Samenvattingen · Wiskunde BNL · VWO

Standaardfuncties en transformaties

Een handvol standaardfuncties — machtsfuncties, de wortelfunctie, de exponentiële en de logaritmische functie, de gebroken functie $\tfrac{1}{x}$ en de absolute-waardefunctie — vormt de basisvormen waaruit vrijwel elke functie in wiskunde B is opgebouwd. Door deze grafieken te transformeren (verschuiven, vermenigvuldigen/rekken en spiegelen) krijg je alle verwante functies. Wie de standaardvormen kent en de vier transformatieregels beheerst, kan een grafiek schetsen en een functievoorschrift lezen zonder puntsgewijs te rekenen.

5 Onderdelen~22 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3 · Verdieping 1

T·0333 / 16

Examenprofiel

B1 · De standaardfuncties (macht, wortel, exponentieel, logaritme, gebroken, absolute waarde) en hun grafiekenVerschuiven van grafieken (translaties): f(x-a)+bVermenigvuldigen (rekken/krimpen) en spiegelen van grafiekenSamengestelde transformaties a·f\bigl(b(x-c)\bigr)+d herkennen en toepassen

Operatoren:schetstekengeefbeschrijfbepaalleg uittransformeer

basisniveau

De standaardfuncties en de transformaties verschuiven, vermenigvuldigen en spiegelen horen tot de centraal-examenstof van subdomein B1.

verhoogd niveau

Verdieping zit in het combineren van meerdere transformaties in de juiste volgorde en in het terugvinden van de transformaties uit een gegeven functievoorschrift of grafiek.

Diepte

Tekst

Inhoud · 5 onderdelen

Standaardfuncties en transformaties

De standaardfuncties en hun grafieken#

Basisexamenblad-wiskunde-b-subdomein-B1

De standaardfuncties zijn de „grondvormen” waarvan je de grafiek uit het hoofd hoort te kennen. De machtsfuncties

y=x^{2}

(dalparabool) en

y=x^{3}

(buigende S-vorm door de oorsprong) ken je al; daarnaast zijn er de wortelfunctie

y=\sqrt{x}

(domein

x\ge 0

, stijgt afvlakkend), de exponentiële functie

y=g^{x}

, de logaritmische functie

y=\log(x)

y=\ln(x)

, de gebroken functie

y=\dfrac{1}{x}

(twee takken, met de assen als asymptoten) en de absolute-waardefunctie

y=|x|

(een V met de knik in de oorsprong). Elke grondvorm heeft een karakteristiek verloop, karakteristieke snijpunten en soms asymptoten.

De exponentiële functie

y=g^{x}

(met grondtal

g>0

g\neq 1

) is bijzonder belangrijk. In Afb. 1 staat

y=e^{x}

, met het natuurlijke grondtal

e\approx 2{,}72

. Kenmerkend: de grafiek gaat door

(0,1)

want

g^{0}=1

, hij is overal positief, en hij heeft de

x

-as (

y=0

) als horizontale asymptoot aan de linkerkant. Voor

g>1

is de functie stijgend (exponentiële groei), voor

0<g<1

dalend (exponentieel verval). De

e

-macht

y=e^{x}

is de exponentiële functie die je later differentieert en integreert; haar bijzondere eigenschap (

e^{x}

is haar eigen afgeleide) maakt haar de natuurlijke keuze in de analyse.

De exponentiële functie y = eˣ

Afb. 1Afb. 1 — De exponentiële functie y = eˣ gaat door (0; 1) en heeft de x-as (y = 0) als horizontale asymptoot.

De logaritmische functie is de tegenhanger (inverse) van de exponentiële functie:

\log_{g}(x)

is de exponent waarmee je

g

moet verheffen om

x

te krijgen. In wiskunde B gebruik je vooral de natuurlijke logaritme

\ln(x)=\log_{e}(x)

. De grafiek van

y=\ln(x)

heeft domein

x>0

, gaat door

(1,0)

(want

\ln 1=0

), stijgt afvlakkend en heeft de

y

-as (

x=0

) als verticale asymptoot. Omdat exponentiële en logaritmische functies elkaars inverse zijn, zijn hun grafieken elkaars spiegelbeeld in de lijn

y=x

— een verband dat je in het onderwerp inverse functies uitwerkt.

