Samenvattingen · Wiskunde ANL · VWO

Statistiek met ICT

Statistiek met ICT gaat over het doelmatig inzetten van de grafische rekenmachine (en de spreadsheet) bij statistiek en kansrekening. Het is geen apart examendomein, maar een gereedschapsvaardigheid uit domein A (ICT-gebruik) die het hele centraal examen doorsnijdt: je voert data in lijsten in en bepaalt met 1-Var Stats de kengetallen, berekent binomiale en normale kansen met binompdf/binomcdf en normalcdf/invNorm, bepaalt een regressielijn en de correlatie r met LinReg, en voert met toevalsgetallen een simulatie uit. Steeds staat interpreteren en correct afronden centraal: de machine rekent, jij kiest de juiste opdracht en legt de uitkomst in de context uit.

4 Onderdelen~31 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 3 · Verdieping 1

T·141414 / 15

Examenprofiel

Data invoeren in GR-lijsten en met 1-Var Stats de kengetallen (gemiddelde, standaardafwijking, Q1, mediaan, Q3) bepalen, aflezen en interpreteren, plus histogram en boxplot laten tekenenBinomiale en normale kansen berekenen met de GR — binompdf(n,p,k), binomcdf(n,p,k), normalcdf(a,b,μ,σ) en invNorm(opp,μ,σ) — en 'precies/hoogstens/minstens/tussen' correct omzettenEen lineaire regressielijn y=ax+b (kleinste kwadraten) en de correlatiecoëfficiënt r bepalen met LinReg, interpreteren en gebruiken om te voorspellen (met oog voor interpolatie versus extrapolatie)Met toevalsgetallen (randInt/rand) een simulatie uitvoeren, de relatieve frequentie koppelen aan de theoretische kans (wet van de grote aantallen) en de uitkomst kritisch afronden en interpreteren

Operatoren:berekenbepaallees afinterpreteervoorspelschatbeoordeelverklaar

basisniveau

Deze GR-vaardigheden — data invoeren, 1-Var Stats, binompdf/binomcdf, normalcdf/invNorm en LinReg — horen tot de gemeenschappelijke eindexamenstof en worden bij vrijwel elke statistiek- en kansopgave op het centraal examen verondersteld.

verhoogd niveau

Verdieping zit in het kritisch interpreteren: het verschil tussen σx en Sx, tussen r en r², de gevaren van extrapolatie, en het onderscheid tussen een simulatieschatting en een exacte kans.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Statistiek met ICT

Data en kengetallen met de GR#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-statistiek-ictexamenblad-wiskunde-a-domein-E3

Bij statistiek is de grafische rekenmachine (GR) je belangrijkste gereedschap: je voert de data één keer in en laat de machine alle kengetallen en grafieken maken. In Afb. 1 zie je het histogram dat de GR tekent van de 20 toetsscores 12, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32, 34 en 38. Het invoeren gaat via een lijst: op de TI-84 open je met STAT ▸ EDIT de lijst L1 en typ je de 20 getallen onder elkaar; op de Casio fx-CG50 gebruik je de Statistics-app en op de NumWorks de app Statistieken. Staat de data eenmaal in een lijst, dan zijn alle kengetallen en grafieken een kwestie van het juiste menu — je hoeft niets meer met de hand op te tellen. Dat is de kern van 'statistiek met ICT': de rekenmachine doet het rekenwerk, jij kiest de juiste opdracht en interpreteert de uitkomst.

Afb. 1 — Histogram van de toetsscores zoals de GR die tekent

Afb. 1Histogram van de 20 toetsscores met klassenbreedte 5: de klassen [10, 15) tot en met [35, 40) hebben frequenties 2, 4, 5, 5, 3 en 1. De verdeling is ongeveer symmetrisch rond het gemiddelde van 23,65.

De belangrijkste opdracht is 1-Var Stats (één-variabele-statistiek). Op de TI-84 kies je STAT ▸ CALC ▸ 1:1-Var Stats en geef je L1 op; de Casio heeft in de Statistics-app de knop CALC ▸ 1-VAR. In één scherm verschijnen dan alle kengetallen: het gemiddelde

\bar{x}

, de som Σx en de kwadratensom Σx², de standaardafwijkingen σx en Sx, het aantal n, en de vijf-getallensamenvatting minX, Q1, Med (de mediaan), Q3 en maxX. Voor onze 20 scores levert de GR:

\bar{x}=23{,}65

, σx ≈ 6,81, n = 20, minX = 12, Q1 = 18,5, Med = 23,5, Q3 = 28,5 en maxX = 38. Je hoeft deze getallen alleen maar af te lezen — maar je moet wél weten wélk getal je nodig hebt en wat het betekent.

Een veelgemaakte fout is het verwarren van de twee standaardafwijkingen die de GR toont. σx (met de Griekse sigma) is de populatiestandaardafwijking: je deelt de gemiddelde kwadratische afwijking door n. Sx is de steekproefstandaardafwijking: die deelt door n − 1 en is dus altijd iets groter. In het VWO-examen wordt met 'de standaardafwijking' vrijwel altijd σx bedoeld, tenzij de opgave uitdrukkelijk om een schatting uit een steekproef vraagt. Voor onze data is σx ≈ 6,81 en Sx ≈ 6,99. De standaardafwijking meet de spreiding rond het gemiddelde: hoe groter σ, hoe verder de waarden gemiddeld van

\bar{x}

af liggen. Daarnaast is de kwartielafstand IQR = Q3 − Q1 = 28,5 − 18,5 = 10 een spreidingsmaat, en het bereik maxX − minX = 38 − 12 = 26 een derde. Bij een scheve verdeling of bij uitschieters kies je liever de mediaan en de IQR, want die zijn robuust; het gemiddelde en σ worden juist sterk door uitschieters beïnvloed.

