EuraStudy
Samenvattingen/Wiskunde B/Afgeleide functies en de hellinggrafiek
Samenvattingen · Wiskunde BNL · HAVO

Afgeleide functies en de hellinggrafiek

De afgeleide functie f′f'f′ geeft voor elke xxx de helling van de grafiek van fff in dat punt — de momentane veranderingssnelheid. In dit onderwerp maak je de stap van de afgeleide in één punt naar de afgeleide als nieuwe functie, je leert de hellinggrafiek (de grafiek van f′f'f′) tekenen en lezen, en je gebruikt het teken van f′f'f′ om te bepalen waar fff stijgt, daalt of een top of dal heeft. Daarmee wordt de afgeleide een gereedschap om het verloop van een functie volledig te beschrijven.

3 Onderdelen·~15 min leestijd·4 Vaardigheden·Niveau Basis 1 · Standaard 2

T·101010 / 12
Examenprofiel
De afgeleide functie f' begrijpen als de functie die in elk punt de helling van f geeft.De hellinggrafiek (grafiek van f') tekenen en aflezen bij een gegeven functie f.Met het teken van f' bepalen waar f stijgt, daalt of een horizontale raaklijn heeft.De samenhang tussen kenmerken van f en kenmerken van f' herkennen en gebruiken.
Operatoren:bepaalschetstekenlees afberedeneerleg uit

basisniveau

Lees uit een grafiek af waar de helling positief, negatief of nul is en koppel dat aan stijgen, dalen en toppen.

verhoogd niveau

Schets de hellinggrafiek bij een gegeven functie en redeneer over de samenhang tussen f en f'.

Diepte

Leesdiepte: Verdieping

Tekst

Tekstgrootte: Standaard

Inhoud · 3 onderdelen▾
  1. Afgeleide functies en de hellinggrafiek
    • 01Van helling in één punt naar de afgeleide functie○
    • 02De hellinggrafiek: de grafiek van f′◐
    • 03Het teken van de afgeleide: stijgen, dalen en extremen◐
§ 01