De gebroken functie

y=\dfrac{1}{x}

en de absolute-waardefunctie

y=|x|

vullen het rijtje aan. De gebroken functie bestaat uit twee takken (voor

x>0

x<0

), heeft de

y

-as als verticale en de

x

-as als horizontale asymptoot, en is puntsymmetrisch in de oorsprong. De absolute-waardefunctie

y=|x|

maakt van elk getal zijn niet-negatieve „afstand tot nul”:

|3|=3

|-3|=3

; de grafiek is een V met een knik in

(0,0)

. Deze twee grondvormen hebben elk een eigen bijzonderheid (asymptoten respectievelijk een knik) die bij transformaties meebeweegt.

Waarom deze grondvormen zo centraal staan, is dat elke ingewikkelder functie eruit ontstaat door transformeren.

y=2(x-3)^{2}+1

is „de parabool

x^{2}

, verschoven en gerekt”;

y=e^{-x}+4

is „de

e

-macht, gespiegeld en omhoog geschoven”. Wie de grondvorm en de transformaties herkent, schetst de grafiek in enkele seconden en leest omgekeerd uit een grafiek het voorschrift af. Daarom is het loont om de grondvormen — met hun snijpunten, asymptoten en symmetrie — echt paraat te hebben; ze zijn het alfabet van de functieanalyse in wiskunde B.

y=g^{x}:\ \text{door }(0,1),\ \text{asymptoot }y=0\qquad y=\ln(x):\ \text{door }(1,0),\ \text{asymptoot }x=0

Exponentieel en logaritme

De exponentiële functie en de logaritme zijn elkaars inverse; hun karakteristieke punten en asymptoten zijn verwisseld.

|x|=\begin{cases} x & x\ge 0\\ -x & x<0\end{cases}

Absolute waarde

De absolute waarde is de afstand tot nul: altijd niet-negatief; de grafiek is een V met de knik in de oorsprong.

Uitgewerkt voorbeeld

Kenmerken van een standaardfunctie benoemen

Geef voor $f(x)=\ln(x)$ het domein, het snijpunt met de $x$ -as, de asymptoot en het gedrag van de grafiek.

Domein
Het argument van een logaritme moet positief zijn.
$D_{f}:\; x>0$
Snijpunt met de x-as
Los $\ln(x)=0$ op; dat betekent $x=e^{0}=1$ .
$\ln(x)=0\;\Rightarrow\; x=1\;\Rightarrow\;(1;\,0)$
Asymptoot en gedrag
Voor $x\downarrow 0$ gaat $\ln(x)\to-\infty$ : de $y$ -as is verticale asymptoot. Voor grote $x$ stijgt $\ln(x)$ onbegrensd maar steeds langzamer.

Resultaat: Domein $x>0$ ; snijpunt $(1;\,0)$ ; verticale asymptoot $x=0$ ; stijgend en afvlakkend.

Veelgemaakte fouten

Denken dat $y=g^{x}$ ook negatieve waarden aanneemt; een exponentiële functie is altijd positief (asymptoot $y=0$ , nooit eronder).
Het domein van $\ln(x)$ vergeten: $x$ moet positief zijn, dus $\ln(0)$ en $\ln$ van een negatief getal bestaan niet.
$|{-3}|=-3$ schrijven; de absolute waarde is altijd niet-negatief, dus $|{-3}|=3$ .
De gebroken functie $\dfrac{1}{x}$ als één doorlopende kromme tekenen in plaats van twee gescheiden takken met asymptoten.

Actieve herhaling

Geef voor $f(x)=\dfrac{1}{x}$ het domein, het bereik, de asymptoten en de symmetrie, en schets de grafiek. Waarom bestaat $f(0)$ niet?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Verschuiven van grafieken (translaties)#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-subdomein-B1

De parabool y = x² verschoven naar y = (x − 2)² + 1

Afb. 2Afb. 1 — y = x² (top in de oorsprong) en de verschoven parabool y = (x − 2)² + 1 met top (2; 1): 2 naar rechts en 1 omhoog.

