Samenvattingen · Wiskunde ANL · HAVO

Statistiek met ICT (schoolexamen)

Statistiek met ICT hoort bij domein E (Statistiek) van wiskunde A en draait om het zelfstandig verwerken van data met de grafische rekenmachine of een spreadsheet: kengetallen berekenen, diagrammen maken, verbanden onderzoeken en kansen bij de normale verdeling bepalen. De nadruk ligt op de ICT-vaardigheden zelf, en die zijn met name schoolexamenstof — de onderliggende statistische begrippen komen ook in het centraal examen terug. Je leert de uitkomsten van ICT niet klakkeloos overnemen, maar kritisch controleren en interpreteren.

4 Onderdelen~24 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

T·141414 / 14

Examenprofiel

Een dataset invoeren in een grafische rekenmachine of spreadsheet en de kengetallen (gemiddelde, standaardafwijking, kwartielen, aantal) met een statistiekfunctie laten berekenen.Met ICT passende diagrammen maken (histogram, boxplot, spreidingsdiagram) en de venster- en klasse-instellingen onderbouwd kiezen, aflezen en interpreteren.Met ICT de samenhang tussen twee variabelen onderzoeken (trendlijn, correlatie) en percentages, kansen en grenswaarden bij de normale verdeling bepalen.Beseffen dat het werken met ICT bij statistiek met name schoolexamenstof is — vaardigheden met de grafische rekenmachine of spreadsheet — terwijl de statistische begrippen zelf ook in het centraal examen terugkomen.

Operatoren:berekenonderzoekmaakinterpreteerbeoordeel

basisniveau

Voor het CE: begrijp en interpreteer de statistische begrippen zelf — gemiddelde, standaardafwijking, diagrammen lezen en de normale verdeling — die ook zonder ICT-nadruk worden getoetst.

verhoogd niveau

Voor het SE: voer de ICT-handelingen op (grote) datasets zelfstandig uit — kengetallen, diagrammen, trendlijn en correlatie, en normale-verdelingskansen met grafische rekenmachine of spreadsheet — wat met name schoolexamenstof is.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Statistiek met ICT (schoolexamen)

Data invoeren en samenvatten met kengetallen#

Basisexamenblad-nl

Kengetallen via 1-Var Stats

Afb. 1De uitvoer van de statistiekfunctie voor de cijfers 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9: het gemiddelde 6,5 ligt netjes tussen minimum 4 en maximum 9, en de kleine standaardafwijking 1,5 past bij cijfers die dicht bij elkaar liggen.

Statistiek met ICT begint bij het netjes invoeren van de data. Op de grafische rekenmachine zet je de waarnemingen in een lijst (bijvoorbeeld in L1), in een spreadsheet in één kolom. Het lijkt een formaliteit, maar het is de kern van dit onderwerp: zodra de getallen er eenmaal goed in staan, neemt de machine al het rekenwerk over. Juist bij grote datasets — tientallen of honderden waarden — is met de hand een gemiddelde of standaardafwijking uitrekenen onbegonnen werk en foutgevoelig. Door de data één keer zorgvuldig in te voeren, kun je daarna met één opdracht alle kengetallen opvragen en houd je tijd over om na te denken over wat de getallen betekenen. Werken met ICT bij statistiek is vooral schoolexamenstof: de nadruk ligt op de handelingen met de grafische rekenmachine of spreadsheet.

De belangrijkste opdracht heet op veel grafische rekenmachines „1-Var Stats” (statistiek van één variabele). Wijs je de lijst aan, dan rekent de machine in één keer een rij kengetallen uit. De belangrijkste zijn het gemiddelde

\overline{x}

, de standaardafwijking

\sigma

, het aantal waarnemingen

n

en de vijfgetallensamenvatting: het minimum, het eerste kwartiel Q1, de mediaan, het derde kwartiel Q3 en het maximum. Het gemiddelde is een centrummaat — het „zwaartepunt” van de data — en de standaardafwijking is een spreidingsmaat die aangeeft hoe ver de waarden gemiddeld van dat zwaartepunt liggen. In een spreadsheet vraag je dezelfde getallen op met losse functies, zoals een gemiddelde-functie en een functie voor de standaardafwijking. Met deze ene opdracht heb je dus meteen het hele statistische profiel van de dataset in beeld.

