Samenvattingen · Wiskunde BNL · VWO

Toepassingen van analytische meetkunde

In dit onderwerp breng je de analytische gereedschappen — coördinaten, lijn- en cirkelvergelijkingen, vectoren en het inproduct — samen om meetkundige problemen op te lossen: raaklijnen aan cirkels bepalen, meetkundige plaatsen (loci) beschrijven, snijpunten en hoeken berekenen, en meetkundige beweringen bewijzen met coördinaten en vectoren. Het is de bekroning van domein E, waarin techniek en meetkundig inzicht samenkomen.

4 Onderdelen~17 min leestijd4 VaardighedenNiveau Verdieping 4

T·151515 / 16

Examenprofiel

E4 · Raaklijnen aan cirkels bepalen (loodrecht op de straal, of via de discriminant)Meetkundige plaatsen (loci) beschrijven met een vergelijkingSnijpunten en hoeken van lijnen en cirkels berekenenMeetkundige beweringen bewijzen met coördinaten en vectoren

Operatoren:bewijstoon aanberekenbepaalstel oplos op

basisniveau

Raaklijnen, meetkundige plaatsen, snijpunten en hoeken horen tot de centraal-examenstof van subdomein E4.

verhoogd niveau

Verdieping zit in raaklijnen vanuit een extern punt, in samengestelde meetkundige plaatsen en in vectorbewijzen van algemene meetkundige eigenschappen.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Toepassingen van analytische meetkunde

Raaklijn aan een cirkel#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-subdomein-E4

Een raaklijn aan een cirkel is een lijn die de cirkel in precies één punt (het raakpunt) aanraakt. De meetkundige sleutel is de eigenschap uit de cirkelstellingen: de raaklijn staat loodrecht op de straal naar het raakpunt. In Afb. 1 raakt de lijn

y=-\tfrac{3}{4}x+\tfrac{25}{4}

de cirkel

x^{2}+y^{2}=25

in het punt

(3,4)

; de straal

O(3,4)

heeft helling

\tfrac{4}{3}

, en de raaklijn de tegengestelde omgekeerde

-\tfrac{3}{4}

. Deze loodrecht-eigenschap is de eerste van twee standaardmethoden om raaklijnen te bepalen.

Raaklijn aan de cirkel x² + y² = 25 in (3; 4)

Afb. 1Afb. 1 — De raaklijn aan x² + y² = 25 in (3; 4) is y = −¾x + 25/4; ze staat loodrecht op de straal (helling ⁴⁄₃) naar het raakpunt.

De tweede methode gebruikt de discriminant. Een lijn raakt een cirkel precies als het stelsel van lijn- en cirkelvergelijking één (dubbele) oplossing heeft, dus als de discriminant van de ontstane kwadratische vergelijking nul is. Deze methode is onmisbaar als het raakpunt niet gegeven is, bijvoorbeeld bij de vraag „voor welke waarde raakt de lijn

y=x+c

de cirkel?”. Je substitueert de lijn in de cirkel, verzamelt de kwadratische vergelijking, en lost

D=0

op naar de onbekende. Dat

D=0

geeft een raaklijn, is de algebraïsche vertaling van „de lijn snijdt de cirkel in twee samenvallende punten”.

De keuze tussen de twee methoden hangt af van wat gegeven is. Is het raakpunt op de cirkel gegeven, gebruik dan „loodrecht op de straal”: bereken de helling van de straal

\vec{MP}

en neem de tegengestelde omgekeerde als helling van de raaklijn. Is een richting of een extern punt gegeven en moet je de raakvoorwaarde vinden, gebruik dan de discriminant. Een derde, verwante methode is de afstand van het middelpunt tot de lijn: een lijn raakt de cirkel precies als die afstand gelijk is aan de straal — handig om te controleren of een gegeven lijn raakt.

Bij een raaklijn vanuit een punt búiten de cirkel zijn er twee raaklijnen. Je stelt dan de lijn door dat punt op met een onbekende helling

a

(

y-y_{0}=a(x-x_{0})

), substitueert in de cirkel, en eist

D=0

; dat levert (meestal) twee waarden van

a

en dus twee raaklijnen. Deze situatie — twee raaklijnen vanuit een extern punt, symmetrisch ten opzichte van de lijn naar het middelpunt — komt op het examen voor en combineert het opstellen van een lijn, substitueren, en de discriminant nul stellen. Het is een van de rijkere raaklijnvraagstukken.

