Samenvattingen · Wiskunde DNL · VWO

Analytische en synthetische methoden

De vlakke meetkunde kent twee talen. In de synthetische (klassieke) meetkunde bewijs je eigenschappen rechtstreeks met stellingen over hoeken, lijnen en cirkels — de stelling van Thales, de omtrekshoekstelling, de middelloodlijn en de bissectrice. In de analytische meetkunde leg je een assenstelsel over de figuur en reken je met coördinaten en vectoren: een cirkel wordt $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ , een raaklijn staat loodrecht op de straal, en een meetkundige plaats wordt een vergelijking in $x$ en $y$ . Veel eigenschappen bewijs je langs beide wegen. Wiskunde D heeft geen centraal examen; deze stof (domein D) wordt in het schoolexamen (SE) getoetst.

4 Onderdelen~19 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 2 · Verdieping 2

T·121212 / 19

Examenprofiel

Domein D — synthetische meetkunde: stellingen en bewijzen (Thales, omtrekshoek, middelloodlijn, bissectrice)Analytische meetkunde: de cirkel (x-a)²+(y-b)²=r² en de vergelijking van een lijn opstellenRaaklijnen aan een cirkel (loodrecht op de straal) en snijpunten van lijn en cirkel berekenenMeetkundige plaatsen (middelloodlijn, cirkel van Apollonius) langs de synthetische én de analytische weg bewijzen

Operatoren:bewijstoon aanberekenbepaalstel opleid af

basisniveau

Wiskunde D heeft geen centraal examen: de meetkunde van domein D wordt alleen in het schoolexamen (SE) getoetst. Beheers minimaal de cirkelvergelijking $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ , de raaklijn loodrecht op de straal, de stelling van Thales, en de middelloodlijn als meetkundige plaats.

verhoogd niveau

Verdieping zit in het langs twee wegen bewijzen — synthetisch met stellingen én analytisch met coördinaten — en in rijkere meetkundige plaatsen zoals de cirkel van Apollonius bij een constante afstandsverhouding.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Analytische en synthetische methoden

Synthetische meetkunde: stellingen en bewijzen#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-D

De synthetische of klassieke meetkunde redeneert rechtstreeks met meetkundige objecten — punten, lijnen, hoeken, driehoeken en cirkels — zonder een assenstelsel of coördinaten. Je bewijst een eigenschap door bekende stellingen aaneen te schakelen: de hoekensom van een driehoek is

180^{\circ}

, gelijkbenige driehoeken hebben gelijke basishoeken, en congruente of gelijkvormige driehoeken leveren gelijke zijden en hoeken. Een synthetisch bewijs is zo'n keten van stappen, van het gegeven naar de conclusie. Deze manier van werken traint het meetkundig redeneren: je ziet wáárom een eigenschap geldt, niet alleen dát een berekening klopt.

Twee klassieke meetkundige plaatsen keren telkens terug. De middelloodlijn van een lijnstuk

AB

is de lijn die loodrecht op

AB

staat door het midden ervan; haar kenmerkende eigenschap is dat elk punt

P

erop even ver van

A

als van

B

ligt, dus

|PA|=|PB|

. De bissectrice (deellijn) van een hoek is de halflijn die de hoek middendoor deelt; elk punt op de bissectrice ligt op gelijke afstand van de twee benen van de hoek. Beide zijn dus verzamelingen punten met een gelijke-afstand-eigenschap — een idee dat in de analytische meetkunde terugkomt als een vergelijking.

De omtrekshoekstelling verbindt hoeken met bogen van een cirkel. Een omtrekshoek heeft zijn top op de cirkel en zijn benen langs twee koorden; een middelpuntshoek heeft zijn top in het middelpunt. De stelling zegt: een omtrekshoek is half zo groot als de middelpuntshoek op dezelfde boog,

\angle_{\text{omtrek}}=\tfrac{1}{2}\,\angle_{\text{middelpunt}}

. Een direct gevolg is dat álle omtrekshoeken op dezelfde boog even groot zijn, hoe je de top ook over de cirkel verschuift. Deze stelling is het gereedschap waarmee je in cirkelfiguren hoeken aan elkaar knoopt.