Een translatie verschuift de hele grafiek zonder haar vorm te veranderen. Een verticale verschuiving krijg je door bij de functie een getal op te tellen:

y=f(x)+b

schuift de grafiek

b

omhoog (of omlaag als

b<0

). Dit is intuïtief: elke functiewaarde wordt met

b

verhoogd, dus elk punt gaat

b

omhoog. Een horizontale verschuiving werkt met een min-teken in de invoer:

y=f(x-a)

schuift de grafiek

a

naar rechts (naar links als

a<0

). Het min-teken is contra-intuïtief —

x-a

schuift naar de positieve kant — en is de meest gemaakte fout bij transformaties.

Waarom schuift

f(x-a)

naar rechts en niet naar links? Kijk naar één punt: bij de nieuwe functie

g(x)=f(x-a)

krijg je de topwaarde van

f

(die bij

x=0

hoorde) nu pas als

x-a=0

, dus bij

x=a

. Het „kenmerkende punt” is dus

a

opgeschoven in positieve richting. In Afb. 1 zie je de basisparabool

y=x^{2}

(top in de oorsprong) en

y=(x-2)^{2}+1

: die is

2

naar rechts en

1

omhoog verschoven, zodat de top in

(2,1)

ligt. De vorm van de parabool is identiek; alleen haar plaats verandert.

De twee verschuivingen combineer je in de standaardvorm

y=f(x-a)+b

: dit is de grafiek van

f

, verschoven

a

naar rechts en

b

omhoog. Het punt dat bij

f

in de oorsprong lag, ligt nu in

(a,b)

. Deze vorm is bij veel functies de handigste manier om ze te lezen. Bij een parabool heet

y=(x-a)^{2}+b

de topvorm, want je leest de top

(a,b)

er meteen uit af. Bij een gebroken functie

y=\dfrac{1}{x-a}+b

verschuiven de asymptoten mee naar

x=a

(verticaal) en

y=b

(horizontaal).

Bij het verschuiven bewegen alle bijzondere kenmerken van de grondvorm mee: snijpunten, toppen, knikken én asymptoten. Verschuif je

y=\sqrt{x}

(randpunt in de oorsprong) tot

y=\sqrt{x-3}+2

, dan ligt het randpunt in

(3,2)

en is het domein

x\ge 3

. Verschuif je

y=e^{x}

(asymptoot

y=0

) tot

y=e^{x}+4

, dan schuift de horizontale asymptoot mee naar

y=4

. Het bijhouden van deze kenmerken is precies wat een correcte schets vereist: teken eerst de verschoven asymptoten en het verschoven kenmerkende punt, en trek dan de grondvorm daaromheen.

Andersom kun je uit een gegeven voorschrift de verschuiving aflezen, en uit een grafiek het voorschrift reconstrueren. Zie je een parabool met top in

(-1,3)

, dan is het voorschrift

y=(x+1)^{2}+3

(let op: top-

x

-1

, dus

x-(-1)=x+1

). Zie je een wortelkromme met randpunt

(4,-1)

, dan is het

y=\sqrt{x-4}-1

. Deze heen-en-weerbeweging tussen formule en grafiek — verschuiving aflezen en verschuiving toepassen — is een kernvaardigheid die op het examen zowel bij het schetsen als bij het opstellen van een voorschrift getoetst wordt.

y=f(x-a)+b

Translatie

De grafiek van $f$ verschoven $a$ naar rechts en $b$ omhoog; het punt dat in de oorsprong lag, ligt nu in $(a,b)$ .

y=(x-a)^{2}+b\ \text{(topvorm)},\qquad \text{top }(a,b)

Topvorm van een parabool

Uit de topvorm lees je de top $(a,b)$ direct af; let op het minteken bij $a$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Verschuiving toepassen en aflezen

De grafiek van $f(x)=\sqrt{x}$ wordt $3$ naar rechts en $2$ omlaag verschoven. Geef het voorschrift van de nieuwe functie $g$ , haar domein en het randpunt.

Horizontale verschuiving
$3$ naar rechts geeft $\sqrt{x-3}$ (min-teken in de invoer).
$x\mapsto \sqrt{x-3}$
Verticale verschuiving
$2$ omlaag geeft $-2$ bij het geheel.
$g(x)=\sqrt{x-3}-2$
Domein en randpunt
Het argument $x-3\ge 0$ geeft het domein; het randpunt van $\sqrt{x}$ (oorsprong) verschuift naar $(3,-2)$ .
$D_{g}:\; x\ge 3,\qquad \text{randpunt }(3;\,-2)$

Resultaat: $g(x)=\sqrt{x-3}-2$ , domein $x\ge 3$ , randpunt $(3;\,-2)$ .