Raaklijnen aan cirkels bundelen vrijwel alle analytische vaardigheden: de cirkelvergelijking, de lijnvergelijking, de loodrecht-voorwaarde (via richtingscoëfficiënten of het inproduct van de straal en de richtingsvector), en de discriminant. Ze verbinden bovendien de synthetische cirkelstelling (raaklijn loodrecht op de straal) met de analytische berekening. Een nette uitwerking benoemt welke methode je gebruikt, toont de tussenstappen, en geeft de raaklijn(en) als volledige vergelijking. Het herkennen van „welke methode past bij deze gegevens” is de kernvaardigheid van dit onderdeel.

\text{raaklijn} \perp \text{straal}\qquad\text{of}\qquad D=0 \ (\text{lijn raakt cirkel})

Twee methoden voor de raaklijn

Bij een gegeven raakpunt: loodrecht op de straal. Bij een onbekend raakpunt of een parameter: discriminant nul.

\text{afstand}(M,\ \text{lijn})=r \iff \text{de lijn raakt de cirkel}

Afstandscriterium

Een lijn raakt de cirkel precies als de afstand van het middelpunt tot de lijn gelijk is aan de straal.

Uitgewerkt voorbeeld

Raken toetsen met de discriminant

Toon aan dat de lijn $y=2x-5$ raakt aan de cirkel $x^{2}+y^{2}=5$ , en bepaal het raakpunt.

Substitueren
Vul $y=2x-5$ in de cirkelvergelijking in.
$x^{2}+(2x-5)^{2}=5$
Kwadratische vergelijking
Werk uit en breng naar één kant.
$x^{2}+4x^{2}-20x+25=5\;\Rightarrow\; 5x^{2}-20x+20=0\;\Rightarrow\; x^{2}-4x+4=0$
Discriminant
Bereken $D=b^{2}-4ac$ .
$D=(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 4=16-16=0\;\Rightarrow\;\text{raaklijn}$
Raakpunt
$x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}=0$ geeft $x=2$ ; dan $y=2\cdot 2-5=-1$ .
$\text{raakpunt }(2;\,-1)$

Resultaat: Omdat $D=0$ raakt de lijn de cirkel; het raakpunt is $(2;\,-1)$ .

Veelgemaakte fouten

De helling van de raaklijn gelijkstellen aan die van de straal in plaats van de tegengestelde omgekeerde.
De discriminant fout interpreteren ( $D=0$ betekent raken, $D>0$ snijden, $D<0$ missen).
Bij een raaklijn vanuit een extern punt maar één raaklijn geven terwijl er twee zijn.
Bij de afstand van het middelpunt tot de lijn de afstandsformule voor punt-lijn verkeerd toepassen.

Actieve herhaling

Stel de raaklijn op aan $x^{2}+y^{2}=20$ in het punt $(4,2)$ . Bepaal daarna voor welke waarden van $c$ de lijn $y=x+c$ raakt aan de cirkel $x^{2}+y^{2}=8$ (gebruik de discriminant).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Meetkundige plaatsen#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-subdomein-E4

De middelloodlijn als meetkundige plaats

Afb. 2Afb. 1 — De middelloodlijn van A en B: elk punt P heeft |PA| = |PB|. Voor A(−2; 0), B(2; 0) is de locus de lijn x = 0.

Een meetkundige plaats (locus) is de verzameling van alle punten die aan een bepaalde meetkundige voorwaarde voldoen. Beroemde voorbeelden zijn de cirkel (alle punten op vaste afstand van een middelpunt) en de middelloodlijn (alle punten op gelijke afstand van twee gegeven punten). In Afb. 1 zie je de middelloodlijn van

A(-2,0)

B(2,0)

: elk punt

P

erop heeft

|PA|=|PB|

, wat je ziet aan de twee gelijke lijnstukken van

P

naar

A

B

. De meetkundige plaats is hier de verticale lijn

x=0

(de

y

-as).