Van helling in één punt naar de afgeleide functie#

●○○BasisLPexamenblad-nl

Kernpunten

In het vorige onderwerp heb je de momentane veranderingssnelheid in één punt aaa bepaald als de limiet van het differentiequotiënt: f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}f′(a)=limh→0​hf(a+h)−f(a)​. Dat getal is de helling van de raaklijn aan de grafiek in (a,f(a))(a, f(a))(a,f(a)). De cruciale volgende stap is om dit níét voor één vast punt aaa te doen, maar voor élk punt xxx tegelijk. Dan ontstaat een nieuwe functie die bij elke xxx de helling van fff in dat punt teruggeeft. Die nieuwe functie heet de afgeleide functie van fff en noteer je als f′(x)f'(x)f′(x) (lees: „fff accent van xxx”). De afgeleide is dus zelf een functie, geen los getal.
Voor f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2 heb je in feite al gezien hoe dit werkt. Het differentiequotiënt in een willekeurig punt xxx is (x+h)2−x2h=2xh+h2h=2x+h\dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \dfrac{2xh + h^2}{h} = 2x + hh(x+h)2−x2​=h2xh+h2​=2x+h, en de limiet voor h→0h \to 0h→0 is 2x2x2x. Dus f′(x)=2xf'(x) = 2xf′(x)=2x: de afgeleide functie van x2x^2x2. Wil je nu de helling in een concreet punt, dan vul je dat punt in de afgeleide in — f′(3)=2⋅3=6f'(3) = 2\cdot 3 = 6f′(3)=2⋅3=6, f′(−1)=−2f'(-1) = -2f′(−1)=−2, enzovoort. De afgeleide functie is daarmee een soort „hellingmachine”: stop er een xxx in, en je krijgt de helling van fff in dat punt terug, zonder telkens opnieuw een limiet te hoeven berekenen.
Voor de afgeleide bestaan verschillende notaties, die allemaal hetzelfde betekenen. Naast f′(x)f'(x)f′(x) gebruik je vaak de Leibniz-notatie dydx\dfrac{dy}{dx}dxdy​ of dfdx\dfrac{df}{dx}dxdf​, die letterlijk „de verandering van yyy per verandering van xxx in de limiet” suggereert — het is de symbolische erfgenaam van ΔyΔx\dfrac{\Delta y}{\Delta x}ΔxΔy​. Schrijf je y=f(x)y = f(x)y=f(x), dan is dydx=f′(x)\dfrac{dy}{dx} = f'(x)dxdy​=f′(x). De accent-notatie f′(x)f'(x)f′(x) is handig om snel een functiewaarde aan te geven (zoals f′(2)f'(2)f′(2)), terwijl de Leibniz-notatie de oorsprong uit het differentiequotiënt benadrukt. Het is goed om beide te herkennen, want het examen gebruikt ze door elkaar.
Het differentiëren — het bepalen van de afgeleide functie — doe je in de praktijk niet telkens met de limiet, maar met rekenregels die je in de volgende hoofdstukken leert (zoals de machtsregel, die direct xn→nxn−1x^n \to n x^{n-1}xn→nxn−1 geeft). Maar het is belangrijk te blijven zien dat die regels niets anders zijn dan een snelle manier om de limiet lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}limh→0​hf(x+h)−f(x)​ uit te rekenen. De definitie blijft het fundament; de rekenregels zijn de gereedschappen. Wie begrijpt dat f′(x)f'(x)f′(x) uit deze limiet komt, snapt waaróm de afgeleide de helling meet, en kan een rekenregel altijd terugbrengen tot zijn betekenis.
De overgang van „helling in één punt” naar „afgeleide als functie” is de geboorte van de differentiaalrekening als gereedschap. Zodra je de afgeleide functie f′f'f′ in handen hebt, kun je alles over het verloop van fff beantwoorden: waar is de helling positief (stijgen), waar negatief (dalen), waar nul (een horizontale raaklijn, mogelijk een top of dal)? Die vragen behandelt de rest van dit onderwerp. De afgeleide functie is daarmee niet het eindpunt maar het startpunt: een nieuw instrument waarmee je grafieken analyseert, extremen vindt en optimaliseringsproblemen oplost.
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}f′(x)=h→0lim​hf(x+h)−f(x)​

definitie van de afgeleide functie

De afgeleide functie geeft voor elke x de helling van f; ze is de limiet van het differentiequotiënt, nu voor een variabele x in plaats van een vast punt.

y=f(x) ⇒ dydx=f′(x)y = f(x) \ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx} = f'(x)y=f(x) ⇒ dxdy​=f′(x)

notaties voor de afgeleide

f'(x) en dy/dx betekenen hetzelfde: de afgeleide functie; de Leibniz-notatie benadrukt de oorsprong uit Δy/Δx.

Uitgewerkt voorbeeld

Hellingen berekenen met de afgeleide functie

Gegeven is f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2 met f′(x)=2xf'(x) = 2xf′(x)=2x. Bereken de helling van fff in x=−1x = -1x=−1, x=0x = 0x=0 en x=3x = 3x=3.

  1. 01Stap 1 — Vul x = −1 in de afgeleide in

    De afgeleide functie geeft de helling; vul het punt in.

    f′(−1)=2⋅(−1)=−2 (negatieve helling: f daalt daar)f'(-1) = 2\cdot(-1) = -2 \ (\text{negatieve helling: } f \text{ daalt daar})f′(−1)=2⋅(−1)=−2 (negatieve helling: f daalt daar)
  2. 02Stap 2 — Vul x = 0 in

    Bereken de helling in de oorsprong.

    f′(0)=2⋅0=0 (horizontale raaklijn)f'(0) = 2\cdot 0 = 0 \ (\text{horizontale raaklijn})f′(0)=2⋅0=0 (horizontale raaklijn)
  3. 03Stap 3 — Vul x = 3 in

    Bereken de helling rechts van de top.

    f′(3)=2⋅3=6 (positieve helling: f stijgt steil)f'(3) = 2\cdot 3 = 6 \ (\text{positieve helling: } f \text{ stijgt steil})f′(3)=2⋅3=6 (positieve helling: f stijgt steil)

Resultaat: Resultaat: de hellingen zijn −2-2−2, 000 en 666. De waarde f′(0)=0f'(0) = 0f′(0)=0 betekent dat de raaklijn in de oorsprong horizontaal is — precies de top (het minimum) van de parabool f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2.

