Apuntes · Matemáticas IIES · Selectividad

Límites y continuidad

Apunte de repaso de Matemáticas II (materia de modalidad, 2.º de Bachillerato, LOMLOE) sobre el cálculo de límites, la continuidad de funciones y su aplicación al estudio de funciones. El límite es el concepto que pone bajo control el «infinito» y el «acercarse a» del análisis: con él se definen la continuidad, las asíntotas y, más adelante, la derivada y la integral. Es contenido plenamente evaluable en la fase de acceso de la Selectividad (PAU), tanto en el cálculo de límites con indeterminaciones como en el análisis de continuidad, discontinuidades y comportamiento asintótico de una función.

5 secciones~26 min de lectura3 competenciasNivel Básico 1 · Estándar 3 · Profundización 1Revisado · 07/2026

T·0111 / 12

Perfil de examen

CE1 · Modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y de la ciencia y la tecnología aplicando diferentes estrategias y formas de razonamiento, usando el límite para describir tendencias y comportamientos al infinito o en un punto.CE2 · Verificar la validez de las posibles soluciones de un problema empleando el razonamiento y la argumentación: justificar la existencia de un límite mediante límites laterales y la continuidad mediante su definición.CE6 · Descubrir los vínculos de las matemáticas con otras áreas de conocimiento, empleando el concepto de límite y de continuidad en el análisis de funciones que modelizan fenómenos reales.

Operadores:calculaanalizaestudiajustificademuestrainterpretarazonaclasificarelacionalocaliza

nivel básico

Como contenido del bloque de Análisis de Matemáticas II, se exige calcular límites resolviendo las indeterminaciones habituales (0/0, ∞/∞, ∞−∞, 1^∞), estudiar la continuidad de una función en un punto y en un intervalo, clasificar sus discontinuidades y determinar sus asíntotas.

nivel avanzado

La profundización propia de la modalidad consiste en encadenar estas destrezas para el estudio completo de funciones y en argumentar con rigor: justificar la existencia (o no) de un límite con límites laterales, aplicar el teorema de Bolzano para localizar raíces y conectar continuidad con derivabilidad.

Profundidad

Texto

Contenido · 5 secciones

Límites y continuidad

Concepto de límite: en un punto, lateral y en el infinito#

BásicoBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida (límite de una función en un punto, finito e infinito, y límites laterales)

El límite formaliza la idea de «acercarse». Decimos que el límite de una función f cuando x tiende a un valor a es L cuando, al tomar valores de x cada vez más próximos a a (sin llegar a ser a), las imágenes f(x) se aproximan tanto como queramos a L. Lo escribimos como límite cuando x → a de f(x) = L. Lo decisivo es que el límite habla del COMPORTAMIENTO de la función en un entorno del punto, no del valor f(a): la función puede no estar definida en a y, aun así, tener límite. Esta distinción entre «tender a» y «valer en» es el corazón de todo el tema (Fig. 1).

Límite en un punto frente al valor de la función

Como a un punto a se puede llegar desde dos lados, se definen los «límites laterales». El límite por la izquierda (x → a⁻) considera solo valores menores que a; el límite por la derecha (x → a⁺), solo valores mayores. El resultado fundamental es el «criterio de existencia del límite»: existe el límite de f en a, y vale L, si y solo si existen ambos límites laterales y coinciden con ese valor L. Si los laterales son distintos, el límite no existe; por eso, ante una función definida a trozos o ante un posible salto, lo primero es calcular los dos laterales por separado.

El límite puede ser «infinito». Decimos que el límite cuando x → a es +∞ cuando f(x) crece sin tope al acercarnos a a (y −∞ si decrece sin tope). No significa que la función «valga infinito» en a —infinito no es un número—, sino que su crecimiento no está acotado. Este caso es exactamente el que produce una «asíntota vertical» en x = a, idea que desarrollaremos más adelante. También aquí conviene mirar los dos lados: una función racional puede tender a +∞ por un lado y a −∞ por el otro.