Naast getallen laat de GR ook plaatjes tekenen. Voor een histogram (Afb. 1) zet je op de TI-84 met 2ND ▸ STAT PLOT een Plot aan, kies je het histogram-icoon, geef je L1 als Xlist op en druk je op ZoomStat (ZOOM ▸ 9); met de vensterinstelling Xscl bepaal je de klassenbreedte — hier 5, met de klassen [10, 15), [15, 20), tot en met [35, 40). Kies je dezelfde Plot maar dan het boxplot-icoon, dan tekent de GR de boxplot van Afb. 2, precies op de vijf-getallensamenvatting 12 – 18,5 – 23,5 – 28,5 – 38. Een boxplot is ideaal om twee of meer groepen te vergelijken; een histogram laat de vórm van één verdeling zien (symmetrisch, scheef, met of zonder uitschieters). Let op het verschil: een histogram heeft aaneengesloten staven (klassen), een staafdiagram losse staven (categorieën).

Afb. 2 — Boxplot bij de vijf-getallensamenvatting

Afb. 2Boxplot bij de vijf-getallensamenvatting van dezelfde data: minimum 12, Q1 = 18,5, mediaan = 23,5, Q3 = 28,5 en maximum 38. De box (van Q1 tot Q3) beslaat de middelste 50% van de scores; de kwartielafstand is 10.

Dezelfde kengetallen haal je ook uit een spreadsheet zoals Excel. Zet de data in een kolom en gebruik =GEMIDDELDE(...) voor

\bar{x}

, =STDEV.P(...) voor σ (of =STDEV.S(...) voor Sx), =MEDIAAN(...) en de kwartielfuncties voor Q1 en Q3. Een spreadsheet is handig bij grote of al digitaal beschikbare datasets. Wel een waarschuwing: verschillende programma's en rekenmachines gebruiken soms nét een andere kwartielmethode, waardoor Q1 en Q3 een klein beetje kunnen verschillen; het gemiddelde, de mediaan en σ komen wél exact overeen. De achterliggende formule σ = √(Σ(xᵢ −

\bar{x}

)²/n) wordt door beide precies zo uitgerekend. De machine neemt je het rekenwerk uit handen, niet het denkwerk: jíj kiest de passende maat en legt uit wat het getal in de context betekent.

\bar{x}=\dfrac{\sum x_i}{n}

Gemiddelde

De som van alle waarden gedeeld door het aantal; de GR toont dit onder 1-Var Stats als x̄.

\sigma=\sqrt{\dfrac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n}}

Standaardafwijking (populatie)

De GR toont deze als σx (delen door n). Sx deelt door n−1 en hoort bij een steekproefschatting.

\text{IQR}=Q_3-Q_1

Kwartielafstand

De spreiding van de middelste 50% van de data; het bereik is maxX − minX.

Uitgewerkt voorbeeld

Kengetallen bepalen met 1-Var Stats

Van 20 leerlingen is de toetsscore genoteerd: 12, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32, 34, 38. Bepaal met de GR het gemiddelde, de standaardafwijking, de mediaan en de kwartielafstand, en beoordeel of het gemiddelde of de mediaan hier de beste centrummaat is.

Data invoeren in een lijst
Open STAT ▸ EDIT en typ de 20 scores onder elkaar in lijst L1. Controleer dat je er precies 20 hebt staan (de GR toont n straks als controle).
1-Var Stats uitvoeren
Kies STAT ▸ CALC ▸ 1:1-Var Stats, geef L1 op en bevestig. De GR toont onder meer x̄ = 23,65, σx ≈ 6,81, n = 20, minX = 12, Q1 = 18,5, Med = 23,5, Q3 = 28,5 en maxX = 38.
$\bar{x}=\dfrac{\sum x_i}{n}=\dfrac{473}{20}=23{,}65$
Gemiddelde
Kwartielafstand en bereik berekenen
De kwartielafstand is IQR = Q3 − Q1 = 28,5 − 18,5 = 10; het bereik is maxX − minX = 38 − 12 = 26.
$\text{IQR}=Q_3-Q_1=28{,}5-18{,}5=10$
Kwartielafstand
De passende centrummaat beoordelen
Het gemiddelde (23,65) en de mediaan (23,5) liggen dicht bij elkaar, wat wijst op een vrijwel symmetrische verdeling zonder sterke uitschieters (zie het histogram, Afb. 1). Beide centrummaten zijn hier goed bruikbaar; pas als er een duidelijke uitschieter was geweest, zou de mediaan te verkiezen zijn.

Resultaat: De GR geeft x̄ = 23,65, σx ≈ 6,81, mediaan = 23,5 en IQR = 10. Omdat het gemiddelde en de mediaan bijna gelijk zijn, is de verdeling ongeveer symmetrisch en is het gemiddelde hier een prima centrummaat.