Op het scherm verschijnen twee standaardafwijkingen, en daar gaat het vaak mis. De ene, meestal

\sigma_x

genoteerd, deelt de gekwadrateerde afwijkingen door

n

; de andere,

S_x

, deelt door

n-1

. De eerste is de standaardafwijking van de hele groep (de populatie), de tweede een schatting op basis van een steekproef. Voor HAVO wiskunde A gebruik je vrijwel altijd de populatie-standaardafwijking

\sigma_x

. Bij de voorbeelddataset hieronder is

\sigma_x = 1{,}5

, terwijl

S_x \approx 1{,}6

; wie de verkeerde kolom afleest, krijgt een klein maar telbaar verschil en daarmee een fout antwoord. Onthoud daarom: de standaardafwijking

\sigma

is die met het Griekse symbool, niet de

S

ICT geeft altijd een antwoord, ook als je je vergist hebt. Daarom hoort bij elke berekening een kritische controle. Vraag je af of het gemiddelde tussen het minimum en het maximum ligt — dat moet — en of het ruwweg in het midden van je getallen valt. Typ je per ongeluk 77 in plaats van 7, dan schiet het gemiddelde omhoog en valt het buiten het bereik van de meeste waarden; dat is je signaal dat er een invoerfout in zit. Een tweede controle is de standaardafwijking: liggen de waarden dicht bij elkaar, dan hoort

\sigma

klein te zijn, en bij grote spreiding juist groot. Door zo'n schatting vooraf in je hoofd te maken, vang je tikfouten en een verkeerd aangewezen lijst op vóórdat ze je antwoord bederven.

De vijfgetallensamenvatting verdient aparte aandacht, want die vat de verdeling samen in vijf herkenningspunten. Het minimum en maximum geven het bereik (de spreidingsbreedte), en de drie kwartielen verdelen de data in vier even grote groepen van elk ongeveer een kwart van de waarnemingen. Tussen Q1 en Q3 zit de „middelste helft” van de data; het verschil

Q3 - Q1

heet de kwartielafstand en is een spreidingsmaat die ongevoelig is voor uitschieters. De grafische rekenmachine geeft deze vijf getallen kant-en-klaar, en je gebruikt ze direct om een boxplot te tekenen — het diagram waarmee de volgende paragraaf begint. Zo loopt het invoeren-en-samenvatten van deze paragraaf naadloos over in het maken van diagrammen.

\overline{x} = \frac{\sum x}{n}

gemiddelde

Het gemiddelde is de som van alle waarden gedeeld door het aantal waarden $n$ . De grafische rekenmachine of spreadsheet berekent dit met één opdracht.

\sigma = \sqrt{\frac{\sum \left(x - \overline{x}\right)^2}{n}}

standaardafwijking (populatie)

De standaardafwijking $\sigma$ meet de gemiddelde afstand van de waarden tot het gemiddelde; de grafische rekenmachine toont deze als $\sigma_x$ (delen door $n$ ), niet als $S_x$ (delen door $n-1$ ).

Uitgewerkt voorbeeld

Gemiddelde en standaardafwijking met ICT bepalen

De cijfers van 8 leerlingen op een toets zijn: 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9. Bepaal met je grafische rekenmachine of spreadsheet het gemiddelde en de standaardafwijking $\sigma$ , en geef de vijfgetallensamenvatting. Controleer je antwoord.