El límite «en el infinito» estudia qué le ocurre a f(x) cuando la variable se hace arbitrariamente grande, x → +∞ (o muy negativa, x → −∞). El resultado puede ser un número finito L (la función se estabiliza y aparece una «asíntota horizontal» y = L), puede ser ±∞ (la función crece o decrece sin tope) o puede no existir (como en sen x, que oscila para siempre). Distinguir el límite en un punto del límite en el infinito es esencial: el primero describe un comportamiento local; el segundo, una tendencia global.

Rigor histórico: durante más de un siglo el cálculo funcionó con infinitésimos manejados de forma intuitiva. Fue Augustin-Louis Cauchy quien, en el siglo XIX, fundó el análisis sobre la noción de límite, y Karl Weierstrass quien le dio la definición precisa con épsilon y delta: el límite es L cuando, para cada margen de error ε > 0 que fijemos en el eje Y, existe un entorno (un δ > 0) en el eje X tal que, si 0 < |x − a| < δ, entonces |f(x) − L| < ε. Esta «definición épsilon-delta» es la garantía de que «acercarse tanto como se quiera» tiene un significado matemático exacto, no solo una imagen intuitiva.

Ejemplo resuelto

Límite con discontinuidad evitable y límite en el infinito

Dada f(x) = (x² − 4)/(x − 2), calcula el límite de f cuando x → 2 mediante límites laterales y el límite de f cuando x → +∞.

1. Sustitución directa en x = 2
Al sustituir x = 2 aparece (4 − 4)/(2 − 2) = 0/0, una indeterminación: no podemos concluir directamente.
2. Factorizar y simplificar
Como x² − 4 = (x − 2)(x + 2), para x ≠ 2 se cancela el factor (x − 2) y queda f(x) = x + 2.
3. Límites laterales
El límite de x + 2 cuando x → 2⁻ y cuando x → 2⁺ valen ambos 2 + 2 = 4. Como coinciden, el límite existe.
4. Límite en el infinito
Para x → +∞, f(x) = x + 2 → +∞: la función crece sin tope, no tiene asíntota horizontal por ese lado.

Resultado: El límite cuando x → 2 es 4 (existe porque los laterales coinciden), aunque f(2) no está definida: hay una discontinuidad evitable en x = 2. El límite cuando x → +∞ es +∞.

Errores frecuentes

Confundir el límite de f en a con el valor f(a): el límite existe si los laterales coinciden, aunque la función no esté definida en a o tome allí otro valor.
Escribir «el límite es ∞» como si infinito fuera un número o un resultado «definido»; lo correcto es decir que la función no está acotada y que el límite es infinito (no finito).
Olvidar comprobar los dos límites laterales y dar por existente un límite que en realidad no existe porque los laterales difieren.

Repaso activo

Sea f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Calcula el límite de f cuando x → 2 usando los límites laterales y explica por qué el límite existe aunque f(2) no esté definido. Después, calcula el límite de f cuando x → +∞.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Cálculo de límites e indeterminaciones#

EstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida y Sentido algebraico (álgebra de límites e indeterminaciones)

Mapa de las indeterminaciones y sus técnicas

Cuando la función es continua donde la evaluamos, el cálculo del límite es inmediato: basta SUSTITUIR. El «álgebra de límites» garantiza que el límite de una suma, un producto, un cociente o una potencia es la suma, el producto, el cociente o la potencia de los límites, siempre que las operaciones tengan sentido (por ejemplo, que el denominador no se anule). El problema empieza cuando, al sustituir, aparece una «indeterminación»: una expresión cuyo valor no queda decidido por las reglas usuales y que exige un trabajo previo para resolverla.

La indeterminación «cociente cero entre cero» (0/0) aparece típicamente en cocientes de polinomios o de funciones con un factor común. La técnica estándar es FACTORIZAR numerador y denominador y simplificar el factor que se anula; si hay raíces, suele ayudar multiplicar por el «conjugado». Tras simplificar, se vuelve a sustituir. Esta indeterminación está íntimamente ligada a la derivada: de hecho, la derivada de una función es, por definición, un límite de la forma 0/0.