Om de vergelijking van een meetkundige plaats te vinden, vertaal je de meetkundige voorwaarde in een algebraïsche vergelijking met de coördinaten

(x,y)

van een willekeurig punt

P

dat aan de voorwaarde voldoet. Voor „gelijke afstand tot

A

B

” schrijf je

|PA|=|PB|

, kwadrateert (om de wortels weg te werken), en werkt uit. Voor

A(-2,0)

B(2,0)

(x+2)^{2}+y^{2}=(x-2)^{2}+y^{2}

, wat na uitwerken

8x=0

, dus

x=0

oplevert — precies de middelloodlijn. Deze vertaalstap („voorwaarde naar vergelijking”) is de kern van elk locus-probleem.

De aard van de vergelijking verraadt de vorm van de meetkundige plaats. Levert de vertaling een lineaire vergelijking op (

ax+by=c

), dan is de locus een rechte lijn (zoals de middelloodlijn). Levert ze

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}

op, dan een cirkel. Zo is de meetkundige plaats van alle punten op vaste afstand

r

van een middelpunt

M(a,b)

per definitie de cirkel met die vergelijking. Andere voorwaarden geven andere krommen; in wiskunde B blijven de loci meestal lijnen en cirkels, die je herkent aan de vorm van de vergelijking.

Meetkundige plaatsen verbinden een meetkundige beschrijving met een algebraïsche vergelijking, en dat maakt ze een mooi voorbeeld van de kracht van de analytische meetkunde. Waar je synthetisch zou moeten redeneren „waarom liggen al deze punten op één lijn?”, reken je analytisch de vergelijking uit en zie je meteen dat het een lijn (of cirkel) is. Omgekeerd geeft de meetkundige interpretatie betekenis aan een vergelijking:

x=0

is niet zomaar „de

y

-as”, maar „alle punten op gelijke afstand van

A

B

”. Deze twee kanten — beschrijving en vergelijking — versterken elkaar.

Bij een locus-probleem is de aanpak telkens hetzelfde: neem een algemeen punt

P(x,y)

, schrijf de gegeven voorwaarde als een vergelijking in

x

y

(met de afstandsformule, het inproduct, of een andere relatie), en vereenvoudig tot een herkenbare vorm. Controleer aan het eind of de gevonden vergelijking de verwachte kromme is (lijn, cirkel) en of ze klopt met een paar concrete punten. Meetkundige plaatsen zijn een terugkerend examenonderwerp omdat ze het vertalen van meetkunde naar algebra — de essentie van domein E — in één opgave bundelen.

\text{middelloodlijn van } AB:\ |PA|=|PB|

Middelloodlijn als locus

Alle punten op gelijke afstand van $A$ en $B$ ; kwadrateer $|PA|=|PB|$ en werk uit tot een lijnvergelijking.

\text{cirkel:}\ |PM|=r \;\Rightarrow\; (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}

Cirkel als locus

Alle punten op vaste afstand $r$ van $M(a,b)$ ; dit is per definitie de cirkelvergelijking.

Uitgewerkt voorbeeld

De vergelijking van een meetkundige plaats bepalen

Bepaal de meetkundige plaats van alle punten $P(x,y)$ die op gelijke afstand liggen van $A(1,2)$ en $B(5,4)$ .

Voorwaarde als vergelijking
Schrijf $|PA|=|PB|$ en kwadrateer om de wortels weg te werken.
$(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=(x-5)^{2}+(y-4)^{2}$
Uitwerken
Werk beide kanten uit.
$x^{2}-2x+1+y^{2}-4y+4=x^{2}-10x+25+y^{2}-8y+16$
Vereenvoudigen
Streep $x^{2}$ en $y^{2}$ weg en breng naar één kant.
$-2x-4y+5=-10x-8y+41\;\Rightarrow\; 8x+4y-36=0\;\Rightarrow\; 2x+y=9$

Resultaat: De meetkundige plaats is de lijn $2x+y=9$ (de middelloodlijn van $AB$ ).

Veelgemaakte fouten

De wortels niet wegwerken door te kwadrateren, waardoor de vergelijking onhanteerbaar blijft.
Bij het uitwerken van de kwadraten de dubbele producten fout uitwerken.
Vergeten $x^{2}$ en $y^{2}$ weg te strepen, waardoor je een verkeerde vorm overhoudt.
De meetkundige interpretatie van de gevonden vergelijking niet geven.