Stap 1 — Data invoeren
Typ de acht cijfers in één lijst van de grafische rekenmachine (bijvoorbeeld in L1) of in één kolom van een spreadsheet. Controleer dat je precies 8 getallen hebt ingevoerd en niets dubbel of verkeerd staat.
Stap 2 — De statistiekfunctie uitvoeren
Kies de functie voor 1-variabele-statistiek (vaak „1-Var Stats”) en wijs de lijst aan. In een spreadsheet gebruik je een gemiddelde-functie voor $\overline{x}$ en de functie voor de populatie-standaardafwijking voor $\sigma$ .
Stap 3 — Kengetallen aflezen
De rekenmachine toont $\overline{x} = 6{,}5$ , de populatie-standaardafwijking $\sigma_x = 1{,}5$ (gebruik níét $S_x \approx 1{,}6$ ) en $n = 8$ . De vijfgetallensamenvatting is: minimum 4, Q1 = 5,5, mediaan 6,5, Q3 = 7,5, maximum 9.
$\overline{x} = \frac{4+5+6+6+7+7+8+9}{8} = \frac{52}{8} = 6{,}5$
Stap 4 — Controleren
Reken een ruwe controle: het gemiddelde 6,5 ligt netjes tussen 4 en 9, dus dat is plausibel. De som van de gekwadrateerde afwijkingen tot het gemiddelde is 18, dus de standaardafwijking is de wortel van 18 gedeeld door 8. Dat geeft 1,5, gelijk aan wat de rekenmachine toont.
$\sigma = \sqrt{\frac{18}{8}} = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5$

Resultaat: Het gemiddelde is $\overline{x} = 6{,}5$ en de standaardafwijking is $\sigma = 1{,}5$ . De vijfgetallensamenvatting is 4 — 5,5 — 6,5 — 7,5 — 9. De handcontrole (som 52 gedeeld door 8 is 6,5; wortel van 2,25 is 1,5) bevestigt de uitkomst van de ICT.

Veelgemaakte fouten

$S_x$ (steekproef, deelt door $n-1$ ) aflezen terwijl voor HAVO wiskunde A de populatie-standaardafwijking $\sigma_x$ (deelt door $n$ ) bedoeld is.
Een typefout bij het invoeren (bijvoorbeeld 77 in plaats van 7) niet opmerken; controleer altijd of het gemiddelde tussen het minimum en het maximum ligt en of het aantal $n$ klopt.

Actieve herhaling

Een trainer noteert de 100-meter-tijden (in seconden) van twaalf sprinters: 12,5 13,0 12,8 13,2 12,9 13,5 12,7 13,1 12,6 13,3 12,8 13,0. Voer de tijden in je grafische rekenmachine of spreadsheet in, bereken het gemiddelde en de standaardafwijking $\sigma$ , en geef de vijfgetallensamenvatting. Leg uit hoe je controleert of je geen invoerfout hebt gemaakt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Diagrammen maken met ICT#

Standaardexamenblad-nl

Histogram reistijd

Afb. 2Reistijd naar school (minuten) van 40 leerlingen met klassenbreedte 10. De modale klasse is 20–30 minuten (12 leerlingen, 30%) en de verdeling is rechtsscheef.

Met de data eenmaal ingevoerd maakt ICT in een handomdraai een diagram, maar je moet wel het juiste type kiezen. Voor de verdeling van één numerieke variabele gebruik je een histogram: de waarden worden in klassen (intervallen) verdeeld en de hoogte van elke balk geeft de frequentie van die klasse. Voor een compacte samenvatting van de spreiding gebruik je een boxplot, die de vijfgetallensamenvatting uit de vorige paragraaf in beeld brengt. Een staafdiagram ten slotte hoort bij categorische gegevens, waar de balken losse categorieën tellen en níét aan elkaar grenzen. De keuze voor het juiste diagram is een examenvaardigheid op zich: laat het soort data en je onderzoeksvraag bepalen welk beeld je maakt.

Bij een histogram is de klassenbreedte de beslissende instelling. Op de grafische rekenmachine bepaal je die via het venster: de stapgrootte op de horizontale as legt vast hoe breed elke balk is. Kies je die te groot, dan vallen verschillende waarden in dezelfde brede balk en verdwijnt het detail; kies je hem te klein, dan wordt het histogram rafelig en zie je door de bomen het bos niet meer. Een vuistregel is om de breedte zó te kiezen dat je ongeveer vijf tot tien klassen overhoudt. Belangrijk is dat alle klassen even breed zijn en aaneengesloten — de bovengrens van de ene klasse is de ondergrens van de volgende — zodat de balken zonder gaten tegen elkaar aan staan en het oppervlak een eerlijk beeld van de verdeling geeft.