Veelgemaakte fouten

$f(x-a)$ naar links verschuiven in plaats van naar rechts (het min-teken keert de intuïtieve richting om).
Een verticale verschuiving in de invoer stoppen of een horizontale bij de uitvoer optellen.
De asymptoot of het randpunt niet meeverschuiven bij een gebroken functie of wortelfunctie.
Bij het aflezen van een top $(-1,3)$ het voorschrift $y=(x-1)^{2}+3$ schrijven in plaats van $y=(x+1)^{2}+3$ .

Actieve herhaling

De grafiek van $f(x)=\dfrac{1}{x}$ wordt $2$ naar links en $3$ omhoog verschoven. Geef het voorschrift van $g$ , de vergelijkingen van de beide asymptoten en het domein.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Vermenigvuldigen: rekken en krimpen#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-subdomein-B1

Verticale vermenigvuldiging: y = √x en y = 2√x

Afb. 3Afb. 1 — Verticale vermenigvuldiging met factor 2: y = 2√x is overal twee keer zo hoog als y = √x; de x-as blijft vast.

Naast verschuiven kun je een grafiek uitrekken of indrukken door te vermenigvuldigen. Een verticale vermenigvuldiging krijg je door de hele functie met een factor

a

te vermenigvuldigen:

y=a\cdot f(x)

. Voor

a>1

wordt de grafiek verticaal uitgerekt (elke functiewaarde

a

keer zo hoog), voor

0<a<1

verticaal ingedrukt. In Afb. 1 staan

y=\sqrt{x}

y=2\sqrt{x}

: de tweede grafiek is overal twee keer zo hoog. Belangrijk: de

x

-as blijft bij een verticale vermenigvuldiging op zijn plaats, want punten óp de

x

-as (

y=0

) worden met

a

vermenigvuldigd tot

a\cdot 0=0

en bewegen dus niet.

Een horizontale vermenigvuldiging werkt in de invoer:

y=f(b\cdot x)

drukt de grafiek horizontaal in met factor

\dfrac{1}{b}

(voor

b>1

smaller, voor

0<b<1

breder). Ook hier is de werking „omgekeerd” aan de intuïtie: de factor

b

in de invoer verkleint de grafiek in plaats van hem te vergroten. Dat komt doordat je dezelfde functiewaarde nu al bij een

b

keer kleinere

x

bereikt. Bij een horizontale vermenigvuldiging blijft de

y

-as op zijn plaats, want

x=0

blijft

0

na vermenigvuldigen. Horizontale vermenigvuldigingen zijn vooral belangrijk bij goniometrische functies, waar factor

b

de periode bepaalt.

Het onderscheid tussen verticaal en horizontaal vermenigvuldigen is dus: staat de factor buiten de functie (

a\cdot f(x)

), dan werkt hij verticaal en laat de

x

-as vast; staat de factor binnen de functie bij de

x

(

f(bx)

), dan werkt hij horizontaal en laat de

y

-as vast. Een verticale vermenigvuldiging met

a

maakt de grafiek

a

keer zo hoog; een horizontale met

b

maakt hem

\tfrac{1}{b}

keer zo breed. Bij het schetsen bepaal je eerst welke as vast blijft en rek je dan de andere richting.

Bij vermenigvuldigen bewegen de kenmerken mee volgens dezelfde logica. Een verticale vermenigvuldiging met

a

vermenigvuldigt de

y

-coördinaat van elk kenmerkend punt met

a

(een top

(2,3)

wordt

(2,3a)

), maar laat de

x

-coördinaten en verticale asymptoten ongemoeid; een horizontale asymptoot

y=c

gaat naar

y=ac

. Een horizontale vermenigvuldiging met

b

deelt de

x

-coördinaten door

b

(een nulpunt bij

x=6

gaat naar

x=6/b

) en laat de

y

-waarden en horizontale asymptoten met rust; een verticale asymptoot

x=p

gaat naar

x=p/b

. Wie deze regels per kenmerk toepast, tekent de getransformeerde grafiek foutloos.

