Versuche mit jeweils derselben Erfolgswahrscheinlichkeit

p

.

Die Anzahl der Erfolge

X

ist dann binomialverteilt,

X\sim B(n;\,p)

, mit

P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}

. Anschaulich zählt

\binom{n}{k}

die möglichen Positionen der

k

Erfolge,

p^{k}

ihre Wahrscheinlichkeit und

(1-p)^{n-k}

die der Misserfolge - den Faktor

\binom{n}{k}

zu vergessen, ist der häufigste Fehler.

Lage und Streuung folgen einfachen Formeln: Erwartungswert

E(X)=n\,p

, Varianz

V(X)=n\,p\,(1-p)

und Standardabweichung

\sigma=\sqrt{n\,p\,(1-p)}

. Der Erwartungswert dient als schnelle Plausibilitätsschätzung - bei

30

Teilen mit

5\,\%

Ausschuss erwartet man etwa

1{,}5

defekte.

Die Histogrammform hängt von

p

ab: Für

p=0{,}5

ist die Verteilung symmetrisch, für kleine

p

rechtsschief mit dem Gipfel nahe

E(X)

(). Mit wachsendem

n

wird sie zunehmend glockenförmig.

Binomialverteilung B(15; 0,3)

Abb. 3Wahrscheinlichkeiten

P(X=k)

für

k=0,\dots,15

- Maximum nahe

E(X)=4{,}5

.

Bei „höchstens/mindestens"-Aufgaben braucht man kumulative Wahrscheinlichkeiten

P(X\leq k)

, die man am CAS oder aus Tabellen abliest. Diese drei Fälle - genau

k

, höchstens

k

, mindestens

k

- sauber zu unterscheiden, ist prüfungsentscheidend; „mindestens 1" löst man oft über das Gegenereignis.

Vor der Anwendung sind stets die Voraussetzungen zu prüfen: feste Versuchszahl

n

, Unabhängigkeit und konstantes

p

. Sind sie erfüllt und ist

n

groß bei

p

nahe

0{,}5

, lässt sich die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern (siehe nächster Abschnitt).

P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{n-k},\quad X\sim B(n,p)

Binomialverteilung

E(X)=n\,p,\quad V(X)=n\,p\,(1-p)

Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Binomialverteilung - Qualitätskontrolle

In der Produktion sind $4\,\%$ der Teile defekt. In einer Stichprobe von 25 Teilen - wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau $2$ defekt sind?

Verteilung
$X\sim B(25; 0{,}04)$ .
Wahrscheinlichkeit
$P(X=2)=\binom{25}{2}\cdot 0{,}04^{2}\cdot 0{,}96^{23}\approx 300\cdot 0{,}0016\cdot 0{,}3911\approx 0{,}188$ .

Ergebnis: $P(X=2)\approx 0{,}188$ bzw. $18{,}8\,\%$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Prüfe zuerst, ob die Voraussetzungen der Binomialverteilung (Unabhängigkeit, konstantes $p$ ) erfüllt sind.
2
Verwende den CAS-Rechner für kumulative Wahrscheinlichkeiten.
3
Erwartungswert und Standardabweichung helfen bei der Plausibilitätsprüfung.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei zehnmaligem Werfen einer fairen Münze genau 7 mal Kopf zu erhalten? Gib die Verteilung an. (Alle Cluster)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Faktor $\binom{n}{k}$ vergessen.
Höchstens und mindestens vertauscht.
Bedingungen "unabhängig" und "konstantes p" nicht geprüft.

Aktive Wiederholung

In einer Stichprobe von 30 Bauteilen sind erfahrungsgemäß $5\,\%$ defekt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 defekte Teile?

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Normalverteilung#

StandardB-8.4

Die Normalverteilung ist die wichtigste stetige Verteilung: Sie beschreibt viele natürliche Streuungen - Füllmengen, Werkstückmaße, Messfehler -, bei denen sich viele kleine zufällige Einflüsse überlagern. Ihr Graph ist die symmetrische Glockenkurve (, ).