Veelgemaakte fouten

σx en Sx verwarren. σx (delen door n) is de standaardafwijking die het examen bedoelt; Sx (delen door n − 1) hoort bij een steekproefschatting en is altijd iets groter.
Een histogram met een staafdiagram verwarren, of bij het histogram de klassenbreedte (Xscl) verkeerd instellen, zodat de GR andere klassen tekent dan de opgave vraagt.
Q1, mediaan en Q3 met de hand fout bepalen terwijl 1-Var Stats ze direct geeft — lees ze af in plaats van te gokken.

Actieve herhaling

Oefenopgave: voer de dagelijkse reistijden (in minuten) van 15 leerlingen in — 8, 10, 12, 12, 15, 16, 18, 20, 22, 25, 25, 28, 30, 35, 45 — in lijst L1 en bepaal met 1-Var Stats het gemiddelde, de mediaan, σx, Q1, Q3 en de kwartielafstand. Leg met een berekening uit welke centrummaat het meest geschikt is en waarom.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde A (VWO): domein A (ICT-gebruik) en domein E (statistiek en kansrekening) (College voor Toetsen en Examens (CvTE) / DUO)

Kansverdelingen met de GR#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-statistiek-ictexamenblad-wiskunde-a-domein-E5

De GR berekent kansen bij de twee kansverdelingen van het examen — de binomiale en de normale — zonder dat je een tabel hoeft te gebruiken. In Afb. 3 zie je de normale verdeling met gemiddelde μ = 100 en standaardafwijking σ = 15 (bijvoorbeeld de verdeling van IQ-scores); het gearceerde gebied onder de klok is de kans P(90 < X < 120). Bij de normale verdeling is een kans altijd zo'n oppervlakte onder de klokvormige kromme, en juist die oppervlakte laat de GR je in één opdracht uitrekenen. Bij de binomiale verdeling gaat het om een aantal successen bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p, en ook daar levert de GR de kans direct. Het draait dus om vier opdrachten: binompdf en binomcdf voor de binomiale verdeling, normalcdf en invNorm voor de normale.

Afb. 3 — Normale verdeling met de kans als oppervlakte

Afb. 3De normale verdeling met μ = 100 en σ = 15; het gearceerde gebied is P(90 < X < 120) ≈ 0,656, berekend met normalcdf(90, 120, 100, 15). Bij de normale verdeling is elke kans een oppervlakte onder de klokkromme.

De binomiale verdeling hoort bij een experiment met n onafhankelijke herhalingen die elk 'lukken' (kans p) of 'mislukken' (kans 1 − p); X telt het aantal keer dat het lukt. De kans op precies k successen is P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, en die reken je uit met binompdf(n, p, k) (de 'pdf' staat voor de kans op precies één waarde). De cumulatieve kans P(X ≤ k) — de kans op hoogstens k successen — is binomcdf(n, p, k). Op de TI-84 vind je beide onder 2ND ▸ VARS (DISTR); de Casio heeft ze onder DIST ▸ BINM (Bpd en Bcd). Wil je P(X ≥ k), gebruik dan het complement: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1) = 1 − binomcdf(n, p, k − 1). En P(a ≤ X ≤ b) = binomcdf(n, p, b) − binomcdf(n, p, a − 1). Deze omrekeningen zijn cruciaal: de GR geeft alleen 'precies' en 'hoogstens', de rest maak je met het complement en het verschil.

Bij een binomiale verdeling ken je de verwachtingswaarde en de standaardafwijking uit een vaste formule: E(X) = np en σ = √(np(1 − p)). Voor n = 20 vragen die je gokt met kans p = 0,25 (vier antwoordopties, willekeurig gekozen) is E(X) = 20 · 0,25 = 5 en σ = √(20 · 0,25 · 0,75) = √3,75 ≈ 1,94. Afb. 4 toont de hele kansverdeling voor deze n en p als staafdiagram: de staven zijn het hoogst rond k = 5 (de verwachtingswaarde) en lopen naar beide kanten snel terug. Zo zie je in één oogopslag dat 8 goed gokken (P(X = 8) ≈ 0,061) al vrij onwaarschijnlijk is en 12 of meer goed vrijwel uitgesloten. De hoogte van een staaf is precies de binompdf van die waarde; de som van alle staven is 1.

Afb. 4 — Binomiale kansverdeling voor n = 20 en p = 0,25

Afb. 4De binomiale kansverdeling voor n = 20 en p = 0,25 (E(X) = np = 5). De top ligt bij de verwachtingswaarde k = 5; de staaf bij k = 8 heeft hoogte P(X = 8) ≈ 0,061. De som van alle kansen is 1.

De normale verdeling beschrijft een continue grootheid die symmetrisch rond het gemiddelde μ ligt, met spreiding σ. Een kans is hier een oppervlakte: P(a < X < b) = normalcdf(a, b, μ, σ). Voor onze IQ-verdeling (μ = 100, σ = 15) is P(90 < X < 120) = normalcdf(90, 120, 100, 15) ≈ 0,656 (Afb. 3). Werk je met een eenzijdige kans, gebruik dan een heel groot of klein getal als grens: P(X < 130) = normalcdf(−10^99, 130, 100, 15) en P(X > 130) = normalcdf(130, 10^99, 100, 15). De z-score z = (x − μ)/σ vertelt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde af ligt; hij is handig om met de vuistregels (68 – 95 – 99,7%) een kans te schatten en om te controleren of je GR-uitkomst redelijk is. Voor x = 120 is z = (120 − 100)/15 ≈ 1,33: iets meer dan één σ boven het gemiddelde.

