EuraStudy
Samenvattingen/Wiskunde C/Oppervlakte, inhoud en gelijkvormigheid
Samenvattingen · Wiskunde CNL · VWO

Oppervlakte, inhoud en gelijkvormigheid

Dit onderwerp gaat over het meten aan vlakke figuren en lichamen. Je berekent oppervlakte en omtrek van vlakke figuren en inhoud en oppervlakte van lichamen (balk, prisma, cilinder, piramide, kegel, bol). Daarnaast leer je werken met gelijkvormigheid en de vergrotingsfactor (schaalfactor), en met de belangrijke regel dat een vergroting met factor k de lengte met k, de oppervlakte met k² en de inhoud met k³ vermenigvuldigt. Dit onderwerp hoort tot de centraal-examenstof (domein G).

4 Onderdelen·~16 min leestijd·4 Vaardigheden·Niveau Basis 1 · Standaard 3

T·101010 / 17
Examenprofiel
G · Oppervlakte en omtrek van vlakke figuren en inhoud en oppervlakte van lichamen berekenenG · Gelijkvormigheid en de vergrotingsfactor (schaalfactor) gebruiken om lengtes te bepalenG · De k, k², k³-regel toepassen bij vergroten en verkleinenG · Rekenen met schaal en met eenheden van lengte, oppervlakte en inhoud
Operatoren:berekenbepaaltoon aangebruikreken om

basisniveau

Oppervlakte, inhoud en gelijkvormigheid zijn centraal-examenstof (domein G) van wiskunde C.

verhoogd niveau

Verdieping: de k, k², k³-regel en het rekenen met schaal verbinden meetkunde met verhoudingen en met realistische toepassingen (maquettes, kaarten, verpakkingen).

Diepte

Leesdiepte: Verdieping

Tekst

Tekstgrootte: Standaard

Inhoud · 4 onderdelen▾
  1. Oppervlakte, inhoud en gelijkvormigheid
    • 01Oppervlakte en omtrek van vlakke figuren○
    • 02Inhoud en oppervlakte van lichamen◐
    • 03Gelijkvormigheid en de vergrotingsfactor◐
    • 04Schaal en de k, k², k³-regel◐
§ 01

Oppervlakte en omtrek van vlakke figuren#

●○○BasisLPexamenblad-wiskunde-c-domein-G

Kernpunten

Bij een vlakke figuur onderscheid je de omtrek — de totale lengte van de rand — en de oppervlakte — de grootte van het ingesloten gebied. De omtrek meet je in een lengte-eenheid (bijvoorbeeld cm), de oppervlakte in een kwadraateenheid (cm²). Voor de standaardfiguren ken je de formules uit het hoofd. Een rechthoek met lengte lll en breedte bbb heeft omtrek 2(l+b)2(l+b)2(l+b) en oppervlakte l⋅bl\cdot bl⋅b. Een driehoek heeft oppervlakte 12⋅basis⋅hoogte\frac{1}{2}\cdot\text{basis}\cdot\text{hoogte}21​⋅basis⋅hoogte, waarbij de hoogte de loodrechte afstand van de basis tot de overstaande hoek is. Afb. 1 toont zo'n driehoek met de hoogte ingetekend.