De stelling van Thales is het beroemdste bijzondere geval van de omtrekshoekstelling. Is

AB

een middellijn (diameter) van de cirkel en ligt

C

op de cirkel, dan is

\angle ACB=90^{\circ}

: het punt

C

ziet de middellijn onder een rechte hoek. In Afb. 1 staat de Thalescirkel met middellijn

AB

en een punt

C

op de omtrek; de straal

MC

verdeelt driehoek

ABC

in twee gelijkbenige driehoeken, want

MA=MB=MC=r

. Dat is precies de kern van het bewijs: uit de gelijke stralen volgen gelijke basishoeken, en de hoekensom dwingt de rechte hoek af. Ook de omkering geldt: ligt

C

zó dat

\angle ACB=90^{\circ}

, dan ligt

C

op de cirkel met middellijn

AB

Thalescirkel: de rechte hoek op de omtrek

Afb. 1Afb. 1 — Thalescirkel met middellijn AB. Omdat MA = MB = MC = r, bestaat driehoek ABC uit twee gelijkbenige driehoeken en is de hoek bij C recht (90°).

Een net synthetisch bewijs heeft een vaste vorm: noteer wat gegeven is, wat je te bewijzen hebt, en dan de bewijsstappen met bij elke stap de stelling die je gebruikt. Sla geen stappen over — benoem de gelijkbenigheid, de congruentie of de hoekensom expliciet. De synthetische meetkunde levert vaak korte, inzichtelijke bewijzen, maar niet elke eigenschap is er even makkelijk mee te bewijzen. Daarom leer je in de volgende paragrafen dezelfde figuren óók analytisch te behandelen: met coördinaten reken je een eigenschap uit in plaats van haar te construeren, en soms is dat de kortere weg.

\angle_{\text{omtrek}}=\tfrac{1}{2}\,\angle_{\text{middelpunt}}

Omtrekshoekstelling

Een omtrekshoek is half zo groot als de middelpuntshoek op dezelfde boog; omtrekshoeken op dezelfde boog zijn daardoor gelijk.

AB\ \text{middellijn} \;\Rightarrow\; \angle ACB=90^{\circ}

Stelling van Thales

Elk punt op de cirkel ziet een middellijn onder een rechte hoek — het bijzondere geval van de omtrekshoekstelling bij een halve cirkel.

P \text{ op de middelloodlijn van } AB \iff |PA|=|PB|

Middelloodlijn als meetkundige plaats

De middelloodlijn is de verzameling punten op gelijke afstand van A en B; de bissectrice speelt dezelfde rol voor de afstand tot twee lijnen.

Uitgewerkt voorbeeld

De stelling van Thales synthetisch bewijzen

Bewijs met de eigenschappen van gelijkbenige driehoeken de stelling van Thales: als $AB$ een middellijn is van de cirkel met middelpunt $M$ en $C$ op de cirkel ligt, dan is $\angle ACB=90^{\circ}$ .

Gelijke stralen
M is het midden van de middellijn AB, dus MA en MB zijn stralen; ook MC is een straal. Alle drie zijn even lang.
$MA = MB = MC = r$
Twee gelijkbenige driehoeken
Driehoek MAC is gelijkbenig (MA = MC), dus de basishoeken zijn gelijk: noem ze α. Zo ook driehoek MBC (MB = MC) met gelijke basishoeken β.
$\angle MAC = \angle MCA = \alpha, \qquad \angle MBC = \angle MCB = \beta$
Hoekensom in driehoek ABC
De hoek bij A is α, die bij B is β, en de hoek bij C is ∠ACB = α + β. De drie hoeken samen zijn 180°.
$\alpha + \beta + (\alpha + \beta) = 180^{\circ} \;\Rightarrow\; 2(\alpha+\beta)=180^{\circ}$
Conclusie
Uit 2(α + β) = 180° volgt α + β = 90°, en dat is precies de hoek bij C.
$\angle ACB = \alpha + \beta = 90^{\circ} \qquad \blacksquare$

Resultaat: ∠ACB = 90°: elk punt C op de cirkel ziet de middellijn AB onder een rechte hoek — de stelling van Thales.