Verticale vermenigvuldiging bepaalt bij een sinusoïde de amplitude en bij veel modellen de „sterkte” van het effect; horizontale vermenigvuldiging bepaalt bij een sinusoïde de periode en bij groeimodellen de tijdschaal. Omdat een verticale vermenigvuldiging met

a

hetzelfde is als de hele grafiek

a

keer zo hoog maken, kun je haar ook zien als het „schalen” van de eenheid op de

y

-as. Dit inzicht helpt je later bij het opstellen van een sinusformule

y=a\sin\bigl(b(x-c)\bigr)+d

, waarin

a

b

precies deze twee vermenigvuldigingen zijn.

y=a\cdot f(x)

Verticale vermenigvuldiging

Factor $a$ buiten de functie: elke functiewaarde wordt $a$ keer zo groot; de $x$ -as blijft vast.

y=f(b\cdot x)

Horizontale vermenigvuldiging

Factor $b$ bij de $x$ : de grafiek wordt $\tfrac{1}{b}$ keer zo breed; de $y$ -as blijft vast.

Uitgewerkt voorbeeld

Verticaal en horizontaal vermenigvuldigen

De grafiek van $f(x)=x^{2}-4$ heeft nulpunten $x=\pm 2$ en een dal $(0,-4)$ . Bepaal de nulpunten en het dal van $g(x)=3f(x)$ en van $h(x)=f(2x)$ .

Verticale vermenigvuldiging g = 3f
Factor $3$ buiten de functie: de $y$ -waarden worden $3$ keer zo groot, de $x$ -waarden blijven. Nulpunten (waar $y=0$ ) blijven daarom staan.
$g(x)=3x^{2}-12:\ \text{nulpunten }x=\pm 2,\ \text{dal }(0;\,-12)$
Horizontale vermenigvuldiging h = f(2x)
Factor $2$ bij de $x$ : de $x$ -waarden worden gedeeld door $2$ , de $y$ -waarden blijven. De nulpunten $\pm 2$ gaan naar $\pm 1$ , het dal blijft op hoogte $-4$ .
$h(x)=4x^{2}-4:\ \text{nulpunten }x=\pm 1,\ \text{dal }(0;\,-4)$

Resultaat: $g(x)=3x^{2}-12$ : nulpunten $\pm 2$ , dal $(0;-12)$ . $h(x)=4x^{2}-4$ : nulpunten $\pm 1$ , dal $(0;-4)$ .

Veelgemaakte fouten

Een horizontale vermenigvuldiging met factor $b$ voor een verbreding aanzien in plaats van een versmalling (de werking is $\tfrac{1}{b}$ ).
Bij een verticale vermenigvuldiging de $x$ -coördinaten mee vermenigvuldigen, of bij een horizontale de $y$ -coördinaten.
De factor bij het verkeerde deel plaatsen: $2f(x)$ (verticaal) verwarren met $f(2x)$ (horizontaal).
Vergeten dat een verticale vermenigvuldiging de nulpunten laat staan (want $a\cdot 0=0$ ).

Actieve herhaling

De grafiek van $f(x)=\sqrt{x}$ wordt verticaal met factor $3$ vermenigvuldigd en daarna horizontaal met factor $\tfrac{1}{2}$ (dus $x$ wordt $\tfrac{1}{2}x$ ). Geef het voorschrift van de resulterende functie en bereken de functiewaarde bij $x=8$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Spiegelen in de assen#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-subdomein-B1

Spiegelen in de y-as: y = 2ˣ en y = 2⁻ˣ

Afb. 4Afb. 1 — y = 2ˣ en zijn spiegelbeeld in de y-as, y = 2⁻ˣ. Beide gaan door (0; 1) — het punt op de spiegelas.

Spiegelen is het bijzondere geval van vermenigvuldigen met factor

-1

. Spiegelen in de

x

-as krijg je door de hele functie van teken te wisselen:

y=-f(x)

. Elk punt

(x,y)

gaat naar

(x,-y)

: wat boven de

x

-as lag, komt eronder en omgekeerd. Een dalparabool wordt zo een bergparabool. Spiegelen in de

y

-as krijg je door de invoer van teken te wisselen:

y=f(-x)

. Elk punt

(x,y)

gaat naar

(-x,y)

: de grafiek klapt om naar de andere kant van de

y

-as. In Afb. 1 zie je

y=2^{x}

en zijn spiegelbeeld in de

y

-as,

y=2^{-x}=\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{x}

; beide gaan door

(0,1)

, want dat punt ligt op de spiegelas.