Afb. 1 — Driehoek met basis en hoogte

Driehoek met hoogteGeometrische Zeichnung, A, B, C, hoogte = 3, △ABCABCx1x2△ABChoogte = 3
Afb. 1Afb. 1 — De oppervlakte van een driehoek is 12⋅basis⋅hoogte\frac{1}{2}\cdot\text{basis}\cdot\text{hoogte}21​⋅basis⋅hoogte. Hier is de basis 555 en de hoogte 333, dus O=12⋅5⋅3=7,5O=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 3=7{,}5O=21​⋅5⋅3=7,5.
De cirkel neemt een bijzondere plaats in, want daar verschijnt het getal π≈3,14159\pi\approx 3{,}14159π≈3,14159. Een cirkel met straal rrr heeft omtrek 2πr2\pi r2πr en oppervlakte πr2\pi r^{2}πr2. Let goed op het verschil tussen straal en diameter: de diameter d=2rd=2rd=2r is de afstand dwars door het middelpunt, dus r=d2r=\frac{d}{2}r=2d​. Verwar je die twee, dan zit je met de oppervlakte meteen een factor 444 mis (want r2r^{2}r2 tegenover d2=(2r)2=4r2d^{2}=(2r)^{2}=4r^{2}d2=(2r)2=4r2). Voor een deel van een cirkel (een sector) neem je het bijbehorende deel van de volledige oppervlakte, evenredig met de middelpuntshoek.
Veel figuren zijn samengesteld uit standaardfiguren, en die pak je aan door op te delen. Een huisvormig vijfhoekje is bijvoorbeeld een rechthoek met daarbovenop een driehoek; de oppervlakte is dan de som van de twee deeloppervlakten. Soms werkt aftrekken beter: de oppervlakte van een ring (een grote cirkel met een gat) is de grote cirkel min de kleine. De strategie is telkens: knip de figuur in stukken waarvan je de oppervlakte kent, en tel op of trek af. Zo kun je vrijwel elke vlakke figuur aanpakken, ook als er geen kant-en-klare formule voor bestaat.
Bij het rekenen let je scherp op de eenheden, want dat is een klassieke valkuil. Oppervlakte-eenheden schalen met het kwadraat: 111 m² is niet 100100100 cm² maar 1002=10 000100^{2}=10\,0001002=10000 cm², omdat 111 m =100=100=100 cm en oppervlakte in twee richtingen meet. Reken daarom altijd alle maten eerst naar dezelfde eenheid om vóór je vermenigvuldigt. En controleer of je antwoord de juiste eenheid heeft: een oppervlakte hoort in kwadraateenheden, een omtrek in gewone lengte-eenheden. Deze zorg met eenheden onderscheidt een compleet antwoord van een half antwoord op het examen.
rechthoek: O=l⋅b,omtrek=2(l+b)\text{rechthoek: } O=l\cdot b, \quad \text{omtrek}=2(l+b)rechthoek: O=l⋅b,omtrek=2(l+b)

Rechthoek

Oppervlakte is lengte maal breedte; omtrek is tweemaal de som van lengte en breedte.

driehoek: O=12⋅basis⋅hoogte\text{driehoek: } O=\tfrac{1}{2}\cdot\text{basis}\cdot\text{hoogte}driehoek: O=21​⋅basis⋅hoogte

Driehoek

De hoogte is de loodrechte afstand van de basis tot de overstaande hoek.

cirkel: O=πr2,omtrek=2πr\text{cirkel: } O=\pi r^{2}, \quad \text{omtrek}=2\pi rcirkel: O=πr2,omtrek=2πr

Cirkel

Met straal r (niet de diameter d = 2r).

Uitgewerkt voorbeeld

Oppervlakte van een samengestelde figuur

Een tuin bestaat uit een rechthoek van 888 m bij 555 m met daaraan vast een halve cirkel met diameter 555 m (op de korte zijde). (a) Bereken de oppervlakte van de rechthoek. (b) Bereken de oppervlakte van de halve cirkel. (c) Wat is de totale oppervlakte?

  1. 01(a) Rechthoek

    O=8⋅5=40O=8\cdot 5=40O=8⋅5=40 m².

    Orechthoek=8⋅5=40O_{\text{rechthoek}}=8\cdot 5=40Orechthoek​=8⋅5=40
  2. 02(b) Halve cirkel

    Diameter 555 m, dus straal r=2,5r=2{,}5r=2,5 m. Halve cirkel: 12πr2=12π⋅6,25≈9,82\frac{1}{2}\pi r^{2}=\frac{1}{2}\pi\cdot 6{,}25\approx 9{,}8221​πr2=21​π⋅6,25≈9,82 m².