Veelgemaakte fouten

De omtrekshoek gelijkstellen aan de middelpuntshoek in plaats van aan de helft ervan.
Denken dat elke koorde een rechte hoek geeft; alleen een middellijn (diameter) doet dat volgens Thales.
In een synthetisch bewijs stappen overslaan of de gelijkbenigheid (de gelijke stralen) niet expliciet benoemen.

Actieve herhaling

Een punt $C$ ligt op een cirkel met middellijn $AB$ . Gegeven is $\angle CAB = 34^{\circ}$ . Bereken $\angle ABC$ met de stelling van Thales. Formuleer daarna in je eigen woorden een bewijs dat elke omtrekshoek op een middellijn recht is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Analytische meetkunde: lijnen en de cirkel#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-D

Cirkel met middelpunt M(3; 2) en straal r = 5

Afb. 2Afb. 1 — De cirkel (x − 3)² + (y − 2)² = 25 met middelpunt M(3; 2) en straal r = 5. Het punt P(6; 6) ligt erop, want (6 − 3)² + (6 − 2)² = 9 + 16 = 25.

In de analytische meetkunde leg je een assenstelsel over de figuur: elk punt krijgt coördinaten

(x,y)

en elke meetkundige eigenschap wordt een vergelijking. De afstand tussen twee punten is

|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

(Pythagoras, herhaling), en het midden van

AB

\bigl(\tfrac{x_1+x_2}{2},\tfrac{y_1+y_2}{2}\bigr)

. Met deze twee formules kun je lengtes, middens en straks meetkundige plaatsen uitrekenen in plaats van construeren. Rekenen vervangt hier het tekenen.

Een lijn schrijf je als

y=ax+b

(met richtingscoëfficiënt

a

) of, algemener, als

px+qy=c

. In die tweede vorm zit de normaalvector

\vec{n}=\binom{p}{q}

verstopt: de coëfficiënten van

x

y

vormen samen een vector die loodrecht op de lijn staat (herhaling uit de vectormeetkunde). Twee lijnen zijn evenwijdig bij gelijke richtingscoëfficiënt en staan loodrecht als het product van hun richtingscoëfficiënten

-1

is. Deze lijnbeschrijvingen heb je nodig om raaklijnen en snijpunten op te stellen.

De cirkel is de verzameling punten

P

op vaste afstand

r

(de straal) van een vast punt

M(a,b)

(het middelpunt). Vertaal je de voorwaarde

|PM|=r

met de afstandsformule en kwadrateer je, dan ontstaat de middelpunt-straalvergelijking

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

. In Afb. 1 zie je de cirkel met middelpunt

M(3,2)

en straal

r=5

; het punt

P(6,6)

ligt erop, want

(6-3)^2+(6-2)^2=9+16=25=r^2

. De cirkel is dus zelf al een meetkundige plaats — de eenvoudigste die er is.

Vaak staat een cirkel niet keurig in de standaardvorm, maar in de algemene vorm

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

. Door bij

x

en bij

y

het kwadraat af te splitsen breng je die terug naar

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

en lees je middelpunt en straal af. Let op: het is pas een echte cirkel als het rechterlid na afsplitsen positief is (

r^2>0

); is het

0

dan is het één punt, en is het negatief dan is er geen enkel punt. Kwadraatafsplitsen is daarmee de standaardtechniek om een cirkelvergelijking te ontcijferen.