Normalverteilung - 68-95-99,7-Regel

Abb. 4Anteile innerhalb 1, 2 und 3 Standardabweichungen um den Mittelwert.

Normalverteilung N(500, 4²)

Abb. 5Symmetrisch um

\mu=500

mit

\sigma=4

.

Eine Normalverteilung

X\sim N(\mu;\,\sigma^{2})

ist vollständig durch zwei Parameter festgelegt: den Erwartungswert

\mu

(Lage des Gipfels, Symmetrieachse) und die Standardabweichung

\sigma

(Breite der Glocke). Achtung:

N(\mu;\sigma^{2})

wird mit der Varianz

\sigma^{2}

notiert, gerechnet wird aber mit

\sigma

.

Die Standardisierung

Z=\tfrac{X-\mu}{\sigma}

überführt jede Normalverteilung in die Standardnormalverteilung

Z\sim N(0;\,1)

. Der

z

-Wert misst, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist - hier durch

\sigma

(nicht

\sigma^{2}

!) zu dividieren, ist die zentrale Fehlerquelle.

Die 68-95-99,7-Regel gibt die wichtigsten Anteile direkt: rund

68\,\%

der Werte liegen in

[\mu-\sigma;\,\mu+\sigma]

, etwa

95\,\%

in

[\mu-2\sigma;\,\mu+2\sigma]

und

99{,}7\,\%

in

[\mu-3\sigma;\,\mu+3\sigma]

. Diese Faustregel löst viele Toleranz- und Qualitätsfragen ohne Tabelle.

Für beliebige Bereiche liefern Tabelle oder CAS die kumulative Wahrscheinlichkeit

\Phi(z)=P(Z\leq z)

; umgekehrt bestimmt man aus einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit das zugehörige Quantil. Da die Verteilung stetig ist, gilt

P(X\leq x)=P(X<x)

- der einzelne Punkt hat Wahrscheinlichkeit null.

Schließlich verbindet die Näherung beide Welten: Eine Binomialverteilung lässt sich für

n\,p\geq 5

und

n(1-p)\geq 5

gut durch eine Normalverteilung mit

\mu=np

und

\sigma=\sqrt{np(1-p)}

annähern - praktisch bei großen Stichproben, wo die Binomialrechnung aufwändig würde.

Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma},\quad X\sim N(\mu,\sigma^{2})

Standardisierung

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Anteile mit der 68-95-99,7-Regel

Werkstückhöhe $X\sim N(50; 0{,}5^{2})$ mm. Anteil zwischen $49$ und $51$ mm?

Standardisieren
$z_{1}=\tfrac{49-50}{0{,}5}=-2$ , $z_{2}=2$ .
Regel
$P(-2<Z<2)\approx 0{,}9545$ .

Ergebnis: Etwa $95{,}45\,\%$ liegen im Bereich $[49,\,51]$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Standardisiere zuerst, dann nutze Tabelle oder CAS.
Normalverteilung - 68-95-99,7-Regel
Abb.Anteile innerhalb 1, 2 und 3 Standardabweichungen um den Mittelwert.
2
Die 68-95-99,7-Regel deckt die Standardfaelle ab.
3
Achte auf "unter" vs. "über" und auf Intervalle.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Die Füllmenge einer Limonadenflasche ist normalverteilt mit

\mu=500\,\mathrm{mL}

und

\sigma=2\,\mathrm{mL}

. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche weniger als

498\,\mathrm{mL}

enthält. (HUM)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Varianz $\sigma^{2}$ und Standardabweichung $\sigma$ vertauscht (in der Standardisierung wird durch $\sigma$ , nicht durch $\sigma^{2}$ , dividiert).
$P(X\leq x)$ und $P(X<x)$ als unterschiedlich behandelt (kontinuierliche Verteilung).
Tabellenwert für $\Phi(z)$ falsch interpretiert.

Aktive Wiederholung

Eine Maschine füllt Flaschen mit $\mu=500\,\mathrm{mL}$ und $\sigma=4\,\mathrm{mL}$ . Bestimme $P(495<X<505)$ .