    Ohalve cirkel=12π⋅2,52≈9,82O_{\text{halve cirkel}}=\tfrac{1}{2}\pi\cdot 2{,}5^{2}\approx 9{,}82Ohalve cirkel​=21​π⋅2,52≈9,82
  3. 03(c) Totaal

    Tel de deeloppervlakten op: 40+9,82=49,8240+9{,}82=49{,}8240+9,82=49,82 m².

Resultaat: (a) 404040 m²; (b) ongeveer 9,829{,}829,82 m²; (c) totaal ongeveer 49,8249{,}8249,82 m².

Eindexamen-focus

  • Examendoel: oppervlakte en omtrek van rechthoek, driehoek en cirkel berekenen, en samengestelde figuren opdelen.
  • Examendoel: correct rekenen met eenheden van oppervlakte (kwadraateenheden schalen met het kwadraat).

Veelgemaakte fouten

  • Bij de cirkel de diameter voor de straal aanzien (of andersom); dat scheelt bij de oppervlakte een factor 444.
  • Bij het omrekenen van oppervlakte-eenheden met de gewone factor rekenen (111 m² = 10 00010\,00010000 cm², niet 100100100 cm²).

Actieve herhaling

Bereken de omtrek en de oppervlakte van een cirkel met diameter 121212 cm. Bereken daarna de oppervlakte van een figuur die bestaat uit een vierkant van 666 cm met in het midden een uitgesneden cirkel van straal 222 cm.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein G: Vorm en ruimte (CvTE / DUO)

§ 02

Inhoud en oppervlakte van lichamen#

●●○StandaardLPexamenblad-wiskunde-c-domein-G

Kernpunten

De inhoud (het volume) van een lichaam meet hoeveel ruimte het inneemt, uitgedrukt in een derdemachtseenheid (bijvoorbeeld cm³ of liter, met 111 liter =1 dm3=1000=1\,\text{dm}^{3}=1000=1dm3=1000 cm³). Voor lichamen met een constante doorsnede — een balk, een prisma of een cilinder — geldt dat de inhoud gelijk is aan de oppervlakte van het grondvlak maal de hoogte: V=G⋅hV=G\cdot hV=G⋅h. Afb. 2 toont een balk van 444 bij 333 bij 222; zijn inhoud is 4⋅3⋅2=244\cdot 3\cdot 2=244⋅3⋅2=24. Voor een cilinder is het grondvlak een cirkel, dus V=πr2⋅hV=\pi r^{2}\cdot hV=πr2⋅h. Deze « grondvlak maal hoogte »-regel is de basis van alle inhoudsberekeningen.

Afb. 2 — Balk voor de inhoud V = l·b·h

Balk 4 × 3 × 2Geometrische Zeichnung (3D), OOlbh
Afb. 2Afb. 2 — Een balk van 4×3×24\times 3\times 24×3×2: de inhoud is V=l⋅b⋅h=4⋅3⋅2=24V=l\cdot b\cdot h=4\cdot 3\cdot 2=24V=l⋅b⋅h=4⋅3⋅2=24 (kubieke eenheden).
Lichamen die naar één top toelopen — een piramide of een kegel — hebben precies een derde van de inhoud van het bijbehorende prisma of de bijbehorende cilinder met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte: V=13⋅G⋅hV=\frac{1}{3}\cdot G\cdot hV=31​⋅G⋅h. Voor een kegel geeft dat V=13πr2hV=\frac{1}{3}\pi r^{2}hV=31​πr2h. Die factor 13\frac{1}{3}31​ is geen toeval maar volgt uit de meetkunde; onthoud hem als « spits toelopend = derde deel ». De bol, ten slotte, heeft de aparte inhoudsformule V=43πr3V=\frac{4}{3}\pi r^{3}V=34​πr3 en oppervlakte 4πr24\pi r^{2}4πr2. Afb. 3 zet cilinder, kegel en bol met hun inhoudsformules naast elkaar.