Actieve herhaling

Bepaal de meetkundige plaats van alle punten op gelijke afstand van $A(0,0)$ en $B(6,2)$ . Bepaal daarna de meetkundige plaats van alle punten op afstand $3$ van $M(2,-1)$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Snijpunten en hoeken#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-subdomein-E4

De hoek waaronder twee lijnen elkaar snijden

Afb. 3Afb. 1 — Twee lijnen snijden elkaar in S. Met richtingen (1; 0) en (1; 1) is cos φ = 1/√2, dus de snijhoek is 45°.

Het snijpunt van twee lijnen vind je door hun vergelijkingen samen op te lossen (het stelsel), en het snijpunt van een lijn en een cirkel door substitutie, zoals in het vorige onderwerp. De hoek waaronder twee lijnen of krommen elkaar snijden, is de hoek tussen hun richtingen in het snijpunt. In Afb. 1 snijden twee lijnen elkaar onder een hoek van

45^{\circ}

: de ene lijn is horizontaal (richting

\binom{1}{0}

), de andere maakt

45^{\circ}

met de

x

-as (richting

\binom{1}{1}

). De hoek tussen de richtingsvectoren is de snijhoek.

De hoek tussen twee lijnen bereken je het handigst met het inproduct van hun richtingsvectoren. Neem een richtingsvector van elke lijn en pas

\cos\varphi=\dfrac{\vec{r}_{1}\cdot\vec{r}_{2}}{|\vec{r}_{1}||\vec{r}_{2}|}

toe. Voor de richtingen

\binom{1}{0}

\binom{1}{1}

\cos\varphi=\dfrac{1}{1\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

, dus

\varphi=45^{\circ}

. Zo verbindt de hoek tussen lijnen zich met het inproduct uit het vorige onderwerp: een richting is een vector, en de hoek tussen twee richtingen is de hoek tussen twee vectoren.

Bij de hoek tussen twee lijnen geef je meestal de scherpe hoek (tussen

0^{\circ}

90^{\circ}

). Levert het inproduct een negatieve cosinus (een stompe hoek), dan neem je de supplementaire hoek, of je gebruikt de absolute waarde:

\cos\varphi=\dfrac{|\vec{r}_{1}\cdot\vec{r}_{2}|}{|\vec{r}_{1}||\vec{r}_{2}|}

voor de scherpe snijhoek. Dit onderscheid is belangrijk omdat twee snijdende lijnen twee paren hoeken maken (een scherp en een stomp paar); de „hoek tussen de lijnen” is per afspraak het scherpe. Lees de vraag goed: soms wordt een specifieke hoek in een figuur gevraagd, niet per se de scherpe.

De hoek tussen een raaklijn en een kromme, of tussen twee krommen, bepaal je via de raaklijnen: de snijhoek van twee krommen is de hoek tussen hun raaklijnen in het snijpunt. Voor een cirkel gebruik je dat de raaklijn loodrecht op de straal staat; voor een grafiek gebruik je de afgeleide (de raaklijnhelling). Zo koppelt dit onderdeel de analytische meetkunde aan de differentiaalrekening: de richting van een kromme in een punt is de richting van haar raaklijn, en die vind je met de afgeleide. De hoek tussen krommen is dan weer een hoek tussen richtingsvectoren.

Snijpunten en hoeken bundelen de technieken van het hele domein E: het oplossen van stelsels (snijpunten), het inproduct (hoeken), de afgeleide en de cirkelstellingen (richtingen van krommen). Op het examen wordt gevraagd een snijpunt exact te berekenen en de snijhoek in graden te geven, vaak in een context met lijnen, cirkels of grafieken. Een nette uitwerking bepaalt eerst het snijpunt, dan de twee richtingen (met richtingsvector, afgeleide of straal), en ten slotte de hoek met het inproduct. Deze samenhangende aanpak laat zien hoe de losse gereedschappen van domein E samen één probleem oplossen.

\cos\varphi=\frac{\vec{r}_{1}\cdot\vec{r}_{2}}{|\vec{r}_{1}|\,|\vec{r}_{2}|}

Hoek tussen twee lijnen

De hoek tussen twee lijnen is de hoek tussen hun richtingsvectoren, via het inproduct.

\text{scherpe snijhoek: } \cos\varphi=\frac{|\vec{r}_{1}\cdot\vec{r}_{2}|}{|\vec{r}_{1}|\,|\vec{r}_{2}|}

Scherpe hoek

Met de absolute waarde in de teller krijg je de scherpe hoek tussen de lijnen.

