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Numeri complessi

I numeri complessi ampliano l'insieme dei numeri reali introducendo l'unità immaginaria « i », definita dalla relazione i² = −1, e rendono risolubile ogni equazione algebrica. Studieremo la forma algebrica, la rappresentazione nel piano di Argand-Gauss e le forme trigonometrica ed esponenziale, fino alla formula di De Moivre, alle radici n-esime e al teorema fondamentale dell'algebra. È un argomento valutabile all'Esame di Stato, soprattutto nei quesiti della seconda prova e nel colloquio del Liceo Scientifico.

4 sezioni~19 min di lettura3 competenzeLivello Base 1 · Standard 1 · Approfondimento 2Verificato · 07/2026

T·131313 / 16

Profilo d’esame

Operare con i numeri complessi nelle diverse forme di rappresentazione (algebrica, trigonometrica ed esponenziale)Interpretare geometricamente le operazioni nel piano complesso (somma come traslazione, prodotto come rotazione-omotetia)Risolvere equazioni nel campo complesso, comprese le radici n-esime, alla luce del teorema fondamentale dell'algebra

Operatori:calcoladeterminadimostrarappresentainterpretarisolvigiustifica

livello base

Per tutti gli indirizzi: padroneggiare la forma algebrica, le operazioni fondamentali e la rappresentazione nel piano di Gauss, con il modulo e il coniugato.

livello avanzato

Per il Liceo Scientifico e l'opzione Scienze Applicate: forma trigonometrica ed esponenziale, formula di De Moivre, radici n-esime e collegamento con il teorema fondamentale dell'algebra, anche in contesti di seconda prova.

Profondità

Testo

Contenuti · 4 sezioni

Numeri complessi

Definizione e forma algebrica#

BaseOSA-matematica-aritmetica-e-algebra: definizione dei numeri complessi; forma algebrica

Numero complesso, coniugato e modulo nel piano

I numeri complessi nascono dall'esigenza di rendere risolubile l'equazione x² + 1 = 0, che nel campo reale non ha soluzioni: si introduce allora l'unità immaginaria « i », definita dalla proprietà fondamentale i² = −1. Un numero complesso si scrive in forma algebrica come z = a + bi, dove a e b sono numeri reali: a si chiama parte reale e si indica con Re(z), mentre b è la parte immaginaria, Im(z). L'insieme di tutti questi numeri si denota con « C » e contiene i reali come caso particolare (b = 0).

Due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria: a + bi = c + di equivale a richiedere contemporaneamente a = c e b = d. Questa condizione, detta principio di identità, è lo strumento che permette di trasformare un'unica equazione complessa in un sistema di due equazioni reali, tecnica usatissima negli esercizi. Un numero con parte reale nulla (z = bi) si dice immaginario puro; con parte immaginaria nulla è semplicemente reale.

Le operazioni si eseguono trattando « i » come un simbolo letterale e sostituendo i² = −1 ogni volta che compare. La somma e la differenza agiscono separatamente su parti reali e immaginarie: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. Il prodotto si ottiene con la proprietà distributiva: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i, dove il termine −bd nasce proprio da bi · di = bd·i² = −bd.

A ogni numero z = a + bi si associa il suo coniugato z̄ = a − bi, ottenuto cambiando segno alla parte immaginaria, e il suo modulo |z| = √(a² + b²), che misura la « grandezza » del numero. Il prodotto di un numero per il suo coniugato è sempre reale e non negativo: z · z̄ = a² + b² = |z|². Questa identità è la chiave della divisione: per calcolare z/w si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore, così da renderlo reale (« razionalizzazione » del denominatore complesso).

i^2 = -1

Unità immaginaria

Proprietà fondamentale che definisce « i » e da cui discendono tutte le regole di calcolo.

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

Prodotto

Si applica la distributiva e si sostituisce i^2 = -1; il termine -bd proviene da bi \cdot di.