Eindexamen-focus

  • Je moet de afgeleide f′f'f′ begrijpen als de functie die in elk punt xxx de helling van fff geeft, en f′(a)f'(a)f′(a) als de helling in een concreet punt.
  • Het CE verwacht dat je de notaties f′(x)f'(x)f′(x) en dydx\dfrac{dy}{dx}dxdy​ herkent en de afgeleide koppelt aan de limiet van het differentiequotiënt.

Veelgemaakte fouten

  • De afgeleide f′(x)f'(x)f′(x) verwarren met de functiewaarde f(x)f(x)f(x); f′f'f′ geeft de hélling, niet de hoogte.
  • Denken dat f′(a)f'(a)f′(a) een aparte functie is in plaats van de afgeleide functie f′f'f′ ingevuld in x=ax = ax=a.
  • De Leibniz-notatie dydx\dfrac{dy}{dx}dxdy​ als een gewone breuk opvatten die je los kunt halen.

Actieve herhaling

Gegeven is f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2 met afgeleide f′(x)=2xf'(x) = 2xf′(x)=2x. Bereken de helling van de grafiek in x=−1x = -1x=−1, x=0x = 0x=0 en x=3x = 3x=3, en leg uit wat f′(0)=0f'(0) = 0f′(0)=0 betekent voor de grafiek.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

§ 02

De hellinggrafiek: de grafiek van f′#

●●○StandaardLPexamenblad-nl

Een functie en haar hellinggrafiek

Functie en hellinggrafiekSchaubild von f(x)=x², Nullstellen bei x = 0, Tiefpunkt bei (0, 0), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von -3 bis 3, Schaubild von f'(x)=2x, Nullstellen bei x = 0, y-Achsenabschnitt bei y = 0, steigend, im Bereich x von -3 bis 3−3−2−1123−6−4−22468min ff' = 0f(x) = x²f'(x) = 2xyx
Afb. 1De parabool f(x) = x² met haar hellinggrafiek f′(x) = 2x. Waar f′ onder de x-as ligt daalt f, waar f′ erboven ligt stijgt f, en in x = 0 (f′ = 0) ligt het minimum van f.