La indeterminación «infinito entre infinito» (∞/∞) es la más frecuente en los límites en el infinito de funciones racionales. La regla práctica compara el grado del numerador y del denominador: si el grado del numerador es mayor, el límite es ±∞; si es menor, el límite es 0; y si los grados son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado (Fig. 3). Equivale a dividir numerador y denominador por la mayor potencia de x.

La indeterminación «infinito menos infinito» (∞ − ∞) surge al restar dos expresiones que tienden ambas a infinito; se resuelve operando para transformarla en otra forma tratable: sacando factor común, reduciendo a común denominador o multiplicando por el conjugado cuando hay raíces. La indeterminación «uno elevado a infinito» (1^∞) es característica de límites con exponente; se resuelve con el «número e», recordando que el límite cuando x → ∞ de (1 + 1/x)^x es e, o bien tomando logaritmos para bajar el exponente.

Un cuadro mental claro evita errores: 0/0 → factorizar/conjugado; ∞/∞ → comparar grados o dividir por la mayor potencia; ∞ − ∞ → operar/conjugado; 1^∞ → recurrir a e. Y, sobre todo, hay que distinguir las VERDADERAS indeterminaciones de las que no lo son: «número distinto de cero entre cero» NO es indeterminación, sino que da ±∞ (con el signo determinado por los laterales); y «cero por infinito» (0·∞) sí es indeterminación, que se reescribe como cociente para encajarla en 0/0 o ∞/∞.

\lim_{x \to \pm\infty}\frac{a_n x^n + \dots}{b_m x^m + \dots} = \begin{cases} \pm\infty & n > m \\[2pt] \dfrac{a_n}{b_m} & n = m \\[2pt] 0 & n < m \end{cases}

Límite de un cociente de polinomios en el infinito (∞/∞)

Compara el grado n del numerador con el grado m del denominador. Si n>m el límite es infinito; si n=m es el cociente de los coeficientes principales; si n<m es 0.

\lim_{x \to \pm\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e

Límite que define el número e (tipo 1^∞)

Es el límite clave para resolver la indeterminación 1 elevado a infinito; muchos límites con exponente se reducen a esta forma o se abordan tomando logaritmos.

Ejemplo resuelto

Indeterminación ∞/∞ por comparación de grados

Calcula el límite cuando x → +∞ de (3x² − x + 1)/(x² + 5), indicando la indeterminación y la técnica.

1. Sustitución directa
Al hacer x → +∞, numerador y denominador tienden a +∞: aparece la indeterminación ∞/∞.
2. Comparar grados
El grado del numerador (2) es igual al del denominador (2). En ese caso el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado.
3. Dividir por x² (justificación)
Dividiendo numerador y denominador por x², los términos x/x², 1/x² y 5/x² tienden a 0, y queda 3/1.
4. Resultado
El cociente de los coeficientes principales 3 y 1 confirma el valor del límite.

Resultado: El límite vale 3: al tener numerador y denominador el mismo grado, el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales (3/1 = 3), de modo que y = 3 sería una asíntota horizontal.

Errores frecuentes

Tratar «k/0» con k ≠ 0 como una indeterminación: no lo es; da ±∞, y hay que estudiar los límites laterales para fijar el signo.
En ∞/∞, comparar mal los grados o quedarse con la indeterminación sin dividir por la mayor potencia ni comparar coeficientes principales.
Aplicar la regla del número e a un límite que NO es del tipo 1^∞ (por ejemplo, cuando la base no tiende a 1), forzando una fórmula que no corresponde.

Repaso activo

Calcula los dos límites siguientes indicando, en cada caso, qué indeterminación aparece y cómo la resuelves: (a) límite cuando x → +∞ de (3x² − x + 1)/(x² + 5); (b) límite cuando x → 3 de (x² − 9)/(x² − 4x + 3).