\frac{z}{w} = \frac{z \cdot \bar{w}}{w \cdot \bar{w}} = \frac{z \cdot \bar{w}}{|w|^2}

Divisione

Moltiplicando per il coniugato del denominatore si ottiene un denominatore reale.

z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2

Modulo e coniugato

Il prodotto di un numero per il suo coniugato è il quadrato del modulo, sempre reale e non negativo.

Esempio svolto

Quoziente in forma algebrica

Calcola il quoziente (3 + 2i)/(1 − 4i) ed esprimi il risultato nella forma a + bi.

Moltiplica per il coniugato del denominatore
Il coniugato di 1 − 4i è 1 + 4i. Si moltiplicano numeratore e denominatore.
Sviluppa il denominatore
Si usa z \cdot \bar{z} = |z|^2 con a = 1, b = -4.
Sviluppa il numeratore
Con la distributiva e i^2 = -1: 3 + 12i + 2i + 8i^2 = 3 + 14i - 8 = -5 + 14i.
Scrivi la forma algebrica
Si divide ciascuna parte per 17.

Risultato: Il quoziente vale −5/17 + (14/17)i.

Errori frequenti

Scrivere √(−4) = ±2i in modo incontrollato: in C la radice non è una funzione a un solo valore; meglio risolvere x² = −4 ottenendo le due soluzioni x = 2i e x = −2i, senza confondere i segni.
Dimenticare che i² = −1 nel prodotto e lasciare un termine come bd·i² non sostituito, perdendo il cambio di segno nella parte reale.

Approfondimento

Sul piano rigoroso, i numeri complessi si costruiscono senza inventare un simbolo misterioso: si definisce «ℂ» come l'insieme delle coppie ordinate di reali «(a, b)» dotato di due operazioni. La somma è componente per componente, «(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)»; il prodotto è «(a, b)·(c, d) = (ac − bd, ad + bc)». Con queste regole «(0, 1)·(0, 1) = (0·0 − 1·1, 0·1 + 1·0) = (−1, 0)»: la coppia «(0, 1)», che chiamiamo «i», ha per quadrato «(−1, 0)», cioè il reale «−1». Identificando «(a, 0)» con il reale «a» e scrivendo «(0, b) = b·i», ogni coppia si scrive nella familiare forma algebrica «a + bi», e le operazioni sopra definite si riottengono trattando «i» come simbolo con «i² = −1». Da questa costruzione seguono le proprietà del coniugato «z̄ = a − bi» e del modulo «|z| = √(a² + b²)»: il prodotto «z·z̄ = (a + bi)(a − bi) = a² − (bi)² = a² + b² = |z|²» è sempre reale e non negativo. È questa identità a fondare la divisione: «z/w = z·w̄/|w|²», che rende reale il denominatore moltiplicando per il coniugato, esattamente come la razionalizzazione trasforma «1/√2» in «√2/2».

Ripasso attivo

Dato z = 3 + 2i e w = 1 − 4i, calcola z + w, z · w e il quoziente z/w, esprimendo il risultato in forma algebrica a + bi.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Rappresentazione nel piano di Gauss#

StandardOSA-matematica-aritmetica-e-algebra: rappresentazione nel piano di Argand-Gauss; piano complesso

Somma di z e w con la regola del parallelogramma

Ogni numero complesso z = a + bi può essere rappresentato come un punto P di coordinate (a, b) in un piano cartesiano, detto piano di Argand-Gauss o piano complesso: l'asse delle ascisse è l'asse reale, quello delle ordinate è l'asse immaginario. Esiste quindi una corrispondenza biunivoca tra i numeri complessi e i punti del piano (o, equivalentemente, i vettori applicati nell'origine), e questo dà una veste geometrica concreta a tutte le operazioni algebriche.