invNorm doet het omgekeerde van normalcdf: van een kans (oppervlakte) terug naar een grenswaarde. invNorm(opp, μ, σ) geeft de waarde x waarvoor P(X < x) = opp. Wil je bijvoorbeeld weten welke IQ-score bij de bovenste 10% hoort, dan zoek je de grens met P(X < x) = 0,90: invNorm(0,90, 100, 15) ≈ 119,2. Let goed op wat de GR als standaard neemt — bij de meeste machines geldt invNorm voor de linker-oppervlakte (de kans links van x); voor een rechtergrens reken je dus met 1 − opp, of je gebruikt de instelling LEFT/RIGHT als je machine die heeft. In een spreadsheet zijn de tegenhangers =BINOM.VERD (binomiaal), =NORM.VERD (normalcdf) en =NORM.INV (invNorm). Zo reken je met de GR of met een spreadsheet elke examenkans bij een binomiale of normale verdeling in één handeling uit — mits je eerst goed benoemt om welke kans (precies, hoogstens, minstens, tussen) het gaat.

P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}

Binomiale kans

GR: binompdf(n, p, k) geeft P(X=k); binomcdf(n, p, k) geeft de cumulatieve kans P(X≤k).

E(X)=np\qquad\sigma=\sqrt{np(1-p)}

Verwachting en spreiding (binomiaal)

Met n = 20 en p = 0,25: E(X) = 5 en σ ≈ 1,94.

z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}

z-score (normale verdeling)

Het aantal standaardafwijkingen dat x van het gemiddelde μ af ligt; normalcdf(a, b, μ, σ) geeft de kans tussen a en b, invNorm(opp, μ, σ) het omgekeerde.

Interaktive Grafik lädt…

Uitgewerkt voorbeeld

Binomiale kansen met binompdf en binomcdf

Een meerkeuzetoets heeft 20 vragen met elk 4 antwoordopties. Een leerling gokt alle antwoorden, zodat het aantal goede antwoorden X binomiaal verdeeld is met n = 20 en p = 0,25. Bereken met de GR: (a) de kans op precies 8 goed, (b) de kans op hoogstens 8 goed, en (c) de kans op minstens 6 goed.

De verdeling vaststellen
X is binomiaal met n = 20 en p = 0,25 (elke vraag lukt met kans 1/4). De verwachtingswaarde is E(X) = np = 5.
$P(X=k)=\binom{20}{k}(0{,}25)^{k}(0{,}75)^{20-k}$
Binomiale kans
(a) precies 8 — binompdf
P(X = 8) = binompdf(20, 0,25, 8) ≈ 0,0609. Er is dus ongeveer 6% kans op precies 8 goed.
(b) hoogstens 8 — binomcdf
P(X ≤ 8) = binomcdf(20, 0,25, 8) ≈ 0,9591. Ruim 95% van de gokkers haalt 8 goed of minder.
(c) minstens 6 — via het complement
P(X ≥ 6) = 1 − P(X ≤ 5) = 1 − binomcdf(20, 0,25, 5) ≈ 1 − 0,6172 = 0,3828.
$P(X\ge 6)=1-P(X\le 5)\approx 1-0{,}6172=0{,}3828$
Complementregel

Resultaat: (a) P(X = 8) ≈ 0,061; (b) P(X ≤ 8) ≈ 0,959; (c) P(X ≥ 6) ≈ 0,383. De sleutel is het vertalen van 'precies/hoogstens/minstens' naar binompdf, binomcdf en het complement.

Uitgewerkt voorbeeld

Normale kansen met normalcdf en invNorm

De scores op een IQ-test zijn normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15. Bereken met de GR: (a) de kans dat een willekeurige persoon een score tussen 90 en 120 heeft, en (b) de grensscore waarboven de 10% hoogst scorende personen liggen.

(a) kans tussen twee grenzen — normalcdf
P(90 < X < 120) = normalcdf(90, 120, 100, 15) ≈ 0,656. De GR geeft direct de oppervlakte onder de klok tussen 90 en 120 (Afb. 3).
$P(90<X<120)\approx 0{,}656$
Normale kans
Controle met de z-scores
De z-score bij 90 is (90 − 100)/15 ≈ −0,67 en bij 120 is (120 − 100)/15 ≈ 1,33. De grenzen liggen dus tussen −0,67σ en +1,33σ; een oppervlakte van ongeveer 0,66 is daarbij plausibel.
$z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}=\dfrac{120-100}{15}\approx 1{,}33$
z-score bij x = 120
(b) van kans naar grens — invNorm
De bovenste 10% betekent P(X > x) = 0,10, dus P(X < x) = 0,90. De grens is x = invNorm(0,90, 100, 15) ≈ 119,2.
$x=\mu+z\sigma=100+1{,}2816\cdot 15\approx 119{,}2$
Van z-score naar grenswaarde
Interpreteren
Wie tot de 10% hoogst scorende hoort, heeft dus een IQ van ongeveer 119 of hoger. Merk op dat invNorm standaard de linker-oppervlakte gebruikt; daarom vul je 0,90 in en niet 0,10.

Resultaat: (a) P(90 < X < 120) ≈ 0,656; (b) de grensscore is invNorm(0,90, 100, 15) ≈ 119,2, dus een IQ van ongeveer 119. normalcdf gaat van grenzen naar kans, invNorm van kans naar grens.