Een histogram lees je af op vorm. Ligt de piek in het midden en lopen de balken naar beide kanten ongeveer gelijk af, dan is de verdeling symmetrisch. Loopt er een lange staart naar rechts (naar de hoge waarden), dan heet de verdeling rechtsscheef; een staart naar links maakt hem linksscheef. De hoogste balk hoort bij de modale klasse, de klasse met de meeste waarnemingen. Ook uitschieters — losse balkjes ver van de rest — vallen meteen op. Door bovendien met de relatieve frequentie te werken (de frequentie gedeeld door het totaal) kun je uitspraken doen als „30% van de leerlingen reist tussen 20 en 30 minuten”, wat vaak precies is wat een examenvraag wil horen.

De boxplot is het tweede diagram dat ICT moeiteloos voor je tekent, rechtstreeks uit de vijfgetallensamenvatting. De „doos” loopt van Q1 tot Q3 en bevat de middelste helft van de data; de streep in de doos is de mediaan en de „snorharen” reiken tot het minimum en maximum (of tot de uitschietergrenzen). De grote kracht van de boxplot is vergelijken: zet je twee boxplots onder elkaar op dezelfde as, dan zie je in één oogopslag welke groep hoger ligt (mediaan) en welke meer spreiding heeft (langere doos of snorharen). Daarom vraagt het schoolexamen vaak om twee datasets met boxplots te vergelijken en de verschillen in centrum en spreiding te beschrijven. Een histogram toont de fijne vorm van één verdeling; een boxplot vat samen en vergelijkt.

Een diagram met ICT is alleen zo goed als de instellingen die je kiest, en daar moet je verantwoording over kunnen afleggen. Naast de klassenbreedte bepaal je het venster: de horizontale as moet van net onder het minimum tot net boven het maximum lopen, en de verticale as hoog genoeg om de hoogste balk (of de hele boxplot) te laten passen. Staat het venster te krap, dan valt een deel van het diagram buiten beeld en trek je verkeerde conclusies. Op het schoolexamen wordt verwacht dat je je instellingen expliciet benoemt — klassenbreedte en vensterbereik — zodat een ander je diagram kan reproduceren. Het zelf maken én verantwoorden van een passend diagram is precies de ICT-vaardigheid die hier wordt getoetst.

\text{relatieve frequentie} = \frac{\text{frequentie}}{n}

relatieve frequentie

De relatieve frequentie van een klasse is het deel van alle waarnemingen in die klasse; vermenigvuldig met 100 voor een percentage.

Uitgewerkt voorbeeld

Een histogram maken met ICT

Van 40 leerlingen is de reistijd naar school (in minuten) geturfd in klassen van 10 minuten breed: [0,10): 4, [10,20): 9, [20,30): 12, [30,40): 8, [40,50): 5, [50,60): 2. Maak met ICT een histogram, benoem je instellingen en interpreteer de verdeling.

Stap 1 — Data invoeren
Voer de gegevens in. Heb je de losse meetwaarden, typ ze dan in één lijst. Heb je alleen de frequentietabel, voer dan de klassenmidden 5, 15, 25, 35, 45, 55 in één lijst in en de bijbehorende frequenties 4, 9, 12, 8, 5, 2 in een tweede lijst (de frequentielijst).
Stap 2 — Histogram en klassenbreedte instellen
Kies bij de statistische plots het histogram. Stel het venster in: de horizontale as van 0 tot 60 met een stapgrootte van 10 — die stapgrootte bepaalt de klassenbreedte. Zet de verticale as van 0 tot ongeveer 13, zodat de hoogste balk past.
Stap 3 — Aflezen en controleren
Teken het histogram en loop de balken langs (bijvoorbeeld met de trace-functie) om de frequenties te controleren: 4, 9, 12, 8, 5, 2 — samen 40, gelijk aan het aantal leerlingen. De hoogste balk hoort bij de klasse van 20 tot 30 minuten.
$\text{relatieve frequentie} = \frac{12}{40} = 0{,}30 = 30\%$
Stap 4 — Interpreteren
De modale klasse is 20–30 minuten (12 leerlingen, 30%). Er zijn weinig leerlingen met een lange reistijd, dus de staart loopt naar de hoge waarden: de verdeling is rechtsscheef. De meeste leerlingen reizen tussen 10 en 40 minuten.