La somma di due numeri complessi corrisponde alla somma dei vettori associati secondo la regola del parallelogramma: il vettore di z + w è la diagonale del parallelogramma costruito sui vettori di z e w. La differenza z − w è il vettore che va dall'estremo di w all'estremo di z. Questa lettura vettoriale rende immediata l'interpretazione di tante relazioni e collega i numeri complessi alla geometria del piano.

Il modulo |z| = √(a² + b²) è la distanza del punto P dall'origine, cioè la lunghezza del vettore; pertanto |z − w| rappresenta la distanza tra i due punti che rappresentano z e w. Da qui discende l'utilissima disuguaglianza triangolare |z + w| ≤ |z| + |w|, conseguenza diretta del fatto che un lato di un triangolo non supera la somma degli altri due.

Il coniugato z̄ è il simmetrico di z rispetto all'asse reale, mentre l'opposto −z è il simmetrico rispetto all'origine. La moltiplicazione per « i », come vedremo nella prossima sezione, corrisponde geometricamente a una rotazione di 90° in senso antiorario attorno all'origine: già a questo livello si intuisce che le operazioni complesse codificano trasformazioni geometriche del piano.

|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

Modulo

Distanza del punto (a, b) dall'origine, per il teorema di Pitagora.

|z_1 - z_2| = \sqrt{(a_1-a_2)^2 + (b_1-b_2)^2}

Distanza

Distanza tra i punti che rappresentano i due numeri complessi.

|z + w| \le |z| + |w|

Disuguaglianza triangolare

Un lato di un triangolo non supera la somma degli altri due.

Esempio svolto

Distanza tra due numeri complessi

Dati z = 2 + 3i e w = −1 + i, calcola la distanza |z − w| nel piano di Gauss.

Calcola la differenza
Si sottraggono parte reale e parte immaginaria.
Applica la formula del modulo
La distanza è il modulo della differenza.
Esegui il calcolo
3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13.

Risultato: La distanza tra i due punti è √13 ≈ 3.61.

Errori frequenti

Confondere gli assi, riportando la parte immaginaria sull'asse reale: ricordare sempre che a → ascissa, b → ordinata.
Scrivere il modulo come |z| = a + b oppure a² + b² dimenticando la radice: il modulo è √(a² + b²).

Approfondimento

La disuguaglianza triangolare «|z + w| ≤ |z| + |w|», geometricamente ovvia poiché un lato di un triangolo non supera la somma degli altri due, si dimostra con eleganza sfruttando modulo e coniugato. Si parte dal quadrato del modulo, che evita le radici: «|z + w|² = (z + w)(z̄ + w̄) = z z̄ + w w̄ + (z w̄ + z̄ w) = |z|² + |w|² + 2 Re(z w̄)», poiché «z w̄» e il suo coniugato «z̄ w» sommano al doppio della parte reale. Ora, per ogni numero complesso vale «Re(ζ) ≤ |ζ|», e «|z w̄| = |z||w̄| = |z||w|», dunque «2 Re(z w̄) ≤ 2|z||w|». Sostituendo, «|z + w|² ≤ |z|² + |w|² + 2|z||w| = (|z| + |w|)²»; estraendo la radice, i moduli sono non negativi, si ottiene «|z + w| ≤ |z| + |w|». L'uguaglianza vale quando «z» e «w» hanno lo stesso argomento, cioè quando i vettori sono allineati e concordi. Poiché «|z − w|» è la distanza tra i punti che rappresentano «z» e «w», questa disuguaglianza esprime rigorosamente che nel piano di Gauss la geometria dei numeri complessi coincide con la geometria euclidea usuale, e giustifica la lettura di «|z − z₀| = r» come circonferenza di centro «z₀» e raggio «r».