Veelgemaakte fouten

Bij 'minstens k' vergeten het complement te gebruiken: P(X ≥ k) = 1 − binomcdf(n, p, k − 1). Wie 1 − binomcdf(n, p, k) neemt, telt de waarde k ten onrechte niet mee.
Bij invNorm de kans aan de verkeerde kant invullen: voor de bovenste 10% neem je invNorm(0,90, …) (linker-oppervlakte 0,90), niet invNorm(0,10, …).
binompdf en binomcdf verwisselen: 'pdf' geeft de kans op precies één waarde, 'cdf' de cumulatieve kans op hoogstens een waarde.

Actieve herhaling

Oefenopgave: (a) van een productielijn is 5% van de producten defect. In een doos zitten 40 producten; bereken met de GR de kans op precies 2 defecte en de kans op hoogstens 2 defecte producten. (b) De levensduur van een lamp is normaal verdeeld met μ = 1200 uur en σ = 150 uur; bereken de kans dat een lamp langer dan 1400 uur brandt en bepaal met invNorm de levensduur die door minstens 90% van de lampen wordt gehaald.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde A (VWO): domein A (ICT-gebruik) en domein E (statistiek en kansrekening) (College voor Toetsen en Examens (CvTE) / DUO)

Regressie en correlatie#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-a-statistiek-ictexamenblad-wiskunde-a-domein-E6

Bij twee grootheden die samenhangen — bijvoorbeeld het aantal uren dat je per week studeert en het cijfer dat je haalt — laat je met de GR de best passende rechte lijn door de puntenwolk trekken. In Afb. 5 zie je het spreidingsdiagram van acht leerlingen: op de horizontale as de studie-uren x, op de verticale as het cijfer y, met de regressielijn erdoorheen. Die lijn heet de kleinste-kwadratenlijn (least squares), omdat hij zó ligt dat de som van de kwadraten van de verticale afstanden tussen de punten en de lijn zo klein mogelijk is. De GR bepaalt hem met de opdracht lineaire regressie (LinReg) en geeft er meteen een getal bij dat vertelt hóé goed de lijn past: de correlatiecoëfficiënt r.

Afb. 5 — Spreidingsdiagram met regressielijn

Afb. 5Spreidingsdiagram van studie-uren (x) en cijfer (y) van acht leerlingen, met de regressielijn y = 0,75x + 2,625. De correlatie is r ≈ 0,99: een sterk positief lineair verband, want de punten liggen bijna op de lijn.

Om een regressielijn te bepalen zet je de x-waarden in lijst L1 en de bijbehorende y-waarden in L2 (elk punt is één rij). Op de TI-84 kies je STAT ▸ CALC ▸ 4:LinReg(ax+b) en geef je L1, L2 op; de Casio doet dit met CALC ▸ REG ▸ X (lineair). De GR geeft de waarden a en b van de lijn y = ax + b terug, plus r en r². Voor de acht leerlingen levert dit a = 0,75 en b = 2,625, dus de regressielijn y = 0,75x + 2,625. De richtingscoëfficiënt a = 0,75 betekent: elk uur extra studeren gaat gemiddeld samen met 0,75 punt hoger cijfer, en b = 2,625 is het (voorspelde) cijfer bij 0 uur. Belangrijk: zie je op je TI-84 geen r verschijnen, zet dan eenmalig DiagnosticOn aan (bij oudere toestellen via het CATALOG); nieuwere toestellen tonen r standaard.

De correlatiecoëfficiënt r meet de sterkte én de richting van het lineaire verband en ligt altijd tussen −1 en 1 (Afb. 6). Is r = 1, dan liggen alle punten precies op een stijgende lijn; r = −1 hoort bij een perfect dalende lijn; r = 0 betekent dat er geen lineair verband is. Hoe dichter |r| bij 1, hoe sterker de samenhang en hoe beter de lijn past. Voor ons voorbeeld is r ≈ 0,99: een heel sterk positief lineair verband, wat je in Afb. 5 terugziet doordat de punten bijna op de lijn liggen. Vaak wordt ook r² gerapporteerd (hier ≈ 0,984): dat is de determinatiecoëfficiënt, en je leest hem als 'ongeveer 98% van de verschillen in cijfer wordt verklaard door de verschillen in studie-uren'. r² ligt altijd tussen 0 en 1.

Afb. 6 — De correlatieschaal van −1 tot +1

Afb. 6De correlatieschaal: r ligt altijd tussen −1 (perfect negatief) en +1 (perfect positief); bij 0 is er geen lineair verband. Ons voorbeeld (r ≈ 0,99) ligt net links van +1 — een heel sterk positief verband.

Een regressielijn is vooral nuttig om te voorspellen. Vul je in de lijnformule een x-waarde in, dan krijg je het verwachte cijfer. Voor 9 studie-uren voorspelt het model y = 0,75 · 9 + 2,625 = 9,375 ≈ 9,4. Zulke voorspellingen zijn betrouwbaar zolang je binnen het bereik van je data blijft (interpoleren, hier tussen 1 en 8 uur). Ga je ver búiten dat bereik (extrapoleren), dan wordt het riskant: bij 12 uur zou het model een cijfer boven de 10 voorspellen, wat onmogelijk is. Een lineair model geldt dus maar op een beperkt gebied. Wees ook voorzichtig met oorzaak en gevolg: een sterke correlatie betekent samenhang, geen bewijs van een oorzakelijk verband — 'correlatie is geen causaliteit'. Een derde factor kan beide grootheden tegelijk beïnvloeden.