Afb. 3 — Cilinder, kegel en bol met hun inhoudsformules

cilinderV = πr²hkegelV = ⅓πr²hbolV = 4/3·πr³
Afb. 3Afb. 3 — De inhoudsformules van de gebogen lichamen: cilinder πr2h\pi r^{2}hπr2h, kegel 13πr2h\frac{1}{3}\pi r^{2}h31​πr2h (een derde van de cilinder), bol 43πr3\frac{4}{3}\pi r^{3}34​πr3.
Naast de inhoud reken je vaak aan de oppervlakte van een lichaam: de totale oppervlakte van alle grensvlakken. Die bepaal je het handigst via de uitslag (zie het vorige onderwerp): tel de oppervlakten van alle zijvlakken op. Voor een balk is dat 2(lb+lh+bh)2(lb+lh+bh)2(lb+lh+bh), voor een cilinder 2πr22\pi r^{2}2πr2 (de twee cirkels) plus 2πrh2\pi r h2πrh (de uitgerolde mantel). Bij een lichaam met gebogen oppervlak, zoals de bol, gebruik je de speciale formule 4πr24\pi r^{2}4πr2. Let er goed op of naar de inhoud (ruimte, in derdemachtseenheden) of naar de oppervlakte (huid, in kwadraateenheden) wordt gevraagd — dat zijn totaal verschillende grootheden.
In contextopgaven combineer je deze formules met de gegeven situatie, en let je op eenheden en op de vraag. Een veelvoorkomend type is « hoeveel past erin? » — dan reken je een inhoud uit en zet je die om naar liters. Een ander type is « hoeveel materiaal is er nodig? » — dan gaat het om de oppervlakte. En soms moet je een formule omwerken: is de inhoud gegeven en zoek je de straal, dan maak je in V=43πr3V=\frac{4}{3}\pi r^{3}V=34​πr3 de rrr vrij met een derdemachtswortel. De sleutel is telkens: kies de juiste formule, reken alle maten naar dezelfde eenheid om, en controleer de eenheid van je antwoord.
balk/prisma/cilinder: V=G⋅h\text{balk/prisma/cilinder: } V=G\cdot hbalk/prisma/cilinder: V=G⋅h

Inhoud bij constante doorsnede

Grondvlak maal hoogte. Voor de cilinder is G = πr², dus V = πr²h.

piramide/kegel: V=13 G⋅h\text{piramide/kegel: } V=\tfrac{1}{3}\,G\cdot hpiramide/kegel: V=31​G⋅h

Inhoud spits toelopend

Een derde van het bijbehorende prisma of de cilinder. Kegel: V = ⅓πr²h.

bol: V=43πr3,oppervlakte=4πr2\text{bol: } V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}, \quad \text{oppervlakte}=4\pi r^{2}bol: V=34​πr3,oppervlakte=4πr2

Bol

Aparte formules voor inhoud en oppervlakte van een bol.

Uitgewerkt voorbeeld

Inhoud van een cilinder en van een kegel

Een cilindervormig blik heeft straal 444 cm en hoogte 101010 cm. (a) Bereken de inhoud. (b) Bereken de inhoud van een kegel met dezelfde straal en hoogte. (c) Hoeveel liter is de inhoud van het blik?

  1. 01(a) Cilinder

    V=πr2h=π⋅16⋅10=160π≈502,7V=\pi r^{2}h=\pi\cdot 16\cdot 10=160\pi\approx 502{,}7V=πr2h=π⋅16⋅10=160π≈502,7 cm³.

    V=π⋅42⋅10=160π≈502,7V=\pi\cdot 4^{2}\cdot 10=160\pi\approx 502{,}7V=π⋅42⋅10=160π≈502,7
  2. 02(b) Kegel

    Een derde van de cilinder: V=13⋅160π≈167,6V=\frac{1}{3}\cdot 160\pi\approx 167{,}6V=31​⋅160π≈167,6 cm³.

    V=13π⋅16⋅10=1603π≈167,6V=\tfrac{1}{3}\pi\cdot 16\cdot 10=\tfrac{160}{3}\pi\approx 167{,}6V=31​π⋅16⋅10=3160​π≈167,6
  3. 03(c) Omrekenen naar liter

    111 liter =1000=1000=1000 cm³, dus 502,7502{,}7502,7 cm³ ≈0,50\approx 0{,}50≈0,50 liter.