Resultaat: Het histogram heeft een klassenbreedte van 10 minuten, een modale klasse van 20–30 minuten en een rechtsscheve vorm. De som van de frequenties is 40, gelijk aan het aantal leerlingen, en de relatieve frequentie van de modale klasse is 30%.

Veelgemaakte fouten

Klassen met gaten of overlap kiezen; de klassen moeten aaneengesloten zijn en even breed, anders vertekent het histogram het beeld.
Een boxplot en een histogram verwarren: een boxplot toont de vijfgetallensamenvatting, een histogram de frequenties per klasse.

Actieve herhaling

Bij een enquête is van 50 leerlingen het aantal uren slaap per nacht geturfd in klassen: [5,6): 3, [6,7): 8, [7,8): 18, [8,9): 15, [9,10): 6. Maak met ICT een histogram, benoem de klassenbreedte en je vensterinstellingen, en interpreteer de vorm van de verdeling.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Verbanden onderzoeken: spreidingsdiagram, trendlijn en correlatie#

Standaardexamenblad-nl

Spreidingsdiagram met trendlijn

Afb. 3Leeruren (x) tegen cijfer (y) van 8 leerlingen met de door ICT berekende regressielijn; de punten lopen strak op, wat past bij een sterk positief verband (r ≈ 0,99).

Tot nu toe keken we naar één variabele; nu onderzoeken we de samenhang tussen twéé variabelen, bijvoorbeeld het aantal leeruren en het behaalde cijfer. Van elke leerling heb je dan een paar getallen

(x, y)

, en dat paar teken je als één punt in een assenstelsel. Alle punten samen vormen een spreidingsdiagram of puntenwolk. ICT maakt die wolk direct uit twee lijsten: de ene variabele in L1, de andere in L2. De vorm van de wolk is je eerste, belangrijkste informatie: hangen de twee variabelen samen, en zo ja, hoe?

In de puntenwolk lees je de richting en de sterkte van de samenhang af. Lopen de punten van linksonder naar rechtsboven, dan is er een positief verband: bij een grotere

x

hoort gemiddeld een grotere

y

. Lopen ze van linksboven naar rechtsonder, dan is het verband negatief. Liggen de punten als een schot hagel zonder richting, dan is er geen lineair verband. De sterkte zie je aan hoe dicht de punten bij een denkbeeldige rechte lijn liggen: een strakke band wijst op een sterk verband, een brede wolk op een zwak verband. Deze visuele indruk maak je daarna precies met een trendlijn en een getal.

De trendlijn of regressielijn is de rechte lijn die het best door de puntenwolk loopt, en ICT berekent hem met de kleinste-kwadratenmethode. Je vraagt de lineaire regressie op (vaak „LinReg(ax+b)”) en krijgt de vergelijking

y = a\cdot x + b

terug. De helling

a

vertelt hoeveel

y

gemiddeld verandert als

x

met één toeneemt; het getal

b

is de waarde van

y

waar de lijn de verticale as snijdt. Met die lijn kun je voorspellen: vul een

x

in en lees de bijbehorende

y

af. Pas wel op met extrapoleren — voorspellen ver buiten het bereik van je data — want daar hoeft het gevonden verband helemaal niet meer te gelden.

Hoe sterk de samenhang is, vat ICT samen in de correlatiecoëfficiënt

r

, een getal tussen

-1

1

. Ligt

r

dicht bij

1

, dan is er een sterk positief lineair verband en liggen de punten bijna op een stijgende lijn; dicht bij

-1

betekent een sterk negatief verband; rond

0

is er nauwelijks lineair verband. Een waarde als

r \approx 0{,}99

wijst dus op een heel strakke positieve band. Op sommige rekenmachines moet je eerst de „diagnostics” aanzetten voordat

r

wordt getoond. Let op dat

r

alléén lineaire samenhang meet: een duidelijk krom verband kan een lage

r

geven terwijl er wel degelijk een sterk, maar niet-recht, verband is.