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Continuidad y tipos de discontinuidad#

EstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida (continuidad en un punto y en un intervalo; tipos de discontinuidad; relación continuidad-derivabilidad)

Tipos de discontinuidad

Una función f es «continua en un punto a» cuando se cumplen tres condiciones a la vez: (1) f está definida en a, es decir, existe f(a); (2) existe el límite de f cuando x → a (lo que exige que los dos límites laterales existan y coincidan); y (3) ese límite vale exactamente f(a). De forma compacta, f es continua en a si el límite de f cuando x → a es igual a f(a). Intuitivamente, una función es continua si su gráfica «se traza sin levantar el lápiz»: si falla cualquiera de las tres condiciones, hay una discontinuidad en a (Fig. 4).

Una función es «continua en un intervalo» si lo es en cada uno de sus puntos. Las funciones elementales son continuas en su dominio: los polinomios son continuos en todo R; las funciones racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, radicales, etc., son continuas allí donde están definidas. Por eso, en la práctica, los únicos puntos sospechosos de discontinuidad son los que NO pertenecen al dominio (denominadores que se anulan, logaritmos de cero o negativos, raíces de negativos) y los puntos de empalme de las funciones definidas a trozos.

Cuando una función tiene un punto problemático, se «clasifica» la discontinuidad. La discontinuidad es «evitable» cuando el límite en a existe (los laterales coinciden y son finitos) pero o bien la función no está definida en a, o bien f(a) toma un valor distinto de ese límite. Se llama evitable porque bastaría redefinir f(a) igual al límite para «coser» la función y hacerla continua: es el caso del 0/0 que se simplifica, como (x²−4)/(x−2) en x = 2.

La discontinuidad es «no evitable» cuando el límite no existe como número finito único, y se distinguen dos clases. Es «de salto finito» cuando los dos límites laterales existen y son finitos pero DISTINTOS: la gráfica «pega un salto» de altura igual a la diferencia de los laterales (típico de funciones a trozos mal empalmadas o de la parte entera). Es «de salto infinito» cuando al menos uno de los límites laterales es ±∞: la función se dispara y, en ese punto, aparece una asíntota vertical.

Existe una relación de jerarquía entre continuidad y derivabilidad que conviene memorizar con su sentido: si una función es derivable en un punto, entonces es necesariamente continua en él. El recíproco es FALSO: hay funciones continuas que no son derivables (el ejemplo clásico es f(x) = |x| en x = 0, continua pero con un «pico» donde las pendientes laterales no coinciden). Por tanto, la continuidad es una condición NECESARIA pero NO SUFICIENTE para la derivabilidad; y, en consecuencia, donde una función es discontinua tampoco puede ser derivable.

f \text{ es continua en } a \iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Definición de continuidad en un punto

Resume las tres condiciones: existe f(a), existe el límite en a (laterales iguales) y ambos coinciden.

f \text{ derivable en } a \;\Rightarrow\; f \text{ continua en } a \quad(\text{el recíproco es falso})

Relación continuidad–derivabilidad

La derivabilidad implica continuidad, pero hay funciones continuas no derivables (por ejemplo |x| en x = 0). La continuidad es necesaria, no suficiente.

Ejemplo resuelto

Continuidad de una función a trozos y tipo de discontinuidad

Estudia la continuidad en x = 1 de la función f(x) = x + 1 si x ≤ 1, y f(x) = 3 − x² si x > 1. Clasifica la discontinuidad si la hubiera.

1. Valor de la función en x = 1
Como x = 1 cumple x ≤ 1, usamos el primer trozo: f(1) = 1 + 1 = 2. La función está definida en x = 1.
2. Límite por la izquierda
Por la izquierda usamos el trozo x + 1: el límite cuando x → 1⁻ es 1 + 1 = 2.
3. Límite por la derecha
Por la derecha usamos el trozo 3 − x²: el límite cuando x → 1⁺ es 3 − 1² = 2.
4. Comparar las tres condiciones
Los dos laterales coinciden (2 = 2), luego el límite existe y vale 2; además f(1) = 2 coincide con el límite. Se cumplen las tres condiciones.