De analytische aanpak is krachtig omdat je meetkundige vragen omzet in algebra die je stap voor stap kunt uitrekenen, ook als een zuivere constructie lastig is. Snijpunten worden een stelsel, een raaklijn wordt een lijn met een voorwaarde, en een meetkundige plaats wordt een vergelijking. In de volgende paragrafen gebruik je de cirkelvergelijking en de lijnvergelijking samen om raaklijnen en snijpunten te bepalen, en daarna om eigenschappen langs de analytische weg te bewijzen.

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Middelpunt-straalvergelijking van de cirkel

De verzameling punten P op afstand r van het middelpunt M(a, b); volgt uit |PM| = r na kwadrateren.

|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

Afstand tussen twee punten (herhaling)

De stelling van Pythagoras op de coördinaatverschillen; met deze formule vertaal je afstandsvoorwaarden naar vergelijkingen.

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

Algemene vorm van de cirkel

Door kwadraatafsplitsen bij x en y breng je deze terug naar de standaardvorm en lees je middelpunt en straal af.

Uitgewerkt voorbeeld

Middelpunt en straal met kwadraatafsplitsen

Toon aan dat $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ de vergelijking van een cirkel is, en bepaal het middelpunt en de straal.

Groepeer x en y
Zet de x-termen en de y-termen bij elkaar en breng de constante naar rechts.
$x^2-6x+y^2+4y=12$
Splits de kwadraten af
x² − 6x = (x − 3)² − 9 en y² + 4y = (y + 2)² − 4. Neem de afgesplitste constanten mee.
$(x-3)^2-9+(y+2)^2-4=12$
Breng op standaardvorm
Tel −9 en −4 op bij 12 aan de rechterkant.
$(x-3)^2+(y+2)^2=25$
Lees middelpunt en straal af
Uit (x − 3)² volgt a = 3, uit (y + 2)² volgt b = −2, en r² = 25 geeft r = 5. Omdat r² > 0 is het een echte cirkel.

Resultaat: Het is een cirkel met middelpunt M(3; −2) en straal r = 5.

Veelgemaakte fouten

Bij kwadraatafsplitsen de afgesplitste constante (bijvoorbeeld −9) vergeten mee te nemen naar het rechterlid.
Het middelpunt met het verkeerde teken aflezen: (x − a)² hoort bij a, dus (x − 3)² geeft a = +3 en (y + 2)² geeft b = −2.
r² en r verwarren; de straal is de wortel van het rechterlid, niet het rechterlid zelf.

Actieve herhaling

Stel de vergelijking op van de cirkel met middelpunt $M(-1,4)$ en straal $3$ . Bepaal daarna met kwadraatafsplitsen het middelpunt en de straal van $x^2+y^2+8x-2y+8=0$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Raaklijnen en snijpunten#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-D

Raaklijn loodrecht op de straal

Afb. 3Afb. 1 — De raaklijn aan x² + y² = 25 in P(3; 4) staat loodrecht op de straal MP (richting (3; 4)); de raaklijn heeft richting (−4; 3) en vergelijking 3x + 4y = 25.

Een raaklijn aan een cirkel raakt de cirkel in precies één punt, het raakpunt. De meetkundige sleutel komt uit de cirkelstellingen: de raaklijn staat loodrecht op de straal naar het raakpunt. In Afb. 1 raakt de lijn de cirkel

x^2+y^2=25

P(3,4)

; de straal

MP

heeft richting

\binom{3}{4}

en de raaklijn de loodrechte richting

\binom{-4}{3}

, gemarkeerd met een rechte hoek bij

P

. Deze eigenschap „raaklijn loodrecht op de straal” is de eerste van twee standaardmethoden.