De twee spiegelingen zijn dus elkaars „tegenpolen”:

-f(x)

spiegelt verticaal (in de

x

-as, teken van de uitvoer om),

f(-x)

spiegelt horizontaal (in de

y

-as, teken van de invoer om). Punten óp de spiegelas blijven op hun plaats: bij spiegelen in de

x

-as blijven de nulpunten liggen (daar is

y=0

), bij spiegelen in de

y

-as blijft het snijpunt met de

y

-as liggen (daar is

x=0

). Dit geeft je meteen twee vaste punten om je schets aan te controleren.

Bij spiegelen bewegen de kenmerken volgens dezelfde logica mee. Spiegel je in de

x

-as, dan wisselen de

y

-coördinaten van teken (een top

(2,3)

wordt een dal

(2,-3)

) en een horizontale asymptoot

y=c

gaat naar

y=-c

; de

x

-coördinaten en verticale asymptoten blijven. Spiegel je in de

y

-as, dan wisselen de

x

-coördinaten van teken (een nulpunt bij

x=4

gaat naar

x=-4

) en een verticale asymptoot

x=p

gaat naar

x=-p

; de

y

-waarden en horizontale asymptoten blijven. Zo teken je de gespiegelde grafiek kenmerk voor kenmerk.

Spiegelen legt ook symmetrie van functies bloot. Een functie is even als spiegelen in de

y

-as niets verandert, dus als

f(-x)=f(x)

; haar grafiek is symmetrisch in de

y

-as (zoals

y=x^{2}

y=\cos x

). Een functie is oneven als

f(-x)=-f(x)

; dan is spiegelen in de

y

-as gelijk aan spiegelen in de

x

-as en is de grafiek puntsymmetrisch in de oorsprong (zoals

y=x^{3}

y=\dfrac{1}{x}

). Dit begrip van even en oneven functies werk je in het onderwerp functies en grafieken verder uit; hier zie je dat het rechtstreeks uit de spiegelregels volgt.

In de praktijk combineer je spiegelen vaak met verschuiven.

y=-\sqrt{x}+3

is „de wortelfunctie, gespiegeld in de

x

-as en

3

omhoog”: de kromme daalt vanuit het randpunt

(0,3)

y=e^{-x}

is „de

e

-macht, gespiegeld in de

y

-as”: hij daalt in plaats van te stijgen en modelleert exponentieel verval. Let bij het combineren op de volgorde en op welk teken bij welk deel hoort — een min voor de functie spiegelt verticaal, een min bij de

x

spiegelt horizontaal. Deze bouwstenen samen (verschuiven, vermenigvuldigen, spiegelen) leveren de complete transformatiegereedschapskist die je in de volgende paragraaf tot één formule verenigt.

y=-f(x)\ (\text{spiegel in de }x\text{-as})\qquad y=f(-x)\ (\text{spiegel in de }y\text{-as})

Spiegelen

Een min voor de functie spiegelt verticaal; een min bij de invoer spiegelt horizontaal.

\text{even: } f(-x)=f(x)\qquad \text{oneven: } f(-x)=-f(x)

Even en oneven

Even functies zijn symmetrisch in de $y$ -as; oneven functies puntsymmetrisch in de oorsprong.

Uitgewerkt voorbeeld

Spiegelen en symmetrie onderzoeken

Geef de gespiegelde van $f(x)=x^{2}-2x$ in de $y$ -as, en onderzoek of $g(x)=x^{3}-x$ even, oneven of geen van beide is.

Spiegelen in de y-as
Vervang $x$ door $-x$ in $f$ .
$f(-x)=(-x)^{2}-2(-x)=x^{2}+2x$
Even/oneven van g: bereken g(−x)
Vervang $x$ door $-x$ in $g$ en let op de haakjes.
$g(-x)=(-x)^{3}-(-x)=-x^{3}+x$
Vergelijken met −g(x)
Bereken $-g(x)$ en vergelijk met $g(-x)$ .
$-g(x)=-(x^{3}-x)=-x^{3}+x=g(-x)$

Resultaat: De spiegeling in de $y$ -as is $y=x^{2}+2x$ . Omdat $g(-x)=-g(x)$ is $g$ oneven (puntsymmetrisch in de oorsprong).