Resultado: La función es CONTINUA en x = 1, porque límite por la izquierda = límite por la derecha = f(1) = 2. No hay discontinuidad.

Errores frecuentes

Comprobar solo que existe el límite y olvidar las otras dos condiciones (que exista f(a) y que coincida con el límite), o al revés.
Confundir discontinuidad evitable con de salto: si los laterales son finitos pero DISTINTOS, el salto es finito (no evitable); solo es evitable cuando coinciden.
Creer que una función continua es siempre derivable; la continuidad es necesaria pero no suficiente (contraejemplo: |x| en x = 0).

Repaso activo

Considera la función definida a trozos f(x) = x + 1 si x ≤ 1 y f(x) = 3 − x² si x > 1. Estudia su continuidad en x = 1 calculando los límites laterales y f(1); si es discontinua, clasifica el tipo de discontinuidad.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas#

EstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida (asíntotas verticales, horizontales y oblicuas a partir de límites)

Los tres tipos de asíntota según los límites

Una «asíntota» es una recta a la que la gráfica de la función se acerca indefinidamente sin llegar a tocarla (o tocándola un número finito de veces). Las asíntotas describen el comportamiento de la función en sus «extremos»: junto a los puntos donde se dispara y muy lejos en el infinito. Todo el estudio de asíntotas se hace con límites, de modo que esta sección es la aplicación directa de las dos anteriores. Hay tres tipos: verticales, horizontales y oblicuas.

Las «asíntotas verticales» son rectas de la forma x = a. Aparecen donde el límite de la función cuando x → a es ±∞, es decir, en los puntos que anulan el denominador de una función racional (sin anular a la vez el numerador), o donde un logaritmo tiende a su frontera. Para describirlas con precisión se calculan los DOS límites laterales en a, porque la función puede tender a +∞ por un lado y a −∞ por el otro; esa información es la que da la forma de la curva junto a la asíntota.

Las «asíntotas horizontales» son rectas de la forma y = L. Aparecen cuando el límite de la función cuando x → +∞ (o x → −∞) es un número finito L: la función se estabiliza en torno a ese valor. Una función puede tener una asíntota horizontal distinta por la derecha y por la izquierda, una sola común a ambos lados, o ninguna. En las funciones racionales, hay asíntota horizontal cuando el grado del numerador es menor o igual que el del denominador.

Las «asíntotas oblicuas» son rectas de la forma y = mx + n con m ≠ 0. Aparecen cuando la función crece como una recta inclinada en el infinito: su pendiente es m, límite cuando x → ∞ de f(x)/x, y su ordenada en el origen es n, límite cuando x → ∞ de (f(x) − mx). En las funciones racionales hay asíntota oblicua exactamente cuando el grado del numerador supera EN UNA UNIDAD al del denominador; entonces la división polinómica da el cociente mx + n (la recta) más un resto que tiende a 0.

Dos avisos importantes. Primero: en una misma dirección (hacia +∞ o hacia −∞), una función NO puede tener a la vez asíntota horizontal y oblicua, porque son comportamientos incompatibles; pero sí puede tener horizontal por un lado y oblicua por el otro. Segundo: el nombre «asíntota» no impide el cruce; una función puede CORTAR su asíntota horizontal u oblicua (lo que no hace es cruzar una vertical, porque ahí no está definida). Lo esencial de una asíntota es la TENDENCIA en el infinito, no la imposibilidad de tocarla.

\text{A. vertical en } x=a \iff \lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty

Asíntota vertical

La recta x = a es asíntota vertical si la función tiende a ±∞ al acercarse a a; se estudian los dos límites laterales para conocer el signo por cada lado.

m = \lim_{x \to \pm\infty}\frac{f(x)}{x}, \qquad n = \lim_{x \to \pm\infty}\bigl(f(x) - m x\bigr)

Asíntota oblicua y = mx + n

Si m es un número finito no nulo y n es finito, la recta y = mx + n es asíntota oblicua. Si m = 0 y n es finito, en realidad hay asíntota horizontal y = n.