Is het raakpunt op de cirkel gegeven, gebruik dan de loodrecht-methode. Bereken de richtingscoëfficiënt van de straal

MP

en neem als richtingscoëfficiënt van de raaklijn de tegengestelde omgekeerde (

a_{\text{raak}}=-\tfrac{1}{a_{\text{straal}}}

). Voor een cirkel met middelpunt in de oorsprong bestaat bovendien de snelle formule: de raaklijn in

(x_0,y_0)

aan

x^2+y^2=r^2

x_0x+y_0y=r^2

. Beide leveren dezelfde raaklijn; de formule is handig, de loodrecht-redenering laat zien waaróm.

Is het raakpunt níet gegeven — bijvoorbeeld bij de vraag „voor welke

c

raakt

y=x+c

de cirkel?” — gebruik dan de discriminant. Vul de lijn in de cirkelvergelijking in; er ontstaat een kwadratische vergelijking. De discriminant

D=b^2-4ac

vertelt hoeveel snijpunten er zijn:

D>0

geeft twee snijpunten (de lijn snijdt),

D=0

geeft één (dubbel) snijpunt (de lijn raakt), en

D<0

geeft geen snijpunt (de lijn mist de cirkel). Raken is dus algebraïsch precies

D=0

De snijpunten van een lijn en een cirkel bereken je met dezelfde substitutie: los de lijn op naar

y

(of

x

), vul in de cirkelvergelijking in, en los de kwadratische vergelijking op. Elke oplossing voor

x

geeft via de lijn de bijbehorende

y

. Een derde, verwante controle is het afstandscriterium: een lijn raakt de cirkel precies als de afstand van het middelpunt tot de lijn gelijk is aan de straal. Dat is handig om snel te toetsen of een gegeven lijn raakt, zonder de kwadratische vergelijking uit te werken.

Vanuit een punt búiten de cirkel zijn er twee raaklijnen. Je stelt de lijn door dat punt op met een onbekende richtingscoëfficiënt

a

, substitueert in de cirkel, en eist

D=0

; dat levert meestal twee waarden van

a

en dus twee raaklijnen, symmetrisch ten opzichte van de lijn naar het middelpunt. Raaklijnvraagstukken bundelen zo alle analytische vaardigheden: de cirkel- en lijnvergelijking, de loodrecht-voorwaarde en de discriminant. Benoem in je uitwerking welke methode je kiest en geef de raaklijn(en) als volledige vergelijking.

\text{raaklijn} \perp \text{straal} \qquad a_{\text{raak}}=-\frac{1}{a_{\text{straal}}}

Raaklijn in een gegeven raakpunt

De raaklijn staat loodrecht op de straal naar het raakpunt; haar richtingscoëfficiënt is de tegengestelde omgekeerde van die van de straal.

D=b^2-4ac:\quad D>0\ \text{snijdt},\ \ D=0\ \text{raakt},\ \ D<0\ \text{mist}

Discriminant van lijn en cirkel

Na substitutie van de lijn in de cirkel ontstaat een kwadratische vergelijking; de discriminant telt de snijpunten.

x_0x+y_0y=r^2

Raaklijn aan x² + y² = r² in (x₀, y₀)

De snelle formule voor de raaklijn in een punt op een cirkel met middelpunt in de oorsprong.

Uitgewerkt voorbeeld

Raaklijn in een gegeven punt opstellen

Stel de vergelijking op van de raaklijn aan de cirkel $x^2+y^2=25$ in het punt $P(3,4)$ , en toon aan dat ze loodrecht op de straal staat.