Ripasso attivo

Rappresenta nel piano di Gauss i numeri z = 2 + 3i e w = −1 + i, costruisci graficamente z + w e calcola la distanza |z − w|.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Forma trigonometrica ed esponenziale#

ApprofondimentoOSA-matematica-aritmetica-e-algebra: forma trigonometrica ed esponenziale; formula di Eulero; prodotto come rotazione

Modulo r e argomento θ nel piano complesso

Oltre alla forma algebrica, un numero complesso non nullo si descrive mediante le sue coordinate polari: il modulo r = |z| e l'argomento θ, cioè l'angolo che il vettore associato forma con il semiasse reale positivo. Si ottiene così la forma trigonometrica z = r(cos θ + i sin θ), dove a = r cos θ e b = r sin θ. L'argomento è definito a meno di multipli di 2π: l'argomento principale si sceglie convenzionalmente in (−π, π] oppure in [0, 2π).

Il vero vantaggio della forma trigonometrica emerge nella moltiplicazione: il prodotto di due numeri complessi ha per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti. In simboli, se z₁ = r₁(cos θ₁ + i sin θ₁) e z₂ = r₂(cos θ₂ + i sin θ₂), allora z₁z₂ = r₁r₂[cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)]. Geometricamente, moltiplicare per z₂ significa dilatare di un fattore r₂ e ruotare di un angolo θ₂: ecco perché moltiplicare per « i » (modulo 1, argomento 90°) è una rotazione di 90°.

Analogamente, nella divisione i moduli si dividono e gli argomenti si sottraggono. Queste regole rendono la forma trigonometrica lo strumento ideale per le potenze e le radici, dove la forma algebrica diventerebbe rapidamente ingestibile. La dimostrazione delle formule del prodotto si fonda sulle formule di addizione di seno e coseno (ripasso di goniometria).

La formula di Eulero, e^(iθ) = cos θ + i sin θ, condensa tutto in forma esponenziale: z = r·e^(iθ). Ne discende la celebre identità di Eulero e^(iπ) + 1 = 0, che lega cinque costanti fondamentali. La forma esponenziale rende trasparenti le regole sui prodotti e sulle potenze, perché si riducono alle proprietà delle potenze: e^(iθ₁)·e^(iθ₂) = e^(i(θ₁+θ₂)).

z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\,e^{i\theta}

Forme polari

Forma trigonometrica ed esponenziale con r = |z| e \theta = \arg(z).

z_1 z_2 = r_1 r_2\big[\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)\big]

Prodotto

I moduli si moltiplicano, gli argomenti si sommano: dilatazione e rotazione.

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

Formula di Eulero

Collega l'esponenziale complesso alle funzioni goniometriche.

e^{i\pi} + 1 = 0

Identità di Eulero

Caso particolare per \theta = \pi che lega e, i, \pi, 1 e 0.

Esempio svolto

Dalla forma algebrica alla forma trigonometrica

Scrivi z = −1 + i in forma trigonometrica ed esponenziale, indicando modulo e argomento principale.

Calcola il modulo
Con a = -1 e b = 1.
Individua il quadrante
a < 0 e b > 0: il punto sta nel secondo quadrante, quindi l'argomento è compreso tra \pi/2 e \pi.
Determina l'argomento
Poiché |a| = |b|, l'angolo di riferimento è \pi/4; nel secondo quadrante l'argomento principale è \pi - \pi/4.
Scrivi le forme polari
Si sostituiscono r e \theta nelle due forme.

Risultato: z = √2 (cos 3π/4 + i sin 3π/4) = √2 · e^(i·3π/4).

Errori frequenti

Determinare l'argomento con la sola tangente senza guardare il quadrante: arctan(b/a) va corretto sommando o sottraendo π quando il punto sta nel secondo o terzo quadrante.
Scrivere la forma trigonometrica come r·cos θ + i sin θ dimenticando la parentesi: il modulo r moltiplica entrambi i termini, cioè r(cos θ + i sin θ).