Een sterke correlatie is nog geen bewijs van een oorzaak: correlatie is geen causaliteit. Juist omdat ICT zo makkelijk een trendlijn en een mooie

r

oplevert, is hier een kritisch oordeel onmisbaar. Een hoge

r

kan ontstaan doordat een derde, meespelende variabele beide grootheden tegelijk beïnvloedt — denk aan de warme zomerdagen waarop zowel de ijsverkoop als het aantal verdrinkingen oploopt. Op het schoolexamen wordt verwacht dat je de uitkomst van ICT voorzichtig interpreteert: je beschrijft de gevonden samenhang en de sterkte ervan, maar trekt geen oorzakelijke conclusie zonder verder bewijs. Het rekenwerk doet de machine; het oordeel blijft aan jou.

y = a\cdot x + b

regressielijn

De regressielijn vat de samenhang samen: $a$ is de helling (de verandering in $y$ per eenheid $x$ ) en $b$ het snijpunt met de verticale as. ICT bepaalt $a$ en $b$ met de kleinste-kwadratenmethode.

-1 \le r \le 1

correlatiecoëfficiënt

De correlatiecoëfficiënt $r$ geeft richting en sterkte van een lineair verband: dicht bij $1$ sterk positief, dicht bij $-1$ sterk negatief, rond $0$ geen lineair verband.

Uitgewerkt voorbeeld

Samenhang onderzoeken met een spreidingsdiagram en trendlijn

Van 8 leerlingen zijn het aantal uren dat ze voor een toets leerden (x) en hun cijfer (y) genoteerd: (1, 4), (2, 5), (3, 5), (4, 6), (5, 7), (6, 7), (7, 8), (8, 9). Onderzoek met ICT de samenhang: maak een spreidingsdiagram, bepaal de regressielijn en de correlatiecoëfficiënt, en beoordeel de uitkomst.

Stap 1 — Data invoeren en de puntenwolk maken
Voer de uren in lijst L1 in en de cijfers in lijst L2. Kies de spreidingsdiagram-plot en stel een passend venster in. Je ziet een puntenwolk die van linksonder naar rechtsboven loopt: een positief verband.
Stap 2 — De regressielijn bepalen
Kies de lineaire regressie (vaak „LinReg(ax+b)”). De rekenmachine geeft $a \approx 0{,}68$ en $b \approx 3{,}32$ , dus de trendlijn is $y \approx 0{,}68x + 3{,}32$ .
$y \approx 0{,}68\cdot x + 3{,}32$
Stap 3 — De correlatie aflezen
Bij de regressie toont de rekenmachine de correlatiecoëfficiënt $r \approx 0{,}99$ (zet zo nodig eerst de „diagnostics” aan). Omdat $r$ heel dicht bij $1$ ligt, is er een sterk positief lineair verband.
Stap 4 — Beoordelen
De helling 0,68 betekent dat elk extra uur leren samengaat met gemiddeld ongeveer 0,7 punt hoger cijfer — bínnen het bereik van de data. Maar een sterke correlatie bewijst geen oorzaak: misschien zijn gemotiveerde leerlingen die meer leren ook om andere redenen beter. Trek dus geen causale conclusie en extrapoleer niet ver buiten 1 tot 8 uur.

Resultaat: Er is een sterk positief lineair verband ( $r \approx 0{,}99$ ) met regressielijn $y \approx 0{,}68x + 3{,}32$ . Meer leeruren gaan samen met hogere cijfers, maar daaruit volgt geen oorzakelijk verband: dat zou je alleen met aanvullend onderzoek mogen concluderen.

Veelgemaakte fouten

Uit een sterke correlatie concluderen dat de ene variabele de andere veroorzaakt; een hoge $r$ toont samenhang, geen oorzaak (denk aan een meespelende derde variabele).
De regressielijn ver buiten het bereik van de data gebruiken (extrapoleren) en die voorspelling als betrouwbaar presenteren.