Kernpunten

Omdat de afgeleide f′f'f′ zelf een functie is, kun je er een grafiek van tekenen: de hellinggrafiek. Deze grafiek geeft op de verticale as niet de waarde van fff weer, maar de hélling van fff. Voor elke xxx lees je dus af hoe steil de oorspronkelijke functie daar loopt. De hellinggrafiek is een krachtig hulpmiddel om in één beeld het verloop van een functie te beoordelen: waar hij boven de xxx-as ligt, stijgt fff; waar hij eronder ligt, daalt fff; en waar hij de xxx-as snijdt, heeft fff een horizontale raaklijn.
In de figuur zie je f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2 samen met haar hellinggrafiek f′(x)=2xf'(x) = 2xf′(x)=2x. De hellinggrafiek is hier een rechte lijn door de oorsprong. Links van x=0x = 0x=0 ligt f′f'f′ onder de xxx-as (negatieve helling): daar daalt de parabool. Rechts van x=0x = 0x=0 ligt f′f'f′ erboven (positieve helling): daar stijgt de parabool. En precies in x=0x = 0x=0 snijdt f′f'f′ de xxx-as: daar is de helling nul, wat overeenkomt met de top (het minimum) van de parabool. Zo vertaalt elk kenmerk van fff zich naar een kenmerk van f′f'f′, en andersom.
De vertaalregels tussen fff en haar hellinggrafiek zijn de kern van dit onderwerp en het waard om uit het hoofd te kennen. Waar fff stijgt, is f′>0f' > 0f′>0 (de hellinggrafiek ligt boven de xxx-as); waar fff daalt, is f′<0f' < 0f′<0 (eronder); en waar fff een top of dal heeft (een horizontale raaklijn), is f′=0f' = 0f′=0 (de hellinggrafiek snijdt de xxx-as). Bovendien: hoe steiler fff loopt, hoe verder de hellinggrafiek van de xxx-as af ligt. Een steile stijging geeft een hoge positieve waarde van f′f'f′, een flauwe daling een kleine negatieve waarde. Met deze regels kun je uit de grafiek van fff de globale vorm van f′f'f′ schetsen zonder f′f'f′ te berekenen.
Het tekenen van een hellinggrafiek bij een gegeven functie gaat dan ook stap voor stap: bepaal waar fff horizontale raaklijnen heeft (daar snijdt f′f'f′ de xxx-as), bepaal op de intervallen ertussen of fff stijgt of daalt (daar ligt f′f'f′ boven of onder de as), en schat de steilheid in om de hoogte van f′f'f′ te bepalen. Voor een dalende-dan-stijgende functie (met een dal) loopt f′f'f′ van negatief, via nul in het dal, naar positief — dus stijgend door de xxx-as. Voor een functie met eerst een top en dan een dal kruist f′f'f′ de xxx-as twee keer, eerst van boven naar onder (bij de top) en dan van onder naar boven (bij het dal).
De hellinggrafiek maakt de afgeleide visueel en intuïtief: ze is een „afgeleide in beeld”. Door fff en f′f'f′ naast of over elkaar te leggen, zie je in één oogopslag de samenhang tussen het verloop van een functie en haar helling. Dit beeld is niet alleen handig om te schetsen, maar ook om examenvragen te beantwoorden waarin je uit de grafiek van fff iets over f′f'f′ moet zeggen (of omgekeerd), zonder een formule. In de volgende paragraaf gebruiken we het teken van f′f'f′ systematisch om stijgen, dalen en extremen te bepalen — de hellinggrafiek is daar de visuele onderbouwing van.
f stijgt⇔f′>0,f daalt⇔f′<0,f top/dal⇔f′=0f \text{ stijgt} \Leftrightarrow f' > 0, \quad f \text{ daalt} \Leftrightarrow f' < 0, \quad f \text{ top/dal} \Leftrightarrow f' = 0f stijgt⇔f′>0,f daalt⇔f′<0,f top/dal⇔f′=0

vertaalregels f ↔ hellinggrafiek

Het teken van de hellinggrafiek bepaalt of f stijgt of daalt; een nulpunt van f' hoort bij een horizontale raaklijn van f.

Uitgewerkt voorbeeld

Het verloop van f aflezen uit de hellinggrafiek

Gegeven is f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2 met hellinggrafiek f′(x)=2xf'(x) = 2xf′(x)=2x. Bepaal met de hellinggrafiek waar fff daalt, stijgt en een minimum heeft.

  1. 01Stap 1 — Zoek waar f′ negatief is

    f′(x) = 2x is negatief voor x < 0. Daar is de helling negatief, dus daalt f.

    f′(x)=2x<0 ⇔ x<0 ⇒ f daaltf'(x) = 2x < 0 \ \Leftrightarrow\ x < 0 \ \Rightarrow\ f \text{ daalt}f′(x)=2x<0 ⇔ x<0 ⇒ f daalt
  2. 02Stap 2 — Zoek waar f′ positief is

    f′(x) = 2x is positief voor x > 0. Daar stijgt f.

    f′(x)=2x>0 ⇔ x>0 ⇒ f stijgtf'(x) = 2x > 0 \ \Leftrightarrow\ x > 0 \ \Rightarrow\ f \text{ stijgt}f′(x)=2x>0 ⇔ x>0 ⇒ f stijgt
  3. 03Stap 3 — Zoek waar f′ = 0