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Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsvariablen#

StandardB-8.3

Eine diskrete Zufallsvariable ordnet jedem Ausgang einen Zahlenwert zu (Gewinn, Auszahlung, Schadenshöhe). Erwartungswert und Varianz fassen ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung in zwei Kennzahlen zusammen - das durchschnittliche Ergebnis und seine Schwankung ().

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen

Abb. 6Verteilung mit

P(X{=}0)=0{,}5

,

P(X{=}5)=0{,}3

,

P(X{=}10)=0{,}2

; der Erwartungswert

E(X)=3{,}5

ist der wahrscheinlichkeitsgewichtete Schwerpunkt.

Der Erwartungswert

E(X)=\sum x_i\,p_i

ist der mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittelwert - der „langfristige Durchschnitt" bei sehr vielen Wiederholungen. Er ist kein konkreter Einzelwert: Ein

E(X)=3{,}5

kann durchaus ein Wert sein, der nie eintritt, und ist nicht mit dem wahrscheinlichsten Wert zu verwechseln.

Die Varianz

V(X)=\sum (x_i-\mu)^{2}\,p_i

misst die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert, die Standardabweichung

\sigma=\sqrt{V(X)}

bringt die Streuung zurück in die Einheit der Daten. Varianz und Standardabweichung sind sauber zu trennen - gefragt ist meist

\sigma

.

Lineare Transformationen folgen festen Regeln:

E(aX+b)=a\,E(X)+b

und

V(aX+b)=a^{2}\,V(X)

. Eine additive Konstante verschiebt den Erwartungswert, lässt die Streuung aber unberührt; ein Faktor

a

wirkt auf die Varianz quadratisch.

Im Glücksspiel ist der Erwartungswert das Fairnesskriterium: Bei einem fairen Spiel ist

E(X)=0

(Einsatz und erwartete Auszahlung heben sich auf), bei

E(X)<0

verliert man im Mittel. Voraussetzung jeder Rechnung ist, dass die Wahrscheinlichkeiten zu

1

summieren.

In der Versicherungsmathematik bestimmt der Erwartungswert die faire Prämie: Sie entspricht der erwarteten Schadenshöhe zuzüglich eines Sicherheits- und Kostenzuschlags. In der Matura ist das Ergebnis stets mit „im Mittel" zu deuten - nie als sicheres Einzelergebnis.

E(X)=\sum x_{i}\,p_{i},\quad V(X)=\sum (x_{i}-E(X))^{2}\,p_{i}

Erwartungswert und Varianz

Musterbeispiel

Erwartungswert eines Würfelspiels

Spielregel: bei "6" gewinnst du $10\,\mathrm{Euro}$ , sonst verlierst du $2\,\mathrm{Euro}$ .

Wahrscheinlichkeiten
$P(X=10)=\tfrac{1}{6}$ , $P(X=-2)=\tfrac{5}{6}$ .
Erwartungswert
$E(X)=\tfrac{1}{6}\cdot 10+\tfrac{5}{6}\cdot(-2)=\tfrac{10-10}{6}=0$ .
Interpretation
Faires Spiel - im Mittel weder Gewinn noch Verlust.

Ergebnis: $E(X)=0$ , also faires Spiel.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Erwartungswert ist das langfristige Mittel, kein konkreter Wert eines Versuchs.
2
Varianz misst die Streuung um den Erwartungswert.
3
Versicherungsprämie = Erwartungswert plus Sicherheitszuschlag.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Zufallsvariable

X

kann die Werte

0, 5, 10

mit Wahrscheinlichkeiten

0{,}5,\;0{,}3,\;0{,}2

annehmen. Bestimme

E(X)

und

\sigma(X)

. (Alle Cluster)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Wahrscheinlichkeiten summieren nicht zu 1.
Varianz mit Standardabweichung verwechselt.
Erwartungswert mit wahrscheinlichstem Wert verwechselt.