Approfondimento

La regola i moduli si moltiplicano, gli argomenti si sommano si dimostra con le formule di addizione della goniometria, e da essa nasce l'interpretazione del prodotto come rotazione. Siano «z₁ = r₁(cos θ₁ + i sin θ₁)» e «z₂ = r₂(cos θ₂ + i sin θ₂)». Moltiplicando e raccogliendo «r₁r₂»: «z₁z₂ = r₁r₂[(cos θ₁ cos θ₂ − sin θ₁ sin θ₂) + i(sin θ₁ cos θ₂ + cos θ₁ sin θ₂)]». Le due parentesi sono esattamente «cos(θ₁ + θ₂)» e «sin(θ₁ + θ₂)» per le formule di addizione, dunque «z₁z₂ = r₁r₂[cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)]». Moltiplicare per «z₂» significa quindi dilatare di «r₂» e ruotare di «θ₂»: in particolare moltiplicare per «i», di modulo 1 e argomento «π/2», è una rotazione di «90°». La forma esponenziale rende tutto trasparente: la formula di Eulero «e^(iθ) = cos θ + i sin θ», coerente con lo sviluppo in serie e con «d/dθ [cos θ + i sin θ] = i(cos θ + i sin θ)», trasforma il prodotto nella regola delle potenze «e^(iθ₁)·e^(iθ₂) = e^(i(θ₁+θ₂))». Da essa l'identità di Eulero «e^(iπ) + 1 = 0» lega le cinque costanti fondamentali «0, 1, e, i, π» in un'unica relazione.

Ripasso attivo

Scrivi z = −1 + i in forma trigonometrica ed esponenziale, determinando modulo e argomento principale.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

De Moivre, radici n-esime e teorema fondamentale dell'algebra#

ApprofondimentoOSA-matematica-aritmetica-e-algebra: formula di De Moivre; radici n-esime; teorema fondamentale dell'algebra (cenni)

Le tre radici cubiche di 8 sui vertici di un triangolo equilatero

Applicando ripetutamente la regola del prodotto in forma trigonometrica si ottiene la formula di De Moivre: per ogni intero n, [r(cos θ + i sin θ)]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Elevare a potenza un numero complesso significa dunque elevare il modulo alla n e moltiplicare l'argomento per n. La formula è uno strumento potentissimo: permette, tra l'altro, di ricavare le formule di duplicazione e triplicazione di seno e coseno confrontando parte reale e parte immaginaria.

La stessa idea, letta « al contrario », fornisce le radici n-esime. Un numero complesso w ≠ 0 di modulo ρ e argomento φ possiede esattamente n radici n-esime distinte: hanno tutte modulo la radice n-esima reale ρ^(1/n) e argomenti φ/n + 2kπ/n, con k = 0, 1, …, n−1. Sono quindi n numeri equidistanti su una circonferenza di raggio ρ^(1/n) centrata nell'origine, vertici di un poligono regolare di n lati.

Caso notevole sono le radici n-esime dell'unità, soluzioni di zⁿ = 1: hanno tutte modulo 1 e argomenti 2kπ/n, e si dispongono sui vertici di un poligono regolare inscritto nella circonferenza unitaria, con un vertice in 1. Per n = 3, ad esempio, sono 1 e i due numeri di argomento 120° e 240°. Questa interpretazione geometrica è una delle più eleganti illustrazioni del legame tra algebra e geometria.

Il teorema fondamentale dell'algebra afferma che ogni equazione polinomiale di grado n ≥ 1 a coefficienti complessi possiede esattamente n radici nel campo complesso, contate con la loro molteplicità. È questa la ragione « di fondo » per cui si introducono i numeri complessi: in C ogni polinomio si fattorizza completamente in fattori di primo grado. Per i polinomi a coefficienti reali vale inoltre che le radici complesse non reali compaiono sempre a coppie coniugate.

\big[r(\cos\theta + i\sin\theta)\big]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)

Formula di De Moivre

Il modulo si eleva alla n, l'argomento si moltiplica per n.

z_k = \sqrt[n]{\rho}\left(\cos\frac{\varphi + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2k\pi}{n}\right),\quad k = 0,1,\dots,n-1

Radici n-esime

Le n radici di un numero di modulo \rho e argomento \varphi, vertici di un poligono regolare.