    De hellinggrafiek snijdt de x-as in x = 0. Daar slaat dalen om in stijgen, dus ligt een minimum.

    f′(0)=0,f gaat van dalen naar stijgen ⇒ minimum in (0,0)f'(0) = 0, \quad f \text{ gaat van dalen naar stijgen} \ \Rightarrow\ \text{minimum in } (0,0)f′(0)=0,f gaat van dalen naar stijgen ⇒ minimum in (0,0)

Resultaat: Resultaat: fff daalt voor x<0x < 0x<0, stijgt voor x>0x > 0x>0 en heeft een minimum in (0,0)(0, 0)(0,0). De hellinggrafiek f′(x)=2xf'(x) = 2xf′(x)=2x vertelt dit volledig via haar teken en haar nulpunt.

Eindexamen-focus

  • Je moet bij een gegeven functie fff de globale hellinggrafiek f′f'f′ schetsen met de regels: stijgen ⇒f′>0\Rightarrow f' > 0⇒f′>0, dalen ⇒f′<0\Rightarrow f' < 0⇒f′<0, top/dal ⇒f′=0\Rightarrow f' = 0⇒f′=0.
  • Het CE verwacht dat je uit een gegeven hellinggrafiek aflezen kunt waar fff stijgt, daalt of een extremum heeft.

Veelgemaakte fouten

  • De hellinggrafiek verwarren met de grafiek van fff zelf; f′f'f′ toont de helling, niet de hoogte van fff.
  • Bij een top van fff denken dat f′f'f′ ook een top heeft; bij een top van fff snijdt f′f'f′ juist de xxx-as.
  • De steilheid negeren: een steile helling van fff hoort bij een grote (ver van de xxx-as gelegen) waarde van f′f'f′.

Actieve herhaling

Gegeven is f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2. Teken de hellinggrafiek f′(x)=2xf'(x) = 2xf′(x)=2x en geef met behulp daarvan aan waar fff daalt, stijgt en een minimum heeft.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

§ 03

Het teken van de afgeleide: stijgen, dalen en extremen#

●●○StandaardLPexamenblad-nl

f(x) = x³ − 3x met haar afgeleide

Teken van de afgeleide en extremenSchaubild von f, Nullstellen bei x = -1.732, 0, 1.732, Hochpunkt bei (-1, 2), Tiefpunkt bei (1, -2), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von -2.2 bis 2.2, Schaubild von f', Nullstellen bei x = -1, 1, Tiefpunkt bei (0, -3), y-Achsenabschnitt bei y = -3, im Bereich x von -2.2 bis 2.2−2−112−6−4−2246top (−1,2)dal (1,−2)ff'yx
Afb. 2De functie f(x) = x³ − 3x met haar afgeleide f′(x) = 3x² − 3. De nulpunten van f′ (x = −1 en x = 1) horen bij de top (−1, 2) en het dal (1, −2); ertussen is f′ < 0 (f daalt), erbuiten f′ > 0 (f stijgt).