Resultaat: (a) ongeveer 502,7502{,}7502,7 cm³; (b) ongeveer 167,6167{,}6167,6 cm³; (c) ongeveer 0,500{,}500,50 liter.

Eindexamen-focus

  • Examendoel: de inhoud van balk, prisma, cilinder, piramide, kegel en bol berekenen met de juiste formule.
  • Examendoel: onderscheid maken tussen inhoud (derdemachtseenheden) en oppervlakte (kwadraateenheden) en correct met eenheden rekenen.

Veelgemaakte fouten

  • Bij een kegel of piramide de factor 13\frac{1}{3}31​ vergeten (dan reken je de cilinder- of prisma-inhoud).
  • Inhoud en oppervlakte verwarren; let op de gevraagde grootheid en de bijbehorende eenheid.

Actieve herhaling

Een bol heeft straal 666 cm. Bereken de inhoud en de oppervlakte. Bereken daarna de inhoud van een piramide met een vierkant grondvlak van 888 bij 888 cm en hoogte 999 cm.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein G: Vorm en ruimte (CvTE / DUO)

§ 03

Gelijkvormigheid en de vergrotingsfactor#

●●○StandaardLPexamenblad-wiskunde-c-domein-G

Kernpunten

Twee figuren zijn gelijkvormig als ze exact dezelfde vorm hebben, maar (mogelijk) verschillen in grootte — de een is een vergroting of verkleining van de ander. Bij gelijkvormige figuren zijn alle overeenkomstige hoeken gelijk, en staan alle overeenkomstige lengtes in dezelfde verhouding: de vergrotingsfactor of schaalfactor kkk. Afb. 4 toont twee gelijkvormige driehoeken: de kleine driehoek ADEADEADE heeft dezelfde vorm als de grote driehoek ABCABCABC, met DEDEDE evenwijdig aan BCBCBC. Alle zijden van ABCABCABC zijn precies kkk keer zo lang als de overeenkomstige zijden van ADEADEADE.

Afb. 4 — Twee gelijkvormige driehoeken

Gelijkvormige driehoeken ADE en ABCGeometrische Zeichnung, A, B, C, D, E, DE ∥ BC, △ABCABCDEx1x2△ABCDE ∥ BC
Afb. 4Afb. 4 — △ADE\triangle ADE△ADE is gelijkvormig met △ABC\triangle ABC△ABC (DE∥BCDE\parallel BCDE∥BC). Alle overeenkomstige zijden staan in dezelfde verhouding, de vergrotingsfactor kkk.
Bij driehoeken zijn er handige kenmerken om gelijkvormigheid vast te stellen. Twee driehoeken zijn al gelijkvormig als ze twee paar gelijke hoeken hebben (dan is het derde paar automatisch ook gelijk, want de hoeken sommeren tot 180∘180^{\circ}180∘). Een veelvoorkomende situatie is de « paraplu »: een lijn evenwijdig aan één zijde van een driehoek snijdt de andere twee zijden en maakt zo een kleinere, gelijkvormige driehoek — precies zoals DE∥BCDE\parallel BCDE∥BC in Afb. 4 de driehoek ADEADEADE gelijkvormig maakt met ABCABCABC. Het herkennen van zulke gelijkvormige driehoeken is de sleutel tot veel meetkundige berekeningen.
De kracht van gelijkvormigheid is dat je er onbekende lengtes mee berekent via een verhouding. Omdat overeenkomstige zijden in dezelfde verhouding staan, geldt zijde grootzijde klein=k\frac{\text{zijde groot}}{\text{zijde klein}}=kzijde kleinzijde groot​=k voor élk paar overeenkomstige zijden. Ken je die verhouding uit één paar zijden, dan pas je hem toe op een ander paar om een onbekende lengte te vinden. Zo bereken je in de praktijk hoogtes die je niet direct kunt meten — de hoogte van een boom uit zijn schaduw, of de breedte van een rivier — door een gelijkvormige driehoek op te stellen en de bekende verhouding te gebruiken.
De vergrotingsfactor werkt in beide richtingen: is k>1k>1k>1 dan gaat het om een vergroting, is 0<k<10<k<10<k<1 dan om een verkleining. Van de kleine naar de grote figuur vermenigvuldig je met kkk; van groot naar klein deel je door kkk (oftewel vermenigvuldig je met 1k\frac{1}{k}k1​). Belangrijk: deze factor kkk geldt voor lengtes. Wat er met oppervlakten en inhouden gebeurt, is een ander — en verrassender — verhaal, dat de volgende paragraaf behandelt. Voor nu geldt: gelijkvormige figuren, gelijke hoeken, en alle lengtes in de vaste verhouding kkk.
lengte in de vergrotinglengte in het origineel=k\frac{\text{lengte in de vergroting}}{\text{lengte in het origineel}}=klengte in het origineellengte in de vergroting​=k