P(z) = a_n(z - z_1)(z - z_2)\cdots(z - z_n)

Teorema fondamentale dell'algebra

In C ogni polinomio di grado n si fattorizza in n fattori lineari (radici con molteplicità).

Esempio svolto

Radici cubiche di 8

Determina le tre soluzioni dell'equazione z³ = 8 in forma trigonometrica e algebrica.

Scrivi 8 in forma trigonometrica
8 è reale positivo: modulo \rho = 8, argomento \varphi = 0.
Applica la formula delle radici n-esime
Con n = 3 il modulo delle radici è \sqrt[3]{8} = 2 e gli argomenti sono 2k\pi/3.
Valuta k = 0
cos 0 = 1, sin 0 = 0.
Valuta k = 1
cos(2\pi/3) = -1/2, sin(2\pi/3) = \sqrt{3}/2.
Valuta k = 2
cos(4\pi/3) = -1/2, sin(4\pi/3) = -\sqrt{3}/2.

Risultato: Le tre radici sono 2, −1 + i√3 e −1 − i√3, vertici di un triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di raggio 2.

Errori frequenti

Trovare una sola radice n-esima invece di tutte e n: bisogna far variare k da 0 a n−1, ottenendo n soluzioni distinte.
Applicare De Moivre alla forma algebrica direttamente: la formula vale per la forma trigonometrica; un numero come (1 + i)^10 va prima portato in forma polare.

Approfondimento

La formula di De Moivre «[r(cos θ + i sin θ)]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)» si dimostra per induzione dalla regola del prodotto. Base «n = 1»: identità. Passo: supposta vera per «n», si moltiplica per un ulteriore fattore e, sommando gli argomenti, «zⁿ⁺¹ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)·r(cos θ + i sin θ) = rⁿ⁺¹(cos(n+1)θ + i sin(n+1)θ)». Letta all'inverso, la formula fornisce le radici «n»-esime di un numero «w = ρ(cos φ + i sin φ) ≠ 0»: cercando «z = s(cos ψ + i sin ψ)» con «zⁿ = w», si impone «sⁿ = ρ» e «nψ = φ + 2kπ», da cui «s = ρ^(1/n)», radice reale positiva, e «ψ = (φ + 2kπ)/n». Al variare di «k = 0, 1, …, n−1» si ottengono esattamente «n» valori distinti, perché per «k ≥ n» gli argomenti si ripetono modulo «2π», disposti sui vertici di un poligono regolare di «n» lati inscritto nella circonferenza di raggio «ρ^(1/n)». Questo esaurisce le soluzioni di «zⁿ = w», in perfetto accordo con il teorema fondamentale dell'algebra, secondo cui un polinomio di grado «n» ha esattamente «n» radici complesse contate con la loro molteplicità: è la ragione profonda per cui si introducono i numeri complessi.

Ripasso attivo

Determina le tre radici cubiche di 8 (cioè le soluzioni di z³ = 8) in forma trigonometrica e algebrica, e rappresentale nel piano di Gauss.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)) · Esame di Stato del secondo ciclo — quadri di riferimento e griglie di valutazione (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Riferimenti e fonti

Fonti

Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)

Numeri complessi

4 sezioni~19 min di lettura3 competenzeLivello Base 1 · Standard 1 · Approfondimento 2Verificato · 07/2026

Numeri complessi

Punti chiave

Quoziente in forma algebrica

Punti chiave

Distanza tra due numeri complessi

Punti chiave

Dalla forma algebrica alla forma trigonometrica

Punti chiave

Radici cubiche di 8

Fonti

Numeri complessi

Punti chiave

Quoziente in forma algebrica

Punti chiave

Distanza tra due numeri complessi

Punti chiave

Dalla forma algebrica alla forma trigonometrica

Punti chiave

Radici cubiche di 8

Fonti