In een spreadsheet bepaal je dezelfde lijn met =RICHTING(y-bereik; x-bereik) voor a, =SNIJPUNT(y-bereik; x-bereik) voor b en =CORRELATIE(x-bereik; y-bereik) voor r; ook een trendlijn in een grafiek toont de vergelijking en R². De achterliggende formules zijn a = Σ(xᵢ −

\bar{x}

)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ −

\bar{x}

)² en r = Σ(xᵢ −

\bar{x}

)(yᵢ − ȳ) / √(Σ(xᵢ −

\bar{x}

)² · Σ(yᵢ − ȳ)²), maar die hoef je in het examen niet met de hand uit te rekenen — dat doet de GR. Wat het examen wél vraagt, is de uitkomst interpreteren: de betekenis van a en b in de context benoemen, aan r de sterkte van het verband aflezen, met het model een voorspelling doen én de grenzen van dat model (extrapolatie, causaliteit) benoemen.

y=ax+b

Regressielijn (kleinste kwadraten)

GR: LinReg(ax+b). a is de richtingscoëfficiënt, b het snijpunt met de y-as.

a=\dfrac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x})^2}

Richtingscoëfficiënt

De kleinste-kwadratenlijn minimaliseert de som van de kwadraten van de verticale afstanden (residuen) tot de lijn.

r=\dfrac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2\,\sum (y_i-\bar{y})^2}}\qquad -1\le r\le 1

Correlatiecoëfficiënt

r meet de sterkte en richting van het lineaire verband; r² (de determinatiecoëfficiënt) is de verklaarde variantie.

Uitgewerkt voorbeeld

Regressielijn en correlatie bepalen met LinReg

Van acht leerlingen zijn het aantal studie-uren per week (x) en het examencijfer (y) genoteerd: (1; 3,0), (2; 4,5), (3; 5,0), (4; 5,5), (5; 6,5), (6; 7,0), (7; 8,0), (8; 8,5). Bepaal met de GR de regressielijn en de correlatiecoëfficiënt, voorspel het cijfer bij 9 studie-uren en beoordeel de betrouwbaarheid van die voorspelling.

Data invoeren in twee lijsten
Zet de studie-uren in L1 (1, 2, …, 8) en de bijbehorende cijfers in L2 (3,0; 4,5; …; 8,5). Elk paar staat op dezelfde rij.
LinReg uitvoeren
Kies STAT ▸ CALC ▸ 4:LinReg(ax+b) met L1, L2. De GR geeft a = 0,75, b = 2,625, r ≈ 0,992 en r² ≈ 0,984.
$y=ax+b=0{,}75x+2{,}625$
Regressielijn
De correlatie interpreteren
r ≈ 0,99 ligt heel dicht bij 1: een sterk positief lineair verband (Afb. 6). r² ≈ 0,984 betekent dat ongeveer 98% van de verschillen in cijfer samenhangt met de verschillen in studie-uren.
Een voorspelling doen
Vul x = 9 in de lijnformule in: y = 0,75 · 9 + 2,625 = 9,375 ≈ 9,4.
$y=0{,}75\cdot 9+2{,}625=9{,}375$
Voorspelling bij 9 uur
De betrouwbaarheid beoordelen
9 uur ligt net buiten het databereik (1 tot 8 uur), dus dit is lichte extrapolatie; de voorspelling is nog redelijk. Bij veel meer uren zou het model een cijfer boven 10 geven en dus onbruikbaar worden — het lineaire verband geldt maar op een beperkt gebied.

Resultaat: Regressielijn y = 0,75x + 2,625 met r ≈ 0,99 (sterk positief lineair verband). Voorspeld cijfer bij 9 uur: 9,4. Betrouwbaar binnen het databereik; ver daarbuiten geldt het lineaire model niet meer.

Veelgemaakte fouten

x en y verwisselen in de lijsten: de regressielijn van y op x is een andere lijn dan die van x op y. Zet de verklarende variabele in L1 en de te voorspellen variabele in L2.
r en r² door elkaar halen, of denken dat een hoge r een oorzakelijk verband bewijst. r meet alleen de sterkte van het líneaire verband; correlatie is geen causaliteit.
Klakkeloos ver buiten het databereik extrapoleren, waardoor je onmogelijke voorspellingen krijgt (zoals een cijfer boven 10).

Actieve herhaling

Oefenopgave: in zeven weken zijn de gemiddelde temperatuur (x, in °C) en de omzet ijs (y, in honderden euro's) gemeten: (16; 2,1), (18; 2,6), (20; 3,0), (22; 3,7), (25; 4,2), (28; 5,0), (30; 5,3). Bepaal met de GR de regressielijn en r, voorspel de ijsomzet bij 24 °C, en leg uit waarom je met een voorspelling bij 40 °C voorzichtig moet zijn.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde A (VWO): domein A (ICT-gebruik) en domein E (statistiek en kansrekening) (College voor Toetsen en Examens (CvTE) / DUO)

Simulatie en interpretatie#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-statistiek-ictexamenblad-wiskunde-a-domein-E4

Sommige kansen zijn lastig exact te berekenen, maar wél na te bootsen met toevalsgetallen — dat heet een simulatie. Je laat de GR heel vaak een toevallig experiment 'uitvoeren' en gebruikt de relatieve frequentie (het aantal keer dat de gebeurtenis optrad, gedeeld door het aantal herhalingen) als schatting van de kans. In Afb. 7 zie je wat er dan gebeurt bij het gooien van een eerlijke dobbelsteen: de relatieve frequentie van 'zes' schommelt bij weinig worpen nog sterk, maar kruipt bij steeds meer worpen naar de theoretische kans 1/6 ≈ 0,167 toe. Dat is de wet van de grote aantallen: hoe vaker je het experiment herhaalt, hoe dichter de relatieve frequentie bij de echte kans komt te liggen.