Vergrotingsfactor (schaalfactor)

Alle overeenkomstige lengtes van gelijkvormige figuren staan in dezelfde verhouding k.

Uitgewerkt voorbeeld

Een hoogte berekenen met gelijkvormigheid

Een boom werpt een schaduw van 121212 m. Tegelijk werpt een stok van 1,51{,}51,5 m een schaduw van 222 m. (a) Waarom zijn de twee driehoeken (boom + schaduw, stok + schaduw) gelijkvormig? (b) Bepaal de vergrotingsfactor. (c) Bereken de hoogte van de boom.

  1. 01(a) Gelijke hoeken

    De zon schijnt onder dezelfde hoek, en beide objecten staan loodrecht op de grond: twee gelijke hoeken, dus de driehoeken zijn gelijkvormig.

  2. 02(b) Vergrotingsfactor uit de schaduwen

    De schaduw van de boom is 121212 m, die van de stok 222 m, dus k=122=6k=\frac{12}{2}=6k=212​=6.

    k=122=6k=\frac{12}{2}=6k=212​=6
  3. 03(c) Hoogte berekenen

    De boom is kkk keer zo hoog als de stok: 1,5⋅6=91{,}5\cdot 6=91,5⋅6=9 m.

    hoogte=1,5⋅6=9\text{hoogte}=1{,}5\cdot 6=9hoogte=1,5⋅6=9

Resultaat: (a) gelijke zonshoek en beide loodrecht, dus gelijkvormig; (b) k=6k=6k=6; (c) de boom is 999 m hoog.

Eindexamen-focus

  • Examendoel: gelijkvormige driehoeken herkennen (gelijke hoeken, evenwijdige zijde) en de vergrotingsfactor bepalen.
  • Examendoel: een onbekende lengte berekenen met de verhouding van overeenkomstige zijden.

Veelgemaakte fouten

  • Overeenkomstige zijden verkeerd koppelen, waardoor de verhouding fout wordt.
  • De vergrotingsfactor voor lengtes ook op oppervlakten of inhouden toepassen (dat gaat met k2k^{2}k2 respectievelijk k3k^{3}k3 — zie de volgende paragraaf).

Actieve herhaling

Twee gelijkvormige driehoeken hebben een vergrotingsfactor k=2,5k=2{,}5k=2,5. De kleinste zijde van de kleine driehoek is 444 cm. Hoe lang is de overeenkomstige zijde van de grote driehoek? En als een zijde van de grote 202020 cm is, hoe lang is de overeenkomstige zijde van de kleine?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein G: Vorm en ruimte (CvTE / DUO)

§ 04

Schaal en de k, k², k³-regel#

●●○StandaardLPexamenblad-wiskunde-c-domein-G

Kernpunten

Wanneer je een figuur vergroot met een lengtefactor kkk, groeien lengte, oppervlakte en inhoud elk op hun eigen manier mee — en dat verschil is het hart van dit onderdeel. Lengtes worden kkk keer zo groot; oppervlakten worden k2k^{2}k2 keer zo groot; en inhouden worden k3k^{3}k3 keer zo groot. Afb. 5 laat dit zien voor een verdubbeling (k=2k=2k=2): de lengte verdubbelt (factor 222), de oppervlakte wordt vier keer zo groot (factor 444) en de inhoud acht keer zo groot (factor 888). De machten 111, 222 en 333 komen recht uit het aantal richtingen waarin gemeten wordt: een lengte in één richting, een oppervlakte in twee, een inhoud in drie.