Aktive Wiederholung

Bei einem Spiel wird ein Würfel geworfen. Bei einer "6" gewinnt man $10\,\mathrm{Euro}$ , sonst verliert man $2\,\mathrm{Euro}$ . Lohnt sich das Spiel im Mittel?

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Kombinatorik: Permutationen und Kombinationen#

StandardB-8.1

Die Kombinatorik beantwortet die Frage „auf wie viele Arten?" und liefert damit die Anzahl der Fälle für Laplace-Wahrscheinlichkeiten - Codes, Sitzordnungen, Auswahlen, Lottozahlen. Das Baumdiagramm macht das schrittweise Zählen anschaulich ().

Baumdiagramm - zweistufiges Experiment

Abb. 7Pfadwahrscheinlichkeiten multiplizieren, Pfade einer Bedingung addieren.

Das Fundament ist das Zählprinzip (Produktregel): Zerfällt eine Auswahl in

k

unabhängige Stufen mit je

n_i

Möglichkeiten, gibt es insgesamt

n_1\cdot n_2\cdots n_k

Fälle. Daraus leiten sich alle weiteren Formeln ab.

Permutationen ordnen alle

n

Elemente an - dafür gibt es

n!

Anordnungen (für die erste Position

n

Wahlmöglichkeiten, dann

n-1

usw.). Sie beantworten „auf wie viele Arten lassen sich

n

Dinge in eine Reihenfolge bringen?".

Variationen sind geordnete Auswahlen ohne Zurücklegen von

k

aus

n

:

V_k^n=\tfrac{n!}{(n-k)!}

. Hier zählt die Reihenfolge - ein vierstelliger Code aus verschiedenen Ziffern oder eine Rangfolge der ersten drei Plätze.

Kombinationen sind ungeordnete Auswahlen ohne Zurücklegen:

\binom{n}{k}=\tfrac{n!}{k!\,(n-k)!}

. Hier zählt die Reihenfolge nicht - ein Dreierteam, eine Lottoziehung. Der Faktor

k!

im Nenner teilt genau die gleichwertigen Anordnungen heraus.

Die Wahl der richtigen Formel hängt an zwei Fragen: Spielt die Reihenfolge eine Rolle (Variation/Permutation) oder nicht (Kombination), und wird mit oder ohne Zurücklegen gezogen? Diese beiden Kriterien zu verwechseln, ist der häufigste Fehler. Der Binomialkoeffizient

\binom{n}{k}

taucht hier nicht zufällig wieder auf - er ist derselbe Faktor wie in der Binomialverteilung.

P(n)=n!,\quad V_{k}^{n}=\dfrac{n!}{(n-k)!},\quad \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}

Permutationen, Variationen, Kombinationen

Musterbeispiel

Ungeordnete Auswahl (Kombination)

Auf wie viele Arten lassen sich 3 aus 10 Kandidaten ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählen?

Schritt 1 - Modell
Ungeordnete Auswahl ohne Zurücklegen: Kombination $\binom{10}{3}$ .
Schritt 2 - Einsetzen
$\binom{10}{3}=\tfrac{10!}{3!\,7!}=\tfrac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}$ .
Schritt 3 - Auswerten
$=\tfrac{720}{6}=120$ mögliche Dreierteams.

Ergebnis: Es gibt $\binom{10}{3}=120$ mögliche Auswahlen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Code besteht aus 4 verschiedenen Ziffern aus den Ziffern 0 bis 9, wobei die Reihenfolge zählt. Berechne die Anzahl möglicher Codes. (HTL)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Variationen und Kombinationen verwechselt (Reihenfolge fälschlich berücksichtigt oder ignoriert).
Mit Zurücklegen statt ohne Zurücklegen (oder umgekehrt) gerechnet.
Beim Binomialkoeffizienten den Nenner $k!\,(n-k)!$ unvollständig gebildet.

Aktive Wiederholung

Berechne, auf wie viele Arten ein Vorstand aus 3 Personen aus 10 Kandidaten gewählt werden kann, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)