Richtingscoëfficiënt van de straal
De straal loopt van M(0; 0) naar P(3; 4).
$a_{\text{straal}}=\frac{4-0}{3-0}=\frac{4}{3}$
Richtingscoëfficiënt van de raaklijn
Neem de tegengestelde omgekeerde.
$a_{\text{raak}}=-\frac{1}{4/3}=-\frac{3}{4}$
Vergelijking door P(3; 4)
Gebruik y − y₀ = a(x − x₀) met P(3; 4).
$y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)\;\Rightarrow\; y=-\tfrac{3}{4}x+\tfrac{25}{4}\;\Rightarrow\; 3x+4y=25$
Controle loodrecht
Het product van de richtingscoëfficiënten is −1, dus straal en raaklijn staan loodrecht.
$\tfrac{4}{3}\cdot\left(-\tfrac{3}{4}\right)=-1$

Resultaat: De raaklijn is 3x + 4y = 25 (ofwel y = −¾x + 25/4); wegens ⁴⁄₃ · (−¾) = −1 staat ze loodrecht op de straal.

Veelgemaakte fouten

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijkstellen aan die van de straal in plaats van de tegengestelde omgekeerde te nemen.
De discriminant fout interpreteren: D = 0 betekent raken, D > 0 snijden in twee punten, D < 0 geen snijpunt.
Bij een raaklijn vanuit een extern punt maar één van de twee raaklijnen geven.

Actieve herhaling

Bepaal de raaklijn aan $x^2+y^2=20$ in het punt $(2,4)$ . Onderzoek daarna met de discriminant voor welke waarden van $c$ de lijn $y=x+c$ raakt aan de cirkel $x^2+y^2=8$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Meetkundige plaatsen en de twee bewijswegen#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-D

De middelloodlijn als meetkundige plaats

Afb. 4Afb. 1 — De middelloodlijn van A(−2; 0) en B(2; 0): elk punt P heeft |PA| = |PB|. De plaats is de lijn x = 0, loodrecht op AB door het midden M.

Een meetkundige plaats (locus) is de verzameling van alle punten die aan een bepaalde voorwaarde voldoen. Het bekendste voorbeeld is de middelloodlijn: de verzameling punten

P

met

|PA|=|PB|

voor twee vaste punten

A

B

. In Afb. 1 zie je de middelloodlijn van

A(-2,0)

B(2,0)

; elk punt

P

erop heeft gelijke afstanden tot

A

B

, zichtbaar aan de twee even lange lijnstukken

PA

PB

. De plaats is hier de verticale lijn

x=0

, die loodrecht op

AB

door het midden gaat.

Dezelfde eigenschap kun je langs twee wegen bewijzen. Synthetisch: is

|PA|=|PB|

, dan is driehoek

PAB

gelijkbenig, dus ligt

P

op de lijn door het midden

M

van

AB

loodrecht op

AB

— de middelloodlijn. Analytisch: neem een algemeen punt

P(x,y)

, schrijf

|PA|=|PB|

, kwadrateer om de wortels weg te werken, en vereenvoudig tot een vergelijking. Voor

A(-2,0)

B(2,0)

geeft

(x+2)^2+y^2=(x-2)^2+y^2

na uitwerken

8x=0

, dus

x=0

. De twee wegen leiden tot dezelfde conclusie; de analytische is een berekening, de synthetische een redenering.

Verrassender is de cirkel van Apollonius. Houd je niet de gelijke afstand vast maar een constante verhouding

\dfrac{|PA|}{|PB|}=k

met

k\neq 1

, dan is de meetkundige plaats geen lijn maar een cirkel. Bij

k=1

krijg je de middelloodlijn terug; bij elke andere positieve

k

een cirkel waarvan het middelpunt op de lijn

AB

ligt. Dit resultaat is met een zuivere constructie lastig te zien, maar met coördinaten reken je het rechtstreeks uit — een mooi voorbeeld van de kracht van de analytische methode.

De analytische aanpak van een meetkundige plaats verloopt altijd hetzelfde. Neem een algemeen punt

P(x,y)

; vertaal de voorwaarde met de afstandsformule (of het inproduct) naar een vergelijking in

x

y

; kwadrateer waar wortels staan; en vereenvoudig tot een herkenbare vorm. De vorm verraadt de kromme: een lineaire vergelijking

ax+by=c

is een lijn, en

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

is een cirkel. Sluit af met de meetkundige betekenis: „dit is de middelloodlijn van

AB

” of „dit is een cirkel met middelpunt … en straal …”.