Afb. 5 — Vergroting met factor k = 2

Effect van een vergroting met k = 2Kolomdiagram: vergrotingsfactor naar grootheid, Gegevens: factor bij k = 2 · lengte (×k): 2; factor bij k = 2 · oppervlakte (×k²): 4; factor bij k = 2 · inhoud (×k³): 8012345678lengte (×k)oppervlakte…inhoud (×k³)248vergrotingsfactorgrootheid
Afb. 5Afb. 5 — Bij een verdubbeling (k=2k=2k=2): lengte ×2\times 2×2, oppervlakte ×4\times 4×4 (=22=2^{2}=22), inhoud ×8\times 8×8 (=23=2^{3}=23).
Je kunt de k2k^{2}k2-regel voor oppervlakte meteen begrijpen aan een rechthoek. Vergroot je zowel de lengte als de breedte met factor kkk, dan wordt de oppervlakte l⋅k×b⋅k=k2⋅(l⋅b)l\cdot k \times b\cdot k=k^{2}\cdot(l\cdot b)l⋅k×b⋅k=k2⋅(l⋅b) — beide richtingen dragen een factor kkk bij, samen k2k^{2}k2. Net zo krijgt een balk bij vergroting van alle drie de ribben een inhoud die k3k^{3}k3 keer zo groot is: l⋅k×b⋅k×h⋅k=k3⋅(l⋅b⋅h)l\cdot k\times b\cdot k\times h\cdot k=k^{3}\cdot(l\cdot b\cdot h)l⋅k×b⋅k×h⋅k=k3⋅(l⋅b⋅h). Deze redenering geldt niet alleen voor rechthoeken en balken, maar voor élke gelijkvormige vergroting, hoe grillig de vorm ook is.
Deze regel heeft verrassende praktische gevolgen. Een dier dat twee keer zo groot (in lengte) is, weegt niet twee keer maar acht keer zo veel (inhoud, en dus massa, schaalt met k3k^{3}k3), terwijl de dwarsdoorsnede van zijn poten maar vier keer zo groot is (oppervlakte, k2k^{2}k2) — daarom kunnen olifanten niet de verhoudingen van een muis hebben. Ook bij het opschalen van een recept, het vergroten van een verpakking of het maken van een maquette moet je de kkk, k2k^{2}k2, k3k^{3}k3-regel gebruiken. Wie klakkeloos alles met kkk vermenigvuldigt, zit bij oppervlakte en inhoud er flink naast.
Aan de schaal van een kaart of maquette hangt dezelfde regel. Een schaal van 1:1001:1001:100 betekent dat 111 cm op de kaart overeenkomt met 100100100 cm in werkelijkheid: de lengtefactor is k=100k=100k=100. Voor oppervlakten geldt dan een factor k2=10 000k^{2}=10\,000k2=10000 (een vierkante cm op de maquette staat voor 10 00010\,00010000 cm² echt), en voor inhouden k3=1 000 000k^{3}=1\,000\,000k3=1000000. Bij het terugrekenen — van werkelijkheid naar kaart — deel je: door kkk voor lengtes, door k2k^{2}k2 voor oppervlakten, door k3k^{3}k3 voor inhouden. Het correct kiezen van de macht bij de gevraagde grootheid is precies wat het examen bij dit onderdeel toetst.
lengte×k,oppervlakte×k2,inhoud×k3\text{lengte} \times k, \qquad \text{oppervlakte} \times k^{2}, \qquad \text{inhoud} \times k^{3}lengte×k,oppervlakte×k2,inhoud×k3

De k, k², k³-regel

Bij een vergroting met lengtefactor k schalen lengte, oppervlakte en inhoud met k, k² en k³.