Afb. 7 — De wet van de grote aantallen

Afb. 7Wet van de grote aantallen: bij een gesimuleerde reeks dobbelsteenworpen schommelt de relatieve frequentie van 'zes' eerst sterk, maar nadert hij bij meer worpen de theoretische kans 1/6 ≈ 0,167 (de horizontale lijn).

De motor van een simulatie is de opdracht die toevalsgetallen levert. randInt(min, max, n) geeft n willekeurige gehele getallen tussen min en max; randInt(1, 6, 60) simuleert dus 60 dobbelsteenworpen. Op de TI-84 vind je hem onder MATH ▸ PROB ▸ 5:randInt( ; de Casio gebruikt RanInt#(1, 6). Sla de uitkomst op in een lijst, dan kun je met 1-Var Stats of met een tel-opdracht direct tellen hoe vaak elke waarde voorkwam. Voor experimenten met twee uitkomsten gebruik je rand, dat een willekeurig kommagetal in het interval [0, 1) geeft: een gebeurtenis met kans p boots je na door te kijken of rand < p. Zo simuleer je een poging die met kans 0,3 'lukt' door te tellen hoe vaak rand kleiner is dan 0,3.

Een concrete simulatie maakt dit tastbaar. Laat de GR met randInt(1, 6, 600) zeshonderd worpen doen en tel hoe vaak elke uitkomst valt. Afb. 8 toont zo'n uitkomst: de zes waarden komen elk ongeveer even vaak voor — rond de 100, want 1/6 van 600 is 100 — met kleine, toevallige verschillen (hier viel 'zes' 99 keer, oftewel een relatieve frequentie van 99/600 = 0,165). Dat is precies wat je bij een eerlijke dobbelsteen verwacht: een ongeveer uniforme verdeling. Zou één waarde er sterk uitspringen, dan zou dat een aanwijzing zijn dat de dobbelsteen niet eerlijk is. Een simulatie levert dus niet alleen een schatting van een kans, maar ook een gevoel voor de spreiding die je door puur toeval mag verwachten.

Afb. 8 — Frequentie per uitkomst bij 600 gesimuleerde worpen

Afb. 8Frequentie per uitkomst bij 600 gesimuleerde worpen met randInt(1, 6, 600): elke waarde komt ongeveer even vaak voor (rond de 100 = 1/6 van 600). 'Zes' viel hier 99 keer, oftewel een relatieve frequentie van 0,165.

Bij het interpreteren van een simulatie is een kritische blik nodig. Ten eerste is elke simulatie-uitkomst zélf toevallig: doe je hem opnieuw, dan krijg je andere getallen. Eén simulatie met weinig herhalingen zegt daarom weinig — pas bij veel herhalingen wordt de relatieve frequentie een betrouwbare schatting (Afb. 7). Ten tweede moet je correct afronden en de uitkomst niet mooier voorstellen dan hij is: een geschatte kans van 0,165 uit 600 worpen rond je niet zomaar af op 'precies 1/6', maar meld je als benadering. Ten derde levert een simulatie een schátting, geen exacte waarde; waar een exacte berekening mogelijk is, is die te verkiezen. De simulatie is juist waardevol wanneer een exacte berekening lastig is, of om een theoretisch antwoord te controleren.

Vaak kun je een simulatie náást een exacte berekening zetten om te controleren of je goed zit. Neem de kans op minstens één zes bij vier worpen. Exact reken je via het complement: de kans op géén enkele zes is (5/6)⁴ = 625/1296 ≈ 0,482, dus P(minstens één zes) = 1 − 0,482 ≈ 0,518. Simuleer je dit met randInt(1, 6, 4), herhaald over bijvoorbeeld honderd rondes waarbij je telt in hoeveel rondes minstens één zes valt, dan vind je een relatieve frequentie in de buurt van 0,52 — een mooie bevestiging van de exacte 0,518. Zo grijpen de GR-technieken uit dit hoofdstuk in elkaar: kengetallen, kansverdelingen, regressie én simulatie zijn allemaal manieren om, met de rekenmachine als gereedschap, een realistische vraag te beantwoorden en het antwoord verstandig te interpreteren.

\text{relatieve frequentie}=\dfrac{\text{aantal keer gebeurtenis}}{\text{aantal herhalingen}}

Relatieve frequentie

De empirische schatting van een kans uit een simulatie of experiment.

\dfrac{\text{aantal keer}}{n}\to P(\text{gebeurtenis})\quad(n\ \text{groot})

Wet van de grote aantallen

Hoe meer herhalingen, hoe dichter de relatieve frequentie bij de theoretische kans komt.

\text{gebeurtenis}\iff \text{rand}<p

Een kans simuleren met rand

rand levert een toevalsgetal in [0, 1); een gebeurtenis met kans p simuleer je door te kijken of rand < p.