Actieve herhaling

Van tien dagen zijn de gemiddelde temperatuur (°C) en het aantal verkochte ijsjes bij een kiosk genoteerd. Maak met ICT een spreidingsdiagram, bepaal de regressielijn en de correlatiecoëfficiënt, en onderzoek de samenhang. Beoordeel of je hieruit mag concluderen dat warmer weer de ijsverkoop veroorzaakt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De normale verdeling met ICT#

Standaardexamenblad-nl

Normale verdeling - 68%-interval

Afb. 4Het gearceerde gebied tussen μ − σ en μ + σ (in het voorbeeld 995 tot 1005 ml) beslaat ongeveer 68% van de oppervlakte onder de klok.

Veel grootheden in de praktijk — lengtes, gewichten, meetfouten, de inhoud van pakken — volgen bij benadering een normale verdeling: een symmetrische klokvorm rond het gemiddelde. De verdeling wordt volledig vastgelegd door twee getallen: het gemiddelde

\mu

, dat het midden (de top van de klok) bepaalt, en de standaardafwijking

\sigma

, die bepaalt hoe breed de klok is. Een kleine

\sigma

geeft een smalle, hoge piek (de waarden liggen dicht bij het gemiddelde), een grote

\sigma

een brede, lage klok. De oppervlakte onder de hele kromme is 1 (oftewel 100%), en een oppervlakte onder een deel van de kromme komt overeen met de kans, of het percentage, dat een waarde in dat gebied valt. Met die laatste gedachte rekent ICT.

Om het percentage of de kans tussen twee grenzen te bepalen, gebruik je de functie normalcdf. Je voert vier dingen in: de ondergrens, de bovengrens, het gemiddelde

\mu

en de standaardafwijking

\sigma

. De functie geeft de oppervlakte onder de klok tussen die twee grenzen, en dat is precies de kans dat een waarneming daartussen ligt. Wil je een staart berekenen — bijvoorbeeld de kans dat een waarde kleiner is dan een grens — gebruik dan een heel grote of heel kleine getalswaarde voor de ontbrekende grens, bijvoorbeeld

-10^{99}

voor „min oneindig”. In een spreadsheet doe je hetzelfde door twee cumulatieve normale waarden van elkaar af te trekken: het deel onder de bovengrens min het deel onder de ondergrens.

Soms is de vraag andersom: niet „welk percentage hoort bij deze grens?”, maar „welke grens hoort bij dit percentage?”. Daarvoor is er invNorm, de inverse. Je voert het gewenste deel in (de oppervlakte links van de grens, als getal tussen 0 en 1), samen met

\mu

\sigma

, en de functie geeft de bijbehorende grenswaarde

x

terug. Zo bepaal je bijvoorbeeld het gewicht waaronder de lichtste 10% valt, of de grens waarboven de beste 5% presteert. Het is dus het natuurlijke gereedschap voor percentielen en voor normgrenzen. Onthoud het verschil scherp: normalcdf gaat van een grens naar een oppervlakte, invNorm van een oppervlakte naar een grens.

Voor een snelle schatting en als controle op je ICT-uitkomst gebruik je de vuistregels van de normale verdeling. Ongeveer 68% van de waarden ligt binnen één standaardafwijking van het gemiddelde, dus tussen

\mu - \sigma

\mu + \sigma

; ongeveer 95% ligt binnen twee standaardafwijkingen en ongeveer 99,7% binnen drie. Vraagt een opgave naar het percentage tussen

\mu - \sigma

\mu + \sigma

, dan weet je zonder rekenmachine al dat het antwoord rond de 68% moet liggen — geeft je normalcdf iets heel anders, dan heb je waarschijnlijk de grenzen of

\mu

\sigma

verkeerd ingevoerd. Deze vuistregels maken je niet alleen sneller, ze beschermen je ook tegen invoerfouten, net als de controles uit de eerste paragraaf.