Ejemplo resuelto

Asíntotas de una función racional con oblicua

Halla todas las asíntotas de f(x) = x²/(x − 1).

1. Dominio y candidato a vertical
El denominador se anula en x = 1, y el numerador allí vale 1² = 1 ≠ 0. Luego x = 1 es candidato a asíntota vertical.
2. Límites laterales en x = 1
Por la izquierda (x → 1⁻) el denominador es negativo y pequeño, y el numerador ≈ 1 > 0, así que f → −∞; por la derecha (x → 1⁺), f → +∞. Confirma la asíntota vertical x = 1.
3. ¿Horizontal u oblicua?
El grado del numerador (2) supera en UNA unidad al del denominador (1): no hay asíntota horizontal, sino oblicua. La dividimos.
4. División polinómica
Al dividir x² entre x − 1 se obtiene cociente x + 1 y resto 1, es decir f(x) = x + 1 + 1/(x − 1). Como 1/(x − 1) → 0 en el infinito, la recta y = x + 1 es la asíntota oblicua (m = 1, n = 1).

Resultado: f(x) = x²/(x − 1) tiene una asíntota vertical en x = 1 (f → −∞ por la izquierda y +∞ por la derecha) y una asíntota oblicua y = x + 1; no tiene asíntota horizontal.

Errores frecuentes

Dar como asíntota vertical todo punto que anula el denominador sin comprobar que el numerador no se anula también allí (si ambos se anulan, puede haber discontinuidad evitable, no asíntota).
Buscar a la vez asíntota horizontal y oblicua en la misma dirección: son excluyentes; si hay horizontal no hay oblicua hacia ese mismo infinito.
Calcular la asíntota horizontal solo por un lado y suponer que es la misma por el otro, cuando pueden diferir (especialmente con radicales o valores absolutos).

Repaso activo

Determina todas las asíntotas de la función f(x) = x²/(x − 1): la asíntota vertical (con sus límites laterales) y, comparando grados, la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Teorema de Bolzano y propiedades de las funciones continuas#

ProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida y Sentido algebraico (propiedades de las funciones continuas; teorema de Bolzano)

La continuidad no es solo una descripción local; tiene consecuencias globales potentes cuando una función es continua en un intervalo CERRADO [a, b]. El resultado más utilizado en la PAU es el «teorema de Bolzano»: si f es continua en [a, b] y toma valores de signo opuesto en los extremos (es decir, f(a) y f(b) tienen distinto signo, de modo que f(a)·f(b) < 0), entonces existe al menos un punto c interior al intervalo donde f(c) = 0. En términos llanos: una función continua que pasa de negativa a positiva ha de cruzar el eje X en algún punto (Fig. 5).

Teorema de Bolzano: cambio de signo y raíz garantizada

Las dos hipótesis del teorema son imprescindibles. Si la función no es continua, el cambio de signo puede producirse «saltando» sobre el eje sin tocarlo (como ocurre en una asíntota vertical), y no garantiza ninguna raíz. Y si no hay cambio de signo en los extremos, el teorema no afirma nada (podría no haber raíz, o haber varias). El teorema asegura «al menos una» raíz, no exactamente una: puede haber más. Por eso es una herramienta de EXISTENCIA y LOCALIZACIÓN, no de cálculo exacto.

El teorema de Bolzano es un caso particular del «teorema de los valores intermedios»: una función continua en [a, b] toma todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b). Es decir, no puede «saltarse» ningún valor intermedio. Bolzano es ese teorema aplicado al valor 0. De estos resultados se deduce además el método de la bisección para aproximar raíces: si f cambia de signo en [a, b], se evalúa en el punto medio y se repite el proceso en el subintervalo donde persiste el cambio de signo, acotando la raíz cada vez más.