Uitgewerkt voorbeeld

Een simulatie uitvoeren en interpreteren

Je simuleert 60 worpen met een eerlijke dobbelsteen met randInt(1, 6, 60) en telt 8 keer een zes. (a) Bereken de relatieve frequentie van 'zes'. (b) Vergelijk die met de theoretische kans. (c) Leg uit wat er met de relatieve frequentie gebeurt als je het aantal worpen sterk vergroot.

(a) Relatieve frequentie berekenen
De relatieve frequentie is het aantal zessen gedeeld door het aantal worpen: 8/60 = 0,1333… ≈ 0,13.
$\text{rel. freq.}=\dfrac{8}{60}\approx 0{,}13$
Relatieve frequentie
(b) Vergelijken met de theorie
De theoretische kans op 'zes' bij een eerlijke dobbelsteen is 1/6 ≈ 0,167. De geschatte 0,13 ligt daar wat onder; zo'n afwijking is normaal bij een klein aantal worpen.
(c) De wet van de grote aantallen
Bij veel meer worpen nadert de relatieve frequentie de theoretische kans (Afb. 7). Bij 600 worpen vind je bijvoorbeeld 99/600 = 0,165, al dicht bij 1/6.

Resultaat: (a) 8/60 ≈ 0,13; (b) de theoretische kans is 1/6 ≈ 0,167, dus de simulatie zit er door toeval iets onder; (c) hoe meer worpen, hoe dichter de relatieve frequentie bij 0,167 komt — de wet van de grote aantallen.

Uitgewerkt voorbeeld

Een kans schatten én exact berekenen

Bepaal de kans op minstens één zes bij vier worpen met een dobbelsteen, en beschrijf hoe je die kans met een simulatie zou schatten.

Het complement kiezen
'Minstens één zes' is lastig direct te tellen; gebruik het complement 'geen enkele zes'. Per worp is de kans op géén zes 5/6.
Exact berekenen
P(geen zes bij 4 worpen) = (5/6)⁴ = 625/1296 ≈ 0,482, dus P(minstens één zes) = 1 − 0,482 = 0,518.
$P(\ge 1\ \text{zes})=1-\left(\tfrac{5}{6}\right)^{4}=1-\dfrac{625}{1296}\approx 0{,}518$
Via het complement
De simulatie beschrijven
Simuleer met randInt(1, 6, 4) één ronde van vier worpen, kijk of er een 6 bij zit, en herhaal dit bijvoorbeeld 100 keer. Deel het aantal rondes met minstens één zes door 100; je vindt een relatieve frequentie rond 0,52.
Vergelijken
De simulatieschatting (≈ 0,52) bevestigt de exacte kans (0,518). Waar een exacte berekening kan, is die nauwkeuriger; de simulatie dient hier als controle.

Resultaat: Exact: P(minstens één zes) = 1 − (5/6)⁴ ≈ 0,518. Een simulatie met randInt(1, 6, 4) over 100 rondes geeft een relatieve frequentie in de buurt van 0,52 — een bevestiging van de exacte waarde.

Veelgemaakte fouten

Uit een simulatie met weinig herhalingen een harde conclusie trekken. Bij weinig worpen kan de relatieve frequentie flink van de echte kans afwijken; alleen bij veel herhalingen is de schatting betrouwbaar.
Een geschatte kans presenteren als exacte waarde, bijvoorbeeld 0,165 afronden op 'precies 1/6'. Een simulatie geeft een benadering; meld hem als schatting en rond correct af.
randInt verkeerd instellen, bijvoorbeeld randInt(0, 6, …) waardoor ook een 0 kan vallen, of het aantal herhalingen n vergeten.

Actieve herhaling

Oefenopgave: een spel is 'gewonnen' als je met twee dobbelstenen samen 7 ogen gooit. (a) Bereken de theoretische kans op 7 ogen. (b) Beschrijf hoe je deze kans met randInt(1, 6, …) kunt simuleren en welke relatieve frequentie je bij veel herhalingen ongeveer verwacht. (c) Leg uit waarom je bij 20 potjes een relatieve frequentie kunt vinden die sterk afwijkt van je antwoord bij (a).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde A (VWO): domein A (ICT-gebruik) en domein E (statistiek en kansrekening) (College voor Toetsen en Examens (CvTE) / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

College voor Toetsen en Examens (CvTE) / DUO

Examenblad.nl — syllabus wiskunde A (VWO): domein A (ICT-gebruik) en domein E (statistiek en kansrekening)

Statistiek met ICT

4 Onderdelen~31 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 3 · Verdieping 1

Statistiek met ICT

Kernpunten

Kengetallen bepalen met 1-Var Stats

Kernpunten

Binomiale kansen met binompdf en binomcdf

Normale kansen met normalcdf en invNorm

Kernpunten

Regressielijn en correlatie bepalen met LinReg

Kernpunten

Een simulatie uitvoeren en interpreteren

Een kans schatten én exact berekenen

Bronnen

Statistiek met ICT

Kernpunten

Kengetallen bepalen met 1-Var Stats

Kernpunten

Binomiale kansen met binompdf en binomcdf

Normale kansen met normalcdf en invNorm

Kernpunten

Regressielijn en correlatie bepalen met LinReg

Kernpunten

Een simulatie uitvoeren en interpreteren

Een kans schatten én exact berekenen

Bronnen