Veelgemaakte fouten

$-f(x)$ (spiegel in de $x$ -as) verwarren met $f(-x)$ (spiegel in de $y$ -as).
Bij het onderzoeken van symmetrie de haakjes bij $(-x)^{3}$ of $(-x)^{2}$ fout uitwerken.
Concluderen dat een functie even én oneven is, of dat elke functie een van beide moet zijn (de meeste zijn geen van beide).
Bij spiegelen in de $x$ -as de $x$ -coördinaten van teken wisselen (die blijven juist gelijk).

Actieve herhaling

Gegeven $f(x)=\sqrt{x}$ . Geef het voorschrift van de grafiek die je krijgt door $f$ eerst in de $x$ -as te spiegelen en daarna $2$ omhoog te schuiven. Onderzoek verder of $h(x)=x^{4}-3x^{2}$ even, oneven of geen van beide is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Samengestelde transformaties#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-subdomein-B1

Samengestelde transformatie van y = x²

Afb. 5Afb. 1 — y = x² en de samengestelde y = 2(x − 1)² − 3: verticaal ×2, 1 naar rechts, 3 omlaag; top (1; −3).

Alle transformaties samen vat je in één standaardvorm:

y=a\cdot f\bigl(b(x-c)\bigr)+d

. Hierin herken je de vier bouwstenen:

a

is de verticale vermenigvuldiging (en spiegeling als

a<0

b

de horizontale vermenigvuldiging (en spiegeling als

b<0

c

de horizontale verschuiving (naar rechts) en

d

de verticale verschuiving (omhoog). In Afb. 1 staat de basisparabool

y=x^{2}

en de samengestelde

y=2(x-1)^{2}-3

: verticaal met

2

vermenigvuldigd,

1

naar rechts en

3

omlaag geschoven, met top

(1,-3)

De volgorde waarin je de transformaties uitvoert, luistert nauw. Bij het opbouwen vanuit de standaardvorm werk je van binnen naar buiten: eerst de bewerkingen op de invoer

x

(de horizontale: eerst met

b

vermenigvuldigen, dan met

c

verschuiven — of andersom, afhankelijk van hoe de haakjes staan), daarna de bewerkingen op de uitvoer (de verticale: eerst met

a

vermenigvuldigen, dan met

d

verschuiven). Cruciaal is dat verticaal vermenigvuldigen vóór verticaal verschuiven gebeurt: in

a\cdot f(\ldots)+d

wordt eerst met

a

vermenigvuldigd en pas dan

d

opgeteld, niet andersom.

Het handigst is te werken per kenmerkend punt: neem een punt

(x_{0},y_{0})

van de grondvorm en bereken waar het terechtkomt. De

x

-coördinaat ondergaat de horizontale bewerkingen:

x_{0}\mapsto \dfrac{x_{0}}{b}+c

. De

y

-coördinaat ondergaat de verticale:

y_{0}\mapsto a\cdot y_{0}+d

. Voor

y=2(x-1)^{2}-3

gaat de top

(0,0)

van

y=x^{2}

dus naar

x=0+1=1

y=2\cdot 0-3=-3

: de top

(1,-3)

, precies wat de figuur laat zien. Deze puntsgewijze aanpak voorkomt fouten met de „omgekeerde” werking van de horizontale factoren.

Bij het herkennen van de transformaties uit een gegeven voorschrift lees je

a

b

c

d

rechtstreeks af — mits het voorschrift in de standaardvorm

a\cdot f\bigl(b(x-c)\bigr)+d

staat. Staat het dat niet, dan breng je het eerst in die vorm. Bij

y=\sqrt{4x-8}

bijvoorbeeld haal je binnen de wortel eerst de factor

4

buiten haakjes:

\sqrt{4(x-2)}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{x-2}=2\sqrt{x-2}

, zodat je ziet dat het

y=\sqrt{x}

is met

b=1

effectief,

c=2

a=2

. Het „netjes buiten haakjes halen” om

b(x-c)

zichtbaar te maken is de sleutelstap, vooral bij goniometrische functies waar je zo de faseverschuiving vindt.