Uitgewerkt voorbeeld

Snijpunt en snijhoek van twee lijnen

Bepaal het snijpunt en de scherpe hoek tussen de lijnen $l:\ y=x+1$ en $m:\ y=-2x+7$ .

Snijpunt
Stel de functiewaarden gelijk en los op.
$x+1=-2x+7\;\Rightarrow\; 3x=6\;\Rightarrow\; x=2,\ y=3$
Richtingsvectoren
Uit de hellingen $1$ en $-2$ volgen de richtingsvectoren $\binom{1}{1}$ en $\binom{1}{-2}$ .
Hoek met het inproduct
Bereken $\cos\varphi$ met de absolute waarde voor de scherpe hoek.
$\cos\varphi=\frac{|1\cdot 1+1\cdot(-2)|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\;\Rightarrow\;\varphi\approx 71{,}6^{\circ}$

Resultaat: Snijpunt $(2;\,3)$ ; de scherpe hoek tussen de lijnen is $\arccos\tfrac{1}{\sqrt{10}}\approx 71{,}6^{\circ}$ .

Veelgemaakte fouten

De stompe in plaats van de scherpe hoek geven (gebruik de absolute waarde voor de scherpe snijhoek).
De richtingsvector verwarren met de normaalvector bij het berekenen van de hoek.
Bij het snijpunt de $y$ -coördinaat vergeten.
De boogcosinus vergeten en bij $\cos\varphi$ blijven staan.

Actieve herhaling

Bepaal het snijpunt en de scherpe hoek tussen $l:\ y=2x-1$ en $m:\ y=-\tfrac{1}{2}x+4$ . Wat valt op aan de hoek, en waarom?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Bewijzen met coördinaten en vectoren#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-subdomein-E4

Parallellogram met diagonalen die elkaar middendoor delen

Afb. 4Afb. 1 — In parallellogram ABCD delen de diagonalen AC en BD elkaar middendoor: hun middens vallen samen in M.

In de analytische meetkunde bewijs je een meetkundige bewering door haar in coördinaten of vectoren te vertalen en de gelijkheid uit te rekenen. Zo'n „reken-bewijs” is vaak korter en zekerder dan een synthetisch bewijs. In Afb. 1 staat een parallellogram

ABCD

met zijn twee diagonalen

AC

BD

; je bewijst dat de diagonalen elkaar middendoor delen door aan te tonen dat ze hetzelfde midden hebben. De midden- en afstandsformule, het inproduct en de vectorbewerkingen zijn hierbij het gereedschap.

Een krachtige strategie is een figuur handig in het assenstelsel te leggen, bijvoorbeeld met een hoekpunt in de oorsprong en een zijde langs de

x

-as. Dat maakt de coördinaten eenvoudig en het rekenwerk licht, zonder de algemeenheid te schaden (een bewijs met algemene coördinaten geldt voor elke ligging). Wil je bewijzen dat de diagonalen van een parallellogram elkaar middendoor delen, dan neem je bijvoorbeeld

A(0,0)

B(b,0)

D(d_{1},d_{2})

C=B+D=(b+d_{1},d_{2})

; de middens van

AC

BD

blijken dan beide

\bigl(\tfrac{b+d_{1}}{2},\tfrac{d_{2}}{2}\bigr)

te zijn, wat het bewijs voltooit.

Vectoren maken zulke bewijzen vaak nog eleganter, omdat je met verplaatsingen rekent in plaats van met losse coördinaten. Dat twee lijnstukken evenwijdig en gelijk zijn, toon je aan door hun vectoren gelijk te stellen (

\vec{AB}=\vec{DC}

); dat twee lijnstukken loodrecht staan, met het inproduct nul (

\vec{AB}\cdot\vec{AD}=0

); dat een punt het midden is, met

\vec{AM}=\tfrac{1}{2}\vec{AB}

. De middenstelling (de verbindingslijn van twee zijmiddens van een driehoek is evenwijdig aan en half zo lang als de derde zijde) bewijs je in twee regels met vectoren. Zo wordt een meetkundige eigenschap een vectoridentiteit.