Uitgewerkt voorbeeld

De k, k², k³-regel toepassen

Een maquette van een gebouw is gemaakt op schaal 1:501:501:50. (a) Wat is de lengtefactor van werkelijkheid naar maquette? (b) Een muur is in werkelijkheid 303030 m² groot; hoe groot is die op de maquette? (c) Het echte gebouw heeft een inhoud van 400040004000 m³; welke inhoud heeft de maquette?

  1. 01(a) Lengtefactor

    Van werkelijkheid naar maquette verklein je met factor 505050, dus k=150k=\frac{1}{50}k=501​ (of: je deelt lengtes door 505050).

  2. 02(b) Oppervlakte met k²

    Oppervlakte schaalt met k2=1502=12500k^{2}=\frac{1}{50^{2}}=\frac{1}{2500}k2=5021​=25001​. Dus 303030 m² =30⋅10 000=30\cdot 10\,000=30⋅10000 cm² =300 000=300\,000=300000 cm², gedeeld door 250025002500 geeft 120120120 cm².

    30 m2502=300000 cm22500=120 cm2\frac{30\text{ m}^2}{50^{2}}=\frac{300000\text{ cm}^2}{2500}=120\text{ cm}^250230 m2​=2500300000 cm2​=120 cm2
  3. 03(c) Inhoud met k³

    Inhoud schaalt met k3=1503=1125000k^{3}=\frac{1}{50^{3}}=\frac{1}{125000}k3=5031​=1250001​. Dus 400040004000 m³ gedeeld door 125 000125\,000125000 geeft 0,0320{,}0320,032 m³ =32=32=32 liter.

    4000 m3503=4000125000=0,032 m3\frac{4000\text{ m}^3}{50^{3}}=\frac{4000}{125000}=0{,}032\text{ m}^35034000 m3​=1250004000​=0,032 m3

Resultaat: (a) lengtes delen door 505050; (b) de muur is 120120120 cm² op de maquette; (c) de maquette heeft een inhoud van 0,0320{,}0320,032 m³ (= 323232 liter).

Eindexamen-focus

  • Examendoel: de k, k², k³-regel toepassen bij het vergroten of verkleinen van een figuur of lichaam.
  • Examendoel: met schaal rekenen en per grootheid (lengte, oppervlakte, inhoud) de juiste macht van k kiezen.

Veelgemaakte fouten

  • Oppervlakte of inhoud met de gewone lengtefactor kkk vermenigvuldigen in plaats van met k2k^{2}k2 respectievelijk k3k^{3}k3.
  • Bij schaal de eenheden vergeten om te rekenen (m² ↔ cm², m³ ↔ cm³) voordat je deelt of vermenigvuldigt.

Actieve herhaling

Een foto wordt vergroot met lengtefactor 333. Met welke factor neemt de oppervlakte toe? Een bol wordt 2,52{,}52,5 keer zo groot in straal; met welke factor neemt de inhoud toe? Reken ten slotte uit welke werkelijke oppervlakte hoort bij 555 cm² op een kaart met schaal 1:2001:2001:200.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein G: Vorm en ruimte (CvTE / DUO)

Inhoud

Sectie -- / 04

    • 01Oppervlakte en omtrek van vlakke figuren○
    • 02Inhoud en oppervlakte van lichamen◐
    • 03Gelijkvormigheid en de vergrotingsfactor◐
    • 04Schaal en de k, k², k³-regel◐

0/4 Gelezen

Van samenvatting naar oefening

Oppervlakte, inhoud en gelijkvormigheid

Verstevig dit onderwerp met vragen uit de vragenbank.

~16
min
4
Vaardigheden
Oefenen

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

  • Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein G: Vorm en ruimte

Vorig onderwerp

Perspectieftekenen en aanzichten

Volgend onderwerp

Probleemstelling en onderzoeksontwerp

EuraStudy·Samenvattingen T·10·MMXXVI

Ga verder met het volgende onderwerp — je leerpad blijft bewaard.