ICT kan de normale verdeling ook nabootsen met een simulatie: laat de rekenmachine of spreadsheet een groot aantal toevalsgetallen uit een normale verdeling trekken, maak er een histogram van en tel hoeveel er binnen één of twee standaardafwijkingen vallen. Je ziet dan de vuistregels van 68% en 95% empirisch terugkomen, wat het begrip versterkt. Een tweede hulpmiddel is de z-score, die elke waarde herleidt tot „hoeveel standaardafwijkingen van het gemiddelde”:

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

. Met de z-score reken je elke normale verdeling om naar de standaardnormale verdeling met

\mu = 0

\sigma = 1

, waardoor je vuistregels en tabellen universeel kunt gebruiken. Of je nu simuleert, standaardiseert of direct normalcdf gebruikt: het draait steeds om dezelfde oppervlakte onder de klok.

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

z-score (standaardiseren)

De z-score zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde $x$ van het gemiddelde $\mu$ af ligt; hiermee herleid je elke normale verdeling tot de standaardnormale verdeling met $\mu = 0$ en $\sigma = 1$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Een percentage bij de normale verdeling bepalen met ICT

De inhoud van pakken vruchtensap is normaal verdeeld met gemiddelde $\mu = 1000$ ml en standaardafwijking $\sigma = 5$ ml. Bereken met ICT (normalcdf) welk percentage van de pakken tussen 995 ml en 1005 ml bevat, en controleer je antwoord met de 68%-vuistregel.

Stap 1 — Gegevens noteren
Noteer $\mu = 1000$ , $\sigma = 5$ , de ondergrens 995 ml en de bovengrens 1005 ml. Je zoekt de oppervlakte onder de klok tussen die twee grenzen.
Stap 2 — normalcdf gebruiken
Roep de functie normalcdf aan met de ondergrens, de bovengrens, het gemiddelde en de standaardafwijking: normalcdf(995, 1005, 1000, 5). In een spreadsheet trek je twee cumulatieve normale waarden af: het deel onder 1005 min het deel onder 995.
Stap 3 — De uitkomst aflezen
De ICT geeft ongeveer 0,6827. Dat is een kans, dus vermenigvuldig met 100: ongeveer 68,3% van de pakken bevat tussen 995 en 1005 ml.
Stap 4 — Controleren met de vuistregel
De grenzen 995 en 1005 zijn precies $\mu - \sigma$ en $\mu + \sigma$ (want 1000 − 5 = 995 en 1000 + 5 = 1005). De vuistregel zegt dat ongeveer 68% van de waarden binnen één standaardafwijking van het gemiddelde ligt. De 68,3% van de ICT klopt dus met de vuistregel.
$995 = \mu - \sigma \quad\text{en}\quad 1005 = \mu + \sigma$

Resultaat: Ongeveer 68% (preciezer 68,3%) van de pakken bevat tussen 995 ml en 1005 ml. Omdat dit precies het interval $\mu \pm \sigma$ is, bevestigt de 68%-vuistregel de ICT-uitkomst.

Veelgemaakte fouten

Bij normalcdf de ondergrens en bovengrens verwisselen, of $\mu$ en $\sigma$ in de verkeerde volgorde invoeren.
invNorm (van oppervlakte naar grens) en normalcdf (van grens naar oppervlakte) door elkaar halen.

Actieve herhaling

De inhoud van flessen frisdrank is normaal verdeeld met $\mu = 500$ ml en $\sigma = 4$ ml. Bereken met ICT welk percentage van de flessen minder dan 494 ml bevat, en bepaal met invNorm de inhoud waaronder de 10% minst gevulde flessen vallen. Controleer je eerste antwoord met de vuistregels.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde A (HAVO)

Statistiek met ICT (schoolexamen)

4 Onderdelen~24 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

Statistiek met ICT (schoolexamen)

Kernpunten

Gemiddelde en standaardafwijking met ICT bepalen

Kernpunten

Een histogram maken met ICT

Kernpunten

Samenhang onderzoeken met een spreidingsdiagram en trendlijn

Kernpunten

Een percentage bij de normale verdeling bepalen met ICT

Bronnen

Statistiek met ICT (schoolexamen)

Kernpunten

Gemiddelde en standaardafwijking met ICT bepalen

Kernpunten

Een histogram maken met ICT

Kernpunten

Samenhang onderzoeken met een spreidingsdiagram en trendlijn

Kernpunten

Een percentage bij de normale verdeling bepalen met ICT

Bronnen