Otra propiedad esencial de las funciones continuas en un intervalo cerrado y acotado [a, b] es el «teorema de Weierstrass»: toda función continua en [a, b] alcanza en él un máximo absoluto y un mínimo absoluto. No solo está acotada, sino que esos valores extremos se alcanzan efectivamente en puntos del intervalo. Junto con Bolzano, sustenta gran parte del análisis posterior: la existencia de soluciones de ecuaciones y la existencia de extremos en los problemas de optimización.

Históricamente, estos teoremas (debidos a Bernard Bolzano y formalizados en el marco riguroso de Cauchy y Weierstrass) marcan el paso de la intuición geométrica al análisis riguroso del siglo XIX. Su importancia práctica para el estudiante es doble: permiten DEMOSTRAR que una ecuación f(x) = 0 tiene solución sin resolverla (basta encontrar un cambio de signo de una función continua) y justifican que los métodos de búsqueda de extremos tengan sentido. Son, por ello, herramientas de argumentación tan valoradas como el propio cálculo.

f \in C[a,b] \;\wedge\; f(a)\cdot f(b) < 0 \;\Rightarrow\; \exists\, c \in (a,b): f(c) = 0

Teorema de Bolzano

Si f es continua en el cerrado [a,b] y cambia de signo entre los extremos, existe al menos un punto interior c donde la función se anula.

Ejemplo resuelto

Aplicación del teorema de Bolzano

Demuestra que la ecuación x³ − x − 1 = 0 tiene al menos una raíz real en el intervalo [1, 2].

1. Definir una función continua
Consideramos f(x) = x³ − x − 1. Por ser un polinomio, f es continua en todo R y, en particular, en el intervalo cerrado [1, 2]: se cumple la primera hipótesis.
2. Evaluar en los extremos
f(1) = 1 − 1 − 1 = −1 (negativo) y f(2) = 8 − 2 − 1 = 5 (positivo).
3. Comprobar el cambio de signo
Como f(1) y f(2) tienen signos opuestos, su producto es negativo: se cumple la segunda hipótesis.
4. Aplicar el teorema
Por el teorema de Bolzano, existe al menos un c en el intervalo abierto (1, 2) con f(c) = 0, es decir, una solución de la ecuación. (Numéricamente esa raíz vale c ≈ 1,325.)

Resultado: Por el teorema de Bolzano, como f(x) = x³ − x − 1 es continua en [1, 2] y f(1)·f(2) < 0, existe al menos un c en (1, 2) con f(c) = 0: la ecuación tiene una raíz real en ese intervalo.

Errores frecuentes

Aplicar Bolzano sin comprobar la continuidad en el intervalo cerrado (por ejemplo, en un intervalo que contiene una asíntota vertical), obteniendo una conclusión falsa.
Afirmar que el teorema garantiza una ÚNICA raíz: solo asegura «al menos una»; puede haber varias.
Confundir el teorema con un método de cálculo de la raíz: Bolzano demuestra que EXISTE y la localiza en un intervalo, pero no la calcula.

Repaso activo

Demuestra, usando el teorema de Bolzano, que la ecuación x³ − x − 1 = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo [1, 2]. Comprueba las dos hipótesis y enuncia la conclusión.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Límites y continuidad

5 secciones~26 min de lectura3 competenciasNivel Básico 1 · Estándar 3 · Profundización 1Revisado · 07/2026

Límites y continuidad

Puntos clave

Límite con discontinuidad evitable y límite en el infinito

Puntos clave

Indeterminación ∞/∞ por comparación de grados

Puntos clave

Continuidad de una función a trozos y tipo de discontinuidad

Puntos clave

Asíntotas de una función racional con oblicua

Puntos clave

Aplicación del teorema de Bolzano

Fuentes

Límites y continuidad

Puntos clave

Límite con discontinuidad evitable y límite en el infinito

Puntos clave

Indeterminación ∞/∞ por comparación de grados

Puntos clave

Continuidad de una función a trozos y tipo de discontinuidad

Puntos clave

Asíntotas de una función racional con oblicua

Puntos clave

Aplicación del teorema de Bolzano

Fuentes