Samengestelde transformaties zijn het gereedschap waarmee je bijna elke functie uit een grondvorm opbouwt en omgekeerd elke grafiek tot een grondvorm herleidt. Ze bereiden ook direct het onderwerp goniometrische functies voor: de algemene sinusoïde

y=a\sin\bigl(b(x-c)\bigr)+d

is precies deze standaardvorm toegepast op

f(x)=\sin x

, waarbij

a

de amplitude,

\tfrac{2\pi}{b}

de periode,

c

de horizontale (fase)verschuiving en

d

de evenwichtslijn is. Wie de vier parameters hier begrijpt, leest straks elke sinusformule feilloos. Oefen daarom met beide richtingen: uit een voorschrift de transformaties halen, en uit een reeks transformaties het voorschrift opstellen.

y=a\cdot f\bigl(b(x-c)\bigr)+d

Algemene transformatievorm

$a$ verticaal rekken/spiegelen, $b$ horizontaal rekken/spiegelen, $c$ horizontaal verschuiven (rechts), $d$ verticaal verschuiven (omhoog).

(x_{0},y_{0})\ \longmapsto\ \left(\frac{x_{0}}{b}+c,\; a\,y_{0}+d\right)

Beeld van een punt

Reken per kenmerkend punt: de $x$ -coördinaat ondergaat de horizontale bewerkingen, de $y$ -coördinaat de verticale.

Uitgewerkt voorbeeld

Transformaties aflezen en een punt volgen

Beschrijf de transformaties waarmee $g(x)=-\tfrac{1}{2}\sqrt{x-4}+1$ uit $f(x)=\sqrt{x}$ ontstaat, en bepaal het randpunt van $g$ .

Parameters aflezen
Vergelijk met $a\,f(b(x-c))+d$ : hier $a=-\tfrac{1}{2}$ , $b=1$ , $c=4$ , $d=1$ .
$g(x)=-\tfrac{1}{2}\,\sqrt{x-4}+1$
Transformaties benoemen
$a=-\tfrac{1}{2}$ : verticaal met $\tfrac{1}{2}$ indrukken én in de $x$ -as spiegelen; $c=4$ : $4$ naar rechts; $d=1$ : $1$ omhoog.
Randpunt volgen
Het randpunt $(0,0)$ van $\sqrt{x}$ gaat naar $x=0+4=4$ en $y=-\tfrac{1}{2}\cdot 0+1=1$ .
$(0,0)\mapsto (4,\,1)$

Resultaat: $g$ ontstaat door $\sqrt{x}$ verticaal met $\tfrac{1}{2}$ in te drukken, in de $x$ -as te spiegelen, $4$ naar rechts en $1$ omhoog te schuiven; het randpunt is $(4;\,1)$ .

Veelgemaakte fouten

Verticaal verschuiven vóór verticaal vermenigvuldigen doen: in $a f(\ldots)+d$ wordt eerst met $a$ vermenigvuldigd en dan pas $d$ opgeteld.
De factor $b$ binnen de functie niet buiten haakjes halen, waardoor de horizontale verschuiving $c$ fout wordt gelezen (bij $\sqrt{4x-8}$ is $c=2$ , niet $8$ ).
De horizontale factoren „gewoon” toepassen in plaats van omgekeerd ( $x$ wordt gedeeld door $b$ ).
Het teken van $a$ of $b$ negeren en zo een spiegeling missen.

Actieve herhaling

Geef het voorschrift van de functie die ontstaat door $f(x)=x^{2}$ verticaal met factor $\tfrac{1}{2}$ te vermenigvuldigen, in de $x$ -as te spiegelen, $3$ naar links en $2$ omhoog te schuiven. Bepaal de top en zeg of het een maximum of minimum is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — wiskunde B (VWO)

Standaardfuncties en transformaties

Kernpunten

Kenmerken van een standaardfunctie benoemen

Kernpunten

Verschuiving toepassen en aflezen

Kernpunten

Verticaal en horizontaal vermenigvuldigen

Kernpunten

Spiegelen en symmetrie onderzoeken

Kernpunten

Transformaties aflezen en een punt volgen

Bronnen