Bij een analytisch bewijs let je op volledigheid en algemeenheid, net als bij een synthetisch bewijs. Controleer dat je conclusie echt volgt uit de berekening en niet uit de gekozen getallen: als je concrete coördinaten gebruikt, geldt het bewijs strikt genomen alleen voor dat geval, dus voor een algemeen bewijs gebruik je letters (

b

d_{1}

d_{2}

). Benoem wat je gebruikt (middenformule, inproduct) en trek de conclusie expliciet. Een reken-bewijs is pas geldig als de algebra sluit én de meetkundige conclusie helder geformuleerd is.

Bewijzen met coördinaten en vectoren is de synthese van heel domein E: je gebruikt de afstands- en middenformule, de lijn- en cirkelvergelijking, het inproduct en de loodrecht-voorwaarde om meetkundige waarheden aan te tonen. Het laat zien dat de analytische meetkunde niet alleen rekent maar ook bewijst — met dezelfde zekerheid als de synthetische meetkunde, maar via algebra. Op het examen wordt gevraagd een bewering te bewijzen („toon aan dat …”) met coördinaten of vectoren; het kiezen van een handige plaatsing en het juiste gereedschap (afstand, midden, inproduct) is daarbij de sleutel tot een kort en sluitend bewijs.

\vec{AB}=\vec{DC}\ (\text{evenwijdig en gelijk})\qquad \vec{AB}\cdot\vec{AD}=0\ (\text{loodrecht})

Vectorcriteria in een bewijs

Evenwijdig-en-gelijk via gelijke vectoren, loodrecht via inproduct nul.

M_{AC}=M_{BD}\;\Rightarrow\;\text{de diagonalen delen elkaar middendoor}

Diagonalen van een parallellogram

Gelijke middens van de diagonalen bewijzen dat ze elkaar middendoor delen.

Uitgewerkt voorbeeld

Bewijs dat de diagonalen van een parallellogram elkaar middendoor delen

Gegeven parallellogram $ABCD$ met $A(0,0)$ , $B(b,0)$ , $D(d_{1},d_{2})$ en $C=(b+d_{1},d_{2})$ . Bewijs dat de diagonalen $AC$ en $BD$ elkaar middendoor delen.

Midden van AC
Bereken het midden van $A(0,0)$ en $C(b+d_{1},d_{2})$ .
$M_{AC}=\Bigl(\tfrac{0+b+d_{1}}{2},\tfrac{0+d_{2}}{2}\Bigr)=\Bigl(\tfrac{b+d_{1}}{2},\tfrac{d_{2}}{2}\Bigr)$
Midden van BD
Bereken het midden van $B(b,0)$ en $D(d_{1},d_{2})$ .
$M_{BD}=\Bigl(\tfrac{b+d_{1}}{2},\tfrac{0+d_{2}}{2}\Bigr)=\Bigl(\tfrac{b+d_{1}}{2},\tfrac{d_{2}}{2}\Bigr)$
Conclusie
De twee middens zijn gelijk, dus de diagonalen hebben hetzelfde midden.
$M_{AC}=M_{BD}\qquad \blacksquare$

Resultaat: Omdat $M_{AC}=M_{BD}$ , delen de diagonalen elkaar middendoor (voor elk parallellogram, want $b$ , $d_{1}$ , $d_{2}$ zijn willekeurig).

Veelgemaakte fouten

Een bewijs met concrete getallen geven en het als algemeen presenteren (gebruik letters voor algemeenheid).
De conclusie al aannemen in de plaatsing van de figuur (bijvoorbeeld de diagonalen al door één punt tekenen).
Bij het inproduct-loodrecht-bewijs de verkeerde vectoren nemen.
De meetkundige conclusie niet expliciet formuleren na de berekening.

Actieve herhaling

Gegeven de driehoek $A(0,0)$ , $B(6,0)$ , $C(2,4)$ . Zij $P$ het midden van $AB$ en $Q$ het midden van $AC$ . Toon met vectoren aan dat $\vec{PQ}=\tfrac{1}{2}\vec{BC}$ (de verbindingslijn van twee zijmiddens is evenwijdig aan en half zo lang als de derde zijde).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — wiskunde B (VWO)

Toepassingen van analytische meetkunde

Kernpunten

Raken toetsen met de discriminant

Kernpunten

De vergelijking van een meetkundige plaats bepalen

Kernpunten

Snijpunt en snijhoek van twee lijnen

Kernpunten

Bewijs dat de diagonalen van een parallellogram elkaar middendoor delen

Bronnen