Kernpunten

Het teken van de afgeleide is het centrale gereedschap om het verloop van een functie te bepalen. De regel is eenvoudig en fundamenteel: op een interval waar f′(x)>0f'(x) > 0f′(x)>0 stijgt fff, op een interval waar f′(x)<0f'(x) < 0f′(x)<0 daalt fff, en waar f′(x)=0f'(x) = 0f′(x)=0 heeft fff een horizontale raaklijn. Die horizontale raaklijn is de kandidaat voor een extreem (een top of dal). Om het verloop van een functie volledig te beschrijven, bepaal je dus eerst de afgeleide, zoek je de nulpunten van f′f'f′ (de kandidaat-extremen), en onderzoek je daartussen het teken van f′f'f′.
Een nulpunt van f′f'f′ is een kandidaat voor een extremum, maar niet elk nulpunt ís een extremum — het hangt af van de tekenwisseling. Slaat f′f'f′ bij een nulpunt om van positief naar negatief, dan gaat fff van stijgen naar dalen: daar ligt een maximum (top). Slaat f′f'f′ om van negatief naar positief, dan gaat fff van dalen naar stijgen: daar ligt een minimum (dal). Verandert f′f'f′ rond het nulpunt níét van teken (blijft hij bijvoorbeeld aan beide kanten positief), dan is er geen extremum maar een buigpunt met horizontale raaklijn. De tekénwisseling, niet alleen het nulpunt zelf, bepaalt dus of en wat voor extremum er is.
Dit onderzoek voer je systematisch uit met een tekenschema (tekenverloop) van f′f'f′. Zet de nulpunten van f′f'f′ op een getallenlijn, kies in elk interval ertussen een proefwaarde, en bepaal het teken van f′f'f′ daar. Uit het tekenpatroon lees je het stijgen en dalen van fff af en daarmee de extremen. In de figuur zie je dit voor f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3xf(x)=x3−3x, met afgeleide f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3f′(x)=3x2−3. De nulpunten van f′f'f′ zijn x=−1x = -1x=−1 en x=1x = 1x=1. Voor x<−1x < -1x<−1 is f′>0f' > 0f′>0 (f stijgt), voor −1<x<1-1 < x < 1−1<x<1 is f′<0f' < 0f′<0 (f daalt), en voor x>1x > 1x>1 is f′>0f' > 0f′>0 (f stijgt). Dus bij x=−1x = -1x=−1 een top en bij x=1x = 1x=1 een dal.
Met dit tekenschema bepaal je niet alleen wáár de extremen liggen, maar ook hun coördinaten. De xxx-waarden komen uit f′(x)=0f'(x) = 0f′(x)=0; de bijbehorende yyy-waarden krijg je door die xxx-waarden in de oorspronkelijke functie fff in te vullen (níét in f′f'f′!). Voor f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3xf(x)=x3−3x geeft dat als top (−1,f(−1))=(−1,2)\big(-1, f(-1)\big) = (-1, 2)(−1,f(−1))=(−1,2) en als dal (1,f(1))=(1,−2)\big(1, f(1)\big) = (1, -2)(1,f(1))=(1,−2), zoals de figuur laat zien. Een veelgemaakte fout is om de extreme waarde uit f′f'f′ te halen; maar f′f'f′ geeft alleen de plek (waar de helling nul is), terwijl de hoogte uit fff komt.
Het teken van de afgeleide verbindt dit hele onderwerp en is de opstap naar de toepassingen. Met f′f'f′ beschrijf je het complete verloop van een functie: de stijgende en dalende intervallen (de monotonie) en de extremen. Dit is precies wat je nodig hebt om grafieken te analyseren, om de grootste of kleinste waarde van een grootheid te vinden, en om optimaliseringsproblemen op te lossen — de onderwerpen waar de differentiaalrekening naartoe werkt. De afgeleide is daarmee uitgegroeid van „helling in één punt” tot een volwaardig instrument om functies te doorgronden.
f′(x)=0 ⇒ kandidaat-extremum;tekenwisseling +→− (top), −→+ (dal)f'(x) = 0 \ \Rightarrow\ \text{kandidaat-extremum}; \quad \text{tekenwisseling}\ +\to-\ (\text{top}), \ -\to+\ (\text{dal})f′(x)=0 ⇒ kandidaat-extremum;tekenwisseling +→− (top), −→+ (dal)

extremen via het teken van f′

Extremen liggen bij nulpunten van f′ met een tekenwisseling; van + naar − een maximum, van − naar + een minimum.

xtop/dal uit f′(x)=0,ytop/dal=f(xtop/dal)x_{\text{top/dal}} \text{ uit } f'(x)=0, \qquad y_{\text{top/dal}} = f(x_{\text{top/dal}})xtop/dal​ uit f′(x)=0,ytop/dal​=f(xtop/dal​)

coördinaten van een extremum

De x-coördinaat komt uit f′ = 0, de y-coördinaat uit invullen in de oorspronkelijke functie f.