Kunnen wisselen tussen de synthetische en de analytische weg is de kern van dit onderwerp. Soms is een synthetisch argument het kortst en meest inzichtelijk; soms is een berekening met coördinaten zekerder, vooral als de figuur ingewikkeld is of een zuivere constructie niet voor de hand ligt. Een sterke oplossing gebruikt allebei: de synthetische meetkunde om te zien wát er speelt en waarom, en de analytische meetkunde om het waterdicht uit te rekenen. Dat samenspel van redeneren en rekenen is precies wat domein D van je vraagt.

|PA|=|PB| \iff P \text{ op de middelloodlijn van } AB

Middelloodlijn als meetkundige plaats

Alle punten op gelijke afstand van A en B; kwadrateer |PA| = |PB| en werk uit tot een lineaire vergelijking.

\frac{|PA|}{|PB|}=k \ (k\neq 1) \;\Rightarrow\; \text{cirkel van Apollonius}

Cirkel van Apollonius

Een constante afstandsverhouding ongelijk aan 1 geeft een cirkel; bij k = 1 krijg je de middelloodlijn.

|PA|=k\,|PB| \;\Rightarrow\; |PA|^2=k^2\,|PB|^2

Van verhouding naar vergelijking

Kwadrateer de afstandsvoorwaarde zodat de wortels verdwijnen; werk daarna beide kwadraten uit.

Uitgewerkt voorbeeld

De cirkel van Apollonius bepalen

Bepaal de meetkundige plaats van alle punten $P(x,y)$ met $|PA|=2\,|PB|$ , waarbij $A(0,0)$ en $B(6,0)$ . Toon aan dat het een cirkel is en geef het middelpunt en de straal.

Voorwaarde kwadrateren
Uit |PA| = 2|PB| volgt |PA|² = 4|PB|². Vul de afstanden tot A(0; 0) en B(6; 0) in.
$x^2+y^2=4\bigl[(x-6)^2+y^2\bigr]$
Haakjes wegwerken
Werk het rechterlid uit.
$x^2+y^2=4x^2-48x+144+4y^2$
Vereenvoudigen
Breng alles naar één kant en deel door 3.
$3x^2-48x+144+3y^2=0 \;\Rightarrow\; x^2-16x+y^2+48=0$
Kwadraatafsplitsen
Splits x² − 16x af als (x − 8)² − 64.
$(x-8)^2-64+y^2+48=0 \;\Rightarrow\; (x-8)^2+y^2=16$

Resultaat: De meetkundige plaats is de cirkel van Apollonius met middelpunt (8; 0) en straal 4.

Veelgemaakte fouten

De afstandsvoorwaarde niet kwadrateren, waardoor de wortels blijven staan en de vergelijking onhanteerbaar wordt.
Bij Apollonius denken dat de plaats een lijn is; bij k ≠ 1 is het een cirkel, alleen bij k = 1 de middelloodlijn.
Na het rekenen de meetkundige betekenis (middelpunt en straal, of „middelloodlijn”) niet benoemen.

Actieve herhaling

Bepaal de meetkundige plaats van de punten op gelijke afstand van $A(1,2)$ en $B(5,-2)$ — zowel met een berekening als met een synthetisch argument. Bepaal daarna de meetkundige plaats van de punten $P$ met $|PA|=2\,|PB|$ voor $A(0,0)$ en $B(3,0)$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO)

Analytische en synthetische methoden

Kernpunten

De stelling van Thales synthetisch bewijzen

Kernpunten

Middelpunt en straal met kwadraatafsplitsen

Kernpunten

Raaklijn in een gegeven punt opstellen

Kernpunten

De cirkel van Apollonius bepalen

Bronnen