Computazione e calcolo numerico

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La finitezza della mantissa si quantifica con l'epsilon di macchina (machine epsilon): il più piccolo numero «ε» tale che «1 + ε» sia ancora distinguibile da «1» nella rappresentazione della macchina. Esso fissa la precisione relativa dell'aritmetica (in doppia precisione IEEE 754 vale circa «2·10⁻¹⁶», cioè circa 16 cifre decimali significative) e ogni operazione introduce un errore relativo dell'ordine di «ε». Conviene poi distinguere due nature diverse di errore: l'errore di arrotondamento, dovuto alla rappresentazione finita dei numeri, e l'errore di troncamento (o di metodo), dovuto al fatto che un procedimento numerico approssima un'operazione ideale — per esempio interrompe una serie infinita o dimezza un intervallo un numero finito di volte. Due concetti governano infine l'affidabilità di un calcolo. Il numero di condizionamento (condition number) misura quanto un problema è sensibile a piccole variazioni dei dati: un problema mal condizionato amplifica gli errori d'ingresso a prescindere dall'algoritmo usato. La stabilità riguarda invece l'algoritmo: un algoritmo stabile non amplifica indebitamente gli errori di arrotondamento durante l'esecuzione. Un buon risultato numerico richiede entrambe le cose, un problema ben condizionato e un algoritmo stabile, ed è per questo che, di fronte alla cancellazione numerica, si riscrivono le formule — come la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado, che si può riformulare per evitare la sottrazione di due quantità quasi uguali.

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Il pregio della bisezione — la stima dell'errore certa — si traduce in una formula esplicita per il numero di iterazioni. Dopo n dimezzamenti l'ampiezza dell'intervallo è «(b−a)/2ⁿ», che è anche la maggiorazione dell'errore sulla stima; imporre che scenda sotto una tolleranza «tol» dà «(b−a)/2ⁿ < tol», da cui, prendendo il logaritmo, «n > log₂((b−a)/tol)». Per dimezzare l'errore serve dunque una sola iterazione in più: la convergenza è lineare, e per guadagnare una cifra decimale (fattore 10) occorrono circa «log₂ 10 ≈ 3,3» iterazioni. Metodi più rapidi esistono: il metodo di Newton (delle tangenti) approssima la funzione con la sua retta tangente e itera secondo la regola «x_nuovo = x − f(x)/f'(x)», ottenendo una convergenza quadratica — il numero di cifre corrette all'incirca raddoppia a ogni passo — ma richiede la derivata, un buon punto di partenza e può divergere se le ipotesi non sono rispettate; il metodo delle secanti sostituisce la derivata con un rapporto incrementale. La bisezione resta il metodo di riferimento proprio perché baratta la velocità con l'affidabilità assoluta: converge sempre, purché valgano le ipotesi del teorema degli zeri, ed è spesso usata per «avvicinarsi» alla radice prima di passare a un metodo più veloce ma più fragile.

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I metodi di integrazione si ordinano per accuratezza guardando a come il loro errore diminuisce al ridursi del passo «h». Il metodo dei rettangoli (estremo sinistro o destro) ha un errore che va a zero come «h», cioè linearmente: dimezzare «h» dimezza l'errore. Il metodo del punto medio e quello dei trapezi hanno errore dell'ordine di «h²»: dimezzare «h» riduce l'errore a un quarto, e ciò spiega perché, a parità di suddivisione, i trapezi sono nettamente più precisi dei rettangoli. Un salto ulteriore lo compie il metodo di Simpson, che su ogni coppia di sottointervalli sostituisce alla funzione non un segmento ma un arco di parabola passante per tre punti: il suo errore va come «h⁴», sicché dimezzare «h» lo riduce di ben sedici volte, ed è addirittura esatto per tutti i polinomi fino al terzo grado. La formula composita di Simpson pesa i nodi con il ritmo «1, 4, 2, 4, ..., 4, 1» e richiede un numero pari di sottointervalli. C'è però un limite: infittire «h» a oltranza non conviene, perché quando l'errore di troncamento (che cala con «h») scende sotto il livello degli errori di arrotondamento accumulati (che al contrario crescono con il numero di operazioni), il risultato smette di migliorare e può perfino peggiorare — una manifestazione concreta del compromesso fra le due nature di errore studiate all'inizio del capitolo.

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Implementare un metodo numerico segue sempre lo stesso schema iterativo, che conviene interiorizzare: si inizializza lo stato (per la bisezione, gli estremi «a» e «b» e un contatore); si ripete, dentro un ciclo, l'aggiornamento dello stato (calcolo del punto medio, scelta della metà giusta); si controlla a ogni giro un criterio di arresto composito; si restituisce infine il risultato con una stima dell'errore. Un errore tipico e insidioso in virgola mobile è arrestare un ciclo con un confronto di uguaglianza esatta, come «finché f(m) ≠ 0»: poiché lo zero esatto non viene quasi mai raggiunto nella rappresentazione finita, il ciclo rischia di non terminare mai — per questo si confronta sempre con una tolleranza («|f(m)| < ε») e si aggiunge un tetto al numero di iterazioni come rete di sicurezza. Nella pratica professionale non si reimplementano da zero questi metodi: si usano librerie numeriche mature e ottimizzate (per esempio NumPy e SciPy in Python), che offrono routine collaudate per zeri, integrali e sistemi lineari; scrivere il metodo a mano serve però a capire che cosa quelle librerie fanno e quando possono fallire. Vale infine, come sempre, la regola della validazione: prima di fidarsi di un'implementazione su un problema nuovo, la si prova su casi di cui si conosce la risposta esatta (la radice di 2, un integrale calcolabile a mano), perché un programma che «gira» non è ancora, di per sé, un programma corretto.