Uitgewerkt voorbeeld

Stijgen, dalen en extremen met een tekenschema

Gegeven is f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3xf(x)=x3−3x met f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3f′(x)=3x2−3. Bepaal de extremen en de stijgende en dalende intervallen.

  1. 01Stap 1 — Bepaal de nulpunten van f′

    Stel de afgeleide op nul en los op (deel door 3, dan een verschil van kwadraten).

    3x2−3=0 ⇒ x2=1 ⇒ x=−1 of x=13x^2 - 3 = 0 \ \Rightarrow\ x^2 = 1 \ \Rightarrow\ x = -1 \ \text{of}\ x = 13x2−3=0 ⇒ x2=1 ⇒ x=−1 of x=1
  2. 02Stap 2 — Maak een tekenschema met proefwaarden

    Onderzoek het teken van f′ in elk interval met een proefwaarde.

    f′(−2)=9>0,f′(0)=−3<0,f′(2)=9>0f'(-2)=9>0, \quad f'(0)=-3<0, \quad f'(2)=9>0f′(−2)=9>0,f′(0)=−3<0,f′(2)=9>0
  3. 03Stap 3 — Bepaal de extremen en hun hoogte

    Bij x = −1 slaat + om in − (top), bij x = 1 slaat − om in + (dal). Vul in f in voor de y-waarden.

    f(−1)=−1+3=2,f(1)=1−3=−2f(-1) = -1 + 3 = 2, \qquad f(1) = 1 - 3 = -2f(−1)=−1+3=2,f(1)=1−3=−2

Resultaat: Resultaat: fff stijgt voor x<−1x < -1x<−1 en x>1x > 1x>1, en daalt voor −1<x<1-1 < x < 1−1<x<1. De top ligt in (−1,2)(-1, 2)(−1,2), het dal in (1,−2)(1, -2)(1,−2). De xxx-waarden komen uit f′=0f' = 0f′=0, de hoogtes uit invullen in fff.

Eindexamen-focus

  • Je moet met een tekenschema van f′f'f′ de stijgende en dalende intervallen van fff en de aard (top of dal) van de extremen bepalen.
  • Het CE verwacht dat je de xxx-coördinaat van een extremum uit f′(x)=0f'(x) = 0f′(x)=0 haalt en de yyy-coördinaat door invullen in fff.

Veelgemaakte fouten

  • De extreme waarde (de yyy-coördinaat) uit f′f'f′ halen in plaats van uit fff; f′f'f′ geeft alleen de plaats.
  • Aannemen dat elk nulpunt van f′f'f′ een extremum is, terwijl een uitblijvende tekenwisseling een buigpunt geeft.
  • Het teken van f′f'f′ in een interval gokken in plaats van met een proefwaarde te controleren.

Actieve herhaling

Gegeven is f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3xf(x)=x3−3x met f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3f′(x)=3x2−3. Bepaal met een tekenschema waar fff stijgt en daalt en geef de coördinaten van de top en het dal.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Inhoud

Sectie -- / 03

    • 01Van helling in één punt naar de afgeleide functie○
    • 02De hellinggrafiek: de grafiek van f′◐
    • 03Het teken van de afgeleide: stijgen, dalen en extremen◐

0/3 Gelezen

Van samenvatting naar oefening

Afgeleide functies en de hellinggrafiek

Verstevig dit onderwerp met vragen uit de vragenbank.

~15
min
4
Vaardigheden
Oefenen

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

  • Examenprogramma wiskunde B (HAVO)

Vorig onderwerp

Veranderingen, toenamediagrammen en differentiequotiënt

Volgend onderwerp

Bepaling van afgeleide functies en de rekenregels

EuraStudy·Samenvattingen T·10·MMXXVI

Ga verder met het volgende onderwerp — je leerpad blijft bewaard.